2024年新高考數(shù)學(xué)藝體生沖刺復(fù)習(xí)-平面向量（解析版）

考點(diǎn)04平面向量

(-知識(shí)點(diǎn)一向量的有關(guān)概念

向量坐標(biāo)的求法

向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模

_向量在平面幾何中的應(yīng)用

一知識(shí)點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算一

-向量的夾角

—知識(shí)點(diǎn)

平面向量的數(shù)量積

J向量數(shù)量積的運(yùn)算律

—知識(shí)點(diǎn)三向量的線性運(yùn)算

平

面—知識(shí)點(diǎn)四數(shù)乘

向J知識(shí)點(diǎn)五

量易錯(cuò)點(diǎn)

r-考點(diǎn)一向量的坐標(biāo)運(yùn)算

一考點(diǎn)二數(shù)量積

考點(diǎn)一一考點(diǎn)三向量的線性運(yùn)算

-考向四投影向量與投影長(zhǎng)

考向五平面向量與其他知識(shí)綜合

知識(shí)講解

一.向量的有關(guān)概念

⑴向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模).

(2)零向量：長(zhǎng)度為。的向量，其方向是任意的.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.(沒有方向上的規(guī)定)

⑷平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：.與任一向量平行或共線.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量

二.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(xi,yi),Bg>2),則屈=(及—xi,m一yi),|A&|(x^—xi)2+(y^—yi)2.

2.向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模

1

設(shè)a=(xi，Vl),b=(X2,丁2)，貝

a+b=(%i+x2，yi+y2),a—b=(xi—y一")，丸a=(Zn，2yi),|a|=^/xi+yi.

3.向量在平面幾何中的應(yīng)用

(1)線平行、點(diǎn)共線：a〃b=a=2bf2—冗2%=0,其中a=(xi，%),b=。2,m)，a^O

(2)垂直：a_Lb=a.b=0Gi%2+yiy2=0，其中a=(xi，%),b=(%2，/)，且〃，b為非零向量

uh111

(3)夾角：以）§。=舊可（。為向量2,/7的夾角），其中a,b為非零向量

lal?lbl

(4)長(zhǎng)度：\Si\=yl^=yjx1+y2,其中a=（x,y）,a為非零向量

4.向量的夾角

（1）已知兩個(gè)非零向量a和L,作次=a,m=1）,則/A02就是向量a與i的夾角，向量夾角的范圍

是[0,71]

XlX2+y>2

（2）夾角cos夕=

|b|7君+比仁上+4

5.平面向量的數(shù)量積

⑴定義：設(shè)兩個(gè)非零向量;，6的夾角為仇則數(shù)量|；||M-cosO叫做;與1的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作;.力

（2）投影：|a|cos。叫做向量a在i方向上的投影，iMcos。叫做向量:在a方向上的投影

（3）幾何意義：數(shù)量積;$等于:的長(zhǎng)度|；|與。在;的方向上的投影iMcosd的乘積

6.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(l)ab=ba.

iiiiiiii

(2)(2a)b=2(ab)=a(2b)=Aab.

iiiiii

(3)(a+b)c=a-c+b-c

三.向量的線性運(yùn)算

（一）加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

L三角形法則：首尾連，連首尾

三角形法則

2.平行四邊形法則：起點(diǎn)相同連對(duì)角

a

平行四邊形法則

3.運(yùn)算律

交換律：a+b=b+a

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(二)減法

1.三角形法則：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減

二,

三角形法則

2.平行四邊形法則：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減

四.數(shù)乘：求實(shí)數(shù)7與向量;的積的運(yùn)算

1111111

1.數(shù)乘：12a|=|A||a|,當(dāng)2>0時(shí)，Xa與a的方向相同；當(dāng)衣0時(shí)，Aa與a的方向相反；當(dāng)4=0時(shí)，Aa=

0

2.運(yùn)算律

11lititit

(1)M「ia)=(9)a(2)(^+)i)a=Xa+jia(3)Z(a+b)=Xa+Xb

3.向量共線定理

向量力與非零向量;共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)九使得

4.平面向量基本定理

如果:，.是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量;，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)孤，

心，使a=2通1+義202.其中，不共線的向量ere2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底

五.易錯(cuò)點(diǎn)

1.向量數(shù)量積不滿足：

①消去律，即a-b=a-c/b=c

111111

②結(jié)合律，W(a-b)-c#>a.(b-c).

11111111

2.ab=0不能推出a=0或b=0,因?yàn)閍.b=0時(shí)，有可能a_Lb

5.a-b=a-c(ar0)不能推出b=c,即消去律不成立.

4.相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

5.共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

6.向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆.

7.非零向量。與白的關(guān)系：告是與。同方向的單位向量.

HH

典例剖析

考點(diǎn)一向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【例1-1】(2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模)已知向量a=(l,T),b=(m,2),若；〃力，則(a-2b"=()

A.4B.-2C.-8D.-20

【答案】D

【解析】由a//6，可得—〃?=2,即"z=—2,所以(a—26)-Z?=a-匕―2Z/=—4—2x8=—20?故選：D

【例1-2](2023?湖北?武漢市第三中學(xué)校聯(lián)考一模)設(shè),"?R,a=(m,l),b=(4,m),c=(1,-2),則6_Lc是

a//6的()條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

［解析］由向量a==(4,m),c=(1,-2),

當(dāng)時(shí)，可得4x1—2機(jī)=0,解得根=2；

當(dāng)a//〃時(shí),可得病-1x4=0,解得加=±2,

所以6_Lc是a//B的充分不必要條件.

故選：A.

【例1-3］(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知向量。=(3,1),6=(2,2),則cos(a+b,a-6)=()

A.—B.叵C.立D.述

171755

【答案】B

【解析】因?yàn)閍=(3,l)涉=(2,2),所以a+6=(5,3),a—6=(l,T),

貝?。莶?6卜廬萬=回,_目=>/!?!=0,(a+6).(a-6)=5xl+3x(-l)=2,

\\a+b\-\a-b\2J17

所以cos(a+6M-6)=1——/——p=-j=~『=――.

'/卜+型_0y/34xy/217

故選：B.

【變式】

1.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知向量/=(2,1)0=(-2,4),則1()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】因?yàn)椤?6=(2』)一(一2,4)=(4,-3),所以卜-4=,42+(-3)2=5.故選:D

2.(2023上?山西太原?高三統(tǒng)考期中)已知。=(1,0),6=(1,1),若則實(shí)數(shù)2=()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】B

【解析】由可得彳°2-6~=0，即4-2=0,故4=2,故選：B

3.(2023?山東?統(tǒng)考一模)已知向量a=(2,l),b=(〃z,-l),且。//(a-6),則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】a-b=(2,l)-(ffi,-l)=(2-m,2),由a//(。-6)可得2x2—1x(2-加)=0,解得機(jī)=一2.故選：D

4.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)已知向量乙方滿足。+6=(2,3),。->=(-2,1),則⑷?-歷『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量滿足。+》=(2,3),。-6=(-2,1),所以|a『-|b|2=(a+b).(a-b)=2x(-2)+3xl=-l.

故選：B

5.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知向量a=(l,l),6=(l,-l),若(a+26)_L(a+〃6),則()

A.4+4=1B.A+jd=-1

C.澳=1D.加=-1

【答案】D

【解析】因?yàn)閍=(1/)為=(1,—1),所以a+%6=(1+4,1—4),a+=(1+///一〃)，

由9,+26)_L(a+〃6)可得，(a+X6)(a+〃b)=0,即(1+彳)(1+〃)+(1—彳)(1-〃)=0,整理得：2〃=-1.

故選：D.

6.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知向量上=(-L-2),5=(4,-2)*若卜一二)，伍+〃肛則<)

A.44〃=1B.42//=-1

C.4(2+〃)=1D.4(%+〃)=-1

【答案】A

【解析】法一：用坐標(biāo)表示向量由題意可知，

a—Ab—(―1—44,—2+22)+fjb=(―1+4〃,一2—2〃)，由-4b)_!_(.+〃b)得,

(-1-42)(-1+4^)+(-2+22)(-2-2^)=0,整理得，5-20加=0,所以4加=1.則A對(duì);

法二：因?yàn)橄蛄?=(一1,一2)力=(4,一2),所以問=6,忖=2宕力=-4+4=0,

又(a_幾6)_L(q+〃6),所以(4_彳/?>(4+〃6)="2+(〃一彳)4?6-初萬2=5-20/1〃=0,所以42〃=1.

故選：A.

考點(diǎn)二數(shù)量積

【例2-1](2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知向量a力均為單位向量，且。m=g,則,+b卜()

A2白口2ng6

3333

【答案】B

【解析】\a+b^=(a+b)2=a2+2<2-b+b2=—,所以k+Z?卜2y.故選:B

【例2-2】(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知向量4/滿足|a|=l,|b|=|=3,則〃./?=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】回|Q—2bl2=|Q『—4。2+4-,又團(tuán)|Q|=l,W="|Q—2b|=3E9=l—4QZ+4x3=13—4qZ，

團(tuán)故選：C.

【例2-3](2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))平面向量；=(2,1),卜卜2,且〃心=2.若卜—囚=卜+仍|,則U()

A.0B.2C.0或-1D.±1

【答案】C

【解析】因?yàn)?_0=卜+例,所以卜-0-=卜+仍］，即+d=J+2fa/+產(chǎn)/，

又因?yàn)殁?&\W=2,a-b=2?所以5-4+4=5+4/"+4產(chǎn)，即4產(chǎn)+4r=0,解得t=-l或f=0.故選：C.

【變式】

1.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量0,b滿足卜+6卜5,且口=2,W=3,貝巾-力卜（）

A.5B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】回卜+目=5,0,+0=|a|+2a-Z?+|z>|=25.回卜|=2,|/?|=3,

團(tuán)4+2。-6+9=25，回2。?。=12,

團(tuán)卜-6卜J（a_6）=yla'-2a-b+b'=J4-12+9=1.

故選：D.

2.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量//滿足口=3,慟=2,|2。-0=2屈，則￡與。的夾角為（）

712兀3兀5兀

A.—B.—C.—D.—

2346

【答案】B

【解析J由W=2^/15得4a2—4a力+//=4X13,

將忖=3,慟=2代入可得4x9-4。山+2?=4x13，

所以人-3,所以8乂"@=麗=元TF，

由于,用目0,兀］,所以,,9=事，

故選：B

3.（2023?安徽）設(shè)非零向量°,6滿足同=洲且（2。-6）乂°+36）,則%方的夾角大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】設(shè)口,5的夾角為凡由（2a-6）J_（o+36）,得（2a-6）-（a+36）=。，gp2a2-3b2+5a-b=0.

因?yàn)橥?21卜0,所以不妨設(shè)忖=1,則同=2,所以8—3+10cos9=0,解得cosO=-;.

因?yàn)?。4"180°,所以。=120?.故選：C.

4.（2023,云南）已知平面向量a,b滿足忖=2忖=6,卜+砌=3/僅＞0）,a.b=9,則實(shí)數(shù)人的值為（）

D.V2

【答案】A

【解析】將卜+研=34兩邊同時(shí)平方，得M+2左a-b+左=63,而什=6,慟=3,ab=9,

因此36+18左+942=63,即依題意嚴(yán)+2左一3=0,又人＞0,所以％=1.

故選：A

5.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）若〃力是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，+B與-3a+2力垂直，則幾=（）

1177

A.-B.—C.-D.一

8484

【答案】B

【解析】由題意有/=『=1,/=W=l,a-Z?=|a|-|/?|cos60°=lxlx^-=i,

又因?yàn)?la+b與一3a+2。垂直，所以

（幾a+b）,（—347+26）=—32a+（2幾一3）a,b+2b~=—32H—x（2幾一3）+2=0,

整理得一24+2=0,解得2=工.故選：B.

24

考點(diǎn)三向量的線性運(yùn)算

【例3-1］（2023?云南大理?統(tǒng)考一模）在，ABC中，AB=3AD,貝Ucr＞=

1UUKUULIiunnuutr

A.AB——ACB.AB+-ACC.-AB-ACD.-AB+AC

3333

【答案】C

【解析】國(guó)AB=3AD，回CD=AD—AC=—AB—AC,故選：C.

【例3-2］（2023上?遼寧）在ABC中，CM=3MB，AN+CN=G，

.1327

A.MN=-AC+-ABMN=-AB+-AC

13

C.MN=-AC--ABMN=-AC——AB

【答案】D

【解析】因?yàn)镃M=3MB，AN+CN=0,

所以M是位于BC上的靠近點(diǎn)8的四等分點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，如下圖所示:

所以==-AC-AB--（AC-AB\=-AC--AB.

22424V/44

故選：D

【例3-3]（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形A3CQ中，點(diǎn)七滿足出）=4B￡，

CE=ABA+//GR),則加=()

333

A.-----B.—C.—D.1

16816

【答案】A

【解析】因?yàn)锽D=4BE，貝UCD-CB=4(CE-C2),

1313-13

整理得CE=—C￡)+—CB=—3A——BC,可得；1=_,〃=——，

444444

所以.=

故選：A.

【變式】

1.（2023?陜西）在JLBC中，點(diǎn)、D,E分別是48,2C的中點(diǎn)，記AE=a，CD=b，則AC=（）

A.—6）B.—^<7—Z?jC.5。-§6D,-〃）

【答案】D

【解析】由題意可知，a=-（AB+AC],b=-AB+CA=-AB-AC.兩式相減，^a-b=-AC,所以

2、,222

AC=—^a—bj.故選：D.

【答案】C

313

【解析】由AD=可得A5=7A。，即AF=mAC+工A5=冽AC+：A。，因?yàn)镃尸,。二點(diǎn)共線，所以

224

31

機(jī)+—=1,相=一.故選：C

44

考向四投影向量與投影長(zhǎng)

【例4-1】（2023北京）已知|a|=4,e為單位向量，（毋）=昔，則a在e方向上的投影的數(shù)量為（）

A.2A/2B.2C.-272D.-2

【答案】C

【解析】由題意，a在e方向上的投影的數(shù)量為：同cos〈a,e）=4x=-2虛故選：C

【例4-2］（2023?廣西柳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量之匕滿足（。+分）=3,且忖=1,則向量〃在向量B上

的投影向量為（）

A.1B.-1C.2bD.b

【答案】C

【解析】由題知，因?yàn)殁?1,（a+b^?b=3,所以（a+6卜b=a.6+6~=+.=a.6+l=3,所以。/=2，

a-bb,

向量a在向量b上的投影向量為：M“=2b.故選：C.

【變式】

1.（2024湖南）已知向量”，6滿足|。|=3,山=26，且a，（a+6）,貝山在。方向上的投影為（）

A.3B.-3C.-巫D.也

22

【答案】B

【解析】由a_L（a+b）,得々?（a+Z?）=0,

n.卜—Q

??.|〃|2+〃電=0,于是〃力=—9,因此匕在￡方向上的投影為幺￡=-二-3.故選：B

\a\3

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量）=（%+1,2）1=（1,-2）,若“上匕,則向量2=（1,2）在向量Q+B上的投

影向量為（）

D

A-(刈B-(L3)c--(TIJ

【答案】D

【解析】依題意得a=(%+l,2),Z?=(l,—4),a/=0,所以4+1—22=。，解得4=1,

所以；=(2,2),"(1,—1),所以a+1=(3,l),

則向量。=。,2)在向量a+萬上的投影向量為?曰=3；+1；2.旦\=點(diǎn)3,1)=仁,。

\a+b\\a+b\V32+l2V32+l21。I22j

故選：D.

3.(2023?湖南郴州?統(tǒng)考一模)已知向量a/滿足(〃-6)/=2,且6=(-1,1),則向量a在向量心上的投影

向量為()

A.(2,2)B.(-2,2)C.(1,1)D.(-1,1)

【答案】B

【解析】由8=(-1,1),則|匕|=忘，(a-b^-b=a-b-b2=2,則。.石=4,

則向量”在向量加上的投影向量為字*3=(-2,2).故選：B

|6|\b\

考向五平面向量與其他知識(shí)綜合

【例5-1】(2023?四川成都,校聯(lián)考一模)已知a=(l,2),6=(",1),帆>0,〃>0,若存在非零實(shí)數(shù)2使

17

得a=X6,則▲+*的最小值為()

mn

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【解析】若存在非零實(shí)數(shù)4使得a=①，即?！?，又a=(l-加,2),b=(n,\),

所以即m+2n=l,

匚口、112fl2V八、u2n2ni、__\ln2m八

所以—I—二—I—\(m+2n\=5-1---1---->5+2./-------=9,

mn\mn)mnVmn

當(dāng)且僅當(dāng)2且n=23m，即〃?=〃=1:時(shí)，等號(hào)成立.

mn3

12

所以乙+4的最小值為9.

mn

故選：B

【例5-21(2023上?廣西河池?高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知向量a=(cosa,sina),方=(2,1),

若=1，貝！Jsina=（）

333

A.--B.1C.--或1D.-

555

【答案】C

【解析】ab=2coscr+sina=1，貝114cos?a+4cos(zsina+sin‘a(chǎn)=1,

即3cos2tz+4costzsina=0，

3sin(7

當(dāng)cosawO時(shí)，即3+4tana=0,則tana==，

4cosa

f.3,3

sma=——sma=—

;或者,5

結(jié)合22解得

sina+cosa=14

cosa=—cosa=——

[55

.3

sma=——

5

結(jié)合$吊檢驗(yàn)得＜

2850+0=14；

cosa=—

5

當(dāng)costz=0時(shí)，sina=l滿足題意.

故選：C

【變式】

1.（2023?山東德州?德州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知ABC,點(diǎn)D在線段上（不包括端點(diǎn)），向

12

量AO=xAB+yAC,一+一的最小值為（）

xy

A.2A/2B.20+2

C.2拒+3D.26+2

【答案】C

【解析】ABC,點(diǎn)。在線段上（不包括端點(diǎn)），

故存在2,使得3￡）=X2C，即A￡）_AB=；L4C-九42，即AD=/L4C+（l-/l）AB,

因?yàn)橄蛄緼O=xAB+yAC,所以y=4x=l-2,

可得x+y=l，

x>0,y>0,由基本不等式得

L2=fl+2%+y)=l+2+)+”23+2,^=2立+3,

xyyJxyyxy

當(dāng)且僅當(dāng)y=JIx,即y=2-夜產(chǎn)=夜一1時(shí)等號(hào)成立.

2.(2023?四川綿陽(yáng))已知向量a=(l，㈤出=(九2),若〃?/?=4，則實(shí)數(shù)相等于()

二4

A.-5/2B.0C.1D.一

3

【答案】D

---4

【解析】由題懸：a-b=\xm+mx2=3m=4,.\m=^<故選：D.

3.(2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知向量a=(6,-8),6=(3,根)，a//b，則a.b=()

A.14B.-14C.50D.-50

【答案】C

【解析】因?yàn)橄蛄縜=(6,-8),Z?=(3,m),allb1所以6〃z+24=0,解得："i=T,

。?匕=18-8〃z=18-8x(Y)=50.故選：C.

4.(2023海南)己知根=(2,-3),n=(-l,4),P=(41),若(〃?+3")_Lp,則2=()

A.9B.—9C.—D.—

99

【答案】A

【解析】因?yàn)闄C(jī)=(2,-3),77=(-1,4),所以加+3〃=(一1,9),

因?yàn)?〃?+3〃)_Lp,所以(而+34方=-"+9=0,解得丸=9.故選:A.

5.(2023?湖南永州?統(tǒng)考一模)已知向量&=(-l,2),b=(3,-l)W=(x,l),且(a+26)，C,則》=()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】C

【解析】a+2Z?=(-1,2)+(6,-2)=(5,0),由于(a+26)，c,所以(a+2b)-c=5x=0,x=0.故選：C

6.(2023?海南省直轄縣級(jí)單位??？寄M預(yù)測(cè))若向量。=(1,-1)/=(私3),且(a+b)，a,貝()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

［解析］a+i>=(l+m,2),a=(1,-1),由(q+b)_La,^^a+l>j-a=l+m-2=m-l=0,解得m=1.

故選：B.

7.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知向量。=(1,-1)力=(-1,2)］=(—3,3).若非零實(shí)數(shù)機(jī)，“滿足(曲+6)//僅-〃m),

D.-3

【答案】A

【解析】由題意可知，na+b=+2)=(n-l,-n+2),6-me=(-1,2)—=(—1+3加,2—3%).

因?yàn)?加/+6)〃僅-加，)，所以=+整理得〃=3相，即4=3.故選:A.

8.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)向量“=(1,2),6=(-2,-1),則2“+〃與”的夾角的余弦值為()

【答案】B

【解析】由題意知22+7(0,3),卜石,:.a-(2a+b=612a+M=3,二cos〈a,2a+〃〉=-

3x若一5

故選：B

9.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知平面向量,6=(1,-1),若實(shí)數(shù)利，〃滿足根〃=一1,則〃+戒?與Q+泌

的夾角為()

5兀兀7171

A.—B.—C.—D.一

6236

【答案】B

【解析】因?yàn)椤?(1,1),Z?=(l,-1),所以a+mZ?=(l+%,1一m),a+nb=(l+n,l-n),

又加=一1,所以(Q+9)(4+同=(1+根,1—叫(1+21—=(l+m)(l+n)+(l-m)(l-n)=2+2mn=0,

即(a+〃對(duì)“a+同，所以°+：泌與。+他的夾角為］

故選：B.

10.(2023?浙江?統(tǒng)考一模)已知向量1=(2,3),b=(-1,x),則“(2+辦，否-方)"是"x=2石"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由已知得，a+8=(l,3+x),a-b=(3,3-x),

右(a+》)_L(a—))，則(a+6).(a—b)=0,3+9—x2=0,解得x=±2g,

所以"x=26"="(a+b)J_m-6)”,但"(a+6)，(a-6"Z"x=2?',

所以"（〃+。），（°-匕）"是"尤=26"的必要不充分條件，

故選：B.

11.（2023,河北）已知。=（2,1）,Z>=（-1,3）.若（a-奶）〃（2°+6）,貝代=（）

121

A.—1B.—C.—D.一

233

【答案】B

【解析】方法一由題意，w?-=（2,1）-（-1,3）=（2+^,1-3^）,

2a+Z?=（4,2）+（—1,3）=（3,5）.@（a—A:b）〃（2a+Z?）,

回5（2+%）=3（1—3左），即10+5左=3—9左，團(tuán)14左=—7,解得上=-g.

方法二團(tuán)（a—左b）〃（2a+b）,^\a-kb=A（2a+bj=2Aa+Ab,

fl=241

團(tuán)〈，，團(tuán)女7=—.

[-左=九2

故選:B.

12.（2023?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量〃與人的夾角為45,〃/=2,且同=2,則（〃-。｝（〃+4=

（）

A.-20B.-2C.2D.272

【答案】C

【解析】rt-i>=|o|-|z）|-cos45=2x^y-x|ft|=2,解得：忖=6\

因此可得：-b^a+b^=a2-b2=|a|"-|i>|=4-2=2.

故選：C

13.（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考一模）己知單位向量a,b的夾角為60，則12a-6卜（）

A.1B.6C.75D.3

【答案】B

【解析】因?yàn)閱挝幌蛄?。，石的夾角為60。，所以°為=忖小上0$60=g,

所以|20—6『=4口2一4°.6+片=4一2+1=3,所以|2°—可=道.故選：B

設(shè)2=耳-〃=（括,-1）,c與b的夾角為8,

C'b-11

從而cos”即=西=、

又［0<6><180,?■-6=120；

法三：利用運(yùn)算法則，設(shè)48=a,AC=y/3a,AD=b，貝IJOC=^a-6，如圖，

則設(shè)向量耳-b與b夾角為，，則忖4=|后-可=J(屈-4=73+0+1=2,

|AD|=1,|AC|=A/3,cosd=cos(;r—/ADC)=-cos/ADC=-g,

又[0<6><180,0=120.

故選：A

18.(2023?福建龍巖?統(tǒng)考二模)已知向量a=(-3,0),b=(2,l),c=(2,-l),AeR,若(a+2))，c,貝同在

c上的投影向量為()

【答案】C

【解析】因?yàn)橄蛄?=(-3,0),3=(2,1),.“+2b=(1,2),(a+2b)lc,

所以(1,2>(4-1)=幾-2=0,;.幾=2,，，=(2,-1),向量1在向量2方向上的投影向量為

b，cc_2.(i)+1勺1)[,-1)_3(-J,_當(dāng)

|c|\c\7(2)2+12J⑵AE55'5'

故選：C

19.(2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在梯形ABCD中，AB//CD,AB^3,AD=DC^1,=60。,E為BC的

中點(diǎn)，則AE.A8=()

【答案】A

【解析】/—

---------^5

由題意可得，ABCD,AB=3,DC=1,則￡>C=gAB,

則AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-^BA+AD+DC^=-AB+-AD+-x-AB

=-A.B-\—A.D,

32

所以AE.ABulgAB+gADjABulkBj+gkBHADFcosGO。=|x32+|x3xlx1=^.

故選：A

20.（2023?新疆?統(tǒng)考三模）設(shè)向量a,b為單位向量，且|a+助|=|彳。-6|（彳#0）,則向量。，。的夾角為

（）

717171571

A.-B.—C.-D.—

6326

【答案】C

【解析】由題意知，Ia1=161=1,|—3|=|La—1,

所以（a+XZ?）2=（X?！ā?，即/+X1b+2Aa-b=b2+X1a—2Xa-b，

所以1+丸2+2cos<a,b>=l+Z2-2cos<a,b>,即42cos<a,b>=0,

又因?yàn)閄wO,

所以cos<a,b>=0,

所以<a,Z?>=—.

2

故選：C.

21.（2023?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在梯形ABCD中，ABUCD,AD±AB,AB=2CD=2,

AD=6M為的中點(diǎn)，則（）

r32

A.-3B.—2C.-D.—

23

【答案】C

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD正方向?yàn)橛?y軸可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

60。，E,尸分別為8C,8的

2a-4=忖，貝1|()

A.b_L（b-2Q）

B.Q—c與3〃-c的夾角為銳角

D.a+XB與b的夾角為鈍角的充要條件是

【答案】AD

【解析】將冷4=同兩邊平方并整理,得/-2°/=0,即22)=0,

因?yàn)椤?6不共線，所以6,僅-2a),A正確.

將忸-c卜忖兩邊平方并整理,得3a2-4a.Z+J=0，即(a-c>(3a-c)=0,

所以與3a-c的夾角為直角，B錯(cuò)誤.

因?yàn)椤?6不共線，所以。+助與人不共線，

2122,1、21

則a+幾人與6的夾角為鈍角的充要條件是(。+力6)2=4力+力6=-b+加=\-+^\b<0,BPA<--,D

212；2

正確.

故選：AD.

24.(2023上,江蘇徐州?高三校考階段練習(xí))(多選)設(shè)向量。=(1,5),方=(4,-6),貝|()

A.(a+b)_LaB.(a-b^A-b

C.(4a-26)〃gb-a)D.&a+2bj〃(2a+6b)

【答案】AC

【解析】對(duì)A,a+Z>-(5,-l),所以(a+b)a=5xl-5xl=0,所以(a+b)_La,故A正確;

對(duì)B,?-Z?=(-3,ll),所以("6)為=-12-66=-7820,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)C,因?yàn)?d=(4o-2可，且為不共線的兩向量，所以(4〃-2b)〃]b-“故C正確;

26

—w—

對(duì)D,因?yàn)楣?,且。/為不共線的兩向量，所以D錯(cuò)誤.

3

故選：AC.

25.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知平面向量。=（1,0）,b=（sj）.下列命題中的真命題有（）

A.若albbllc,則就

B.若s=2,a_L6,則"一國(guó)

C.若M=W，則一2</<2

_JT

D.若‘=0且d與6的夾角為T，貝卜=1

O

【答案】BCD

【解析】A選項(xiàng)，若石是零向量，則由a/族Me不等得到://；,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，若s=2,a_L），則a/=2+V^=。，/=—而r,所以B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，若卜卜陣則忖=忖,

即$2+產(chǎn)=4,所以0V產(chǎn)V4,—2VfV2,所以C選項(xiàng)正確.

7T

D選項(xiàng)，若八百且a與匕的夾角為j

6

兀

則COS]

兩邊平方得3+〃=1+2/+//=1,所以D選項(xiàng)正確.

故選：BCD

26.（2023?全國(guó),統(tǒng)考高考真題）已知向量a,》滿足卜-.=6,卜+.=|2&-可，則卜卜

【答案】x/3

【解析】法一：因?yàn)镵=即（a+6）~=（2a-6）",

則L+Za-b+L=4a-4a-&+/?2>整理得。~-2。力=0，

又因?yàn)椴?6卜力，即（"匕『=3,

貝嘮一2荽+金」:3,所以|4=百.

rrrrrrrrr

法二：設(shè)c=5—b，JJJIJ|c|=y/3,a+b=c+2b,2a—b=2c+b,

由題意可得：（c+2〃）=（2c+Z?）,貝匕2+4；U=4；2+4；.%+力2,

整理得：珠J2,即1卜,=6.

故答案為：73.

27.（2023,全國(guó)?模擬預(yù)