遼寧省遼東南2024屆高三年級(jí)下冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

遼寧省遼東南名校2024屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一'選擇題

1.已知集合A={—1,0,1,2},B={x|x（x-2）＜0）,則AB=（）.

A.0B.{0}C.{1}D.{0,l}

2.復(fù)數(shù)工的虛部為（）.

2+i

A.-2B.2C.-lD.l

22

3.雙曲線上—匕=1的漸近線方程為（）.

169

343

A.y=±—xB.y=±—犬C?y=±—%_-

43516

4.已知℃（0,冗），2sin（兀一2a）=cos2a-l,則sina=（）.

A.lB正C一旦D.也

5555

5.已知點(diǎn)M是邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。的內(nèi)切圓內(nèi)（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，則MA.MB的

取值范圍是（）

A.[-l,0]B,[-l,2]C.[-l,3]D.[-l,4]

6.《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)北魏時(shí)期大數(shù)學(xué)家張丘建所著,約成書(shū)于公元466-485年

間.其中記載著這么一道“女子織布”問(wèn)題：某女子善于織布，一天比一天織得快，且每日

增加的數(shù)量相同.已知第一日織布5尺,30日共織布390尺，則該女子織布每日增加

_______尺（）

"B.更C.AD.3

7291531

7.將2名教師,4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)

小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）

A.12種B.10種C.9種D.8種

8.已知橢圓c工+q=1（?！?〉0）的離心率為逅，直線依-勿=0與圓

a2b23

M：/+丁_”+工=0相切，則實(shí)數(shù)機(jī)的值是（）

-4

A.±］B.+2C.+4D.+8

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知函數(shù)/00=45由，》-；1-1,則下列結(jié)論正確的是()

A./(x)的最小正周期為兀

B.函數(shù)/(x)在「_巴,把］上單調(diào)遞增

88

C.將函數(shù)/(X)圖像的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半,再向左平移四個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

6

D.函數(shù)/(%)在巴止］上的最小值為_(kāi)20.1

48_

10.已知正方體A3CD-的棱長(zhǎng)為。，點(diǎn)瓦EG分別棱AB，44］,￡2的中點(diǎn)，下列

結(jié)論正確的是()

A.BD\，平面ACgB.四面體AC5Q］的體積等于1/

C.R7與平面ABCD所成角的正切值為gD.BQ］〃平面EFG

11.已知函數(shù)y=/(x)是R上的奇函數(shù)，對(duì)于任意xeR,都有〃龍+4)=〃力+〃2)成

立，當(dāng)xe［0,2)時(shí)〃%)=2。1,則下列結(jié)論中正確的是()

A./(O)=O8.函數(shù)丁=/(另在［-6,—2］上單調(diào)遞增

C.函數(shù)y=/⑴在［-6,6］上有3個(gè)零點(diǎn)D.點(diǎn)(4,0)是函數(shù)y=/⑴的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)

中心

三、填空題

12.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某段時(shí)間內(nèi)由內(nèi)地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次為5:2:3,現(xiàn)使

用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取n人，若青年旅客抽到60人，則

n=.

13.已知直三棱柱ABC-4與G的6個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面上，若

AB=1，AC=7LABJ_AC，AA=4,則球。的表面積為.

14.已知函數(shù)/(x)=|1gH，若0<a<￡>且/⑷=/0),則a+2辦的取值范圍為

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=x-aex,〃￡R.

(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線的方程

(2)若曲線y=/("與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

16.某校積極響應(yīng)習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于共建學(xué)習(xí)型社會(huì)的號(hào)召，開(kāi)展了“學(xué)黨史,強(qiáng)信仰，跟

黨走”的主題學(xué)習(xí)活動(dòng).在一次“黨史”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)中,給出了A、B、C三道題，答對(duì)A、

B、C分別得2分、2分、4分，答錯(cuò)不得分.已知甲同學(xué)答對(duì)問(wèn)題A、B、C的概率分別

為3、2、L乙同學(xué)答對(duì)問(wèn)題A、B、C的概率均為2,甲、乙兩位同學(xué)都需回答這三

4323

道題，且各題回答正確與否相互獨(dú)立.

(1)求甲同學(xué)至少有一道題不能答對(duì)的概率；

(2)請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷甲、乙兩人在本次“黨史”知識(shí)競(jìng)賽中，哪位同學(xué)得分高.

17.如圖，在四棱錐p—ACS。中，底面A3CD為矩形，義,底面A5CD，B4=AB=2,點(diǎn)E

是棱中點(diǎn).

(1)證明:平面ACE_L平面P3C.

(2)若BC=3,求二面角A-CE-。的余弦值.

18.已知拋物線C：V=2px(p>0)上的點(diǎn)>0)到其焦點(diǎn)的距離為2.

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線C的方程；

(2)若點(diǎn)M、N在拋物線C上,且即用小沖=—求證：直線過(guò)定點(diǎn).

19.對(duì)于給定的正整數(shù)機(jī)和實(shí)數(shù)若數(shù)列｛4｝滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：

①6+出+…+。枕=a；②對(duì)V”eN*，,則稱(chēng)數(shù)列｛a“｝具有性質(zhì)Q”(a).

(1)若數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)鳥(niǎo)⑴，求數(shù)列｛%｝的前10項(xiàng)和；

（2）對(duì)于給定的正奇數(shù)f,若數(shù)列｛4｝同時(shí)具有性質(zhì)舄（4）和《⑺，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公

式；

（3）若數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)以（①,求證：存在自然數(shù)N,對(duì)任意的正整數(shù)匕不等式

%+1+/N+2+…+即+尢＞?_均成立.

km

參考答案

I.答案：C

解析：由題設(shè)，B={x|x（x-2）<0}={x|0<x<2}>而4={-1,0,1,2}，

/.AB={1}.

故選：C.

2.答案：C

解析：5（,］）故虛部為一1.

2+z（2+z）（2-z）5

故選：C

3.答案：A

22

解析：因?yàn)殡p曲線C：二一匕=1，所以a=4，b=3,

169

所以雙曲線的漸近線方程為y=±2x=±3x.

a4

故選：A

4.答案：D

解析：解：由2sin（7i—2a）=cos2a—l，得2sin2a=cos2o—l，

^T^4sin6zcoscr=l-2sin2cr-l?即2sinc）fcoscr=-sin2a'

因?yàn)閍w（0,兀），所以sinawO,

所以2cosa=-sina，

因?yàn)閟in2a+cos2a=1，

所以sin2a+—sin2a=1所以sin2a=3，

45

因?yàn)??！辏?,兀），所以sina>0,所以sina=2^，

故選：D

5.答案：C

解析：如圖所示,

y

由題意可得：點(diǎn)M所在的圓的方程為：(x-l)2+(y—l)2=l(0<x<2,0<y<2).

設(shè)點(diǎn)MQ,y),A(O,O),3(2,0)

MA-MB-(-x,-y)?(2-%,-y)--x(2-x)+y2-(%—I)2+y2-1,

由J(x-l)2+y2e[0,2],

MA-MBe[-1,?],

故選：C.

6.答案：B

解析：由題意，可知該女子每日織布數(shù)呈等差數(shù)列｛4｝,

設(shè)等差數(shù)列為｛4｝的公差為〃其中首項(xiàng)4=5,邑。=390,

可得5x30+^^1=390,解得竺.

229

故選：B.

7.答案：A

解析：第一步，為甲地選一名老師，有C；=2種選法；

第二步，為甲地選兩個(gè)學(xué)生，有Cj=6種選法；

第三步，為乙地選1名教師和2名學(xué)生，有1種選法，故不同的安排方案共有2x6x1=12

種，

故選：A.

8.答案：B

解析：由題意知,c=^-a，則a=gb<.?直線以-力=0,即y=Gx，代入

3

%2+y2-mx+—=0得,4x2-mx+，=0,由A=〃/_4=0解得m=±2-

44

故選：B.

9.答案：AB

解析：T=@=兀，故最小正周期為兀，A正確；

2

713兀7171

當(dāng)xe，而當(dāng)xe時(shí),y=sinx單調(diào)遞增，故B正確;

I,T422

將函數(shù)f(x)圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，得到丁=45皿14》-：]-1,再向左平移器個(gè)

單位，得到y(tǒng)=4sin4卜+')—：—l=4sin(4x+；1)—1,不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤;

當(dāng)xeK時(shí),2x-%-季0，故/⑴4―5,—1卜故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.答案：ABC

解析：對(duì)于A,正方體ABCD中,〔AC，5。,，AC,又5。DR=D,

AC_L平面BDD],50u平面BDD},AC±BDV

同理,A耳LB%又ABJAC^A,:.BDl，平面AC片,故A正確；

對(duì)于B,以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(a,0,0),C(0,a,O),D1(0,0,a),Bl(a,a,a),

AB{=(0,a,a)，AC=(-。,。,0)，A￡>[=(-a,0,a)，

設(shè)平面ABC的法向量“=ay,z),

rn.ifn-AD.=-ax+az=Q而/曰“1、、

則{1，取％=1,得〃=(1,1,1),

n?AC=-ax+ay=0

用到平面ACD,的距離d=?世川=絲,

\n\百

二四面體ACBQ]的體積：

V=-xSxd=—x—xy/2axy/2axx.故B正確;

33ACD322J33

對(duì)于C,F(a,0,|),G(0,ga),FG=(—a,

平面ABCD的法向量”=(OQ1),

設(shè)尸G與平面ABCD所成角為。，

a

則sin。J.小2_1

\n\-\FG\12a2a2后

ClH---1---

44

??.cose=\Q=卓,tan人也*,

v6V6cos05

.：FG與平面ABC。所成角的正切值為立，故C正確;

5

對(duì)于D,E(a,1,0),G(0,|,tz),EF=(0,-|,|),EG=(—a,0,a),5Q=5￡>=(—a,—a,0),

設(shè)平面EFG的法向量加=a，%zi),

,m-EF=--y,+—z,=0?/口

則n2力2?，取為=1,得根=(1』,1),

m?EG——axx+az1=0

BDm=—a，,耳2與平面EFG不平行，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.答案：AD

解析：由〃x+4)=/(x)+〃2),令％=—2,得/(-2)=0,

又函數(shù)丁=是R上的奇函數(shù)，則/(0)=0>A正確;

由/⑵=—/(—2)=0,得〃x+4)=/(x),則周期為丁=4,

作出函數(shù)〃尤)的部分圖象，如圖所示：

./4/

-6X4-y(92Z46x

由圖象知：函數(shù)y=/(%)在(-6,-2)上單調(diào)遞增，又〃-6)=/(-2)="2)=0,在2處不

連續(xù)，

則函數(shù)丁=/(可在［-6,-2］上不單調(diào)，

由"6)=/⑵=0J(-6)=/(-2)=0,〃0)=0,/(T)=/(4)=0,

則函數(shù)y=/(x)在［-6,6］上有7個(gè)零點(diǎn)，故BC錯(cuò)誤；

因?yàn)?0,0)是函數(shù)的一個(gè)個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則(4,0)也是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故D正確；

故選：AD.

12.答案：200

解析：青年旅客抽到60人,則老、中年旅客的人數(shù)分別為竺x5=100和膽x2=40,

33

故〃=60+100+40=200?

故答案為：200.

13.答案：20K

解析：如圖所示：

因?yàn)锳B=1，AC=e,ABLAC，則5C=2,

所以BC,B?的中點(diǎn)a分,。2別為△ABC,△4與￡的外接圓的圓心,

所以直三棱柱ABC-431cl的外接球的球心是002的中點(diǎn)，

所以其半徑R=J竿;+［與：=萬(wàn)喬=6，

所以球的表面積5=4成之=20兀-

故答案為：20兀.

14.答案：（3,+oo）

解析：畫(huà)出/（力=|坨乂的圖象如圖：

0<tz</?,-&/（a）=/（/?）,

.?.|lgiz|=|lgZ?|M0<a<b/?>h

2

/.-lga=lgb,即=y=a+2b=〃+—,〃￡（0,1）,

由圖象得y=a+2在（0,1）上為減函數(shù)，

y>1+2=3,

:.a+2b的取值范圍是（3,+oo）.

故答案為：（3,+oo）.

°V20

15.答案：（1）y+l=0

（2）q40或

e

解析：（1）當(dāng)〃=1時(shí),/（%）=%-e*,/（犬）=1-e*,

/（0）=_1,尸（0）=0,

.?.曲線y=/（%）在點(diǎn)（04（。））處的切線的方程為y+1=0.

(2)由/(x)=x-ae*得,/'(x)=l-ae*,

當(dāng)。40時(shí)，/'。)>0，函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

止匕時(shí)f[a}^a-aea=?(l-efl)<0,/(I)=1—ae>0,

所以當(dāng)aWO時(shí)，曲線y=/(x)與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0得,x=-Ina,

xe(—oo,-Ina),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,xe(—lna,+oo),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

二當(dāng)x=-山。時(shí)，函數(shù)/。)有極大值，

若曲線y=/(%)與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

則/（-Ina）=-ln?-?e-lno=0,解得a=-

e

綜上所述，當(dāng)aWO或a=』時(shí)，曲線y=/(x)與％軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).

e

16.答案：(1)-；

4

(2)乙同學(xué)的得分高

解析：⑴設(shè)甲同學(xué)三道題都答對(duì)的事件為A則P(A)=|X|X；T

所以甲同學(xué)至少有一道題不能答對(duì)的概率為P=l-P(A)=l--=-.

V'44

(2)設(shè)甲同學(xué)本次競(jìng)賽中得分為X,則X的可能取值為024,6,8分,

則P（X=O）=，xLx工+

、,43224、743243224

p（x=4）』2」+-,p（x=6）=-2」=9

、7432432241743243224

所以X的概率分布列為:

X02468

1575j_

p

242424244

^f^E（X）=—x0+—x2+—x4+—x6+-x8=—（分）

2424242446

設(shè)乙同學(xué)本次競(jìng)賽中得分為匕由y的可能取值為024,6,8分

2

p(y=4)=《8

—=—，p(y=6)=c5)—x

279V''327

所以y的概率分布列為:

Y02468

14288

P

272792727

訴「]1C4c2/8,814416

所以=——XOHx2+—X4HX6Hx8o=-——-=—

v7272792727273

由于E(y)=t=]>E(X)=],

所以乙同學(xué)的得分高.

17.答案：（1）證明見(jiàn)解析;

(2)叵.

10

解析：（1）證明:因?yàn)镼4_L底面A3CD,8CU平面A3CD,所以

四邊形A3CD為矩形，所以因?yàn)樯?=所以3C_L平面PAB.

從而gCLAE,因?yàn)锽4=AB=2,點(diǎn)E是棱形的中點(diǎn)，所以

因?yàn)?。=3,所以4￡,平面依。.

又因?yàn)锳Eu平面ACE,所以平面ACE_L平面PBC.

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)

系A(chǔ)-xyz,

如圖所示，依題意可得

A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,3,0）,D（0,3,0）,E（l,0,1）,EC=（1,3,-1）,AC=（2,3,0）,

￡>C=(2,0,0)

C

ECn=0,曰再+3M—4=0,

設(shè)平面AC￡的法向量為〃=（%,%,zj,由＜，得《

AC〃=O2x1+3%=0

不妨令％=3,可得〃=⑶-2,-3).

EC?m=O,曰x+3%-Z=Q

設(shè)平面CE。的法向量為m=（%2，%*2），由,，得22

DC-m=02X2=0

不妨令%=1,可得m=（O,l,3）.

易知二面角A-CE—O為銳角，cos(〃,m)==王

'7\n\\m\10

所以二面角A-CE-D的余弦值為4亙.

10

18.答案：（1）尸（1,2）；y2=4x

（2）證明見(jiàn)解析

解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)廠]],。）準(zhǔn)線為x=-

因?yàn)辄c(diǎn)P（l,%）（%＞0）到其焦點(diǎn)距離為2,

所以1+"=2,解得p=2,

所以拋物線的方程為丁=4x,

因?yàn)辄c(diǎn)P（L%）（%＞。）在拋物線上，

所以打？=4，解得%=2，

所以P（l,2）,

綜上,P點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2卜拋物線的方程為V=4x.

（2）證明：設(shè)直線A/N的方程為1=沖+〃,

M

x=my+n,

聯(lián)2，付y-4my-4H=0,

y=4%

所以％+%=4m,%%=-4〃，

所以即”=產(chǎn)三4

%+2,

11

^4

同理可得kpN=--------,

%+2

因kpM,kpN

16

所以

(%+2)(%+2)2

所以％%+2（%+%）+36=0，

所以一〃+2機(jī)+9=0,即”=2機(jī)+9（滿足A>0）,

直線MN的方程為x=z^y+2m+9=ni（y+2）+9,

所以直線MN過(guò)定點(diǎn)（9,-2）.

19.答案：（1）5

（2）an