黑龍江省2024屆高三年級(jí)下冊(cè)第四次模擬考試 數(shù)學(xué) 含解析

2023-2024學(xué)年度高三年級(jí)第四次模擬

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和

答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi),寫在試題卷、草稿紙和答

題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)是符合題目要求的.

I.已知集合A={dy=ln（x-2）},B={HX..-2},則何一2黜2}=（）

A.Q（AC6）B.q（Au6）U（*A）C3

2.若W=i,則z仁-1）的虛部為（）

1-i

A.-1BJC.3D.-3

3.佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心是比利時(shí)洛默爾市的地標(biāo)性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成網(wǎng)錐形，它利

用現(xiàn)代設(shè)計(jì)手法令空間與其展示的藝術(shù)品無(wú)縫交融，形成一個(gè)統(tǒng)一的整體，氣勢(shì)恢宏，美輪美央.佛蘭德現(xiàn)

代藝術(shù)中心的底面直徑為8m,高為30m,則該建筑的惻面積為（）

A.160jrm2B.4>/229nnrC.8V229jnn2^2407im2

4.現(xiàn)有紅色、黃色、籃色的小球各4個(gè)，從中任取3個(gè)小球，若這3個(gè)小球顏色不全相同,則不同取法有

（）

A.I60種B.208種C.256種D.472種

5.已知函數(shù)/（.r）=cos5-（卜”>0）在區(qū)間［0,2可內(nèi)恰有3條對(duì)稱軸，則”的取值范圍是（）

7”5n913)

D.

8TB.C.81￥

3

6.已知△A3C內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為%b,c,c=2s=4,cos8=二，動(dòng)點(diǎn)M位丁?線段8c上，則

4

MAM3的最小值為（)

7.已知函數(shù)f（x）=（e'+e-'卜inx-2在［-2,2］上的最大值和最小值分別為M,N,則M+N=（）

A.-4B.OC.2D.4

8.已知點(diǎn)P是拋物線C:/=4x準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A8,則原點(diǎn)。到

直線A8距離的最大值為（）

11I

A.—B.-C.—D.1

432

二.多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)據(jù).卬與,與，?，內(nèi)。的平均數(shù)為中位數(shù)為〃，方差為叫極差為4,由這數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)

M，.％./，，.為），其中￡=2N-3（/=1,2,3,?，10）,則對(duì)于所得新數(shù)據(jù)，下列說法一定正確的是

（）

A.平均數(shù)是2aB.中位數(shù)是少一3

C.方差是4cD.極差是2d-3

10.加斯帕爾?蒙日（如圖I）是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的兒何學(xué)家，他在研究圓推曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢網(wǎng)的任意兩

條互相.垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其18心是橢圓的中心,這個(gè)圓則被稱為“蒙日?qǐng)A,、（如圖2）.已

22

知矩形R的四邊均與橢圓。：三十￡=】相切，則下列說法正確的是（）

169

ffilM2

A.橢圓C的離心率為"=二二

4

?22

B.橢圓「：土+E=?與橢圓。有相同的便點(diǎn)

136

C.聃圓C的蒙H圓方程為V+丁=16

D.矩形R的面枳坡大值為5（）

11.已知函數(shù)/（司是定義域?yàn)閰^(qū)的可導(dǎo)函數(shù)，&（力=/（可一次.若./*（"是奇函數(shù)，且g（x）的圖象關(guān)于

直線工=1對(duì)稱，則（）

A./(2)=2

B.曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,/。））處的切線的斜率為2

C.，（4+x）=，（磯/（大）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)）

D./W的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,2）對(duì)稱

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知cos（a-/?）=g,sinasin/?二;，貝ijcos（2a+2Q）=

13.已知過點(diǎn)P（-4,0）的動(dòng)直線/與圓/+./=4交于48兩點(diǎn)，，必為A8的中點(diǎn)，則直線/的斜率左的

取值范圍是,POPM（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍為

14.如圖，AABC^,AC」-8cAe=28C=4,￡E分別是48.8C邊上的點(diǎn)，EF〃AC，將.BEF

沿￡尸折起，點(diǎn)8折起后的位置記為點(diǎn)P，得到四棱錐AC產(chǎn)E,則四棱推4CFE體積的最大值

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知等差數(shù)列也｝的公差〃>0,小與4的等差中項(xiàng)為5,且4%=24.

（1）求數(shù)列/0｝的通項(xiàng)公式;

為奇數(shù)，

(2)設(shè)4=[〃為偶數(shù)求數(shù)列也｝的前2。項(xiàng)和

16.（15分）

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，富裕起來的人們健康意識(shí)日益提升，越來越多的人走向公園、場(chǎng)館，投入健身運(yùn)動(dòng)中，

成為一道美麗的運(yùn)動(dòng)風(fēng)景線.某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)K情況.隨機(jī)抽取400人

進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

周平均鍛煉時(shí)間少于5小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于5小時(shí)合計(jì)

50歲以下80120200

50歲以上(含

SO150200

50)

合計(jì)130270400

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)a=0.0l的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)？

(2)現(xiàn)從50歲以上(含50)的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于5小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取8人做

迸一步訪談，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人填寫調(diào)查問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)

為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

參考公式及數(shù)據(jù)：Z其中〃=a+O+c+d.

(4+〃)(c+d)(o+c)(b+d)'

a0.0250.010.0050.001

%5.0246.6357.87910.828

17.(15分)

如圖，在直三棱杜中，A6=A4,=6,48"LAC,。為AG的中點(diǎn).

(1)證明：月耳1平面48￡>：

(2)若二面角A-6C-。的余弦值為近，求點(diǎn)A到平面6CD的距離.

4

18.(17分)

已知雙曲線。:鳥-￡=1(a>0力>0)的一條漸近線方程為x+J"=0,點(diǎn)用2JWG)在C上.

(1)求雙曲線C的方程:

(2)過雙曲線。的左焦點(diǎn)尸作互相垂直的兩條直線44,且4與C交于AB兩點(diǎn)，4與c交于DE兩

點(diǎn)，M為線段A8的中點(diǎn)，N為線段OE的中點(diǎn)，證明：直線MN過定點(diǎn).

19.(17分)

若函數(shù))?=/(久)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)sje(O,+e),有/(s+f)>〃s)+〃z)恒成立，則稱函數(shù)

為“Z增函數(shù)

(I)求證：函數(shù))'=co注不是“E增函數(shù)”：

(2)若函數(shù))，=3i-刀一。是、'Z增函數(shù)求實(shí)數(shù)〃的取值范圍：

⑶設(shè)g(i)=e'-g+l)-l,若曲線y=g("在”=%處的切線方程為3=0,求/的值,并證明

函數(shù))'二g("是“E增函數(shù)、'.

2023?2024學(xué)年度高三年級(jí)第四次模擬?數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

1.C由題意得4={Xx>2},4=3X..-2},則AC/?={MX>2},則4(Ac8)={R工,2},故

A錯(cuò)誤：Au8={Xx...-2},則q(Au8)={Nx<_2},故B錯(cuò)誤：又

尊4={7掇&},(RA)c4={M-2A?2),故C正確：/8={兄3<一2),Au(0)=0，故D錯(cuò)誤.

2.A因?yàn)樯?-二i，所以z=-2十(1—i)i=-1+i,所以N=—l-i,所以

1-1

z(5-l)=㈠+i)(-2—i)=3—i,則z仁一1)的虛部為-I.

3.C由題知該建筑的母線長(zhǎng)為，甲+302=2。兩】],則其側(cè)面積為g兀x8x2j^5=8而就nF

4.B若取出的3個(gè)球顏色各不相同，不同的取法有C：C；C；=64種：若取出的2個(gè)球顏色不同，可能出

現(xiàn)的取法有紅1黃2,紅1藍(lán)2,紅2黃1,紅2藍(lán)1,黃1藍(lán)2,黃2藍(lán)1,即

UC+CC+CU+C：C：+C：C：+C：C：=144,故不同取法TF64+144=208種.(從中任取3個(gè)球

共有C，=220種取法，3個(gè)球顏色全相同共有C；C：=12種取法，則顏色不全相同的取法有

220-12=208種.)

5.D因?yàn)殛Hr2兀，所以一%以」2環(huán)」，閃為函數(shù)/(工)=3(3-1](4>0)在區(qū)間

444I4/

[0,2封恰有3條對(duì)稱軸，所以2幾,2s-色<3兀，解得M,3〈丑.

L」488

6.C由題知

始必4=(例4+附知4=用元+44何4=仞8。+2|他以)械—4)二朋/-24網(wǎng)=°網(wǎng)一；)一.

，而?喇4,所以3當(dāng)：時(shí)，MR.MB有最小9值為一/

7.A令g(x)=/(x)+2=(e'+e-)sinr,所以雇工)最大值和最小值分別為何+2,N+2,又

(-JV)-(e-A+e'Jsin(-A)=-(e-c+ex)sinr=(.r),故g(工)為奇函數(shù)，故g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，故例+2+N+2=0=>A/+N=T.

2\/?2、

8.D設(shè)。(一1,腎)，4，由題意可知40〃壬0，孫，。4的斜率存在且不為0,不妨設(shè)

lPA-.x=t（y-a）^—,聯(lián)立方程「"二心'-"）+工■'得歲一4療+4心一/=0,所以由宣線與拋物線相

4I），、仇

2

切可得AU16產(chǎn)一4（4心―/）=（）,解得，=］，所以“匯=］），-寧，又因?yàn)镻（T）b）在直線上，所

以有竺一1二9%，同理可得若%=0,則〃=從=4,即48的直線方程為x=l，則

42九42'°

O到A8的距離為4=1：若%工0，則同司4#2,兩式聯(lián)立消九得：ab=-4,所以

k-h~a-44（cr\

An〃+〃，所以‘八B：）'—"=-v一"—,整理得/八8：4X一卜/+〃）），-4=0,所以0到

T-T*八）

444

峻酢距離“飛6%+/=而中＜?xì)v麗T'‘綜上‘

9.RC乂，工，心…另。的平均數(shù)是2。一3，中位數(shù)是2〃一3,方差是4c,極差是2〃.

10.ABD由題知梢圓C:王?+■^―=1中,〃=4b=3,c=—b*=y/l,所以e=￡=—―?故A正

169'a4

確：

22

幃圓「：二+2-=1中，〃=瘋〃=而c=4/―/=",故焦點(diǎn)與橢圓C相同，B正確：

136

22

因?yàn)榫匦蜶的四邊均與橢圓C:m］=1相切，所以點(diǎn)（。點(diǎn)），即（4,3）在蒙日?qǐng)A上，故半徑

/?=+32=5，

可得橢惻。的蒙日?qǐng)A方程為Y+），2=25,故C錯(cuò)誤：

設(shè)矩形R的邊長(zhǎng)分別為孫凡則有〃，+/=（2，丁=1（戶=1（X）,所以矩形R的面枳等于

2*S

S=nitKy1（w+/r）=5O,當(dāng)且僅當(dāng)〃?=〃=5五時(shí)取等號(hào)，故D正確.

II.BC由題意有/（0）=0,/（K）=_/（_x）,g（2-x）=g（x）=/（2_.i）_4+2x=/（A）-2X,今

x=0,有〃2）-4=/（0）=〃2）=4,故A錯(cuò)謖:

/（2-A）-4+2A-=/（A）-2A=>.f（2-A）+/r（Aj=4,令,=］得/"（1）=2,故B正確:

g（x）為奇函數(shù),即g（R）=-g（T）ng'a）=g'（r），又因?yàn)?/p>

g（2T）=g（x）=-g'（2T）=，（x）.所以-g〈2T）=g-T）,所以一g）2+x）=g"）,所以

g'（2T）=g'（2+x）H（T）=/（4+x）,即g'（4+x）=/（x）,故C正確:

因?yàn)間（2-X）=g（A），g（x）=-g（t）,所以g（2-X）=-g（T）,￡（2+A）=g（-A-）,得

g（2T）+g（2+M=0,即g（"關(guān)于（2,0）對(duì)稱，所以〃2T）+/（2+*）=8,即

/W=gW+2入?關(guān)于(2,4)對(duì)稱,故D錯(cuò)誤?

l2.-q^49cos(a-/y)=cosacos//+sinasin/=L而sinasin夕=1，因此cosacos/?=L則

18236

cos(a+//)=cosacos/y-sinasin/Z,所以

636

cos(2a+2^)=2cos2(a+/^)-l=-^-1=一,

13.（2分）02,16]（3分）設(shè)4（4））8（毛,）力，宜線/的方程為），=〃（x+4）.山

3,3

+）.24

_：（；4），得儼+1）『+8〃，+啾2—4=0,所以△=64人4-46+|）（16公-4）>0,解得

由OM工AB,可得OMLMP,所以PO-PM=|叫|尸刈8§/0尸例=|尸加『，又若出線,與圓相切

于點(diǎn)兀易得儼.|二2/，當(dāng)歷與。重合時(shí)，|產(chǎn)例|取最大值，所以

\P^\<\PM\^\PO\,12<|PM/16.

14.處叵當(dāng)?shù)酌鍭OE的面積一定時(shí)，當(dāng)平面ABC..L平面在廣，即尸產(chǎn)_L平面48C時(shí)，四梭錐

27

尸一4cPE的體積最大，設(shè)則

尸0=4—工所=；乂0＜工＜4,1/~亡￡=:*3乂（：工+2）*（4—工）=一5一?+1工?令

V（.v）=~j^-.v'+^.t,A€（0,4）,則“'（l）=一（丁+；令丫'（X）=。’解得X=1^?或工=一^^

（舍），當(dāng).rejo，W）時(shí)，Vr（x）＞0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)上￡（華,4）時(shí)，7（工）＜0,函數(shù)單調(diào)遞

減，所以當(dāng)工=竽時(shí)，函數(shù)V（x）取得最大值，即四極錐尸一AC莊的體枳最大值為

15.解：（I）因?yàn)楹危秊榈炔顢?shù)列，生與4的等差中項(xiàng)為5,所以生+4=%+4=10,

因?yàn)楣睢ǎ?,所以%＞4，所以4=4,4=6,

所以%-％=2d=2,得"=I,%=aA-3d=1,

所以q,=l+(n-l)xl=/i.

]1\(\[、小〃為奇數(shù)，

(2)由(1)得：------=-7---------,則〃“)L如

4A42〃(〃+2)2(〃n+2)---------為偶數(shù),

21〃/1+2J

所以4=伍+4+々+.+/+/%)+(4+d+d++%+%)

=(1+3+5++17+19)+~xf~~,11111)

—+———+一一十.?

24466818202022>

2205

~2^

16.解：（I）零假設(shè)“0：周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡無(wú)關(guān)聯(lián).

、4QQ(12Qx5Q-15QxSQ)2

由表格數(shù)據(jù)得:y~=--------------------X10.256>6.635=x00l，

200x200x270x130

根據(jù)小概率值。=0.01的獨(dú)立性檢臉，我們推斷，。不成立，即認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)，此推

斷

犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.

(2)抽取的8人中，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于5小時(shí)的有8x^=2人，不少于5小時(shí)的有8x斗

=6人，

200200

則X所有可能的取值為1,2,3,

所以P(X=])=等嗥尸(X=2)=等嗤P(X=3)喀=字

所以X的分布列為:

X123

3155

P

282814

3is59

所以教學(xué)期望E（X）=lx3+2x—+3X3=M

v72828144

17.(1)證明：由直三棱柱的性質(zhì)可知A%?LA8,四邊形AA58為平行四邊形,

又A8=/U,,所以四邊形相向8為正方形,

所以_LA8.

在直三棱柱A8C-A4G中，平面AAgB_L平面A8)G，

由A6..L4C得AG，44，

因?yàn)槠矫鍭AQBC平而A4G=A4,所以4G_L平面月片夕避,

因?yàn)锳gu平面A4￡8,所以AG,44,

因?yàn)锳BCAG=A，A8U平面ABQ，AGU平面48。，

所以人與，平面48。.

(2)解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8,ACA4所在直線分別為乂乂Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AC=24m>0）,則A（0,0,0）,B（60,0）,C（0,240）,D（0MG）,

AC=(0,2a0),8C=(-73,2a,0),CD二仙-a,⑻.

設(shè)i=（〃,/，?）為平面8c力的一個(gè)法向量,

iBC=0,-乖＞p+2aq=0,

則_.，即

/?CD=0,-aq+yjir=0,

令〃=G，則q=_L,「=立,即；G高

2a2

又平面A8c的個(gè)法向量為j=（0,0,1）,

設(shè)二面角A-8C-D的大小為。，

也

1隔赤4，解得

+（小圉

則4c=（0,2,0）,平面8co的一個(gè)法向量：二（6,|,*）

丘、=0,且點(diǎn)P（2"JJ）

（2）證明：由題意可知44不與漸近線平行，當(dāng)乙，與坐標(biāo)軸平行時(shí)，顯然直線M/V與工軸重合.

當(dāng)//不與坐標(biāo)軸平行時(shí),左焦點(diǎn)尸為（-3,0）,不妨設(shè)直線4的方程為〉'=吊（4+3）（吊工0）,聯(lián)立

工工二i

63'消去）'井整理得（1-2將卜,-IZGV-IMJGMO,

了=匕（入+3）,

1-2A-工04=241+24>0,

設(shè)4（西,乂）,8（再,其）,

%+々=66y+力_3kl6k；3k、

所以所以M

2-1-2〃：'2