2024年高考數(shù)學專項復習：圓錐曲線九大題型歸納（解析版）

2024年高考數(shù)學專項復習圓錐

曲線九大題型歸納（解析版）

圓錐曲線九大題型歸納

題型一:弦的垂直平分線問題

題型二:動弦過定點的問題

題型三:過已知曲線上定點的弦的問題

題型四：向量問題

題型五:面積問題

題型六:弦或弦長為定值、最值問題

題型七:直線問題

題型八:對稱問題

題型九:存在性問題：（存在點，存在直線沙=做+館,存在實數(shù)，存在圖形:三角形（等比、等腰、直

角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）

題型一：弦的垂直平分線問題＜

題1過點T（T,0）作直線，與曲線N:靖=c交于A、B兩點，在立軸上是否存在一點E（g,0）,使得AABE

是等邊三角形，若存在，求出3；若不存在,請說明理由。

【涉及到弦的垂直平分線問題】

這種問題主要是需要用到弦他的垂直平分線L的方程，往往是利用點差或者韋達定理產(chǎn)生弦4B的中

點坐標M,結(jié)合弦AB與它的垂直平分線L的斜率互為負倒數(shù),寫出弦的垂直平分線L的方程，然后解決相關(guān)

問題，比如:求L在工軸y軸上的褶距的取值范圍，求L過某定點等等。有時候題目的條件比較障蔽，要分析后

才能判定是有關(guān)弦AB的中點問題，比如:弦與某定點。構(gòu)成以。為頂點的等腰三角形(即。在AB的垂直平

分線上)、曲線上存在兩點的關(guān)于直線m對稱等等。

血］2例題分析1：已知拋物線y=—/+3上存在關(guān)于直線x+y=O對稱的相異兩點A、則|AB|等于

題型二:動弦過定點的問題

題1已知橢圓。：￡+%=l(a>6>0)的離心率為空，且在力軸上的頂點分別為4(—2,0),4(2,0)。

(1)求橢圓的方程；

(〃)若直線l-.x=力。>2)與工軸交于點T,點P為直線I上異于點T的任一點,直線P4PA2分別與橢圓

交于河、N點,試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論

題型三:過已知曲線上定點的弦的問題i

血］1已知點A、B、C是橢圓E：考■+%=1（a>b>0）上的三點,其中點4（2遍,0）是橢圓的右頂點，直線

ab

BC過橢圓的中心O,且彩?或=0,|或|=2|而I，如圖。（/）求點。的坐標及橢圓E的方程；（〃）若橢

圓E上存在兩點P、Q,使得直線PC與直線QC關(guān)于直線①=代對稱,求直線PQ的斜率。

題型四：共線向量問題

題］如圖所示，已知圓。：（，+l）2+y2=8,定點41,0）,“為圓上一動點，點P在A河上，點N在CM上，且滿

足a=2#，而*5?用訪=0,點N的軌跡為曲線EJ）求曲線E的方程；〃）若過定點F（0,2）的直線交曲

線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足前=4融，求4的取值范圍.

吼2已知橢圓。的中心在坐標原點，焦點在立軸上,它的一個頂點恰好是拋物線《=十獷的焦點，離心率為

￥.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過橢圓C的右焦點作直線Z交橢圓。于A、B兩點，交g軸于河點,

5

若MA=XxAF，MB=A2BF，求證：九十4=―10.

血］3已知△OFQ的面積S=2萌,且標?閑="。設(shè)以。為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過Q,\OF\^c,

(乎-I*,當|西|取得最小值時，求此雙曲線方程。

m=

1類型1一一求待定字母的值

網(wǎng)］1設(shè)雙曲線。：考■-y2=l(a>0)與直線乙：x+y=l相交于兩個不同的點4B,直線刀與沙軸交于點P,

a

且=求a的值

2類型2一—求動點的軌跡

網(wǎng)11如圖2，動直線3=%必+1與沙軸交于點A,與拋物d=c—3交于不同的兩點B和C,且滿足BP=

APC,AB=/L4C,其中4CR.。求APOA的重心Q的軌跡。

思路:將向量表達式轉(zhuǎn)化為坐標表達式,消去參數(shù)入獲得重心Q的軌跡方程，再運用判別式確定實數(shù)k的

取值范圍，從而確定軌跡的形狀。

3類型3一—證明定值問題

網(wǎng)］1已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在，軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于兩點，

瓦？+屈與4=(3,-1)共線。設(shè)/■為橢圓上任意一點，且麗=4或+〃加，其中兒〃e兄證明：矛

+〃2為定值。

思路:設(shè)A、B、加"三點的坐標，將向量間的共線關(guān)系、和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，再利用方程組、韋達定

理、點在橢圓上滿足方程等證明定值。

4類型4一一探索點、線的存在性

期]1在△ABC中，已知B(—2,0),C(2,0),AD，于D,△ABC的垂心H分有向線段AD所成的比

為設(shè)P(—l,0),Q(l,0),那么是否存在點H,使上,士,士成等差數(shù)列，為什么？

3\HP\\PQ\\HQ\

思路:先將AC，EH轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，由此獲得動點H的軌跡方程;再將向量的長度關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)(坐

標)關(guān)系,通過解代數(shù)方程組獲解。

5類型5一—求相關(guān)量的取值范圍

血]1給定拋物線C：婿=4c,F是。的焦點，過點F的直線Z與。相交于43兩點，且麗=疝可4C[4,9],

求/在V軸上截距的變化范圍。

思路:設(shè)A、B兩點的坐標，將向量間的共線關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系，再求出/在v軸上的截距，利用函數(shù)的

單調(diào)性求其變化范圍。

?■興

題型五：面積問題

刷1已知橢圓。：與+￡=13>b>o)的離心率為差,短軸一個端點到右焦點的距離為B

ab3

(I)求橢圓。的方程；

(II)設(shè)直線Z與橢圓。交于4、B兩點，坐標原點。到直線I的距離為空，求△AOB面積的最大值。

02已知橢圓+￡=l(a>b>0)的離心率為手,短軸一個端點到右焦點的距離為V3.(I)求橢圓

a2b23

C的方程;(II)設(shè)直線，與橢圓。交于A、B兩點,坐標原點。到直線I的距離為卓,求"OB面積的最

大值.

回色已知橢圓（+q=1的左、右焦點分別為用&過后的直線交橢圓于兩點，過河的直線交橢圓

O/

于4。兩點，且ACLBD,垂足為P.（1）設(shè)。點的坐標為（如加,證明：?+必〈1；

（II）求四邊形ABCD的面積的最小值.

題型六：弦或弦長為定值、最值問題

血］1已知△OFQ的面積為2瓜OF-FQ^m

（1）設(shè)血<小<4碗,求AOFQ正切值的取值范圍；

（2）設(shè)以。為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q（如圖），|而|=c,m=（乎一I,?當|可|取得最小值

時,求此雙曲線的方程。

血12已知橢圓號+手=1兩焦點分別為月、鳥，P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足麗?麗=1,過P作

傾斜角互補的兩條直線P4、P8分別交橢圓于A、B兩點.（I）求P點坐標；（II）求證直線的斜率為

定值；（III）求APAB面積的最大值.

網(wǎng)］3己知橢圓號+娟=1的左焦點為F,。為坐標原點。（1）求過點O、F,并且與橢圓的左準線，相切的圓

的方程；（〃）設(shè)過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與立軸交于

點G,求點G橫坐標的取值范圍。

的4已知點AB的坐標分別是(0,—1),(0,1),直線相交于點”,且它們的斜率之積為—(1)求

點河軌跡。的方程；(2)若過點。(2,0)的直線，與(1)中的軌跡。交于不同的兩點E、F(E在。、F之

間),試求kODE與AODF面積之比的取值范圍(O為坐標原點).

22

015已知橢圓G：與+弓=l(a>b>0)的右頂點為A(l,0),過G的焦點且垂直長軸的弦長為1.

ab

(1)求橢圓G的方程；

2

(〃)設(shè)點P在拋物線C2：y=x+h(hC1?)上，G在點p處的切線與G交于點M,N.當線段4P的中

點與上W的中點的橫坐標相等時，求拉的最小值.

題型七:直線問題

--22

網(wǎng)］1設(shè)橢圓。:今+%7/=l(a>b>0)過點M(四,1),且著焦點為^(-72,0)

ab~

(I)求橢圓。的方程；

(II)當過點P(4,l)的動直線Z與橢圓。相交與兩不同點4B時,在線段AB上取點Q,滿足|布卜|QB|=

司?醫(yī)同，證明：點Q總在某定直線上

吼2已知曲線r上任意一點P到兩個定點月(—四,0)和凡(g,0)的距離之和為4.(1)求曲線「的方程；

(2)設(shè)過(0,-2)的直線Z與曲線r交于。兩點，且瓦?阮=0(0為坐標原點)，求直線I的方程.

網(wǎng)］3設(shè)月、月分別是橢圓,+/=1的左、右焦點。

(I)若P是該橢圓上的一個動點，求朋?明的最大值和最小值；

(II)設(shè)過定點同(0,2)的直線，與橢圓交于不同的兩點A、B,且/AOB為銳角(其中O為坐標原點)，求直

線Z的斜率％的取值范圍。

題型八:軌跡問題:

軌跡法直接法:如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的

技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程,這種方法稱之為直接法；

麗］1已知直角坐標系中，點Q(2,0),圓。的方程為為+夕2=1,動點'到圓。的切線長與1M的比等于常數(shù),

4(4>0),求動點Af的軌跡。

2/

◎◎如圖，圓。1與圓。2的半徑都是1，。1。2=4.過動點P分別作圓。2、圓。2的切線，PN（M,N分

別為切點）,使得PM=2PN.試建立適當?shù)淖鴺讼?并求動點P的軌跡方程.

二、定義法:運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程,

或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出軌跡方程。

刷2已知動圓過定點（著,0）,且與直線2=-々相切，其中p>Q.

求動圓圓心。的軌跡的方程；

y,

??已知圓。的方程為"+才=100,點A的坐標為（—6,0）,“為圓。上任一點，4W?的垂直平分線交

。同于點P,求點P的方程。

◎?已知4B、。是直線Z上的三點，且|=|BC|=6,。O切直線,于點4又過8、C作。O,異于I

的兩切線，設(shè)這兩切線交于點P,求點P的軌跡方程.

三、相關(guān)點法:動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點F（rc,y）卻隨另一動點Q（〃，娟）的

運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x',y'表示為x,y的式子,再代入Q的軌跡

方程，然而整理得P的軌跡方程,代入法也稱相關(guān)點法。

幾何法:利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動點運動規(guī)律和動點滿足的條件,然而得

出動點的軌跡方程。

網(wǎng)］3如圖，從雙曲線"―力=1上一點Q引直線。+9=2的垂線，垂足為N。求線段QN的中點P的軌跡方

程。

22

血］4◎◎己知橢圓為+旨=l(a>b>0)的左、右焦點分別是用(一c,0)、￡(c,0),Q是橢圓外的動點,滿足

ab

|而|=2a.點P是線段RQ與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足丙?理=0,|元|20.

求點T的軌跡。的方程；

J

四、參數(shù)法，求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標、縱坐標之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)）,

使之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。

五、交軌法:求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時常用此法,也可以

引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。

網(wǎng)］7拋物線y2=4PMp>0）的頂點作互相垂直的兩弦。4、OB,求拋物線的頂點O在直線AB上的射影M

的軌跡。

題型九:對稱問題1

何1若橢圓勺+可=1上存在兩點4石關(guān)于心夕=4/+m對稱，求的取值范圍

/O

血］2已知實軸長為2a,虛軸長為2b的雙曲線S的焦點在c軸上,直線y=-是雙曲線S的一條漸近線,

而且原點。，點A(a,0)和點6(0,—b)使等式即+|翦2=小那說『成立.

(I)求雙曲線S的方程；

(〃)若雙曲線S上存在兩個點關(guān)于直線l-.y=m+4對稱,求實數(shù)k的取值范圍.

題型十:存在性問題

(存在點，存在直線V=far+m,存在實數(shù)，存在圖形:三角形(等比、等腰、直角),四邊形(矩形、菱形、正方形),

刷1設(shè)橢圓/￡+乂=1(見6>0)過河(2,2)，N(碗,1)兩點，。為坐標原點，

ab

(1)求橢圓E的方程；

(〃)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點且小X，/？若

存在，寫出該圓的方程，并求|的取值范圍，若不存在說明理由。

網(wǎng)］2在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點（0,V2）且斜率為％的直線，與橢圓號+/=1有兩個不同的交點P

和Q.（1）求k的取值范圍；（〃）設(shè)橢圓與。軸正半軸、"軸正半軸的交點分別為A,是否存在常數(shù)3

使得向量加+的與荏共線？如果存在，求k值;如果不存在,請說明理由.

幽以設(shè)E、E分別是橢圓曰+?=1的左、右焦點.（I）若。是該橢圓上的一個動點，求麗?兩的最大值

和最小值；（II）是否存在過點力（5,0）的直線，與橢圓交于不同的兩點使得㈤。|=|月D|?若存

在,求直線，的方程;若不存在,請說明理由.

22

題14橢圓G：%+%=l(a>6>0)的兩個焦點為用、月，短軸兩端點馬、星，已知后、￡、馬、昆四點共圓，

且點N(0,3)到橢圓上的點最遠距離為56.(1)求此時橢圓G的方程；(2)設(shè)斜率為封％/0)的直線山與

橢圓G相交于不同的兩點E、F,Q為EF的中點，問E、F兩點能否關(guān)于過點P(0,苧)、Q的直線對稱？

若能,求出％的取值范圍;若不能，請說明理由.

題5已知橢圓。：三+卷=l(a>6>0)的離心率為手,過右焦點F的直線I與。相交于A、B兩點，當Z

的斜率為1時,坐標原點。到，的距離為坐

⑺求a,6的值；

(〃)。上是否存在點P,使得當Z繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有詼=+9成立？若存在，求出所有的P的

坐標與，的方程;若不存在，說明理由。

22

口6已知直線c—29+2=0經(jīng)過橢圓C：3+上=l(a>b>0)的左頂點A和上頂點。，橢圓C的右頂點

ab

為B,點S是橢圓。上位于多軸上方的動點，直線AS,BS與直線Z:c=孚分別交于河,N兩點。

(1)求橢圓。的方程；

(II)求線段的長度的最小值；

(III)當線段7WN的長度最小時，在橢圓。上是否存在這樣的點T,使得aTSB的面積為言？若存在,

確定點T的個數(shù)，若不存在，說明理由

血］7已知雙曲線/—丁=2的左、右焦點分別為耳，后,過點月的動直線與雙曲線相交于兩點.

(1)若動點“滿足F\M=F{A+F\B+而(其中O為坐標原點)，求點M的軌跡方程；

(〃)在立軸上是否存在定點。，使司.歷為常數(shù)？若存在，求出點。的坐標;若不存在，請說明理由.

血］8在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在第二象限、半徑為2區(qū)的圓。與直線y=x相切于坐標原點O.

橢圓三+4=1與圓。的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.

a9

(1)求圓。的方程；

(2)試探究圓。上是否存在異于原點的點Q,使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長.若存在,

請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

22

血19設(shè)橢圓石:與+4=l(Q,b>0)過河(2,2)，雙(前，1)兩點，。為坐標原點，

ab

(1)求橢圓E的方程；

(〃)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且。N，OB2若

存在，寫出該圓的方程，并求MB|的取值范圍,若不存在說明理由。

園J錐曲線九大題型歸納

題型一:弦的垂直平分線問題

題型二:動弦過定點的問題

題型三:過已知曲線上定點的弦的問題

題型四：向量問題

題型五:面積問題

題型六:弦或弦長為定值、最值問題

題型七:直線問題

題型八:對稱問題

題型九:存在性問題：（存在點，存在直線沙=做+館,存在實數(shù)，存在圖形:三角形（等比、等腰、直

角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）

題型一：弦的垂直平分線問題

面］1過點T（T,0）作直線Z與曲線N:靖=。交于A、B兩點，在立軸上是否存在一點E（g,0），使得AABE

是等邊三角形，若存在，求出茄；若不存在,請說明理由。

解:依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。

設(shè)直線z：y=%3+i）,4傷,%），B（呵,而。

2

由｛y-k（x+1）消整理，得k2x2+（2R2TM+fc=0①

Vy=x

由直線和拋物線交于兩點，得△=（2fc2-l）2-4A:4=-4fc2+l>0

1

即0Vfc29<-J②

2肥一12k2-l1

由韋達定理，得：x+x-77一，◎力2：lo則線段AB的中點為

T22肥,2k

線段的垂直平分線方程為：

1一.,則E\1

廣/=一1/一與三）令“=°，得為

2k22k2-T°

AABE為正三角形，E（—'到直線AB的距離d為啕明。

\2k2/

\AB\=J（%—統(tǒng)）2="二耿-VT+Pd=

抵勺；4昭.1+%2=J：*解得卜=土嚼滿足②式此時g=。

2k2\K\loJ

【涉及到弦的垂直平分線問題】

這種問題主要是需要用到弦43的垂直平分線L的方程，往往是利用點差或者韋達定理產(chǎn)生弦AB的中

點坐標M,結(jié)合弦與它的垂直平分線L的斜率互為負倒數(shù),寫出弦的垂直平分線L的方程，然后解決相關(guān)

問題，比如:求L在工軸y軸上的褶距的取值范圍，求L過某定點等等。有時候題目的條件比較障蔽，要分析后

才能判定是有關(guān)弦的的中點問題，比如:弦與某定點。構(gòu)成以。為頂點的等腰三角形(即D在AB的垂直平

分線上)、曲線上存在兩點他關(guān)于直線m對稱等等。

血]2例題分析1：已知拋物線y=—/+3上存在關(guān)于直線，+v=0對稱的相異兩點A、B,則因國等于

L......................./

2

解：設(shè)直線AB的方程為g=/+b,由'彳。nx+x+b—3=0nx1+x2=—l,進而可求出AB

[y=x+b

的中點M(—p―+b),又由―p—去+b)在直線/+g=0上可求出b=l,x2+x-2=0,

由弦長公式可求出\AB\=V1+l2Vl2-4x(-2)=3V2.

題型二:動弦過定點的問題，

011已知橢圓。：A+蔣=l(a>6>0)的離心率為手，且在立軸上的頂點分別為4(—2,0),4(2,0)。

(1)求橢圓的方程；

(〃)若直線l-.x=>2)與c軸交于點T,點P為直線，上異于點T的任一點，直線分別與橢圓

PAX,PA2

交于河、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論

解：(/)由已知橢圓。的離心率e=￡=~^~、a=2,則得c==1。從而橢圓的方程為亍+才

=1

(〃)設(shè)“(劣1,%)，N(力2,92),直線4河的斜率為ki,則直線4河的方程為g=ki3+2),由

2

消y整理得(1+4kl)x+16k2x+16fe?-4=0???—2和g是方程的兩個根，23=

哂一42-8/c?2-湍4fcx\

貝Ix=yi=------7)即點河的坐標為1+4就'1+4k"

1+4就1i+4kV1+4就

8A；2—2—4k2]

同理,設(shè)直線4N的斜率為％2,則得點N的坐標為1+4feo1+4照)

多，?.?直線MN的方程為：2二比=3&

---Vp=+2）,%=k2（t-2）3—

卜1+AZ2X—XiX2-Xi

令夕=0,得力=-%一的紡，將點河、N的坐標代入，化簡后得：7=±

仇一仇t

又1>2,0V?<2?.?橢圓的焦點為（心,0）：.^=V3,^t=4V3

"T"

故當力=手時，MN過橢圓的焦點。

O

題型三:過已知曲線上定點的弦的問題］

網(wǎng)］1已知點4B、。是橢圓E：目+%=1（a>6>0）上的三點,其中點A（2V3,0）是橢圓的右頂點，直線

ab

BC過橢圓的中心。,且前?炭=0,叵方|=2|/I，如圖。（/）求點C的坐標及橢圓E的方程；（〃）若橢

圓E上存在兩點P、Q,使得直線PC與直線QC關(guān)于直線①=代對稱,求直線PQ的斜率。

解：（/）?.?叵方|=2|而且BC過橢圓的中心O

/.\oc\=\AC\?：AC-BC=0:.Z.ACO=彳■又；^4（273,0）.?.點C的坐標為（/3,閱。

232

A（2A/3,0）是橢圓的右頂點，a=2V3,則橢圓方程為：-\—-=1

12o

22

將點。（逐風代入方程，得/=4,.?.橢圓E的方程為m+（=1

（〃）?.?直線PC與直線QC關(guān)于直線田="對稱，

設(shè)直線PC的斜率為R,則直線QC的斜率為一上從而直線PC的方程為:

y=kx+V3（l-k）卷理得.

y—V3=k{x—V3），即g=krc+V3（l—k）,由"+3戶12=0消9，整理年

（1+3fc2）cc2+6A/3fc（l—k）x+9k2—18k—3=0\*x=V3是方程的一個根,

9k218k39fc2—18k—3ce-r,巨9fc2+18fc—3

.-..V3=-7x-布（1+訪同理可行-=茴（1+詞

Xpl+3fc2P

yp-yQ=kxP+V3（l-k）+kxQ-V3（l+k）=k（xP+x（^-2^3k=小肅;肥）

2

9fe-18A:-39肥+1弘一3-36fc.，DQ=1

XpXq~V3（l+3肥）V3（l+3fe2）—73（1+3k2）PQ

■-xP-xQ1

則直線PQ的斜率為定值［■。

0

題型四：共線向量問題/

四］如圖所示，已知圓C:(x+1產(chǎn)+才=8,定點4(1,0),"■為圓上一動點,點P在4W上，點N在CM■上，且滿

足瓦法=2不，而5??=(),點N的軌跡為曲線EJ)求曲線E的方程；〃)若過定點F(O,2)的直線交曲

線E于不同的兩點G、H(點G在點之間)，且滿足壽=4用，求4的取值范圍.

解：⑴資=2毋,其7防=O；.NP為的垂直平分線，=

又v|C7V|+\NM\=2V2,.-.\CN\+\AN\=2V2>2.：.動點N的軌跡是以點

C(-l,0),A(1,0)為焦點的橢圓.且橢圓長軸長為2a=2V2,

焦距2c=2./.a=V2,c=l,b2=l..,.曲線E的方程為1-+y2=1.

(2)當直線G8斜率存在時,設(shè)直線GH方程為y=far+2,代入橢圓方程與+y2=1,

得(5+肥)/+4如+3=0.由A>0得配>多設(shè)GQI,%),8(g,%),

—4k—8k/1、3

則Xi+X2=E⑴，-2—J(2)又?.?吊=4兩,

-^+fc22+k21+2/c2

；.(◎,%—2)=A(x2,y2-2)A/尸電,=U，，魯n'+；+2=3/葭)=

Vk2>4<———〈學..?.4<義+=+2<孚.解得5<4<3.又???0<義<1,

23傍+2)3A33

~V4V1.

O

又當直線GH■斜率不存在，方程為t=0,前=[■而"=VI,即所求4的取值范圍是

OOO

麗2已知橢圓。的中心在坐標原點,焦點在c軸上,它的一個頂點恰好是拋物線y=/的焦點，離心率為

￥.(1)求橢圓。的標準方程；(2)過橢圓。的右焦點作直線,交橢圓。于人、3兩點，交沙軸于初點，

5

若MA—A-iAF,MB=A2BF,求證：4+%=—10.

、............................................................，，，，.......................................................................................................................................*

2沙2

解：設(shè)橢圓。的方程為q+{=1(a>b>0)拋物線方程化為a?=4g,其焦點為(0,1),

ab

則橢圓。的一個頂點為(0,1),即6=1由6=個=、/^^我=2￡,.?.a2=5,橢圓。的方程為y

+/=1(2)證明：右焦點F(2,0),設(shè)A(g,yi),B32，%),河(0,%)，顯然直線I的斜率存在，設(shè)直線I的方

程為g=k(c—2),代入方程J+g2=i并整理，得(i+5/)/—20興化+20k?—5=0，g+力2=

5

一叱2，/逆2=，"二?又赤=(B，%一%),MB=(g,%一夕0),AF=(2-X1,-7/1),BF=(2-a?2,

1+5fc1+5fc

—y?,

而MA=A^AF,MB=A2BF,(TJ-0,yr-yo)=zli(2-xlt-yj,(x2-0,y2-yo)=/l2(2-rr2,-y2)

.ng甑9.._的g_2(刈+22)—2gg_I。

一三'所以—;K+-4—23+電)+力限—T°

血]3已知△CFQ的面積S=2函,且云?至=m。設(shè)以。為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過Q,\OF\^c,

機=(乎-I%?,當|函|取得最小值時，求此雙曲線方程。

1...............................................................................................…*

24

解：設(shè)雙曲線方程為今~——=1,。(力o,y°)。

ab

FQ=(x0-c,yo),S^0FQ=-^\OF\\y0\=2V6,：.y0=±^^-o

OF'FQ=(c,0)(g-c,加=c(g—c)=(乎—l)c2nx0=平c。

\OQ\=J就+。=J+92-2V3,

當且僅當哆=粵，即c=4時詼|最小，此時Q(西,祈)或(西

OC

WA-=1(CL2—4T?11~

所以V”F=>,2.故所求的雙曲線方程為手一%=1。

[a2+b2=16S=12412

1類型1一一求待定字母的值

網(wǎng)］1設(shè)雙曲線C：4-y-l(a>o)與直線乙”+沙=1相交于兩個不同的點A、B,直線乙與U軸交于點P,

a

且PA=2PB,求a的值

思路:設(shè)力、8兩點的坐標，將向量表達式轉(zhuǎn)化為坐標表達式，再利用韋達定理，通過解方程組求a的

值。

解：設(shè)4%，以)，毛㈤斷)，P(O,I)

PA=卷PB,...(?,%—1)=卷(陶紡-1),???立尸行如

x+y=l

聯(lián)立2_1,消去。并整理得，(1-a2)*T2+2a2x-2a2=0(*)

I7一"=1

,Jl-aMO,

vB是不同的兩點，.二't4a4+8a2(l-a2)>0,

2

2a2

，0VQ〈血且QW1.于是劣1+/2=----------7且力1力2=一?

1-a一/，

即器灰=一產(chǎn)=，且得舄=一產(chǎn):，消去電得，—產(chǎn)三289

121—a121—a1—a60，

a=±磊,丁0VaV四且aW1,?\Q=圣。

J.OXo

2類型2一—求動點的軌跡

用］1如圖2，動直線9=fcr+l與g軸交于點A,與拋物力=±—3交于不同的兩點B和C,且滿足BP=

APC,AB=/L4C,其中4CR.。求APOA的重心Q的軌跡。

思路：將向量表達式轉(zhuǎn)化為坐標表達式,消去參數(shù)A獲得重心Q的軌跡方程,再運用判別式確定實數(shù)k的

取值范圍，從而確定軌跡的形狀。

J_________________________________________________________________________/

解：由（"2=kXY得，必/+（2k—1）立+4=0.

（y=x-3

設(shè)式），幼），。（72,夕）2,（圖2）

*12fc

則xr+x2=~,益g=

kk

由BP=APC=>（x-x^y-yj=A（x2-x,y2-y'）

=>x—

由AB=AAC=>3i,%-1)=A(x2,y2-1)n判=Ax2,

zn.—=電一?.2叩2=8

,X1x2X1+x2l-2k'

=>y'=kx+1=+1=消去卜得，x'-2-6=0(*)

1-Zrv1-ZK

'x=^-rr=o

設(shè)重心QQ，U),則3今憶：；i,代入(*)式得，3t—6y—4=0。

y=乜—iy—sy上

因為—且kW0=>4Vx<12且rc'W8=>二</<4且力￥與

2633

故點Q的軌跡方程是3/一6g—4=0(-^-VnV4且/W,),其軌跡是直線3x—6y—4=0上且不包

括點的線段AB。

3類型3--證明定值問題

血］1己知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在立軸上,斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、8兩點，

瓦5+加與日=(3,-1)共線。設(shè)“為橢圓上任意一點，且兩=AOA+〃加，其中九〃CR.證明：下

+”為定值。

思路:設(shè)A、"三點的坐標，將向量間的共線關(guān)系、和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，再利用方程組、韋達定

理、點在橢圓上滿足方程等證明定值。

L....—............................—.—.」

22

解：設(shè)橢圓方程為+與■=1(Q>b>0),尸(c,0).則直線AB的方程為

ab

y=x-c.代入橢圓方程中，化簡得，（。2+/）22_2a2cx+a2c2—a?b2=0.

2Q2c_Q2c2—Q2”

設(shè)A(傷,%),石(力2辿2),則21+/2=ixlx2

~^~a2+b2

由OA+OB與日=⑶-1）共線，OA+OB=（g+g,%+g2）得,

3（%+統(tǒng)）+（g+g）=0。又％=g—c,j2=a2—c,

/.3（21+g—2c）+（為+力2）—0,/,21+/2=坐"，即2：:=坐,:?怖=3b2.

2a+b2

而02=Q2—猿于是。2=1_//=#。

27

X222

因此橢圓方程為9-\——=1,即x-\-3y—3b.

3bb

設(shè)TWQ,y）,由麗？=/1瓦5+得，（力,g）=4（如明）+〃（力2,3），

X=Ax1+/Ltx2且g=義?/1+〃"2?

因M為橢圓上一點，所以（私+〃/2）2+3（/1m+〃仍）2=3b2.

2

即下（4+3裙）+〃2（后+3/）+2A^x1x2+3y1y2）=3&①

I3c2321212（1C-Q%232

又為+力2=F，a=—c,b=--c,xx=-----—=—c.

NNNr2a+bo

2

則x1x2+3y1y2=gg+3（g—c）（x2—c）=4xix2-3（/i+g）c+3c

=yc2--1-c2+3c2=0.而xl+3yl=3b2,xl+3yl=3b2,

代人①得，矛+〃2=i,矛+片為定值。

4類型4一一探索點、線的存在性

血］1在△ABC中，已知B(—2,0),C(2,0),ADLBC于。，△ABC的垂心H分有向線段入。所成的比

為J。設(shè)P(—1,0),Q(l,0),那么是否存在點H,使士，士,士成等差數(shù)列，為什么？

3\HP\\PQ\\HQ\

思路:先將AC,瓦/轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，由此獲得動點H的軌跡方程;再將向量的長度關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)(坐

標)關(guān)系，通過解代數(shù)方程組獲解。

1......I............一L?

解：設(shè)H(c,y),由分點坐標公式知

為垂心：.AC±BH,：.卜一2,?)Q+2,y)=0,

整理得，動點H的軌跡方程為亨+與=1(沙￥0)。

\HP\=y/(x+lT+y2