剛體運動描述課件

剛體運動方程和平衡方程一、剛體運動形狀和大小都不變的物體任意兩質(zhì)點之間的距離保持不變的質(zhì)點系剛體：1剛體運動形式平動:剛體在運動過程中,其上任意兩點的連線始終保持平行.可以用一個質(zhì)點的運動來描述剛體的平動.ABA’B’B”A”剛體的平動轉(zhuǎn)動:剛體上所有質(zhì)點都繞同一直線作圓周運動.這條直線稱為轉(zhuǎn)軸.定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動.轉(zhuǎn)軸上的質(zhì)點不動.只需一個量描述剛體繞該軸轉(zhuǎn)動的角度,就確定了剛體的位置(一個變量).平面平行運動：

一點始終在固定平面內(nèi)運動.

這時運動可分解為一平面內(nèi)一點的平動及繞通過此點且垂直于固定平面的固定軸的轉(zhuǎn)動(三個變量).定點轉(zhuǎn)動：

一點固定不動,剛體圍繞過這點的某一瞬時軸轉(zhuǎn)動(三個變量).一般運動：

剛體不受任何約束，可以在空間任意運動.可分解為質(zhì)心的平動與繞通過質(zhì)心的某軸線的定點轉(zhuǎn)動(六個獨立變量)．2描述剛體轉(zhuǎn)動的物理量角坐標角位移角速度：角速度大?。河捎沂致菪▌t確定.角速度的方向：P點線速度與角速度的關(guān)系：角加速度(定軸)P點線加速度與角量的關(guān)系：對于定軸轉(zhuǎn)動剛體各質(zhì)元的角量相同,線量一般不同.3歐勒角歐勒運動學(xué)方程

剛體定點轉(zhuǎn)動時,選定點為坐標系原點,用三個獨立角度來確定轉(zhuǎn)動軸在空間的取向和剛體繞這軸所轉(zhuǎn)過的角度.這三個能夠獨立變化的角度叫做歐勒角.

歐勒角的選取:

取兩組右手正交坐標系,它們的原點都在定點O上.坐標系O-

固定不動,而另一組坐標系O-xyz則固定在剛體上隨之一起轉(zhuǎn)動.設(shè)z軸是轉(zhuǎn)動軸.O平面和xOy

平面的交線ON稱節(jié)線.ON和O間的夾角

是一個歐勒角(進動角).ON和Ox間的夾角

是另一個歐勒角(自轉(zhuǎn)角).O

和Oz間的夾角

是第三個歐勒角(章動角).

從圖知:z軸垂直O(jiān)N,故z軸位置與N有關(guān),因此

z軸位置要用

與

兩個角來確定.

為系統(tǒng)繞z軸轉(zhuǎn)動的角.假定O-

系和O-xyz系開始重合,

令O-xyz繞

軸逆時針轉(zhuǎn)動

,于是x軸和

軸分開，y軸和

軸分開,而且Ox軸轉(zhuǎn)到Ox’(即ON);然后令活動系繞ON轉(zhuǎn)動

,于是z軸和

軸分開,活動系三個軸變到x’,y’’和z,z軸和

軸夾角是

,x’Oy’’平面和

O平面夾角也是

.最后，令活動系繞z軸轉(zhuǎn)動

,這時ON和Ox夾角是

,Oy’’

和Oy夾角也是

,這時,活動系為Oxyz.

剛體繞著通過定點O某一軸線以角速度

轉(zhuǎn)動,

在活動系Oxyz上的投影是

x,y和

z,則

也可以認為

是繞軸O

的角速度,繞ON軸的角速度及繞Oz軸的角速度三者的矢量和.——歐勒運動學(xué)方程4剛體運動方程與平衡方程

(i)力系的簡化將所有空間力作用點都遷移到一點.

設(shè)F’為作用在剛體A點上的一個力,P為空間任意一點,但不在F’的作用線上.F’rAPF1F2

在P點添上兩個與F’的作用線平行的力F1及F2,且

這樣F’可以化為過P點的力F1和F’及F2所組成的一個力偶.同理可以把所有空間力化為過一點的力和力偶.P點叫簡化中心,力的矢量和叫主矢,力偶矩的矢量和叫對簡化中心的主矩.

(ii)剛體運動微分方程

如果ri代表剛體中任一質(zhì)點Pi對靜止系S原點O的位矢,rC

為質(zhì)心C對O的位矢,而ri’為Pi對質(zhì)心C的位矢,動坐標系S’隨質(zhì)心作平動,其原點與質(zhì)心C重合.則剛體質(zhì)心C的運動方程為另外,剛體在動坐標系S’中的相對運動對質(zhì)心C的總角動量滿足

對固定坐標系中的定點O,上式仍有效,只需將J’改J(對定點O的總角動量)，M’改M.

剛體有六個獨立變量.故質(zhì)心運動及繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動兩組方程式恰好確定剛體的運動情況.也可應(yīng)用動能原理，作為一個輔助方程來代替方程中的任意一個.注意:這時剛體內(nèi)力所作元功之和為零,故剛體動能的微分等于剛體在運動過程中外力所作的元功之和.

(iii)剛體平衡方程

如為共面力系,且設(shè)諸力均位于xy平面內(nèi),則平衡方程簡化為

剛體以

作定點轉(zhuǎn)動,其中質(zhì)點Pi對定點的位矢是ri,則質(zhì)點對定點的角動量為5剛體轉(zhuǎn)動慣量整個剛體對定點的角動量為角動量一般不與剛體角速度共線.(動量與速度總共線)(i)剛體的角動量在直角坐標系下所以引入符號則剛體角動量表達式簡化為剛體對各軸的轉(zhuǎn)動慣量慣量積剛體以

作定點轉(zhuǎn)動,對定點的轉(zhuǎn)動動能為(ii)剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體對定點的轉(zhuǎn)動動能也可以寫為

上式中

i為Pi的位矢ri

與角速度矢量

之間的夾角,

i

為自Pi至轉(zhuǎn)動瞬軸的垂直距離，而I

稱為剛體繞轉(zhuǎn)動瞬軸的轉(zhuǎn)動慣量.(iii)剛體的轉(zhuǎn)動慣量z回轉(zhuǎn)半徑

物體的轉(zhuǎn)動慣量決定于物體的質(zhì)量分布的情況,又決定于轉(zhuǎn)動軸的位置.轉(zhuǎn)動軸不同,即使是同一物體轉(zhuǎn)動慣量也不同.平行軸定理

若剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為

Ic

，則剛體對與該軸相距為

d的平行軸z

的轉(zhuǎn)動慣量

Iz

是

質(zhì)量為m,長為

l

的細棒繞通過其端點合質(zhì)心的垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量oxzdxdmx

質(zhì)量為

m,半徑為R

的均勻圓盤,通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量ordrR例1、一根均勻的棍子、重為P長為2l.今將其一端置于粗糙地面上，又以其上的C點，靠在墻上，墻離地面的高度為h.當(dāng)棍子與地面的角度

為最小值

0時,棍子在上述位置仍處于平衡狀態(tài)，求棍與地面的摩擦系數(shù)

AxyBChOllPN2N1

0f解：

受力分析知本題是一共面力系的平衡問題,取棍子所在的平面為xy平面,則對A點例2、質(zhì)量m=16kg

、半徑為R=0.15m

的實心滑輪,一根細繩繞在其上，繩端掛一質(zhì)量為m

的物體.求（1）由靜止開始1秒鐘后，物體下降的距離.（2）繩子的張力.解：mMmmgT例3、一質(zhì)量為m

、長為l

的均質(zhì)細桿，轉(zhuǎn)軸在O

點，距A