2025屆山東省濟南市市中區(qū)實驗中學高一下數(shù)學期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆山東省濟南市市中區(qū)實驗中學高一下數(shù)學期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)的圖象過點，且在上單調(diào)，同時的圖象向左平移個單位之后與原來的圖象重合，當，且時，，則A． B． C． D．2．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．3．下圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則和的值分別為A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，74．是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角5．等比數(shù)列的前n項和為，且，，成等差數(shù)列．若，則（）A．15 B．7 C．8 D．166．已知a,,且,若對,不等式恒成立,則的最大值為()A． B． C．1 D．7．式子的值為()A． B．0 C．1 D．8．方程的解所在區(qū)間是（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，若，，則（）A． B．2 C． D．10．樣本中共有個個體，其值分別為、、、、.若該樣本的平均值為，則樣本的方差為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．方程在區(qū)間內(nèi)解的個數(shù)是________12．如圖所示為函數(shù)的部分圖像，其中、分別是函數(shù)圖像的最高點和最低點，且，那么________．13．對于正項數(shù)列，定義為的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為，則數(shù)列的通項公式為_____．14．_______________.15．函數(shù)的反函數(shù)為____________.16．棱長為，各面都為等邊三角形的四面體內(nèi)有一點，由點向各面作垂線，垂線段的長度分別為，則=______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．2021年廣東新高考將實行“”模式，即語文、數(shù)學、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共選六科參加高考.其中偏理方向是二選一時選物理，偏文方向是二選一時選歷史，對后四科選擇沒有限定.（1）小明隨機選課，求他選擇偏理方向及生物學科的概率；（2）小明、小吳同時隨機選課，約定選擇偏理方向及生物學科，求他們選課相同的概率.18．如右圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．19．已知向量滿足，且向量與的夾角為.（1）求的值；（2）求.20．已知數(shù)列滿足，且（，且）.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式（3）設數(shù)列的前項和，求證：.21．設等差數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等比數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】由題設可知該函數(shù)的周期是，則過點且可得，故，由可得，所以由可得，注意到，故，所以，應選答案A點睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.2、D【解析】

令，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得，那么，可將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題．【詳解】由題意，令，可得，，∴，∴原函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同．∵函數(shù)圖象的對稱軸為，，取得最大值為．故選：D．【點睛】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換、函數(shù)的值域，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意換元法的使用，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題.3、B【解析】

利用莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)的性質(zhì)直接求解．【詳解】由莖葉圖得：∵甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴，解得x＝1．故選B．【點睛】本題考查實數(shù)值的求法，考查莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4、C【解析】

本題首先要明確平面直角坐標系中每一象限所對應的角的范圍，然后即可判斷出在哪一象限中．【詳解】第一象限所對應的角為；第二象限所對應的角為；第三象限所對應的角為；第四象限所對應的角為；因為，所以位于第三象限，故選C．【點睛】本題考查如何判斷角所在象限，能否明確每一象限所對應的角的范圍是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題．5、B【解析】

通過，，成等差數(shù)列,計算出，再計算【詳解】等比數(shù)列的前n項和為，且，，成等差數(shù)列即故答案選B【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式，等差中項，前N項和，屬于常考題型.6、C【解析】

由，不等式恒成立，得，利用絕對值不等式的定理，逐步轉(zhuǎn)化，即可得到本題答案.【詳解】設，對，不等式恒成立的等價條件為，又表示數(shù)軸上一點到兩點的距離之和的倍，顯然當時，，則有，所以，得，從而，所以的最大值為1.故選：C.【點睛】本題主要考查絕對值不等式與恒成立問題的綜合應用，較難.7、D【解析】

利用兩角和的正弦公式可得原式為cos（），再由特殊角的三角函數(shù)值可得結(jié)果.【詳解】cos（）＝coscos，故選D．【點睛】本題考查兩角和的余弦公式，熟練掌握兩角和與差的余弦公式以及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題.8、D【解析】

令，則，所以零點在區(qū)間.方程的解所在區(qū)間是，故選D.9、C【解析】

由函數(shù)的解析式，求得，，進而得到，，結(jié)合兩角差的余弦公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令，即，即，所以，令，即，即，所以，又因為，，即，，所以，，即，，平方可得，，兩式相加可得，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式，三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應用，以及函數(shù)的解析式的應用，其中解答中合理應用三角函數(shù)的恒等變換的公式進行運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.10、D【解析】

根據(jù)樣本的平均數(shù)計算出的值，再利用方差公式計算出樣本的方差.【詳解】由題意可知，，解得，因此，該樣本的方差為，故選：D.【點睛】本題考查方差與平均數(shù)的計算，靈活利用平均數(shù)與方差公式進行求解是解本題的關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4.【解析】分析：通過二倍角公式化簡得到，進而推斷或，進而求得結(jié)果.詳解：，所以或，因為，所以或或或，故解的個數(shù)是4.點睛：該題考查的是有關(guān)方程解的個數(shù)問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有正弦的倍角公式，方程的求解問題，注意一定不要兩邊除以，最后求得結(jié)果.12、【解析】

由圖可知：，因為，由周期公式得到，結(jié)合以及誘導公式即可求解.【詳解】由圖可知：，因為所以，即由題意可知：，即故答案為：【點睛】本題主要考查了正弦型函數(shù)的圖像的性質(zhì)以及求值，關(guān)鍵是從圖像得出周期，最值等，屬于基礎題.13、【解析】

根據(jù)的定義把帶入即可。【詳解】∵∴∵∴①∴②①-②得∴故答案為：【點睛】本題主要考查了新定義題，解新定義題首先需要讀懂新定義，其次再根據(jù)題目的條件帶入新定義即可，屬于中等題。14、2【解析】

利用裂項求和法將化簡為，再求極限即可.【詳解】令...故答案為：【點睛】本題主要考查數(shù)列求和中的列項求和，同時考查了極限的求法，屬于中檔題.15、【解析】

首先求出在區(qū)間的值域，再由表示的含義，得到所求函數(shù)的反函數(shù).【詳解】因為，所以，.所以的反函數(shù)是.故答案為：【點睛】本題主要考查反函數(shù)定義，同時考查了三角函數(shù)的值域問題，屬于簡單題.16、．【解析】

根據(jù)等積法可得∴三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用列舉法,列舉出偏理方向和偏文方向的所有情況,即可求得小明選擇偏理方向且選擇了生物學科的概率.（2）利用列舉法,列舉出兩個人選擇偏理方向且?guī)в猩飳W科的所有可能,即可求得兩人選課相同的概率.【詳解】（1）由題意知,選六科參加高考有偏理方向：（物,政,地）、（物,政,化）、（物,政,生）、（物,地,化）、（物,地,生）、（物,化,生）六種選擇；偏文方向有：（史,政,地）、（史,政,化）、（史,政,生）、（史,地,化）、（史,地,生）、（史,化,生）六種選擇.由以上可知共有12種選課模式.小明選擇偏理方向又選擇生物的概率為.（2）小明選擇偏理且有生物學科的可能有：（物,政,生）、（物,地,生）、（物,化,生）三種選擇,同樣小吳也是三種選擇；兩人選課模式有：[（物,政,生）,（物,政,生）]、[（物,政,生）,（物,地,生]、[（物,政,生）,（物,化,生）]、[（物,地,生）,（物,政,生）]、[（物,地,生）,（物,地,生）[（物,地,生）,（物,化,生）]、[（物,化,生）,（物,政,生）]、[（物,化,生）,（物,地,生）[（物,化,生）,（物,化,生）]由以上可知共有9種選課法,兩人選課相同有三種,所以兩人選課相同的概率.【點睛】本題考查了古典概型概率的求法,利用列舉法寫出所有可能即可求解,屬于基礎題.18、（1）24；（2）8【解析】

（1）利用已知條件，利用正弦定理求得AD的長．（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．【詳解】(1)在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD?ACcos30°，解得CD=．所以A處與D處之間的距離為24nmile，燈塔C與D處之間的距離為nmile．【點睛】點睛：解三角形應用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)，得到，再由題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運算法則，以及（1）的結(jié)果，即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）因為，所以，即.因為，且向量與的夾角為，所以，即.（2）由（1）可得.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，熟記模的計算公式，以及向量數(shù)量積的運算法則即可，屬于常考題型.20、（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.【解析】

（1）用定義證明得到答案.（2）推出（3）利用錯位相減法和分組求和法得到，再證明不等式.【詳解】解：（1）由，得，即.∴數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.（2）∵