2025屆河北省石家莊市晉州一中實(shí)驗(yàn)班高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆河北省石家莊市晉州一中實(shí)驗(yàn)班高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖是一三棱錐的三視圖，則此三棱錐內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．2．在一段時(shí)間內(nèi)有2000輛車(chē)通過(guò)高速公路上的某處，現(xiàn)隨機(jī)抽取其中的200輛進(jìn)行車(chē)速統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如右面的頻率分布直方圖所示．若該處高速公路規(guī)定正常行駛速度為90km/h～120km/h，試估計(jì)2000輛車(chē)中，在這段時(shí)間內(nèi)以正常速度通過(guò)該處的汽車(chē)約有()A．30輛 B．1700輛 C．170輛 D．300輛3．函數(shù)的最小正周期是A． B． C． D．4．已知四面體中，，分別是，的中點(diǎn)，若，，與所成角的度數(shù)為30°，則與所成角的度數(shù)為（）A．90° B．45° C．60° D．30°5．若是異面直線，直線，則與的位置關(guān)系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交6．過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線垂直的直線方程是（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)、、在圓上運(yùn)動(dòng)，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最大值為（）A． B． C． D．8．已知在中，，那么的值為（）A． B． C． D．9．如果圓上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．10．設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．無(wú)限循環(huán)小數(shù)化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為_(kāi)_______12．在等差數(shù)列中，，當(dāng)最大時(shí)，的值是________.13．設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為，若，則__________________．14．已知等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=______________．15．某射手的一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1，則此射手在一次射擊中不超過(guò)8環(huán)的概率為_(kāi)________．16．已知為直線上一點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，則切線長(zhǎng)最短時(shí)的切線方程為_(kāi)_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，角的平分線交于點(diǎn)D，是面積的倍.（I）求的值；（II）若，，求的值.18．已知數(shù)列滿足,,,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)證明:.19．如圖，在三棱錐中，底面ABC，D是PC的中點(diǎn)，已知，，，，求：（1）三棱錐的體積；（2）異面直線BC與AD所成的角的余弦值大小.20．已知圓以原點(diǎn)為圓心且與直線相切．（1）求圓的方程；（2）若直線與圓交于、兩點(diǎn)，過(guò)、兩點(diǎn)分別作直線的垂線交軸于、兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．21．設(shè)函數(shù)．（1）若不等式的解集，求的值；（2）若，①，求的最小值；②若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】把此三棱錐嵌入長(zhǎng)寬高分別為：的長(zhǎng)方體中三棱錐即為所求的三棱錐其中，，，則，故可求得三棱錐各面面積分別為：，，，故表面積為三棱錐體積設(shè)內(nèi)切球半徑為，則故三棱錐內(nèi)切球體積故選2、B【解析】

由頻率分布直方圖求出在這段時(shí)間內(nèi)以正常速度通過(guò)該處的汽車(chē)的頻率，由此能估2000輛車(chē)中，在這段時(shí)間內(nèi)以正常速度通過(guò)該處的汽車(chē)約有多少輛.【詳解】由頻率分布直方圖得：在這段時(shí)間內(nèi)以正常速度通過(guò)該處的汽車(chē)的頻率為0.03+0.035+0.02×10=0.85∴估計(jì)2000輛車(chē)中，在這段時(shí)間內(nèi)以正常速度通過(guò)該處的汽車(chē)約有2000×0.85=1700（輛），故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題.直方圖的主要性質(zhì)有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為1；（2）組距與直方圖縱坐標(biāo)的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率；（3）每個(gè)矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)相乘后求和可得平均值；（4）直觀圖左右兩邊面積相等處橫坐標(biāo)表示中位數(shù).3、D【解析】

的最小正周期為，求解得到結(jié)果.【詳解】由解析式可知，最小正周期本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

取的中點(diǎn),利用三角形中位線定理,可以得到,與所成角為，運(yùn)用三角形中位線定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出與所成角的度數(shù).【詳解】取的中點(diǎn)連接，如下圖所示：因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以有，因?yàn)榕c所成角的度數(shù)為30°，所以，與所成角的大小等于的度數(shù).在中，，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的求法，考查了正弦定理，取中點(diǎn)利用三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.5、D【解析】

若為異面直線，且直線，則與可能相交，也可能異面，但是與不能平行，若，則，與已知矛盾，選項(xiàng)、、不正確故選．6、D【解析】

設(shè)出直線方程，代入點(diǎn)求得直線方程.【詳解】依題意設(shè)所求直線方程為，代入點(diǎn)得，故所求直線方程為，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩條直線垂直的知識(shí)，考查直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由題意可知為圓的一條直徑，由平面向量加法的平行四邊形法則可得（為坐標(biāo)原點(diǎn)），然后利用平面向量模的三角不等式以及圓的幾何性質(zhì)可得出的最大值.【詳解】如下圖所示：，為圓的一條直徑，由平面向量加法的平行四邊形法則可得（為坐標(biāo)原點(diǎn)），由平面向量模的三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的最值問(wèn)題，涉及平面向量模的三角不等式以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.8、A【解析】

，不妨設(shè)，,則，選A.9、B【解析】

將圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑得到答案.【詳解】，圓心為半徑為1圓心到原點(diǎn)的距離為：如果圓上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為即圓心到原點(diǎn)的距離即故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，轉(zhuǎn)化為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】對(duì)于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對(duì)于C是正確的．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用無(wú)窮等比數(shù)列求和的方法即可.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)窮等比數(shù)列的求和問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題型.12、6或7【解析】

利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，由，可以得到和公差的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以求出最大時(shí)，的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，所以，因?yàn)椋?，所以?dāng)或時(shí)，有最大值，因此當(dāng)?shù)闹凳?或7.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和最大值問(wèn)題，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.13、【解析】

由可知,算出用表示的極限,再利用性質(zhì)計(jì)算得出即可.【詳解】顯然公比不為1,所以公比為的等比數(shù)列求和公式,且,故.此時(shí)當(dāng)時(shí),求和極限為,所以,故,所以,故,又,故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列求和公式,當(dāng)時(shí).14、【解析】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，則，所以，由得解得，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，，所以考點(diǎn)定位：本題考查等比數(shù)列，意在考查考生對(duì)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用能力15、0.5【解析】

由互斥事件的概率加法求出射手在一次射擊中超過(guò)8環(huán)的概率，再利用對(duì)立事件的概率求出不超過(guò)8環(huán)的概率即可.【詳解】由題意，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1，所以射手的一次射擊中超過(guò)8環(huán)的概率為：0.2+0.3=0.5故射手的一次射擊中不超過(guò)8環(huán)的概率為：1-0.5=0.5故答案為0.5【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)立事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.16、或【解析】

利用切線長(zhǎng)最短時(shí)，取最小值找點(diǎn)：即過(guò)圓心作直線的垂線，求出垂足點(diǎn)．就切線的斜率是否存在分類(lèi)討論，結(jié)合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．【詳解】設(shè)切線長(zhǎng)為，則，所以當(dāng)切線長(zhǎng)取最小值時(shí)，取最小值，過(guò)圓心作直線的垂線，則點(diǎn)為垂足點(diǎn)，此時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.①若切線的斜率不存在，此時(shí)切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；②若切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即.由題意可得，化簡(jiǎn)得，解得，此時(shí)，所求切線的方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題，在過(guò)點(diǎn)引圓的切線問(wèn)題時(shí)，要對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，另外就是將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于中等題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）；（II）.【解析】

（I）根據(jù)是面積的倍列式，由此求得的值.（II）用來(lái)表示，利用正弦定理和兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)（I）所得的表達(dá)式，求得的值，進(jìn)而求得的值，利用正弦定理求得的值.【詳解】（I）因?yàn)锳D平分角，所以．所以．（II）因?yàn)?，所以，由（I）．所以，即．得，因?yàn)锳D平分角，所以．因?yàn)?，由正弦定理知，即，得．【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角形的面積公式，考查三角形內(nèi)角和定理，考查正弦定理解三角形，考查角平分線的性質(zhì)，屬于中檔題.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）由，得，即可得到本題答案；（2）由，得，即可得到本題答案；（3）當(dāng)時(shí)，滿足題意；若n是偶數(shù)，由，可得；當(dāng)n是奇數(shù),且時(shí)，由，可得，綜上，即可得到本題答案.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列；(2)因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；(3)①當(dāng)時(shí)，；②若n是偶數(shù)，則，所以當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，；③當(dāng)n是奇數(shù)，且時(shí)，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用構(gòu)造法證明等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式，以及數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題.19、（1），（2）【解析】

（1）先求出，然后由底面ABC得，即可算出答案（2）取的中點(diǎn)，可得是異面直線BC與AD所成的角（或其補(bǔ)角），然后在中，用余弦定理即可算出【詳解】（1）因?yàn)?，，所以因?yàn)榈酌鍭BC，所以（2）如圖，取的中點(diǎn),連接，則所以是異面直線BC與AD所成的角（或其補(bǔ)角）在中，所以由余弦定理得所以異面直線BC與AD所成的角的余弦值大小為【點(diǎn)睛】求異面直線所成的角是將直線平移轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，要注意異面直線所成角的范圍是.20、（1）；（2）.【解析】

（1）計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離，作為圓的半徑，從而可得出圓的方程；（2）計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可計(jì)算出，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，求出直線的傾斜角為，再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出.【詳解】（1）把直線化為一般式，即，到直線的距離為，圓的半徑為，圓的方程為；（2）直線的一般方程為，點(diǎn)到直線的距離為，圓的半徑為，則，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，．又的傾斜角為，，．因此，線段的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解，同時(shí)也考查了直線截圓所得弦長(zhǎng)的計(jì)算，