初中數(shù)學(xué)輔助線秘籍

第一章中點(diǎn)模型的構(gòu)造

當(dāng)已知條件中出現(xiàn)一個(gè)中點(diǎn)時(shí)，你首先想到的輔助線的解題方法是什么？如果已知兩個(gè)中點(diǎn)呢？

介紹以下方法：

1）倍長中線或類中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形；

2）三角形中位線定理：

3）已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線；

4）已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線合一”。

例1在AABC中，AB=5,AC=3,BC邊上的中線AD=2,求BC的長.

例2已知在aABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F,

AF=EF,求證：AC=BE.

變式：

如圖，在AABC中，AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF〃AD交CA的延長線于點(diǎn)F,

交AB于點(diǎn)G,若AD為AABC的角平分線，求證：BG=CF.

BEDC

例3在Rt^ABC中，NBAC=90°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且ED

1FD.以線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形，還是直角三角

形，或者是鈍角三角形？

例4已知在AABC中，BE、CF分別為邊AC、AB上的高，D為BC的中點(diǎn)，DM_LEF于點(diǎn)M.

求證：FM=EM.

例5已知：Z\ABD和4ACE都是直角三角形，且/ABD=/ACE=90°.如圖，連接DE,設(shè)M為

DE的中點(diǎn)，連接MB、MC.

求證：MB=MC.

DB

例6問題一：如圖（1）,在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF

并延長，分別與BA、CD的延長線交于點(diǎn)M、N,求證：ZBME=ZCNE.

問題二：如圖（2）,在四邊形ABCD中，AB與CD相交于點(diǎn)O,AB=CD,E、F分別是BC、

AD的中點(diǎn)，連接EF,分別交DC、AB于點(diǎn)M、N,判斷AOMN的形狀，請直接寫出結(jié)論.

問題三：如圖（3）,在aABC中，AOAB,D點(diǎn)在AC上，AB=CD,E、F分別是BC、AD

的中點(diǎn)，連接EF并延長，與BA的延長線交于點(diǎn)G,若/EFC=60°,連接GD,判斷4AGD的

形狀并證明.

例7問題一：如圖（1）,AABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AE1BC,BF_LAC,垂足分別為點(diǎn)

E、F,AE、BF交于點(diǎn)M,連接DE、DF.若DE=kDF,則k的值為.

問題二：如圖（2）,Z^ABC中，CB=CA,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在aABC的內(nèi)部，且

ZMAC=ZMBC.過點(diǎn)M分別作ME_LBC,MF1AC,垂足分別為點(diǎn)E、F,連接DE、DF.

求證：DE=DF.

問題三：如圖（3）,若將上面的問題（二）中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈BWCA"，其他

條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(1)(2)(3)

例8(2012?廣州)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=1(),F為AD的中點(diǎn)，CE_LAB于

E,設(shè)/ABC=a(60°<a<90°).

(1)當(dāng)a=60。時(shí)，求CE的長；

(2)當(dāng)60。<(1<90。時(shí)，是否存在正整數(shù)k,使得NEFD=kNAEF?若存在，求出k的值；若不

存在，請說明理由.

第二章角平分線模型的構(gòu)造

已知，P是NMON平分線上一點(diǎn)，角平分線的四大基本模型：

(1)若PA_LOM于點(diǎn)A,可過點(diǎn)P作PB_LON于B,則PB=PA;

(2)若點(diǎn)A是射線0M上任意一點(diǎn)，可在ON上截,取OB=OA,連接PB,則構(gòu)造了Z\OPB名ZkOPA；

(3)若AP_LOP于點(diǎn)P,可延長AP交ON于點(diǎn)B,則構(gòu)造了ZiAOB是等腰三角形，且P是AB中點(diǎn);

(4)若過點(diǎn)P作PQ〃ON交0M于點(diǎn)Q,則構(gòu)造了△POQ是等腰三角形。

例1(1)如圖，在△ABC中，NC=90。，NCAB的平分線AD交BC于點(diǎn)D,BC=8,BD=5,那

么點(diǎn)D到AB的距離是()

A.3B.4C.5D.6

(2)已知N1=N2,Z3=Z4,求證：AP平分NBAC

例2⑴在AABC中，AD是NA的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點(diǎn)，請比較PB+PC

與AB+AC的大小并說明理由.

(2)如圖，AD是△ABC中NBAC的平分線，P是AD上的任意一點(diǎn)，且AB>AC,請比較PB-PC

與AB-AC的大小并說明理由.

B

例3已知/BAD=NCAD,AB>AC,CD_LAD于點(diǎn)D,H是BC的中點(diǎn).求證：￡>“=」(A8-AC).

2

例4如圖1,BD、CE分別是AABC的外角平分線，過點(diǎn)A作AF_LBD,AG±CE,垂足分別為F、

G,連接FG,延長AF、AG,與直線BC相交于M、N.

(1)試說明：FG=-(AB+BC+AC)

2

(2)如圖2,若BD、CE分別是AABC的內(nèi)角平分線，則線段FG與AABC三邊又有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況說明理由；

(3)如圖3,若BD為aABC的內(nèi)角平分線，CE為aABC的外角平分線，則線段FG與4ABC

三邊的數(shù)量關(guān)系是.

例5如圖，在△ABC中，AB=3AC,NBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE_LAD,垂足為

E,求證：AD=DE.

例6在oABCD中，NBAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E,交直線DC于點(diǎn)F.

(1)在圖1中證明CE=CF；

(2)若NABC=90。，G是EF的中點(diǎn)(如圖2),直接寫出NBDG的度數(shù)；

(3)若/ABC=120。，F(xiàn)G〃CE,FG=CE,分別連接DB、DG(如圖3),求NBDG的度數(shù).

圖1圖2圖3

例7(1)如圖1,在aABC中，NABC與NACB的角平分線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作DE//BC,交

AC于點(diǎn)E,若BD+CE=9,則線段DE的長為;

(2)如圖2,在aABC中，BD、CD分別平分NABC和/ACB,DE//AB,FD//AC,如果BC=6,

求4DEF的周長.

圖1圖2

例8如圖，4ABC的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角NABC的平分線BP交于點(diǎn)P,連接AP、

CP,若/BPC=40°,求NCAP的度數(shù).

BCD

第三章弦圖的構(gòu)造及應(yīng)用

如以下圖是弦圖及其衍生圖：

例12002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股弦方圖》，

它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）.如果大正方形的

面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的較短直角邊為“，較長直角邊為〃，那么（。+初2的值

為.

例2如圖，直線1上有三個(gè)正方形a,b,c,若a,c的面積分別為5和11,則b的面積為

例3如圖，四邊形ABCD是正方形，直線/2,&分別通過A,B,C三點(diǎn)，旦1\〃h/小，若6與6

的距離為5,6與匕的距離為7,則正方形ABCD的面積為.

例4如圖1,4ABC中，AG_LBC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向4ABC

外作等腰RL^ABE和等腰RtaACF,過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.

(1)試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)若連接EF交GA的延長線于H,由(1)中的結(jié)論你能判斷并證明EH與FH的大小關(guān)系嗎？

(3)圖2中的AABC與4AEF的面積相等嗎？(不用證明)

圖1圖2

例5已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(4,0),B(0,-4),P

為y軸上B點(diǎn)下方一點(diǎn)，PB=m(m>0),以AP為邊作等腰直角三角形APM,其中PM=PA,點(diǎn)M

落在第四象限.

(1)求直線AB的解析式；

(2)用m的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若直線MB與x軸交于點(diǎn)Q,判斷點(diǎn)Q的坐標(biāo)是否隨m的變化而變化，寫出你的結(jié)論并說明理

由.

例6已知：在直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB1BC,AD=2,BC=3,設(shè)NBCD=a,以D為旋

轉(zhuǎn)中心，將腰DC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE,連接AE、CE.

(1)當(dāng)a=45°時(shí)，求4EAD的面積；

(2)當(dāng)a=30°時(shí)，求4EAD的面積；

(3)當(dāng)0°<a<90a時(shí)，猜想4EAD的面積與a大小有何關(guān)系？若有關(guān)，寫出4EAD的面積S與a

的關(guān)系式；若無關(guān)，請證明結(jié)論.

例7如圖(1)至圖(3),C為定線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，以AC、BC為邊分別向外側(cè)作正方形CADF

和正方形CBEG,分別作DDi_LAB、EE〔J_AB,垂足分別為D1、當(dāng)C的位置在直線AB的同側(cè)

變化過程中，

(1)如圖(1),當(dāng)NACB=90°,AC=4,BC=3時(shí)，求DD】+EEi的值；

(2)求證：不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化，DD1+EE1的值為定值;

S1圖2

11,

例8如圖，己知直線y=/x+l與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)D,拋物線y二萬/+Zzx+c與

直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）=

⑴求該拋物線的解析式：

⑵動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)4PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)P。

第四章三角形的中位線

三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.

中位線判定定理：經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊.

中線中位線相關(guān)問題（涉及中點(diǎn)的問題）

見到中線（中點(diǎn)），我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線以及中位線定理（以后還要學(xué)習(xí)中線長公式），尤

其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長中線的應(yīng)用更是較為常見.

例1如圖，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，E,F分別是AD,BC的中點(diǎn).

求證：EF<^（AB+CD）.

例2如圖所示.在四邊形ABCD中，CD>AB,AB與CD不平行，E,F分別是AC,BD的中點(diǎn).

求證：EF>^(CD-AB).

例3己知：如圖，E為OABCD中DC邊的延長線上的一點(diǎn)，且CE=DC,連結(jié)AE分別交BC、

BD于點(diǎn)F、G,連結(jié)AC交BD于O,連結(jié)OF.求證：AB=2OF.

B

rE

例4如圖，己知△ABC中，E是AB的中點(diǎn)，CD平分/ACB,AD_LCD與點(diǎn)D,

求證：(1)DE//BC；(2)DE=~(BC-AC).

例5AD是&48c的中線，尸是4）的中點(diǎn)，3尸的延長線交AC于E.求證：AE=-AC.

3

例6如圖所示，在AABC中，AB=AC,延長AB到O,使及）=3，E為的中點(diǎn)，連接CE、

CD,求證：CD=2EC.

D

例7己知：A8CO是凸四邊形，且AC<8。.E、F分別是A。、8c的中點(diǎn)，EF交AC于M；EF

交BC于N,AC和8。交于G點(diǎn).求證：4GMN>/GNM.

例8在AABC中，ZACB=90°,AC=-BC,以8c為底作等腰宜角A8C。，E是CD的中點(diǎn),

2

求證：4€，￡8且越=破.

例9如圖，在五邊形4BCDE中，AABC=Z.AED=90°,ABAC=ZEAD,尸為C￡＞的中點(diǎn).

求證：BF=EF.

例1()已知，如圖四邊形ABC。中，AD=BC,E、尸分別是AB和CO的中點(diǎn)，AD.EF、BC

的延長線分別交于M、N兩點(diǎn).求證：NAME=NBNE-

例11如右下圖，在AABC中，若NB=2NC,AD1BC,E為BC邊的中點(diǎn).求證：AB=2DE.

BDEC

例12（2009年大興安嶺地區(qū)初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試）己知：在A/WC中，I3OAC,動(dòng)點(diǎn)。繞

MBC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且AD=BC,連結(jié)。C.過A8、0c的中點(diǎn)E、尸作直線，直線即與

直線AD、BC分別相交于點(diǎn)〃、N.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到BC的延長線上時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)尸重合，取AC的中點(diǎn)，，連結(jié)

HE、HF,根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論N4MF=NBNE（不需證明）.

⑵當(dāng)點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí)，4M與NBNE有何數(shù)量關(guān)系？請分別寫出猜想,

并任選一種情況證明.

第五章圖形變換之軸對稱

最短路徑問題，需考慮軸對稱。幾何最值問題的幾種中考題型及解題作圖方法如下圖所示:

問題作圖方法備注

A.

B

(1)在直線1上求點(diǎn)P,使|PA-PB|?

最大.

1

A.

(2)在直線1上求點(diǎn)P,使|PA-PB|

最大.1

B*

A.

B

(3)在直線1上求點(diǎn)P,使PA+PB*

最小.

1

A.

(4)在直線1上求點(diǎn)P,使PA+PB

最小.1

B*

(5)在直線1上求兩點(diǎn)M、N(MB*

在左)，使得MN=a,并使A.

AM+MN+NB最小.

1

MN

(6)在射線11、12上分別求點(diǎn)M、

N,使△PMN周長最小.

2

(7)在射線1卜k上分別求點(diǎn)M、

N,使四邊形PMNQ周長最小.

(8)在射線12上求作一點(diǎn)D,

在射線h上求作一點(diǎn)C,使得

PD+CD最小.

B?

(9)在直線1上求點(diǎn)P,

A?

使PA=PB.

------------------/

例1

(1)如圖(a),把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，則

AE、AB、BF之間的關(guān)系是._________________________.

AD=8,貝EF=__________.

(3)如圖(c),折疊長方形的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處,如果AB=8cm,BC=10cm,則

CF=__________cm,EC=___________cm.

」E

Bc

(4)如圖(d),在矩形ABCD中，將4BCD沿對角線BD折疊，記點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C：如果AB=6cm,

AD=8cm,貝ijAE=.cm.

例2如圖，Rtz^ABC中，NACB=90°,ZA=50°,將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A'處，折

痕為CD,則/A'DB=()

A.40°B.30°C.20°D.10°

例3如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1,M、N分別是AD、BC邊上的點(diǎn)，將紙片的一角沿過

點(diǎn)B的直線折疊，使A落在MN上，落點(diǎn)記為A',折痕交AD于點(diǎn)E,若M、N分別是AD、BC

邊的中點(diǎn)，則A'N=；若M、N分別是AD、BC邊的上距DC最近的n等分點(diǎn)（n22,

且n為整數(shù)），則A'N=（用含有n的式子表示）.

例4在四邊形ABCD中，AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,/ABD+/BDC=90°,求四邊形ABCD

的面積.

D

C

例5(1)如圖(a),正方形ABCD的邊長為4,E是BC邊的中點(diǎn)，P是對角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

貝I]PE+PC的最小值是.

(2)如圖(b),若將(1)中的正方形改成菱形且NABC=60。，其他條件均不變，則PE+PC的最

小值是.

(a)(b)

例6(2012?廣東)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=8.把△BCD沿對角線BD折疊，使

點(diǎn)C落在C處，BC咬AD于點(diǎn)G；E、F分別是CD和BD上的點(diǎn)，線段EF交AD于點(diǎn)H,把4FDE

沿EF折疊，使點(diǎn)D落在D，處，點(diǎn)D"恰好與點(diǎn)A重合.

(1)求證：△ABGgZXCDG；

(2)求tanNABG的值；

(3)求EF的長.

例7(2012?德州)如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上的

一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H,

折痕為EF,連接BP、BH.

(1)求證：ZAPB=ZBPH；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若

存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由.

(備用圖)

第六章圖形變換之旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)是中考?jí)狠S題中的常見題型，什么時(shí)候需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)？怎么構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形呢？

構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件：等線段，共頂點(diǎn)。

構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形的解題方法：遇中點(diǎn)，旋180°,構(gòu)造中心對稱；

遇90°,旋90°,造垂直；

遇60°,旋60°,造等邊；

遇等腰，旋頂角.

例1如圖，設(shè)P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=5,PB=4,PC=3,求NBPC的度數(shù).

例2如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上一點(diǎn)，且/EAF=45°.

求證：BE+DF=EF.

例3如圖，ZXABC是邊長為3的等邊三角形，aBDC是等腰三角形，且NBDC=120°.以D為

頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,AC于點(diǎn)N,連接MN.

(1)證明：MN=BM+CN;(2)求aAMN的周長.

A

M/\

BC

D

例4如圖，在AABC中,M是BC的中點(diǎn),E、F分別在AC、AB上，且ME_LMF,試說明EF<BF+CE.

例5已知：在4ABC中，BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題:

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，a=b=3,且NACB=60。，則CD=；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，a=b=6,且NACB=9()。，則CD=；

(3)如圖3,當(dāng)NACB變化，且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求CD的最大值及相應(yīng)的NACB

的度數(shù).

例6已知/MAN,AC平分NMAN.

(1)在圖1中，若/MAN=120。，ZABC=ZADC=90°,求證：AB+AD=AC；

(2)在圖2中，若/MAN=120。，ZABC+ZADC=180°,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，

請給出證明；若不成立，請說明理由；

(3)在圖3中：①/MAN=60°,ZABC+ZADC=180°,則AB+AD=AC；

②若NMAN=a(00<a<180°),ZABC+ZADC=180°,則AB+AD=AC(用含a的三角函數(shù)

表示)，并給出證明.

例7如圖1,在QABCD中，AE_LBC于E,E恰為BC的中點(diǎn)，AD=AE.

(1)如圖2,點(diǎn)P在線段BE上，作EF_LDP于點(diǎn)F,連接AF.求證：DF-EF=0AF；

(2)請你在圖3中畫圖探究：當(dāng)P為射線EC上任意一點(diǎn)(P不與點(diǎn)E重合)時(shí)，作EFJ_DP于點(diǎn)F,

連接AF,線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論

例8請閱讀下列材料：

已知：如圖1在RtAABC中，NBAC=90。,AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若NDAE=45

度.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

小明的思路是：把△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9()。，得到△ABE，，連接ED,使問題得到解決.請

你參考小明的思路探究并解決下列問題：

(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明；

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長線上時(shí)，如圖2,其它條件不變，(1)

中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明.

圖1圖2

例9請閱讀下列材料:

問題：如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A,B,E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，

PG

連接PG,PC.若NABC=NBEF=60°,探究PG與PC的位置關(guān)系及——的值.

PC

提示：延長GP交DC于點(diǎn)H,構(gòu)造全等三角形.試探究并解決下列問題：

(1)寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及空的值；

PC

(2)將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD

的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變(如圖2).你在(1)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)

生變化？寫出你的猜想并加以證明；

(3)若圖1中NABC=NBEF=2a(0°<a<90°),將菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角

_PG

度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出;二的值(用含。的式子表示).

第七章圖形變換之平移

平移有兩個(gè)要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離。

平移的基本性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連線段平行且相等（或在同一直線上），對應(yīng)線段平行且相等

（或在同一直線上）。

常見的構(gòu)造平移的方式：構(gòu)造平行線——平移線段

構(gòu)造平行四邊形或等邊三角形——平移圖形

例1如圖，在AABC中，AB>AC,D、E分別為AB、AC上兩點(diǎn)且BD=CE.求證：DE<BC.

例2（1）如圖（a）,在正方形ABCD中，AB、BC、CD三邊上分別有點(diǎn)E、G、F,且

EF1DG.求證：EF=DG.

（2）如圖（b）,在正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的點(diǎn)，且

EG±FH.求證：EG=FH.

(b)

例3在AABC中，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn).

A

(1)如圖(a),求證：AP<-{AB+ACY,

2

(2)延長AB到D,使得BD=AC,延長AC到點(diǎn)E,使得CE=AB,連接DE.

①如圖(b),連接BE,若NBAC=60。，請你探究線段BE與線段AP之間的數(shù)量關(guān)系。寫出

你的結(jié)論，并加以證明。

②請?jiān)趫D(c)中證明：BC<-DE.

2

例4在RtZ\ABC中，NC=90°,D、E分別為CB、CA延長線上的點(diǎn)，BE與AD的交點(diǎn)為P.

(1)如圖a,若BD=AC,AE=CD,求NAPE的度數(shù)：

(2)如圖b,若AC=gBD,CD=，求NAPE的度數(shù).

E

E

(a)(b)

例5已知：如圖(a),AABC為邊長為2的等邊三角形，D、E、F分別為AB、AC,BC的中點(diǎn)，

連接DE、DF、EF,將4BDF向右平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；將4ADE向下平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重

合，如圖(b).

(1)SAADE,ABDFsAEFC的面積分別為$、S2,S3,則R+S2母，—3r(用“＜、=、＞"

填空)

(2)已知：如圖(c),ZAOB=ZCOD=ZEOF=60°,AD=CF=BE=2,設(shè)△ABO、△CDO、△

EFO的面積分別為S卜S2、S3；問：上述結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

F

D

(a)(b)(c)

第八章梯形中的輔助線問題

解決梯形問題的基本思路：

轉(zhuǎn)化

梯形問題八-2A三角形或平行四邊形問題

分割、拼接

梯形的很多問題都是需要添加簡單輔助線，總結(jié)如下：

類型圖形作法本質(zhì)

將梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)矩形和

與高有關(guān)作雙高

兩個(gè)直角三角形

n\平移一腰

將梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四

邊形和一個(gè)三角形

r\平移一腰

與腰有關(guān)

將梯形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平行四