2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：由兩點(diǎn)引發(fā)的聯(lián)想（解析版）

方法必備02由“兩點(diǎn)”引發(fā)的聯(lián)想

題型一：求點(diǎn)的坐標(biāo)

題型二：求面積

題型三：求距離

題型四：旋轉(zhuǎn)問題

題型五：最值問題

題型六：有關(guān)存在性問題

題型一：求點(diǎn)的坐標(biāo)

4

1.(2023秋?項(xiàng)城市期末)如圖，直線y=-]X+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)/和點(diǎn)3.

(1)求/,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸為x軸上一點(diǎn)，若AABP的面積為10,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M是上的一點(diǎn)，若將MBM沿直線AM折疊，點(diǎn)2恰好落在x軸上的點(diǎn)耳處，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的圖象的特點(diǎn)，求點(diǎn)/、B坐標(biāo)即可；

(2)設(shè)尸(x,0),則，x-3|x4=10,求出x的值即可求尸點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)由折疊可知48=/月=5,則片(-2,0),在及△。瓦M(jìn)中，(4-00)2=4+002,解得OM=],即可求M點(diǎn)

坐標(biāo).

【解答】解：(1)當(dāng)尤=0時，y=4,

.8(0,4),

當(dāng)y=0時，x=3,

出3,0);

(2)設(shè)尸(陽0),

/P=|x-3|,

...A4Ap的面積為10,

1|X-3|X4=10,

解得x=8或x=-2,

/.尸(8,0)或(—2,0)；

(3)由折疊可知，AB=ABX,

,：OB=4,OA=3,

AB=5,

ABX=5,

二?A(-2,0),

/.OB】=2,

在M△OB]M中,MB；=OB；+OM2,

/.（4-OM）2=4+0",

解得OM=—,

2

【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握次一函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

題型二：求面積

2.（2023秋?普陀區(qū)校級期末）已知，如圖，正方形4SCD,點(diǎn)E、/分別是邊BC、CD上的兩個動點(diǎn)，如果NE4尸

的大小始終保持45。不變.將AA8E繞著點(diǎn)/順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)B、E的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H.如果

AE=yJlOm,那么AAE77的面積為m2.

（分析]根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出AH=AE=y/Wm,ZEAH=90°,則MEH為等腰直角三角形，則

=—AEAH=）5{m~）

/-iziE/72x—2xVToxVH=、'.

【解答】解：.??將繞著點(diǎn)4順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)8、E的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H,

，：ZD+ZADH=\SQ0,

：.H,D,廠三點(diǎn)共線,

AH=AE=410m,NEAH=90°,

^AEH為等腰直角三角形，

2

S1sAEH=_4ExAH=—xs/lOxA/TO=5(/?).

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出/〃=/￡=而加，

AEAH=90°.

題型三：求距離

3.（2023秋?埔橋區(qū)期末）問題原型：（1）如圖①，在中，AADB=90°,AD=BD,在/D上取點(diǎn)及使

DE=CD,連接BE.求證：BE=AC;

問題拓展：（2）如圖②，在（1）的條件下，尸為8c的中點(diǎn)，連接￡尸并延長至點(diǎn)^ACIMC.

①求證：zLBEM=2M；

②若ACr與，求/、”兩點(diǎn)之間的距離.

（2）①由ZS4"可證可得48瓦0=乙〃；

②由全等三角形的性質(zhì)可得NC=8E=MC,由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解.

［解答］（1）證明：在八BDE和△/OC中，

，BD=AD

-ZBDE=ZADC.

DE=DC

△ADE二IXADC(SAS),

:.BE=AC；

(2)①證明：???點(diǎn)戶是8。中點(diǎn),

?.BF=CF,

：AC±MC,

?..乙ACD+乙MCB=90。,

VAACD+ADAC=90°,

乙DAC=乙MCB,

'：/\BDE^/\ADC,

...乙DAC=乙EBD,

...乙EBD=乙MCB,

又乙EFB=乙MFC,

/.MBEF"/\CMF(ASA),

/.乙BEM=AM；

②如圖②，連接/河，

BE=AC,

由(2)①可知：MBEF"MCMF,

；.CM=BE=AC,

：ACLCM,

：.4M=MAC=巫.

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)

題型四：旋轉(zhuǎn)問題

4.（2023?西陵區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)2是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段N3繞點(diǎn)/按逆時針方向

旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（見5），則B點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【分析】過C作CDly軸于點(diǎn)。，通過證得A4OBMZ\Ca4（44S）,得出CM=CZ?=1,OB=AD=4,可得點(diǎn)8

的坐標(biāo)，

【解答】解：過C作COly軸于點(diǎn)。，如圖：

'：^ABO+ZBAO=90°,

ACAD=AABO,

'：ZAOB=ZCDA=90°,AB=AC,

:.MOB=^CDA(AAS),

'：OA=CD,OB=AD,

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,5),

OA=1,AD=5-1=4,

05=4,

8（4,0）,

故答案為：（4,0）.

【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)

造全等三角形解決問題.

5.（2023?蚌山區(qū)模擬）綜合實(shí)踐課上，小聰把一張長方形紙片沿著虛線防剪開，如圖①所示，把得到的兩

張紙片如圖②擺放，紙片口△CQE，較小銳角的頂點(diǎn)F在上，較長直角邊與斜邊分別交邊于點(diǎn)G,H.以

點(diǎn)G與/重合,且B'E'1AB為初始位置,把出△C3E沿著DE方向平移，當(dāng)點(diǎn)E'到達(dá)點(diǎn)E后立刻繞點(diǎn)E逆時針

旋轉(zhuǎn)，如圖③，直到點(diǎn)〃與點(diǎn)8重合停止.為了探求8〃與NG之間的變化關(guān)系，設(shè)/G=加，請用含加的代數(shù)式

表示BH.

(1)在平移過程中，BH=,

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，BH=.

(分析］(1)解放△E'GH,求得GH,進(jìn)而得出結(jié)果；

(2)先拜表示出EG的長，進(jìn)而根據(jù)△EGHSABGE得出GH的長，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【解答】解：(1)在用△E'G/Z中，E'H=AD=3,tanAGE'H=tanZBEC=-=-=

CE62

315

BH=AB-AG-GH=9---m=——m,

22

故答案為：—~m-,

2

當(dāng)比v3時，

作ER1AB于R,

在RtAERG中，ER=AD=3,GR=AR-AG=3-m,

...EG?=9+(3-加￥=?？-6機(jī)+18,

'：AERH=NB,NEGH=AEGB,

WGHsl\BGE,

EG2=GHBG,

.GH2_/M2-6W7+18

..vJll——

BG9-m

ZT63—12加

BerHr=BcG--GH=9c-m-------6-m---+-1-8

9-m9-m

圖2

當(dāng)打3時,

方法同上得出,

63-12機(jī)

BH=

9-m

63-12”?

故答案為:

9-m

【點(diǎn)評】本題考查了矩形性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟

練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識.

題型五：最值問題

6.（2023?陸豐市二模）如圖，在A43c中，ZACB=90°,AC=BC=4,尸是A43c的高CD上一個動點(diǎn)，以8點(diǎn)

為旋轉(zhuǎn)中心把線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到8P,連接DP,則DP的最小值是.

［分析］在BC上截取BE=BD,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得BA=4g,ZABC=ABAC=ZBCD=NDCA=45°,

BD=CD=AD=2V2=BE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BP=3P,ZPBP'=45°,可證,可得產(chǎn)E=PD,

當(dāng)PELCD時，PE有最小值，即。P有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求。P的最小值.

【解答】解：如圖，在8C上截取=，連接EP.

'：ZACB=90°,AC=BC=4,CD1AB,

BA=442,ZABC=ABAC=Z.BCD=ZDCA=45°,BD=CD=AD=242=BE,

:以B點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心把線段BP逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到BP',

BP=BP',APBP'=45°=ZABC,

NDBP=NCBP,

在ASDP'和ABEP中，

BD=BE

<ZDBP'=NCBP,

BP=BP1

ABDP'占f\BEP(SAS),

PE=P'D,

.?.當(dāng)PEICO時，PE有最小值，即DP有最小值，

'：PE1CD,Z5CD=45°,

:.CE=41PE=BC-BE=^-1yf?.,

:.PE=2y/2-2,

故答案為：2行-2.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角

形是本題的關(guān)鍵.

7.(2023秋?漂陽市期末)如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-(x+8分別交y軸、x軸于點(diǎn)/、2,點(diǎn)C、

點(diǎn)。是>軸正半軸、x軸正半軸上的兩個動點(diǎn)，CD=6,以CD為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，與線段N8交于點(diǎn)E、

F兩點(diǎn)，則EF的最大值為.

【分析】過C。的中點(diǎn)作所的垂線與交于點(diǎn)M,C。交于點(diǎn)G,連接八3,當(dāng)直線過。點(diǎn)時，印的值最大;

利用sinAOAB=—=—=—,求出OM,MG,在利用勾股定理求出FM即可.

AB10OA

【解答】解：過CD的中點(diǎn)作斯的垂線與48交于點(diǎn)M,CD交于點(diǎn)G,連接力//，

當(dāng)直線過。點(diǎn)時，跖的值最大；

當(dāng)x=0時，j=8,當(dāng)y=0時，x=6,

.?.4(6,0),5(0,8),

:.AB=yJOA2+OB2=10,

8OM

sinNOAB=—

AB10OA

:.OM=4.8,

,:CD=6,

：.OG=GF=-CD=3,

2

:.GM=OM-OG=1.S,

FM=4GF2-GM1=2.4,

EF=2FM=4.8.

【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠確定跖最大時的位置，利用直角三角函數(shù)求邊是解題的關(guān)鍵.

8.(2023秋?宿豫區(qū)期末)如圖，拋物線y=-骼x?-答x+百與x軸交于/、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，。/的

半徑是1,點(diǎn)尸是直線BC上的動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作QA的切線,切點(diǎn)是Q,則切線長PQ的最小值是

【分析】先解方程-等x+K=0得4-5,0),2(3,0),再確定C(0,6),則利用正切的定義可求出

ZOSC=30°,連接N。、AP,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到乙4。尸=90。，則利用勾股定理得到P0=)匚！，所

以當(dāng)/尸的長度最小時，PQ的長度最小，根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)AP1時，AP的長度最小，AP的最小值為4.

從而得到的最小值.

V322g

【解答】解：當(dāng)y=0時，-—x--------X+V3=0,

1515

解得演=-5,%=3,

二./(一5,0),5(3,0),

當(dāng)x=0時，y=-2弋百一百,

/.C(0,V3),

.*.0A=5,OB=3,OC=V3,

在RtZ\OBC中，,..tanNO8C=2=^,

OB3

NOBC=3Q°,

連接N。、AP,如圖，

,「P0為。。的切線，

AQLPQ,

:.ZAQP=90°,

PQ=^AP2-AQ2=J/尸'-I,

當(dāng)AP的長度最小時，PQ的長度最小，

而當(dāng)APLBC時，4P的長度最小，

'：AABC=30°,

,此時AP=L/8=4,

2

PQ的最小值為“二I=V15,

即切線長尸。的最小值為

故答案為：V15.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與x軸的交

點(diǎn)、解直角三角形.

9.(2023秋?黔南州期末)如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一個AABC，點(diǎn)N、3、C的坐標(biāo)分別是(-5,1)、(-2,2)、(-2,5).

(1)請作出ZUBC關(guān)于x軸的對稱圖形△431G;

(2)x軸上有一點(diǎn)且請你用尺規(guī)作圖的方法找出點(diǎn)M(保留作圖痕跡不寫作法)；

(3)在》軸上求作一點(diǎn)N,使點(diǎn)N到M,C兩點(diǎn)的距離之和最小，請作出點(diǎn)N(保留作圖痕跡不寫作法).

【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出圖形即可；

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出圖形即可；

(3)取點(diǎn)M關(guān)于〉軸的對稱點(diǎn)AT,連接M'C,交y軸于點(diǎn)N,則點(diǎn)N即為所求，即可得出答案.

【解答】解：(1)如圖，片G即為所求―

(2)如圖所示;

(3)如圖，點(diǎn)N即為所求.

【點(diǎn)評】本題考查作圖-軸對稱變換、軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

10.(2023秋?夏邑縣期末)如圖，已知拋物線＞=0?+2如+3與x軸交于/、B(-3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)當(dāng)-3WxW左時，要使函數(shù)的最大值與最小值的差是一個不隨左的變化而變化的定值，求左的取值范圍.

【分析】(1)將(-3,0)代入拋物線解析式求出a的值即可；

(2)根據(jù)拋物線求出對稱軸，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)使函數(shù)的最大值與最小值的差是一個不隨k的變化而變化

的定值求出k的取值范圍即可.

【解答】解：(1)將(-3,0)代入拋物線解析式y(tǒng)=ad+2ax+3可知：

ax(-3)2+2ax(-3)+3=0,

解得a=-1,

拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3;

(2)由題意得，該拋物線的對稱軸為x=-&■=-1,

2a

■.A(1,0),

當(dāng)左取值逐漸增大時，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可知：當(dāng)左N-1時，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值，繼續(xù)增大，

當(dāng)左=1時，仍滿足題意，但當(dāng)人＞1時，不符合題意，

綜上分析，當(dāng)-1W人W1時，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個不隨人的變化而變化的定值.

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

11.(2023秋?雙臺子區(qū)校級期末)如圖，拋物線+bx+c與X軸相交于/(-3,0),8兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)

6

C(0,4),MC。從點(diǎn)/開始沿射線方商以每秒1個單位長度的速度平移，平移后的三角形記為AZ)瓦"平移時

間為秒，射線。E交拋物線于點(diǎn)尸、連接BC,CP,PB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是x,ASC尸的面積是y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)如圖1,當(dāng)A5C尸面積最大時，求十的值.

(2)由題意，點(diǎn)尸在第一象限拋物線上移動，過點(diǎn)尸作尸以Lx軸交于X,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是x,表示出尸〃

的長，然后依據(jù)S叩=細(xì)?列出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；

(3)根據(jù)(2)求得的函數(shù)關(guān)系式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：(1);拋物線了=V+6x+c與x軸相交于4-3,0),2兩點(diǎn)，與〉軸相交于點(diǎn)C(0,4),

——x9-36+c=0日b=—

-6,解得6,

c=4c=4

拋物線的解析式為j=-1x23+|x+4；

(2)由題意，點(diǎn)尸在第一象限拋物線上移動，過點(diǎn)尸作PHlx軸交3C于

..3=」/+*》+4與》軸相交于/(-3,0),3兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0,4),

66

令y=0,貝！I」/+1+4=0,

66

解得x=-3或8,

「?8(8,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+a,

8左+a=0

,解得

6Z=4

Q=4

.，?直線BC的解析式為y=-+4,

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是X,貝I］尸(蒼一，彳2+,x+4),〃(x,-gx+4),

/.PH=H—X+4H—x-4=—4—X,

66263

22

/.S帖cp=-PH,OB=_x8(—%H—x)=—%4--x(0<x<8);

226333

216

y-—-x24——x(0vxv8);

(3)由(2)知，MC尸的面積是歹關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為v=-

..2162,八232

.y=——x2+——x=——(x-4)+——,

3333

.?.當(dāng)x=4時，A5c尸的面積y最大為了，

...A4C。從點(diǎn)4開始沿射線方商以每秒1個單位長度的速度平移，平移時間為/(-3,0),

/./=3+4=7,

：.t的值為7.

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形的平移、面積的計(jì)算、最值問題等知識，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題.

題型六：有關(guān)存在性問題

12.（2023秋?田陽區(qū)期末）如圖，A42c是邊長為3cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、。同時從/、8兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿

AB,3C方向勻速移動，它們的速度都是/cm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)8時，尸、0兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間

為心），則當(dāng)AP3。是直角三角形時，/等于.

【分析】分兩種情況：①々尸。=90。；②40尸=90。.然后在直角三角形30尸中根據(jù)8尸，3。的表達(dá)式和4的

度數(shù)進(jìn)行求解即可.

【解答】解：設(shè)經(jīng)過f秒APB。是直角三角形，

則AP=tcm,BQ=tcm,

在KABC中，AB=BC=3cm,ZB=60°,

/.BP=（3-t）cm,

在KPBQ中,BP=（3-t）cm,BQ=tcm,

若APBQ是直角三角形，則ZBQP=90°或ZBPQ=90°,

當(dāng)NBQP=90°時，BQ=^BP,

即/=g（3一）,

t=3,

當(dāng)NB尸0二90。時，BP=：BQ,

3—t=-t,

2

t=2,

即當(dāng)f=l或"2時，AP3。是直角三角形.

故答案為：1或2.

【點(diǎn)評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、解一元一次方程，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解

答此題的關(guān)鍵.

13.(2023秋?錦江區(qū)校級期末)直線/8：y=x+3分別與x,y軸交于/,8兩點(diǎn)、過點(diǎn)8的直線交x軸正半軸于點(diǎn)

C,且03：0c=3：1.

(1)直接寫出點(diǎn)/、B、C的坐標(biāo)；

(2)在線段OB上存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到&C的距離相等，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)：

(3)在第一象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)E,使得△2CE為等腰直角三角形，若存在，直接寫出￡點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,

【分析】(1)把＞=0代入y=x+3求出x的值，即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)；把x=0代入y=x+3求出y的值，即可求

出8的坐標(biāo)；根據(jù)03：0C=3：1,求出。。=1,即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)連接PC,設(shè)PB=PC=x,則0P=3-x,在RtaOPC中，根據(jù)勾股定理可得：OC1+OP2=PC2,據(jù)此列出

方程求出x的值，進(jìn)而得出。尸，即可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①當(dāng)3C=CE時，過點(diǎn)E作即U軸于點(diǎn)尸，通過證明△OBC/△尸CE,得出CF

=08=3,OC=EF=\,即可得出點(diǎn)￡的坐標(biāo)；②當(dāng)=時，過點(diǎn)￡作EGU軸于點(diǎn)G,和①同理可證：

X0BC空XGEB,BG=OC=l,0B=GE=3,即可求出點(diǎn)E坐標(biāo)；③當(dāng)時，過點(diǎn)E作叢軸于點(diǎn)N,

過點(diǎn)￡作軸于點(diǎn)通過證明設(shè)ON=ME=NE=x,貝i]BN=3-x,根據(jù)勾股定理列出

方程求解即可.

【解答】解：(1)把y=0代入y=x+3得：0=x+3,

解得：x=-3,

'.A(-3,0),

把x=0代入y=x+3得：y=3,

■-B(0,3),

OB=3,

■.OB：OC=3：1,

.?-0C=1,

.■.C(1,0)；

(2)連接尸C,

???點(diǎn)尸到8,C的距離相等，

:.PB=PC,

設(shè)PB=PC=x,貝I］。尸=3-x,

在Rt△。尸。中，根據(jù)勾股定理可得：。。2+。尸=尸。2,

12+(3-x)2=x2,

4

???0P=3-xW，

0

(3)①當(dāng)8C=CE時，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)乙

???MBCE為等腰直角三角形，

ABCE=90°,

???乙BCO+乙FCE=90。,

..乙BCO+乙OBC=90。,

乙FCE=乙OBC,

VAFCE=AOBC,ABOC=Z.CFE=90°,BC=CE,

：.AOBC三叢FCE,

；.CF=OB=3,OC=EF=1,

②當(dāng)=時，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)G,

和①同理可證：XOBgXGEB,

：.BG=OC=\,OB=GE=3,

③當(dāng)8E=CE時，過點(diǎn)E作協(xié)ay軸于點(diǎn)M過點(diǎn)石作畫/，》軸于點(diǎn)W,

：OB=3,OC=1,

BC=VOC2-K）B2=V10'

根據(jù)勾股定理可得：BE2+CE2=2BE2=BC2=10,

解得：BE=V5,

??,EN_Ly軸，W_Lx軸，2MON=90°,

J.四邊形OMEN為矩形，

：.ON=EM,乙MEN=90°,

則乙CEA什4CEN=90。，

ZBEC=ZBEN+ZCEN=90°,

乙BEN=ACEM,

?--ABEN=ACEM,ABNE=ACME=90°,BE=CE,

^BNE^/^CME,

.■.BN=CM,NE=ME,

設(shè)ON=ME=NE=x,貝i]2N=3-x,

-：BN1+NE1=BE2,

（3-尤）2+x2=5,

解得：XI=1,X2=2,

.?.ON=2或ON=1（舍），

：.E（2,2）；

【點(diǎn)評】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確畫出輔助線，構(gòu)

造全等三角形和直角三角形求解是解題的關(guān)鍵.

14.（2023秋?蒙城縣期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丫=上乂+4與坐標(biāo)軸交于42兩點(diǎn)，若4

3

ABC是等腰直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

【分析】作CO_Lx軸，證明(44S),可得O/=C0,OB=AD,繼而=O/+4D=7,CD=

OA=3,可得C(7,3).

【解答】解：,??一次函數(shù)y=4x+4與坐標(biāo)軸交于/、B兩點(diǎn)、,

3

.■.A(3,0)B(0,4),

OA=3,OB=4,

如圖，作軸，垂足為點(diǎn)。，

???A/BC是等腰直角三角形，

ABAC=9Q°,AB=AC,

在△/O5和中，

rZA0B=ZCDA=90°

-ZOAB=ZDCA=90°-ZCAT.

,AB=AC

/\AOB^/\CDA(AAS),

：.OA=CD,OB=AD,

：.OD=OA+AD=1,CD=OA=3,

.?.C(7,3).

【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

15.(2023秋?玉山縣期末)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=+6x+4的對稱軸是直線x=3,與x軸

相交于4,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式以及直線3c的解析式；

(2)在拋物線上找一點(diǎn)尸，使得x軸平分NC8P,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)E,尸分別是直線8c和拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)以C,O,E,尸為頂點(diǎn)，OC為邊的四邊形是平行四邊形時,

請求出點(diǎn)￡的坐標(biāo).

【分析】(1)首先根據(jù)拋物線對稱軸求出6=3,得到y(tǒng)=-Lt2+』x+4,然后利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析

242

式即可；

(2)設(shè)AP交y軸于點(diǎn)0,首先證明出△8OC=A5O0(/SN),得到。。=。。=4,然后求出直線3P表達(dá)式為

y=1x-4,然后根據(jù)拋物線聯(lián)立求解即可；

113

(3)根據(jù)題意得到0C7/EF,OC=EF=4,設(shè)頤冽,——加+4),則尸(冽,——/+—加+4),表示出

242

1a1

EF=|一一m2+-m+4+-m-41=4,然后解方程求解即可.

422

【解答】解：(1);拋物線y+4的對稱軸是直線x=3,

4

-------=3,解得b=—,

2T2

拋物線的解析式為y=--X2+-X+4,

42

1a

令y=0,即——x2+—x+4=0,

42

解得玉二-2,玉=8,

.?.4-2,0),5(8,0),

令X=0,貝！JV=4,

/.C(0,4),設(shè)直線5C的解析式為〉=履+《左wO),

將5(8,0),C(0,4)代入、=fcc+/,

左

得］/8+4￡=0'

L_.l

解得2,

了二4

二.直線BC的解析式為y=一；％+4；

(2)設(shè)8尸交y軸于點(diǎn)。，

ZCBO=ZQBO,

,：ZCOB=ZQOB=90°,

又.；OB=OB,

,l\BOC?KBOQiASA),

OC=OQ=4,

???2(0,-4),

設(shè)直線BP表達(dá)式為y=klx-^-bl,

「?將。(0,-4),8(8,0)代人得,

卜=-4

18左1+4=0

b]=-4

解得，1

k=—

/.直線BP表達(dá)式為y=-^x-4,

13/

V=——X2H——X+4

42

聯(lián)立拋物線與直線5尸，得

1,

y=-x-4

2

解得L

17=-6

.?.^(-4,-6)；

(3)以C,。，E,尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且。C為邊，

OC//EF,OC=EF=4

-：E,尸分別是直線3c和拋物線上的動點(diǎn)，

、113

:.設(shè)E(m,-5m+4),貝UF(m,--m2+—m+4)

1,31

EF=1——m~+—m+4+—m-4|=4

422

解得"4=4,m2=4+4A/2,m3=4—4A/2,

將》?l=4,m,=4+4V2,=4-4后代入y=—;x+4

得弘=2,y2=2-2V2,y3=2+2后,

E點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,2)或(4+40,2-2拒)或(4-472,2+2行).

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，利用平行四邊形的性質(zhì)解決問題.

16.(2023秋?上期末)如圖，二次函數(shù)、=依2+反+。的圖象與》軸交于。(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，/兩點(diǎn)，且二次函數(shù)

的最小值為-2，點(diǎn)M(l,切)是其對稱軸上一點(diǎn)，軸上一點(diǎn)5(0,1)-

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)。是拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為3,當(dāng)腿4+VC的值最小時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P,連結(jié)尸/,PB,求"AB的最大面積；

(4)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N,使得以4、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所

有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.