2025屆北京市達(dá)標(biāo)名校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆北京市達(dá)標(biāo)名校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x

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可得到的回歸方程為,則()A. B. C. D.2.預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì)有多種方法,“直接推算法”使用的公式是(),為預(yù)測(cè)人口數(shù),為初期人口數(shù),為預(yù)測(cè)期內(nèi)年增長(zhǎng)率,為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù).如果在某一時(shí)期有,那么在這期間人口數(shù)A.呈下降趨勢(shì) B.呈上升趨勢(shì) C.?dāng)[動(dòng)變化 D.不變3.在數(shù)列中,,,則的值為()A.4950 B.4951 C. D.4.若,且,則下列不等式一定成立的是()A. B.C. D.5.已知函數(shù),則()A.的最小正周期為,最大值為1 B.的最小正周期為,最大值為C.的最小正周期為,最大值為1 D.的最小正周期為,最大值為6.已知非零向量與的夾角為,且,則()A.1 B.2 C. D.7.已知,,,,那么()A. B. C. D.8.某市在“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇前夕,在全市高中學(xué)生中進(jìn)行“我和‘一帶一路’”的學(xué)習(xí)征文,收到的稿件經(jīng)分類統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖.又已知全市高一年級(jí)共交稿2000份,則高三年級(jí)的交稿數(shù)為()A.2800 B.3000 C.3200 D.34009.同時(shí)擲兩枚骰子,則向上的點(diǎn)數(shù)相等的概率為()A. B. C. D.10.已知、是圓:上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),,,若是線段的中點(diǎn),則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.________12.黃金分割比是指將整體一分為二,較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值,其比值為,約為0.618,這一數(shù)值也可以近似地用表示,則_____.13.已知向量,且,則_______.14.關(guān)于函數(shù),下列命題:①若存在,有時(shí),成立;②在區(qū)間上是單調(diào)遞增;③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖象;④將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后將與的圖象重合.其中正確的命題序號(hào)__________15.我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨(dú)立提出了一種求三角形面積的方法——“三斜求積術(shù)”,即的,其中分別為內(nèi)角的對(duì)邊.若,且則的面積的最大值為____.16.已知三棱錐,平面,,,,則三棱錐的側(cè)面積__________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部分的形狀是正四棱錐,下部分的形狀是正四棱柱(如圖所示),并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.(1)若則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為,則當(dāng)為多少時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大?18.已知三棱錐中,是邊長(zhǎng)為的正三角形,;(1)證明:平面平面;(2)設(shè)為棱的中點(diǎn),求二面角的余弦值.19.已知數(shù)列中,,.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列滿足,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證.20.已知.(Ⅰ)化簡(jiǎn);(Ⅱ)已知,求的值.21.已知離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為直線與橢圓相交于兩點(diǎn),求的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】試題分析:依據(jù)樣本數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線可知圖像為遞減且在軸上的截距大于0,所以.考點(diǎn):1.散點(diǎn)圖;2.線性回歸方程;2、A【解析】

可以通過(guò)與之間的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以,呈下降趨勢(shì).【點(diǎn)睛】判斷變化率可以通過(guò)比較初始值與變化之后的數(shù)值之間的大小來(lái)判斷.3、C【解析】

利用累加法求得,由此求得的表達(dá)式,進(jìn)而求得的值.【詳解】依題意,所以,所以,當(dāng)時(shí),上式也滿足.所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)不等式性質(zhì)確定選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí),不成立;因?yàn)?,所以;?dāng)時(shí),不成立;當(dāng)時(shí),不成立;所以選B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì),考查基本分析判斷能力,屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】

結(jié)合二倍角公式,對(duì)化簡(jiǎn),可求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題意,,所以,當(dāng)時(shí),取得最大值為.由函數(shù)的最小正周期為,故的最小正周期為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)周期性與最值,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)條件可求出,從而對(duì)兩邊平方即可得出,解出即可.【詳解】向量與的夾角為,且;;;;或0(舍去);.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運(yùn)算公式,屬于中檔題.7、C【解析】由于故,故,所以.由于,由于,所以,故.綜上所述選.8、D【解析】

先求出總的稿件的數(shù)量,再求出高三年級(jí)交稿數(shù)占總交稿數(shù)的比例,再求高三年級(jí)的交稿數(shù).【詳解】高一年級(jí)交稿2000份,在總交稿數(shù)中占比,所以總交稿數(shù)為,高二年級(jí)交稿數(shù)占總交稿數(shù)的,所以高三年級(jí)交稿數(shù)占總交稿數(shù)的,所以高三年級(jí)交稿數(shù)為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖的有關(guān)計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

利用古典概型的概率公式即可求解.【詳解】同時(shí)擲兩枚骰子共有種情況,其中向上點(diǎn)數(shù)相同的有種情況,其概率為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式,解題的關(guān)鍵是找出基本事件個(gè)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】由題意得,所以,選A.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】

根據(jù)極限的運(yùn)算法則,合理化簡(jiǎn)、運(yùn)算,即可求解.【詳解】由極限的運(yùn)算,可得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用,其中解答熟記極限的運(yùn)算法則,準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

代入分式利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、二倍角公式及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、二倍角公式及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

先由向量共線,求出,再由向量模的坐標(biāo)表示,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,且,所以,解得,所以,因?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查求向量的模,熟記向量共線的坐標(biāo)表示,以及向量模的坐標(biāo)表示即可,屬于基礎(chǔ)題型.14、①③【解析】

根據(jù)題意,由于,根據(jù)函數(shù)周期為,可知①、若存在,有時(shí),成立;正確,對(duì)于②、在區(qū)間上是單調(diào)遞減;因此錯(cuò)誤,對(duì)于③、,函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖象,成立.對(duì)于④、將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到,與的圖象重合錯(cuò)誤,故答案為①③考點(diǎn):命題的真假點(diǎn)評(píng):主要是考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由已知利用正弦定理可求,代入“三斜求積”公式即可求得答案.【詳解】因?yàn)?,所以整理可得,由正弦定理得因?yàn)?,所以所以?dāng)時(shí),的面積的最大值為【點(diǎn)睛】本題用到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,兩角和的正弦公式,正弦定理等,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和計(jì)算整理能力.16、【解析】

根據(jù)題意將三棱錐放入對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體中,計(jì)算各個(gè)面的面積相加得到答案.【詳解】三棱錐,平面,,,畫出圖像:易知:每個(gè)面都是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的側(cè)面積,將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)312(2)【解析】試題分析:(1)明確柱體與錐體積公式的區(qū)別,分別代入對(duì)應(yīng)公式求解;(2)先根據(jù)體積關(guān)系建立函數(shù)解析式,,然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值.試題解析:解:(1)由PO1=2知OO1=4PO1=8.因?yàn)锳1B1=AB=6,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).(2)設(shè)A1B1=a(m),PO1=h(m),則0<h<6,OO1=4h.連結(jié)O1B1.因?yàn)樵谥校?,即于是倉(cāng)庫(kù)的容積,從而.令,得或(舍).當(dāng)時(shí),,V是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)時(shí),,V是單調(diào)減函數(shù).故時(shí),V取得極大值,也是最大值.因此,當(dāng)m時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大.【考點(diǎn)】函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積【名師點(diǎn)睛】對(duì)應(yīng)用題的訓(xùn)練,一般從讀題、審題、剖析題目、尋找切入點(diǎn)等方面進(jìn)行強(qiáng)化,注重培養(yǎng)將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力,強(qiáng)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的幾種方法.而江蘇高考的應(yīng)用題往往需結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決相應(yīng)的最值問(wèn)題,因此掌握利用導(dǎo)數(shù)求最值方法是一項(xiàng)基本要求,需熟練掌握.18、(1)見解析(2)【解析】

(1)由題意結(jié)合正弦定理可得,據(jù)此可證得平面,從而可得題中的結(jié)論;(2)在平面中,過(guò)點(diǎn)作,以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由空間向量的結(jié)論求得半平面的法向量,然后求解二面角的余弦值即可.【詳解】(1)證明:在中,,,,由余弦定理可得,,,,平面,平面,平面平面.(2)在平面中,過(guò)點(diǎn)作,以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則設(shè)平面的一個(gè)法向量為則解得,,即設(shè)平面的一個(gè)法向量為則解得,,即由圖可知二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的證明方法,空間向量的應(yīng)用等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、(1)證明見解析;;(2)【解析】

(1)先證明數(shù)列是以3為公比,以為首項(xiàng)的等比數(shù)列,從而,由此能求出的通項(xiàng)公式;(2)由(1)推導(dǎo)出,從而,利用錯(cuò)位相減法求和,利用放縮法證明.【詳解】由,,得,,數(shù)列是以3為公比,以為首項(xiàng)的等比數(shù)列,從而,數(shù)列滿足,,,,兩式相減得:,,,【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與求和公式,以及錯(cuò)位相減法的應(yīng)用,是中檔題.一般地,如果數(shù)列是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí),可采用“錯(cuò)位相減法”求和,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比,然后作差求解,在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.20、(Ⅰ);(Ⅱ)-2。【解析

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