工程力學(xué)：力偶系

1力偶系§3-1力對(duì)點(diǎn)之矩矢§3-2力對(duì)軸之矩§3-3力偶矩矢§3-4力偶的等效條件§3-5力偶系的合成§3-6力偶系的平衡條件2平衡二力：大小相等，方向相反，共線A對(duì)剛體不產(chǎn)生作用效應(yīng)力偶：大小相等，方向相反，不共線對(duì)剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)AB問題：如何描述力或力系對(duì)剛體產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)呢？3A§3-1力對(duì)點(diǎn)之矩矢平面上的力F對(duì)剛體產(chǎn)生的繞平面上某一點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于兩個(gè)要素：1.強(qiáng)弱程度：F

為作用于剛體上的一個(gè)力，O為位于F作用線外的一點(diǎn)——F

有使剛體繞O

轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)（效應(yīng)）2.轉(zhuǎn)動(dòng)方向：O稱為矩心，O

到力F

的作用線的垂直距離h

稱為力臂一、平面中力對(duì)點(diǎn)之矩逆時(shí)針為正順時(shí)針為負(fù)力F與力臂h的乘積43.轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方位（或者說(shuō)力F與O所在的平面的法線方位）二、空間中力對(duì)點(diǎn)之矩的概念在一般情況下，力F對(duì)剛體產(chǎn)生的某一點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于三個(gè)要素：1.強(qiáng)弱程度;2.轉(zhuǎn)動(dòng)方向;Frd1.力對(duì)點(diǎn)之矩矢的數(shù)學(xué)描述（1）力矩矢量表示式：

對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的強(qiáng)度

—矢量方向由右手定則確定，確定了轉(zhuǎn)動(dòng)方向—矢量作用在O點(diǎn),垂直于

r和F

所在的平面，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方位5（2）力矩矢量解析表示式力對(duì)點(diǎn)之矩在軸上的投影：xyzijkrFxyz62.力對(duì)點(diǎn)之矩的基本性質(zhì)

力對(duì)點(diǎn)之矩服從矢量的合成法則：作用于剛體上的二力對(duì)剛體產(chǎn)生的繞任一點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，可以用該點(diǎn)的一個(gè)矩矢來(lái)度量，這個(gè)矩矢等于二力分別對(duì)O點(diǎn)矩矢的矢量和：同樣，由n個(gè)力組成的力系對(duì)剛體產(chǎn)生的繞任一點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，可以用該點(diǎn)的一個(gè)矩矢來(lái)度量，這個(gè)矩矢等于各力對(duì)O點(diǎn)矩矢的矢量和：73.力對(duì)點(diǎn)之矩的合力矩定理：則有，合力對(duì)任一點(diǎn)的矩矢等于各分力對(duì)同一點(diǎn)矩矢的矢量和：若作用在剛體上的力系存在合力8F§3-2力對(duì)軸之矩

定義:力使物體繞某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度,稱為力對(duì)該軸之矩。(代數(shù)量）力對(duì)軸之矩的實(shí)例思考：如果力與軸平行，會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)嗎？9zodF力對(duì)軸之矩的計(jì)算方法一:將力向垂直于該軸的平面投影,力的投影與投影至軸的垂直距離的乘積。代數(shù)量正負(fù)的判斷：右手定則10xzijkyFyxz方法二:將力向三個(gè)坐標(biāo)軸方向分解,分別求三個(gè)分力對(duì)軸之矩，然后將三個(gè)分力對(duì)軸之矩的代數(shù)值相加。力F對(duì)z軸之矩：力F對(duì)x軸與y

軸之矩：11力對(duì)軸之矩結(jié)論：力對(duì)軸之矩等于力對(duì)軸上任意一點(diǎn)之矩在該軸上的投影xyzOrF問題：力對(duì)軸之矩與力對(duì)軸上一點(diǎn)之矩有什么關(guān)系？=

(Fzy-Fyz)i+(Fxz-Fzx)j+(Fyx-Fxy)k力對(duì)點(diǎn)之矩特殊情形:當(dāng)軸垂直于

r和F所在的平面時(shí),力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩在數(shù)值上相等。12將上式向x軸投影,可以得到結(jié)論:

力系的合力對(duì)某一軸之矩等于各分力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和

力對(duì)軸之矩的合力矩定理力對(duì)點(diǎn)之矩的合力矩定理：13§3-3力偶、力偶系和力偶矩矢力偶與力偶系由兩個(gè)等值、反向、不共線的（平行）力組成的力系稱為力偶，記作

二力作用線之間的垂直距離——力（偶）臂

二力所在平面——力偶作用面FF’作用于剛體上的一群力偶——力偶系力偶只對(duì)剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)14ABFF’力偶矩矢—

力偶對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量FABF’dM注：力偶矩矢垂直于力偶所在的平面，其大小和方向與取矩點(diǎn)無(wú)關(guān)。O力偶矩矢力偶(F,F’)是特殊的力系，對(duì)O點(diǎn)

的合力矩為：151、力偶的等效條件(定理）兩個(gè)力偶等效的條件是它們的力偶矩矢相等ABCD§3-4、力偶的等效條件和性質(zhì)16性質(zhì)一力偶不能與一個(gè)力等效2、力偶的性質(zhì)MrF思考：主動(dòng)力偶M

和主動(dòng)力

F作用在可繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的輪上，如圖所示。當(dāng)力偶矩與力滿足關(guān)系M＝Fr時(shí)，輪處于平衡狀態(tài)。這不正說(shuō)明力偶可以與一個(gè)力等效嗎？F17ABAB性質(zhì)二

力偶可在其作用面內(nèi)任意平移和轉(zhuǎn)動(dòng)（或移到另一平行平面),而不改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)FFFF18性質(zhì)三

只要力偶矩矢量的方向和大小不變（F，d

可變），則力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)就不變。AB19證：設(shè)物體的某一平面上作用一力偶(F,F')(1)沿力偶臂AB方向加一對(duì)平衡力(Q,Q'),Q',F'合成R'，(2)再將Q,F合成R，得到新力偶(R,R'),(3)將R,R'分別移到A',B'點(diǎn)，則(R,R')與原力偶等效思考：如何證明力偶可在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)F'FABQ'QR'R(4)最后將力偶(R,R')的力臂調(diào)整到與原力偶相等20§3-5、力偶系的合成設(shè)作用于剛體上的任意兩個(gè)力偶M1，M2，結(jié)論：兩個(gè)力偶的合成的結(jié)果是一個(gè)合力偶，合力偶的力偶矩矢等于此二力偶力偶矩矢的矢量和總能將其等效為兩個(gè)共力臂的力偶：21作用于剛體上的力偶系合成為一力偶任意個(gè)力偶的合成合力偶的大?。汉狭ε嫉姆较颍?2平衡的充分必要條件:空間力偶系的平衡條件：平面力偶系的平衡條件：§3-6、力偶系的平衡條件可解三個(gè)未知量可解一個(gè)未知量23ABOABO（A）（B）例：結(jié)構(gòu)如圖所示，已知主動(dòng)力偶M，哪種情況鉸鏈的約束力較小,并確定約束力的方向（不計(jì)構(gòu)件自重）1、研究OA桿2、研究AB桿24ABO思考題：結(jié)構(gòu)如圖所示，已知各桿均作用一個(gè)主動(dòng)力偶

M，確定各個(gè)鉸鏈約束力的方向（不計(jì)構(gòu)件自重）ABOFO令M’＝{FO,FB}FB25例：主動(dòng)力偶M，確定支座A和桿AE上鉸鏈E處的約束力（不計(jì)構(gòu)件自重）。MEABC(1)選取整體為研究對(duì)象，確定FAyFBFAyD(2)選取AE桿為研究對(duì)象，確定FEFCDFAyFEFEFCDFAy26DB

研究BD研究ACCABD

例:求當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí),力偶應(yīng)滿足的關(guān)系。CAD272.畫剛體所受的所有主動(dòng)力偶和約束反力偶，并移動(dòng)到O點(diǎn)例：軸線處于同一平面內(nèi)的四根直桿OA,OB,OC,OD彼此剛性連接，與相連桿垂直的三個(gè)圓盤的直徑分別為dA=60cm,dB=40cm,dC=

20cm,a=1200,求直桿D端受到的約束反力偶的大小和方向。解：3.平衡條件5N5NBOAC10N10N20N20NaD1.選取剛體整體為研究對(duì)象，建立坐標(biāo)系yx28思考題：