版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
期末專題08圓錐曲線大題綜合(橢圓、雙曲線、拋物線)(附加)(精選30題)1.(22-23高二下·河北邢臺·期末)橢圓的兩焦點(diǎn)為,,且橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)是坐標(biāo)原點(diǎn),是橢圓上兩點(diǎn),是平行四邊形,求以為直徑的圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義及焦點(diǎn)坐標(biāo)求得橢圓的方程;(2)根據(jù)點(diǎn)差法求出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立求出弦長得到圓的直徑,以的中點(diǎn)為圓心,得出圓的方程.【詳解】(1),則,又,所以,故橢圓的方程為.(2)的中點(diǎn)為,設(shè),,則,,兩式相減整理得,其中,,,故,則.故的方程為,即,代入橢圓方程整理得得,,所以,故所求圓的方程為.
2.(22-23高二下·湖南·期末)已知平面上動點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.(1)求點(diǎn)的軌跡方程;(2)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,過點(diǎn)的直線與(1)中點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)(與不重合).證明:直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)利用韋達(dá)定理以及直線的點(diǎn)斜式方程和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法證明.【詳解】(1)
依題意,,圓的半徑為4.于是,且,故點(diǎn)的軌跡為橢圓..所以點(diǎn)的軌跡方程為:.(2)依題意直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為:代入橢圓方程得:.所以①,②又直線的方程為:,直線的方程為:聯(lián)立上述兩直線方程得:,即,將①②代入上式得:,即,解得.所以直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值4.3.(22-23高二下·湖北·期末)已知拋物線,點(diǎn)在拋物線上,且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為.(1)求;(2)設(shè)圓,點(diǎn)是圓上的動點(diǎn),過點(diǎn)作圓的兩條切線,分別交拋物線于兩點(diǎn),求的面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義,即可求解.(2)根據(jù)已知直線方程,和拋物線聯(lián)立方程,結(jié)合韋達(dá)定理,求出點(diǎn)的坐標(biāo),從而求出直線的方程,根據(jù)弦長公式,求得,結(jié)合圓上一點(diǎn)到直線的距離的最大值為,從而求出的面積的最大值.【詳解】(1)由題知準(zhǔn)線方程為,則,得.(2)拋物線的方程為,把點(diǎn)代入到拋物線方程,,又,所以,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,依題知過點(diǎn)的直線斜率必存在,設(shè)過點(diǎn)的直線方程為,設(shè),,的圓心為,半徑,則圓心到該直線的距離為,
由直線與圓相切,所以,解得,,
聯(lián)立,消y得,,則,又,不妨設(shè),同理,
故,,得,所以直線:,即,
(定值),要使的面積最大,則中邊上的高最大即可,又因?yàn)閳A心到直線的距離為,則圓上一點(diǎn)到直線的距離的最大值為,即中邊上的高的最大值為,所以.
4.(22-23高二下·湖南長沙·期末)已知拋物線,點(diǎn)在拋物線上,直線交于,兩點(diǎn),是線段的中點(diǎn),過作軸的垂線交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離;(2)是否存在實(shí)數(shù)使,若存在,求的值;若不存在,說明理由.【答案】(1)(2)存在;【分析】(1)點(diǎn)代入拋物線中求得拋物線方程,從而找到點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離.(2)可利用直角三角形的性質(zhì),斜邊中線的長度等于斜邊的一半,轉(zhuǎn)換為圓錐曲線的弦長問題;【詳解】(1)將點(diǎn)代入拋物線方程,則,拋物線焦點(diǎn),則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離.(2)存在,證明如下:如圖,設(shè),.
把代入得,,由根與系數(shù)的關(guān)系得,.,點(diǎn)的坐標(biāo)為.假設(shè)存在實(shí)數(shù),使,則.又是的中點(diǎn),.由(1)知,.軸,,又.,兩邊同時(shí)平方得:,解得,即存在,使.5.(22-23高二下·黑龍江哈爾濱·期末)已知雙曲線.四個點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程;(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且,求原點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)(2).【分析】(1)由雙曲線性質(zhì)可知,關(guān)于原點(diǎn)對稱,可得一定在雙曲線上,根據(jù)雙曲線在第一象限圖象判斷點(diǎn)不在雙曲線上,即在雙曲線上,進(jìn)而可得答案.(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程消去,由,結(jié)合韋達(dá)定理可得,再利用點(diǎn)到直線距離公式,化簡即可得答案.【詳解】(1)由雙曲線性質(zhì)可知,關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以一定在雙曲線上,根據(jù)雙曲線在第一象限圖象而和坐標(biāo)的數(shù)中,,但,所以點(diǎn)不在雙曲線上,即在雙曲線上.解得雙曲線的方程為(2)直線的方程為,設(shè),由消去得所以.由,可得,即所以,可化為即則即到的距離.
6.(22-23高二下·安徽合肥·期末)已知雙曲線:的右焦點(diǎn)為,過且斜率為1的直線與的漸近線分別交于,兩點(diǎn)(在第一象限),為坐標(biāo)原點(diǎn),.(1)求的方程;(2)過點(diǎn)且傾斜角不為0的直線與交于,兩點(diǎn),與的兩條漸近線分別交于,兩點(diǎn),證明:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由已知得:,與漸近線方程聯(lián)立解得,,結(jié)合已知條件得,進(jìn)而求得,得到的方程;(2)要證明,只需證明的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合.設(shè)直線:,與雙曲線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理求出的中點(diǎn)為的坐標(biāo),由直線與漸近線方程聯(lián)立,求出的坐標(biāo),進(jìn)而得的中點(diǎn)為的坐標(biāo),即可得出結(jié)論.【詳解】(1)由已知得:,聯(lián)立解得,同理可得.∵,∴,整理得.又,∴,,∴的方程為.
(2)要證明,只需證明的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合.設(shè)的中點(diǎn)為,直線:,聯(lián)立得,設(shè),,則,,,即,雙曲線:的漸近線方程為,由得可得,由得可得,∴的中點(diǎn)為,∴點(diǎn)與點(diǎn)重合,∴.7.(22-23高二下·湖北武漢·期末)平面內(nèi)與兩定點(diǎn),連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡,加上,兩點(diǎn)所成的曲線記為曲線C.(1)求曲線C的方程,并討論C的形狀與m值的關(guān)系;(2)若時(shí),對應(yīng)的曲線為;對給定的,對應(yīng)的曲線為.設(shè),是的兩個焦點(diǎn),試問:在上是否存在點(diǎn)N,使得的面積,并證明你的結(jié)論.【答案】(1);答案見解析(2)存在;證明見解析【分析】(1)設(shè)動點(diǎn)為,其坐標(biāo)為,根據(jù)題意可得,整理可得曲線C的方程為,再把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷曲線的類型;(2)對于給定的,上存在點(diǎn),使得的面積的充要條件為,從而求得或,進(jìn)而解決問題.【詳解】(1)設(shè)動點(diǎn)為,其坐標(biāo)為,當(dāng)時(shí),由條件可得,即,又的坐標(biāo)滿足.所以曲線C的方程為.當(dāng)時(shí),曲線的方程為是焦點(diǎn)在軸上的橢圓;當(dāng)時(shí),曲線的方程為是圓心在原點(diǎn)的圓;當(dāng)時(shí),曲線的方程為是焦點(diǎn)在軸上的橢圓;當(dāng)時(shí),曲線的方程為是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.(2)在上存在點(diǎn)N,使得的面積,證明如下:由(1)知,當(dāng)時(shí),曲線的方程為,當(dāng)時(shí),的焦點(diǎn)分別為,對于給定的,上存在點(diǎn),使得的面積的充要條件為由(1)得,由(2)得,所以,解得或,滿足,所以存在點(diǎn)使得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:第二問的關(guān)鍵是確定對于給定的,上存在點(diǎn),使得的面積的充要條件為,從而求得或,進(jìn)而解決問題.8.(22-23高二下·廣東茂名·期末)已知雙曲線的離心率為的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為1.(1)求該雙曲線的方程;(2)過點(diǎn)的動直線(存在斜率)與雙曲線的右支交于兩點(diǎn),軸上是否存在一個異于點(diǎn)的定點(diǎn),使得成立.若存在,請寫出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在請說明理由.【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)【分析】(1)根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組求解即可;(2)假設(shè)存在定點(diǎn)滿足已知條件,故設(shè),結(jié)合正弦定理得,則,當(dāng)直線的斜率為0時(shí),顯然不符合題意;當(dāng)直線的斜率不為0時(shí),設(shè)直線的方程為,與雙曲線聯(lián)立,由直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn),求得范圍,然后結(jié)合韋達(dá)定理及求解即可.【詳解】(1)雙曲線的漸近線為,點(diǎn)到漸近線的距離為1,,解得,雙曲線的方程為.(2)假設(shè)存在定點(diǎn)滿足已知條件,故設(shè),,,在和中,由正弦定理得,及,,及,,又,,直線與直線的傾斜角互補(bǔ),,
當(dāng)直線的斜率為0時(shí),顯然不符合題意;當(dāng)直線的斜率不為0時(shí),設(shè)直線的方程為,,聯(lián)立,得,所以,又因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于兩點(diǎn),,即,,則,解得,,又,,即,,即,解得,存在定點(diǎn),使得成立.9.(22-23高二下·福建泉州·期末)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比等于,記的軌跡為.點(diǎn)在上,三點(diǎn)共線,為線段的中點(diǎn).(1)證明:直線與直線的斜率之積為定值;(2)直線與相交于點(diǎn),試問以為直徑的圓是否過定點(diǎn),說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)定點(diǎn),理由見解析【分析】(1)先設(shè),再根據(jù)距離比計(jì)算軌跡,最后計(jì)算斜率積即可;(2)先設(shè),再根據(jù)為直徑的圓過定點(diǎn),計(jì)算可得.【詳解】(1)設(shè),則有,整理得;
設(shè),,,則,,由,兩式相減:,整理得,,,即直線與直線的斜率之積為定值.(2)顯然直線的斜率不為0,設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程組,消去得:,所以,,,
,直線,從而點(diǎn),根據(jù)橢圓的對稱性可知,若以為直徑的圓過定點(diǎn),則該定點(diǎn)在軸上,可設(shè)為,以為直徑的圓過定點(diǎn),則,又,,從而,整理得,故,解方程組可得,即以為直徑的圓過定點(diǎn).10.(22-23高二下·廣西南寧·期末)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),直線:,動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與直線的距離之比為.(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)曲線與軸交于、兩點(diǎn),過軸上點(diǎn)作一直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(異于,),若直線與的交點(diǎn)為,記直線與的斜率分別為,,求.【答案】(1);(2).【分析】(1)設(shè),根據(jù)給定條件列出方程,再化簡即可作答.(2)設(shè)出直線的方程,與軌跡的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理、斜率坐標(biāo)公式推理計(jì)算作答.【詳解】(1)設(shè),依題意,,整理得,所以動點(diǎn)的軌跡是橢圓,其方程為.(2)由(1)知,不妨令,設(shè),顯然直線不垂直于y軸,設(shè)直線的方程:,
由消去x并整理得,有,即,于是,即有,由,,和,,三點(diǎn)共線,得,即,而,從而,因此,解得,而,所以.11.(22-23高二下·湖北恩施·期末)已知橢圓:的長軸長為,且短軸長是長軸長的一半.(1)求的方程;(2)已知直線:與橢圓相交于兩點(diǎn),,求線段的長度;(3)經(jīng)過點(diǎn)作直線,交橢圓于、兩點(diǎn)如果恰好是線段的中點(diǎn),求直線的方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)由題意可得,的值,即求出,的值,可得橢圓的方程;(2)聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程,可得兩根之和及兩根之積,代入弦長公式,可得的大?。唬?)設(shè),的坐標(biāo)代入橢圓的方程,作差整理可得直線的斜率,代入點(diǎn)斜式方程求出直線的方程.【詳解】(1)由題意可得,可得,,所以橢圓的的方程為:;(2)設(shè),,聯(lián)立,整理可得,可得,,所以;
(3)設(shè),,由題意可得,,將,的坐標(biāo)代入可得:,作差整理可得:,即直線的斜率為,所以直線的方程為,即
12.(2023·山東濟(jì)南·三模)已知橢圓,圓與x軸的交點(diǎn)恰為的焦點(diǎn),且上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)不過原點(diǎn)的動直線l與交于兩點(diǎn),平面上一點(diǎn)滿足,連接BD交于點(diǎn)E(點(diǎn)E在線段BD上且不與端點(diǎn)重合),若,試判斷直線l與圓M的位置關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)(2)相離,理由見解析【分析】(1)根據(jù)題意求得和,結(jié)合,求得的值,即可求解;(2)設(shè)直線,聯(lián)立方程組得到,且,由和,求得點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓,化簡得到,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離,得到直線與圓相離;當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),求得,得到直線與圓相離,即可求解.【詳解】(1)解:由題意,圓與軸的交點(diǎn)為,可得,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為,又因?yàn)?,可得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解:如圖所示,設(shè),當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線,聯(lián)立方程組,整理得,則,且,可得,由可得點(diǎn)為中點(diǎn),可得,且有,可得,所以,即點(diǎn)坐標(biāo)為,將點(diǎn)代入橢圓,可得,整理得,又由點(diǎn)分別滿足,代入上式可得,即,代入韋達(dá)定理,可得代入韋達(dá)定理可得,滿足,點(diǎn)到直線的距離,因?yàn)?,可得,所以,所以,所以,所以直線與圓相離,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),此時(shí)有,代入,可得,又因?yàn)?,可得,所以直線的方程為,也滿足直線與圓相離,綜上可得,直線與圓相離.
【點(diǎn)睛】方法技巧:圓錐曲線中的最值問題是高考中的熱點(diǎn)問題,常涉及不等式、函數(shù)的值域問題,綜合性比較強(qiáng),解法靈活多樣,但主要有兩種方法:(1)幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決;(2)函數(shù)取值法:若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯,則可以建立目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值(或值域),常用方法:(1)配方法;(2)基本不等式法;(3)單調(diào)性法;(4)三角換元法;(5)平面向量;(6)導(dǎo)數(shù)法等,要特別注意自變量的取值范圍.13.(22-23高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末)如圖,在中,,若以所在直線為軸,以的中垂線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)動頂點(diǎn).(1)求頂點(diǎn)A的軌跡方程;(2)記第(1)問中所求軌跡曲線為,設(shè),過點(diǎn)作動直線與曲線交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在軸下方).求證:直線與直線的交點(diǎn)在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義,求得橢圓的的值,可得答案;(2)根據(jù)聯(lián)立直線與橢圓寫出的韋達(dá)定理,表示出直線的直線方程,聯(lián)立整理方程,可得答案.【詳解】(1)由,則A的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓,且,;由,則,,即,故A的軌跡方程為.(2)直線方程可設(shè)為,聯(lián)立可得,消去可得:,顯然成立,設(shè),則,即,設(shè),,聯(lián)立上述兩方程,消去可得,,,,,由,則,,解得;綜上所述,動點(diǎn)的軌跡方程為直線.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法(1)動直線l過定點(diǎn)問題.解法:設(shè)動直線方程(斜率存在)為,由題設(shè)條件將t用k表示為,得,故動直線過定點(diǎn);(2)動曲線C過定點(diǎn)問題.解法:引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程,再根據(jù)其對參變量恒成立,令其系數(shù)等于零,得出定點(diǎn).14.(22-23高二下·江西南昌·期末)已知離心率為的橢圓C:過點(diǎn),橢圓上有四個動點(diǎn),與交于點(diǎn).如圖所示.
(1)求曲線C的方程;(2)當(dāng)恰好分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí),試探究:直線與的斜率之積是否為定值?若為定值,請求出該定值;否則,請說明理由;(3)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求直線的斜率.【答案】(1)(2)是定值,定值為(3)【分析】(1)根據(jù)離心率以及橢圓經(jīng)過的點(diǎn)即可聯(lián)立方程求解,(2)聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理,進(jìn)而根據(jù)斜率公式化簡即可求解,(3)根據(jù)向量共線滿足的坐標(biāo)運(yùn)算,代入橢圓方程中,即可化簡求解.【詳解】(1)由題意可知,所以曲線C方程為(2)由題意知,,,所以,,所以,設(shè)直線CD的方程為,設(shè),,聯(lián)立直線CD與橢圓的方程,整理得,由,解得,且,則,,所以,故直線AD與BC的斜率之積是定值,且定值為.(3)設(shè),,,記(),得,所以.又A,D均在橢圓上,所以,化簡得,因?yàn)?,所以,同理可得,即直線AB:,所以AB的斜率為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:(1)設(shè)直線方程,設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,得到關(guān)于(或)的一元二次方程,注意的判斷;(3)列出韋達(dá)定理;(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、(或、)的形式;(5)代入韋達(dá)定理求解.15.(22-23高二下·廣西南寧·期末)已知橢圓:的一個端點(diǎn)為,且離心率為,過橢圓左頂點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn),與軸正半軸交于點(diǎn),過原點(diǎn)且與直線平行的直線交橢圓于點(diǎn),.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求證:為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)離心率和過點(diǎn)列方程組求出,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)應(yīng)用弦長公式分別求出計(jì)算化簡可得定值.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓:過點(diǎn),所以,又橢圓的離心率為,則所以,故橢圓方程為(2)設(shè)直線的方程為,所以,設(shè),由,得,則,所以,設(shè)直線的方程為,由,得,設(shè),則,則,所以,故,因此為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:定值取得的關(guān)鍵是對弦長公式的應(yīng)用及結(jié)合圖形的對稱性得出.16.(22-23高二下·廣東廣州·期末)已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左右頂點(diǎn),分別為橢圓的左右焦點(diǎn),是橢圓的上頂點(diǎn),且的外接圓半徑為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)與軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)(在軸的兩側(cè)),記直線的斜率分別為.(i)求的值;(ii)若,則求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)(i);(ii)【分析】(1)根據(jù)已知求出的關(guān)系,可推得,結(jié)合的外接圓半徑,利用正弦定理求得c,即可求得,即得答案;(2)設(shè)l的方程并聯(lián)立橢圓方程,可得根與系數(shù)關(guān)系,(i)化簡整理可得以及的值;(ii)利用(i)的結(jié)論推出,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡可求得m的值,繼而求得的面積的表達(dá)式,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.【詳解】(1)由于橢圓的離心率為,故,故,則,又,則,又的外接圓半徑為,則,解得,故,故橢圓方程為;(2)(i)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D,由于直線交橢圓于兩點(diǎn)(在軸的兩側(cè)),故直線l的斜率不為0,
設(shè)l的方程為,聯(lián)立,則,需滿足,設(shè),則,又,故,同理可得;(ii)因?yàn)椋瑒t,又直線l與x軸不垂直可得,則,即,所以,即,即,即,整理得,解得或,因?yàn)樵谳S的兩側(cè),故,則,故,此時(shí)直線l為,過定點(diǎn),與橢圓C交于不同兩點(diǎn);此時(shí),,令,由于l與軸不垂直,故,所以,故,設(shè),時(shí),,即在上單調(diào)遞增,即,故,即的面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛:解答此類直線和橢圓位置關(guān)系中的范圍問題,解答的思路并不困難,一般是聯(lián)立方程,得到根與系數(shù)的關(guān)系,進(jìn)而化簡,難點(diǎn)在于計(jì)算的過程比較復(fù)雜且計(jì)算量較大,因此對于含有字母的復(fù)雜計(jì)算要十分細(xì)心.17.(22-23高二下·安徽阜陽·期末)已知橢圓的離心率為,且橢圓過點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)平行于軸的動直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn),直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為,證明:直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)橢圓中的基本量關(guān)系,再代入求解即可;(2)設(shè)直線,則,再聯(lián)立與橢圓方程,得出韋達(dá)定理,化簡可得,進(jìn)而求出定點(diǎn).【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,橢圓過點(diǎn),所以解得因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明:由題可知,直線的斜率存在.設(shè)直線,則.聯(lián)立直線與橢圓方程得,則,,所以,整理得.又所以直線的方程為.故直線過定點(diǎn).
18.(22-23高二下·安徽蕪湖·期末)已知以為焦點(diǎn)的橢圓過,記橢圓的另一個焦點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若直線是曲線的切線,且與直線和分別交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),求證:為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)題意,由雙曲線的定義,即可得到結(jié)果;(2)根據(jù)題意,分直線的斜率存在與不存在分別討論,結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算,即可得到證明;【詳解】(1)由題意得,即,所以的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,方程為(2)
當(dāng)切線的斜率存在時(shí),設(shè)切線為,則,聯(lián)立可得:,則,即,設(shè),直線和是曲線的漸近線,聯(lián)立可得:,則,,,所以.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),易知.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系,難度較難,解答本題的關(guān)鍵在于分直線的斜率存在與不存在討論,然后聯(lián)立直線與雙曲線方程,結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算.19.(22-23高二下·福建廈門·期末)已知點(diǎn)在曲線上,為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)滿足,記動點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程;(2)已知點(diǎn)在曲線上,點(diǎn),在曲線上,若四邊形為平行四邊形,則其面積是否為定值?若是,求出定值;若不是,說明理由【答案】(1)(2)為定值【分析】(1)設(shè),,依題意可得,再由點(diǎn)在曲線,代入方程即可得解;(2)設(shè),,,依題意可得,根據(jù)點(diǎn)在曲線上得到,表示出直線,求出點(diǎn)到直線的距離,根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】(1)設(shè),,因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以,因?yàn)?,所以,代入可得,即,即的方程為;?)設(shè),,,因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以,因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危裕?,所以,又、,所以,因?yàn)?,所以,直線:,點(diǎn)到直線的距離,所以平行四邊形的面積.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題第二問采用設(shè)而不求,利用整體思想得到是解決問題的關(guān)鍵,方法比較新穎.20.(22-23高二下·安徽黃山·期末)已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn),且點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離不大于,過點(diǎn)作斜率存在的直線與拋物線交于兩點(diǎn)(在第一象限),過點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線的另一個交點(diǎn)為點(diǎn).(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求證:直線BC過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由利用距離公式構(gòu)建方程即可求得值;(2)過點(diǎn),則可設(shè)的方程為,并與拋物線聯(lián)立可得,若,則可知,消得,由斜率為可得,代入消可得將他代入的方程為即可求得必過點(diǎn).【詳解】(1)焦點(diǎn),
又∵,且點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離不大于,即∴∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)依題意直線斜率存在且過點(diǎn),則可設(shè)的方程為,
由,化簡得:,設(shè),則由韋達(dá)定理可知,消去得:
①又,則
②由①②得,∴③由于(?。┤糁本€沒有斜率,則,又,∴(舍去)
(ⅱ)若直線有斜率,直線的方程為,即,
將③代入得,∴,故直線有斜率時(shí)過點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:我們在處理直線與拋物線相交問題時(shí),通常使用聯(lián)立方程設(shè)而不求韋達(dá)定理處理,最終利用橫(縱)坐標(biāo)的和與積的轉(zhuǎn)換來處理;拋物線上兩點(diǎn)斜率一般可用拋物線方程轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之和來表示,如上兩點(diǎn)的斜率.21.(22-23高二下·廣東韶關(guān)·期末)已知橢圓的離心率是,且過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為,,且P,Q為橢圓C上異于,的點(diǎn),若直線過點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立.若存在,求實(shí)數(shù)的值;若不存在,說明理由.【答案】(1)(2)存在實(shí)數(shù),滿足題設(shè)條件【分析】(1)將點(diǎn)代入橢圓可得,結(jié)合,可求得:(2)設(shè)直線的直線方程并與橢圓方程聯(lián)立,令,,則可得、,或者,代入即可求解;【詳解】(1)由題意,,,解得:①.∵點(diǎn)在橢圓C上,∴②聯(lián)立①、②,解得,故所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(2)解法一:由(1)知,.當(dāng)直線斜率不存在時(shí),.與橢圓聯(lián)立可得,,則,,故而,可得;得當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí),設(shè),令,,則,.聯(lián)立消去y并整理,得,則由韋達(dá)定理得,假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得,則,即,整理得,變形為,則,即,即即或,得或.當(dāng)時(shí),.此時(shí),,整理得,解得與題設(shè)矛盾,所以所以.解法二:由(1)知,,.可設(shè),,.聯(lián)立,得,由韋達(dá)定理得:,,所以,所以故存在實(shí)數(shù),滿足題設(shè)條件.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:處理直線與橢圓問題時(shí)選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程的設(shè)法會極大的減少計(jì)算量,保證計(jì)算的準(zhǔn)確度,如題目中的代數(shù)式由變量由構(gòu)建更方便而直線也過點(diǎn),可設(shè)直線方程為,更易于消,減少計(jì)算量.22.(22-23高二下·浙江·期末)過的直線與交于,兩點(diǎn),直線、與分別交于、.(1)證明:中點(diǎn)在軸上;(2)若、、、四點(diǎn)共圓,求所有可能取值.【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】(1)要證明中點(diǎn)在軸上,只需證明他們中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,即,把的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成用、的坐標(biāo),繼而可以用韋達(dá)定理來計(jì)算證明;(2)由、、、四點(diǎn)共圓,可得,繼而可得,代入點(diǎn)坐標(biāo)利用韋達(dá)定理計(jì)算即可得到直線的參數(shù)值,則、的坐標(biāo)可定,長度可求.【詳解】(1)由題意,作圖如下:
過的直線與交于,兩點(diǎn),可設(shè)直線方程為,令,,則,可得:,,,的方程,即,可得,聯(lián)立,可得,即,同理可得,即,,,,,又即,,中點(diǎn)在軸上.(2)若、、、四點(diǎn)共圓,,又三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,,又,,,,,又,,,解得,,又,,則,即,解得:或,,,.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:解析幾何中的四點(diǎn)共圓問題可用相交弦定理來處理,繼而轉(zhuǎn)化向量的數(shù)量積,代入點(diǎn)坐標(biāo),利用韋達(dá)定理處理.23.(22-23高二下·福建福州·期末)已知橢圓:的右焦點(diǎn)與拋物線:,的焦點(diǎn)重合,的離心率為,過的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為4.(1)求橢圓和拋物線的方程;(2)過點(diǎn)M(3,0)的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E,證明:直線AE過定點(diǎn).【答案】(1)橢圓和拋物線的方程分別為:,;(2)【分析】(1)由題意可得,由于橢圓的離心率可得a,c的關(guān)系,進(jìn)而可得p,c的關(guān)系,再由過的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為可得c的值,再由a,b,c的關(guān)系求出橢圓的方程及拋物線的方程;(2)設(shè)直線的方程,及A,B的坐標(biāo)由題意可得E的坐標(biāo),將直線與橢圓聯(lián)立可得兩根之和及兩根之積,求出直線的直線方程,將兩根之和及之積代入可得恒過定點(diǎn).【詳解】(1)由的離心率為,可得,所以,因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,所以,,過的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為,令代入拋物線的方程:可得,所以,即,解得,所以,,由可得,所以橢圓和拋物線的方程分別為:,;
(2)由題意可得直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l的方程為:,設(shè),,由題意可得,直線與橢圓聯(lián)立:,整理可得:,,可得,,,直線AE的方程為:,整理可得:所以當(dāng)時(shí),,即過定點(diǎn),所以可證直線過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】解決曲線過定點(diǎn)問題一般有兩種方法:①探索曲線過定點(diǎn)時(shí),可設(shè)出曲線方程,然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元,借助于曲線系的思想找出定點(diǎn),或者利用方程恒成立列方程組求出定點(diǎn)坐標(biāo).②從特殊情況入手,先探求定點(diǎn),再證明與變量無關(guān).24.(22-23高二下·廣東江門·期末)已知橢圓的離心率為,且與雙曲線有相同的焦距.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,過左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)(其中點(diǎn)在軸上方),求與的面積之比的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)雙曲線方程可確定焦距,再結(jié)合離心率和橢圓的關(guān)系可求得橢圓方程;(2)設(shè),與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論;根據(jù)三角形面積公式可知所求面積之比為,利用可構(gòu)造不等式求得的范圍,從而確定面積之比的取值范圍.【詳解】(1)雙曲線的方程可化為,其焦距為,設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為,,解得:,又橢圓的離心率,,,橢圓的方程為.(2)
由(1)知:,,,由題意知:直線斜率不為,則可設(shè),,,由得:,則,,;,,;,又,,,即,又,,設(shè),則,,解得:,,即與的面積之比的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題重點(diǎn)考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的三角形面積相關(guān)問題的求解;解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為變量的取值范圍的求解問題,利用非對稱韋達(dá)的處理方法,結(jié)合的范圍可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.25.(22-23高二下·湖北荊門·期末)已知雙曲線:的實(shí)軸長為2,兩漸近線的夾角為.(1)求雙曲線的方程:(2)當(dāng)時(shí),記雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,,動直線:與雙曲線的右支交于,兩點(diǎn)(異于),直線,相交于點(diǎn),證明:點(diǎn)在定直線上,并求出定直線方程.【答案】(1):或:(2)證明見解析,定直線【分析】(1)根據(jù)實(shí)軸長度確定a的取值,再根據(jù)漸近線夾角確定漸近線斜率,從而確定b的取值,寫出解析式;(2)首先聯(lián)立直線與雙曲線方程,根據(jù)韋達(dá)定理確定,兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系,聯(lián)立方程,再利用點(diǎn)斜式表示出直線,的方程,代入列出等式,代入韋達(dá)定理求解出即可,【詳解】(1)由題知,得,或,得或,所以雙曲線的方程為:或:.(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),:,設(shè),,聯(lián)立直線與雙曲線得:,,方程的兩根為,,則,.,,則:,:,因?yàn)橹本€,相交于點(diǎn),故,,消去,整理得:,,因此,故點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求解雙曲線方程的題型一般步驟:(1)判斷焦點(diǎn)位置;(2)設(shè)方程;(3)列方程組求參數(shù);(4)得結(jié)論.26.(22-23高二下·福建泉州·期末)已知圓,點(diǎn),以線段為直徑的圓內(nèi)切與圓,點(diǎn)的集合記為曲線(1)求曲線的方程;(2)若是曲線上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),點(diǎn),連結(jié)并延長交曲線于點(diǎn),連結(jié)交曲線于點(diǎn).設(shè),的面積分別為,若,求線段的長.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用圖中的幾何關(guān)系和橢圓的定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),由對稱關(guān)系可知點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)出直線的方程,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求出,同理可求出,再利用三角形面積公式和三角形相似將線段長轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)值,利用面積的比值即可求出點(diǎn)的坐標(biāo),即可求解.【詳解】(1)設(shè)的中點(diǎn)為,切點(diǎn)為,連接,取關(guān)于軸的對稱點(diǎn),則,連接,則為△的中位線,即,故,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓.其中,,則曲線的方程為;
.(2)設(shè),則,直線的斜率不可能為,設(shè)直線的方程為,則,將直線方程和橢圓方程聯(lián)立得,,即或,,因?yàn)?,所以,又因?yàn)樵跈E圓上,所以,代入上式得,同理可得,所以,解得,,所以.
.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:(1)設(shè)直線方程,設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,得到關(guān)于(或)的一元二次方程,注意的判斷;(3)列出韋達(dá)定理;(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、(或、)的形式;(5)代入韋達(dá)定理求解.27.(22-23高二下·安徽·期末)已知橢圓:的一個焦點(diǎn)為,橢圓上的點(diǎn)到的最大距離為3,最小距離為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓左右頂點(diǎn)為,在上有一動點(diǎn),連接分別和橢圓交于兩點(diǎn),與的面積分別為.是否存在點(diǎn),使得,若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2)存在,點(diǎn)坐標(biāo)為或.【分析】(1)由條件列方程求,可得橢圓方程;(2)設(shè)橫坐標(biāo)為,結(jié)合三角形面積公式可得可化為,再證明,設(shè)直線的斜率為,分別聯(lián)立與橢圓方程求,由此計(jì)算,由此可求的坐標(biāo).【詳解】(1)設(shè)橢圓的半焦距為,因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到的最大距離為3,最小距離為1,所以,,又,解得,,,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由(1)可得,假設(shè)存在點(diǎn),使得,設(shè),則,
設(shè)橫坐標(biāo)為,則,所以,整理得,①設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,直線斜率為,斜率為,故,設(shè)直線的斜率為,故直線方程為,直線方程為,將直線和橢圓聯(lián)立可得,由韋達(dá)定理可得,解得,將直線和橢圓聯(lián)立可得,由韋達(dá)定理可得,解得,將橫坐標(biāo)代入①式可得,,整理得,化簡得,解得,即,當(dāng)時(shí),直線的方程為,代入點(diǎn)可得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,當(dāng)時(shí),直線的方程為,代入點(diǎn)可得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,故點(diǎn)坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決直線與橢圓的綜合問題時(shí),要注意:(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件,明確確定直線、橢圓的條件;(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力,重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.28.(22-23高二下·江西上饒·期末)已知橢圓(,)的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為,,為的上頂點(diǎn),且的周長為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 二零二四年度上海房產(chǎn)買賣合同智能家居系統(tǒng)配套范本3篇
- 2024版鄭州玻璃崗?fù)どa(chǎn)與供應(yīng)鏈管理合同
- 2025年智能電網(wǎng)建設(shè)項(xiàng)目資金投入合同3篇
- 二零二五版豆腐品牌連鎖加盟合同3篇
- 二零二五年度企業(yè)商業(yè)信用貸款還款合同3篇
- 二零二四年醫(yī)療器械生產(chǎn)許可合同
- 2025年綠色建筑項(xiàng)目瓦工力工勞務(wù)分包及節(jié)能減排合同3篇
- 2025年度大型活動臨時(shí)演員招募服務(wù)合同4篇
- 年度豆?jié){粉戰(zhàn)略市場規(guī)劃報(bào)告
- 年度電子廚房秤競爭策略分析報(bào)告
- 畢淑敏心理咨詢手記在線閱讀
- 亞硝酸鈉安全標(biāo)簽
- pcs-985ts-x說明書國內(nèi)中文版
- GB 11887-2012首飾貴金屬純度的規(guī)定及命名方法
- 小品《天宮賀歲》臺詞劇本手稿
- 醫(yī)院患者傷口換藥操作課件
- 欠薪強(qiáng)制執(zhí)行申請書
- 礦山年中期開采重點(diǎn)規(guī)劃
- 資源庫建設(shè)項(xiàng)目技術(shù)規(guī)范匯編0716印刷版
- GC2級壓力管道安裝質(zhì)量保證體系文件編寫提綱
- 預(yù)應(yīng)力混凝土簡支小箱梁大作業(yè)計(jì)算書
評論
0/150
提交評論