中考數(shù)學(xué)試卷附答案解析

中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有

項是符合題目要求的

1.（3分）（2019?荊門）-加的倒數(shù)的平方是

A.2B-fC.-2

2.（3分）（2019?荊門）已知一天有86400秒,一年按365天計算共有31536000秒，用科

學(xué)記數(shù)法表示31536000正確的是（）

A.3.1536X106B.3.1536X107

C.31.536X106D.0.31536X108

3x-2尸1，則/一2y2的值為（

3.（3分）（2019?荊門）已知實數(shù)x,y滿足方程組,

x+y=2.

A.-1B.1C.3D.-3

4.（3分）（2019?荊門）將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，使得它們的直角邊互相

垂直，則N1的度數(shù)是

）

A.95°B.100°C.105°D.110°

5.（3分）（2019?荊門）拋物線y=-/+以-4與坐標軸的交點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

’2x-l_3x+l45

6.（3分）（2019?荊門）不等式組《二二'下'的解集為（）

X.3（x-l）+l>5x-2（l-x）.

A.-X<%<0B.--<x^0C.D.-UxWO

2222

7.（3分）（2019?荊門）投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，向上一面的點數(shù)依次記為a,b.那

么方程/+6+6=0有解的概率是（）

8.（3分）（2019?荊門）欣欣服裝店某天用相同的價格。（?>0）賣出了兩件服裝，其中一

件盈利20%,另一件虧損20%,那么該服裝店賣出這兩件服裝的盈利情況是（）

A.盈利B.虧損

C.不盈不虧D.與售價。有關(guān)

9.（3分）（2019?荊門）如果函數(shù)〉=匕+6（k,b是常數(shù)）的圖象不經(jīng)過第二象限，那么左,

b應(yīng)滿足的條件是（）

A.左20且bWOB.左>0且bWOC.%20且6<0D.左>0且b<0

10.（3分）（2019?荊門）如圖，Rt^OCB的斜邊在y軸上，OC=JG，含30°角的頂點與

原點重合，直角頂點C在第二象限，將Rt^OCB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC'

B\則8點的對應(yīng)點次的坐標是

()

A.(J5，-1)B.(1,-J5)C.(2,0)D.(V5，0)

11.（3分）（2019?荊門）下列運算不正確的是（）

A.xy+x-y-1=(x-1)(y+1)

B.x2+y2+z2+x.y+yz+zx=(x+y+z)2

C.(x+y)(x2-xy+y2)=x3+y3

D.(x-y)3=x3-3/y+3孫之-J

12.(3分)(2019?荊門)如圖，/XABC內(nèi)心為/,連接A/并延長交AABC的外接圓于O,

則線段DI與DB的關(guān)系是()

D

A.DI=DBB.DI>DBC.DKDBD.不確定

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

13.（3分）（2019?荊門）計算一t=+|sin30°-馬+。匚紅=

2+V3V8

14.（3分）（2019?荊門）已知xi,尤2是關(guān)于x的方程/+（3A+1）尤+2^+1=0的兩個不相

等實數(shù)根，且滿足（xi-1）（X2-1）=8次則/的值為.

15.（3分）（2019?荊門）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=k（%>0,x>0）的圖象與

x

等邊三角形OAB的邊OA,分別交于點N,且0M=2MA,若AB=3,那么點N

的橫坐標為

16.（3分）（2019?荊門）如圖，等邊三角形ABC的邊長為2,以A為圓心，1為半徑作圓

分別交AB，AC邊于。，E,再以點C為圓心，C。長為半徑作圓交BC邊于尸，連接E,

F,那么圖中陰影部分的面積為.

17.（3分）（2019?荊門）拋物線y=a/+6x+c（a,b,c為常數(shù)）的頂點為P,且拋物線經(jīng)

過點A（-l,0）,B（m,0）,C（-2,w<0）,下列結(jié)論：

@abc>Q,

②3a+c<0,

③a（m-1）+2b>0,

@a=-1時，存在點P使為直角三角形.

其中正確結(jié)論的序號為.

三、解答題：共69分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2—

18.（8分）（2019?荊門）先化簡，再求值：（亙也）2.巨型一.鴉產(chǎn)包,其中

a-b3a+3b2b

b=M.

19.（9分）（2019?荊門）如圖，已知平行四邊形ABC。中，A2=5,BC=3,4。=2仍百.

（1）求平行四邊形ABC。的面積；

（2）求證：BDLBC.

20.（10分）（2019?荊門）高爾基說：“書，是人類進步的階梯.”閱讀可以豐富知識、拓展

視野、充實生活等諸多益處.為了解學(xué)生的課外閱讀情況，某校隨機抽查了部分學(xué)生閱

讀課外書冊數(shù)的情況，并繪制出如下統(tǒng)計圖，其中條形統(tǒng)計圖因為破損丟失了閱讀5冊

書數(shù)的數(shù)據(jù).

（1）求條形圖中丟失的數(shù)據(jù)，并寫出閱讀書冊數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)；

（2）根據(jù)隨機抽查的這個結(jié)果，請估計該校1200名學(xué)生中課外閱讀5冊書的學(xué)生人數(shù);

（3）若學(xué)校又補查了部分同學(xué)的課外閱讀情況，得知這部分同學(xué)中課外閱讀最少的是6

冊，將補查的情況與之前的數(shù)據(jù)合并后發(fā)現(xiàn)中位數(shù)并沒有改變，試求最多補查了多少人？

21.（10分）（2019?荊門）已知銳角△ABC的外接圓圓心為。，半徑為R.

（1）求證：_^_=2R；

sinB

（2）若△ABC中NA=45°,NB=60°,ACj后,求BC的長及sinC的值.

22.（10分）（2019?荊門）如圖，為了測量一棟樓的高度。E,小明同學(xué)先在操場上A處放

一面鏡子，向后退到B處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E；再將鏡子放到C處，然后后

退到。處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（。，A,B,C,。在同一條直線上），測

得AC^2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF,DG為16，z,試確定樓的高度

OE.

23.（10分）（2019?荊門）為落實“精準扶貧”精神，市農(nóng)科院專家指導(dǎo)李大爺利用坡前空

地種植優(yōu)質(zhì)草莓.根據(jù)場調(diào)查，在草莓上市銷售的30天中，其銷售價格機（元/公斤）與

’3x+15(l<x<15),

第尤天之間滿足（尤為正整數(shù)），銷售量"（公斤）與第x

-x+75(15<x<30).

天之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示:

如果李大爺?shù)牟葺谏鲜袖N售期間每天的維護費用為80元.

（1）求銷售量”與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求在草莓上市銷售的30天中，每天的銷售利潤y與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式；（日

銷售利潤=日銷售額-日維護費）

（3）求日銷售利潤y的最大值及相應(yīng)的x.

24.（12分）（2019?荊門）已知拋物線y=o?+6x+c頂點（2,-1）,經(jīng)過點（0,3）,且與

直線>=尤-1交于A,B兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若在拋物線上恰好存在三點°,M,N,S^QAB=S^MAB=S^NAB=S,求S的值;

（3）在A,2之間的拋物線弧上是否存在點尸滿足NAPB=90°?若存在，求點尸的橫

坐標；若不存在，請說明理由.

（坐標平面內(nèi)兩點M（尤1,yi）,N（尤2,絲）之間的距離（x]-乂2）2+（了]-丫2）"

中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有

項是符合題目要求的

1.（3分）（2019?荊門）歷的倒數(shù)的平方是（）

A.2B.1C.-2D.」

22

【考點】算術(shù)平方根；實數(shù)的性質(zhì).

【分析】根據(jù)倒數(shù)，平方的定義以及二次根式的性質(zhì)化簡即可.

【解答】解：-血的倒數(shù)的平方為：（京"）2卷.

故選：B.

2.（3分）（2019?荊門）已知一天有86400秒，一年按365天計算共有31536000秒，用科

學(xué)記數(shù)法表示31536000正確的是（）

A.3.1536X106B.3.1536X107

C.31.536X106D.0.31536X108

【考點】科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIO"的形式，其中n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值＞1時，”是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，”是負數(shù).

【解答】解：將31536000用科學(xué)記數(shù)法表示為3.1536X107.

故選：B.

3.（3分）（2019?荊門）已知實數(shù)x,y滿足方程組'則/-2/的值為（）

x+y=2.

A.-1B.1C.3D.-3

【考點】97：二元一次方程組的解；98：解二元一次方程組.

【分析】首先解方程組，求出x、y的值，然后代入所求代數(shù)式即可.

【解答】解：產(chǎn)-23大①，

lx+y=2②

@+（2）X2,得5%=5,解得x=l,

把尤=1代入②得，l+y=2,解得y=l,

-2/=12-2X12=1-2=-1.

故選：A.

4.（3分）（2019?荊門）將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，使得它們的直角邊互相

垂直，則/I的度數(shù)是

A.95°B.100°C.105°D.110°

【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角.

【分析】根據(jù)題意求出N2、Z4,根據(jù)對頂角的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)計算即可.

【解答】解：由題意得，N2=45°,N4=90°-30°=60°,

；./3=/2=45°,

由三角形的外角性質(zhì)可知，/1=/3+/4=105°,

故選：C.

5.（3分）（2019?荊門）拋物線y=-/+4x-4與坐標軸的交點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；拋物線與x軸的交點.

【分析詵計算自變量為0對應(yīng)的函數(shù)值得到拋物線與y軸的交點坐標，再解方程-f+4x

-4=0得拋物線與x軸的交點坐標，從而可對各選項進行判斷.

【解答】解：當x=0時，y=-$+4x-4=-4,則拋物線與y軸的交點坐標為（0,-4）,

當y=0時，-pMxT』，解得XI=%2=2,拋物線與工軸的交點坐標為（2,0）,

所以拋物線與坐標軸有2個交點.

故選：C.

’2xT_3x+la__5

6.（3分）（2019?荊門）不等式組的解集為（）

X.3（x-l）+l>5x-2（l-x）.

A.-L<x<0B.C.D.」《W0

2222

【考點】CB：解一元一次不等式組.

【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集.

’2x-l_3x+l4二①

【解答】解：<32飛127，

3（x-l）+l>5x-2（l-x）②

解①得：X2-1,

2

解②得x<0,

則不等式組的解集為-Lwx<0.

2

故選：C.

7.（3分）（2019?荊門）投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，向上一面的點數(shù)依次記為a,b.那

么方程/+°犬+6=0有解的概率是（）

A.1B.1C.&D.至

231536

【考點】根的判別式；列表法與樹狀圖法.

【分析】畫樹狀圖展示所有36種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出使4620,即/>你的結(jié)

果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】解：畫樹狀圖為:

3

2

123456123456123456

46

123456123456123456

共有36種等可能的結(jié)果數(shù)，其中使4620,即。2246的有19種,

方程/+以+6=0有解的概率是

36

故選：D.

8.（3分）（2019?荊門）欣欣服裝店某天用相同的價格。（?>0）賣出了兩件服裝，其中一

件盈利20%,另一件虧損20%,那么該服裝店賣出這兩件服裝的盈利情況是（）

A.盈利B.虧損

C.不盈不虧D.與售價?有關(guān)

【考點】一元一次方程的應(yīng)用.

【分析】設(shè)第一件衣服的進價為尤元，依題意得：無（1+20%）=a,設(shè)第二件衣服的進

價為y元，依題意得：y（l-20%）—a,得出x（1+20%）=y（l-20%）,整理得：3%

=2?則兩件衣服總的盈虧就可求出.

【解答】解：設(shè)第一件衣服的進價為尤元，

依題意得：x（1+20%）=a,

設(shè)第二件衣服的進價為y元，

依題意得：y（1-20%）—a,

：.x（1+20%）=y（1-20%）,

整理得：3x=2y,

該服裝店賣出這兩件服裝的盈利情況為：0.2x-0.2y=0.2x-0.3%=-0.1尤，

即賠了O.lx元，

故選：B.

9.（3分）（2019?荊門）如果函數(shù)y=fcc+6（k,b是常數(shù)）的圖象不經(jīng)過第二象限，那么女,

6應(yīng)滿足的條件是（）

A.左20且6W0B.左>0且6W0C.左20且b<0D.左>0且b<0

【考點】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】結(jié)合題意，分左=0和Q0兩種情況討論，即可求解；

【解答】-：y^kx+b（k,。是常數(shù)）的圖象不經(jīng)過第二象限，

當％=0,b<0時成立；

當k>0,bWO時成立；

綜上所述，左NO,bWO；

故選：A.

10.（3分）（2019?荊門）如圖，Rt/XOCB的斜邊在y軸上，OC=J2含30°角的頂點與

原點重合，直角頂點C在第二象限，將RtZXOCB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC'

B',則B點的對應(yīng)點的坐標是

)

A.（V3--1）B.（1,-后C.（2,0）D.（V3，0）

【考點】坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【分析】如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=1,再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

至Uoc'=OC=V3>B'C=BC=1,ZB'CO=ZBCO=90°,然后利用第四象限

點的坐標特征寫出點）的坐標.

【解答】解：如圖，

在RtZkOCB中，VZBOC=30°,

BC=^-OC=J^-xJ3=l，

33

繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC'B',

：.OC=OC=V3，B'C=BC=1,NB'CO=ZBCO=90°,

點次的坐標為（M，-1）.

故選：A.

11.（3分）（2019?荊門）下列運算不正確的是（）

A.xy+x-y-\=(x-1)(y+1)

B.j?+y1+z1+xy->ryz->rzx-(x+y+z)2

C.(x+y)(x2-xy+y2)=x3+y3

D.(X-y)3=/_3%2y+3孫2_>3

【考點】多項式乘多項式；完全平方公式；因式分解-分組分解法.

【分析】根據(jù)分組分解法因式分解、多項式乘多項式的法則進行計算，判斷即可.

【解答】解：xy-^-x-y-l=x(y+1)-(y+1)—(x-1)(y+1),A正確，不符合題意；

xSW+WZ-=|[(x+y)，(x+z)2+(22],2錯誤’符合題意；

(x+y)(x2-xy+y2)=x3+)；3,C正確，不符合題意；

(x-y)3=/_3%2y+302_/，。正確，不符合題意；

故選：B.

12.(3分)(2019?荊門)如圖，△A8C內(nèi)心為/,連接A/并延長交△ABC的外接圓于。，

則線段DI與DB的關(guān)系是()

D

A.DI=DBB.DI>DBC.DKDBD.不確定

【考點】三角形的外接圓與外心；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

【分析】連接8/,如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得/1=/2,Z5=Z6,再根據(jù)圓周角

定理得到/3=/1,然后利用三角形外角性質(zhì)和角度的代換證明/4=/￡>8/,從而可判

斷DI=DB.

【解答】解：連接8/,如圖，

?/AABC內(nèi)心為/,

/.Z1=Z2,Z5=Z6,

VZ3=Z1,

，N3=N2,

：N4=N2+/6=N3+/5,

即N4=ND8/,

:.DI=DB.

故選：A.

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

13.（3分）（2019?荊門）計算2$§+kin30°-TT°|+:

【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)塞；特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及零指數(shù)累的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)分別化簡得出答

案.

【解答】解：原式=2-J5+l-L-芻

22

=1-V3-

故答案為：1-V3-

14.（3分）（2019?荊門）已知xi,無2是關(guān)于x的方程/+（3A+1）龍+2武+1=0的兩個不相

等實數(shù)根，且滿足（XI-1）（X2-1）=8比則5的值為1.

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（XI-1）（X2-1）=8語,可得出關(guān)于人的一元二次方

程，解之即可得出左的值，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△>（）,可得出關(guān)于上的一元

二次不等式，解之即可得出上的取值范圍，進而即可確定左值，此題得解.

【解答】解：X2是關(guān)于尤的方程7+（3RD尤+2必+1=0的兩個實數(shù)根，

.'.Xl+X2=-（3^+1）,X\X2=21C+].

（XI-1）（X2-1）=8/，即尤1尤2-（X1+A2）+1=8必，

.?.2必+1+3左+1+1=8層

整理，得：2必-左-1=0,

解得：k\=-4->fo=l.

2

???關(guān)于X的方程/+（3什1）x+2M+l=0的兩個不相等實數(shù)根,

；.△=(3>1)2-4XlX(2記+1)>0,

解得：k<-3-或k>-3+2V3.

k=1.

故答案為：1.

15.（3分）（2019?荊門）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=Kx>0）的圖象與

X

等邊三角形048的邊。4,A8分別交于點N,且OM=2M4,若A5=3,那么點N

的橫坐標為叱返.

—2―

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；等邊三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件，可求出0M,通過做垂線，利用解直角三

角形，求出點/的坐標，進而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；點N在雙曲線上，而它的縱橫

坐標都不知道，因此可以用直線A8的關(guān)系式與反比例函數(shù)的關(guān)系式組成方程組，解出x

的值，再進行取舍即可.

【解答】解：過點A、M分別作AC，。'MD±0B,垂足為C、D,

是等邊三角形，

.,.AB=0A=0B=3,60°

:又0M=2MA,

；.0M=2,MA=1,

在RtZXMOQ中，

OD=^.OM=l,MD=、22T2;a,

：.M（1,?）；

反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=e

X

在RtZXMOO中，

"=W'仁療號2等

?A（33點

22_

設(shè)直線A8的關(guān)系式為尸質(zhì)+6,把A（1,竽■）,B（3,0）代入得：

3k+b=0__

<3次巧解得：2-返，b=3>j3,

jk+b=-

.,.尸-Vs^+^Vs；

fy=W3x+3V3r-

由題意得：畬解得：x='一四,

v=^-2

Vx>T

16.（3分）（2019?荊門）如圖，等邊三角形ABC的邊長為2,以A為圓心，1為半徑作圓

分別交AB,AC邊于。，E,再以點C為圓心，。長為半徑作圓交3c邊于凡連接E,

F,那么圖中陰影部分的面積為生+1?-?.

一12一2一4一

【考點】等邊三角形的性質(zhì)；扇形面積的計算.

【分析】過A作于EN1BC于N,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到4〃=返2。

2

=丑乂2=冊,求得硒=乳〃=匹，根據(jù)三角形的面積和扇形的面積公式即可得到

222

結(jié)論.

【解答】解：過A作AM_LBC于M,ENLBC于N,

:等邊三角形ABC的邊長為2,ZBAC=ZB=ZACB=60°,

:.AM=?BC=^■乂2=如,

22

\"AD=AE^1,

：.AD=BD.AE=CE,

：.EN=

???圖中陰影部分的面積=Sz\A3C-S扇形AOE-SaCE/-(SABC。-S扇形oc尸)=—X2xVs-

2

60?兀f05義返一(LX1X2XV3-30^2<.3)=生+退.3,

36022223601224

故答案為：工+返-3.

1224

17.（3分）（2019?荊門）拋物線y=a/+6x+c（a,b,c為常數(shù)）的頂點為尸，且拋物線經(jīng)

過點A(-l,0),B(m,0),C(-2,n)(l<m<3,n<0),下列結(jié)論:

@abc>0,

②34+cV0,

③〃（m-1）+2。>0,

④。=7時，存在點尸使△B43為直角三角形.

其中正確結(jié)論的序號為②③.

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【分析】由已知可以確定〃<0,b>0,c=b-a>0；

①〃Z?cV0；

②當％=3時，j<0,BP9a+3b+c=9a+3(a+c)+C=12Q+4C=4(3〃+C)<0；

③a(m-1)+2/?=-b+2b=b>0；

22

④a=-1時，尸(26+1+卜_),則△B48為等腰直角三角形，6+1+旦-=互+1,求出左

2442

=-2不合題意；

【解答】解：將A(-1,0),B(m,0),C(-2,〃)代入解析式y(tǒng)=o?+bx+c,

???對稱軸兀=生工二

22a

--=m-1,

a

Vl<m<3,

ab<3

VM<0,

A/?>0,

Vtz-b+c=0,

?.C=8-Q>0

@abc<0；錯誤；

②當x=3時，yVO,

/.96z+3Z?+c=9(7+3(Q+C)+c=12〃+4c=4(3〃+c)<0,②正確；

@a(m-1)+2b=-b+2b=b>0,③正確；

@a=-1時，y=-f+fcc+c,

:.p也，b+l+li),

24

若△以B為直角三角形，則△%B為等腰直角三角形，

的直線解析式的左=1,

：.b+\+^-=^-+\,

42

:.b=-2,

'：b>0,

不存在點P使為直角三角形.

④錯誤；

故答案為②③；

三、解答題：共69分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

18.（8分）（2019?荊門）先化簡，再求值：（空也）2.巨型一義二七四，其中

a-b3a+3b2b

b=?.

【考點】分式的化簡求值.

【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把。、b的值代入進行計算即可.

【解答】解：原式=23+]4ab

3(a-b)3(a+b)(a-b)

一2(a+b)2-4ab

3(a+b)(a-b)

_2(a2+b2)

3(a+b)(a-b)

當a=?,6=加時，

百光—2(3+2)________10

3(V3+V2)(V3W2)"V

19.(9分)(2019?荊門)如圖，已知平行四邊形ABC。中，AB=5,8C=3,AC=2V13.

(1)求平行四邊形ABC。的面積；

【考點】勾股定理的逆定理；平行四邊形的性質(zhì).

【分析】(1)作CELAB交AB的延長線于點E,設(shè)BE=x,由勾股定理列出關(guān)于x的方

程，解方程求出平行四邊形的高，進而即可求出其面積；

(2)利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AF=BE=^~,BF=5-2=弛，DF=CE=^,

5555

從而求出BD的長，在ABCD中利用勾股定理的逆定理即可證明兩直線垂直.

【解答】解：(1)作CELAB交AB的延長線于點E,如圖：

在RtACEB中：d+/72=9①

在RtZkCEA中：(5+無)2+/I2=52@

聯(lián)立①②解得：尸與，仁絲

55

???平行四邊形ABCD的面積=A3?/z=12；

(2)作。尸J_A5,垂足為尸

：.ZDFA=ZCEB=90°

???平行四邊形ABCD

：.AD=BC,AD//BC

：.ZDAF=ZCBE

又,：NDFA=NCEB=90°,AD=BC

：.AADF^^BCE(AAS)

.?.AF=BE=2,BP=5-2=邁，DF=CE=—

5555

在中：BD2=DF?+BF2=(—)2+(—)2=16

55

：.BD=4

：BC=3,OC=5

/.CD1=DB1+BC2

：.BD±BC.

20.(10分)(2019?荊門)高爾基說：“書，是人類進步的階梯.”閱讀可以豐富知識、拓展

視野、充實生活等諸多益處.為了解學(xué)生的課外閱讀情況，某校隨機抽查了部分學(xué)生閱

讀課外書冊數(shù)的情況，并繪制出如下統(tǒng)計圖，其中條形統(tǒng)計圖因為破損丟失了閱讀5冊

書數(shù)的數(shù)據(jù).

(1)求條形圖中丟失的數(shù)據(jù)，并寫出閱讀書冊數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)；

(2)根據(jù)隨機抽查的這個結(jié)果，請估計該校1200名學(xué)生中課外閱讀5冊書的學(xué)生人數(shù);

(3)若學(xué)校又補查了部分同學(xué)的課外閱讀情況，得知這部分同學(xué)中課外閱讀最少的是6

冊，將補查的情況與之前的數(shù)據(jù)合并后發(fā)現(xiàn)中位數(shù)并沒有改變，試求最多補查了多少人？

【考點】全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；中位數(shù)；

眾數(shù).

【分析】(1)設(shè)閱讀5冊書的人數(shù)為無，由統(tǒng)計中的信息列式計算即可；

(2)該校1200名學(xué)生數(shù)X課外閱讀5冊書的學(xué)生人數(shù)占抽查了學(xué)生的百分比即可得到

結(jié)論；

(3)設(shè)補查了y人，根據(jù)題意列不等式即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)閱讀5冊書的人數(shù)為x,由統(tǒng)計圖可知：一是一=30%,

8+x+12+6

條形圖中丟失的數(shù)據(jù)是14,閱讀書冊數(shù)的眾數(shù)是5,中位數(shù)是5；

(2)該校1200名學(xué)生中課外閱讀5冊書的學(xué)生人數(shù)為1200X——其——=420(人),

8+14+12+6

答：該校1200名學(xué)生中課外閱讀5冊書的學(xué)生人數(shù)是420人；

(3)設(shè)補查了y人，

根據(jù)題意得，12+6+y<8+14,

：.y<4,

,最多補查了3人.

21.(10分)(2019?荊門)己知銳角△ABC的外接圓圓心為O,半徑為R.

(1)求證:蓋=2以

(2)若△ABC中NA=45°,/B=60°,求BC的長及sinC的值.

【考點】勾股定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；解直角三角形.

【分析】(1)如圖1，連接A。并延長交O。于連接C。，于是得到NCD=90°,Z

A2C=/ADC,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；

(2)由_^_=2R,同理可得：衛(wèi)_.BC.=2R,于是得到2R=—叵==2,

sinBsinBsinCsinAsin60

即可得到8c=2R?sinA=2sin45°=近,如圖2,過C作CELAB于E,解直角三角形

即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖1,連接A。并延長交。。于。，連接C。,

則NCQ=90°,ZABC=AADC,

Vsin/ABC=sin/ADC=^^~,

AD2R

:.典—=2R；

sinB

(2)；_^_=2R,

sinB

同理可得：F~~”.=-呼_=2凡

sinBsinCsinA

：.2R=-叵「=2,

sin60

：.BC=2R'sinA=2sm45°=&,

如圖2,過C作CELAB于E,

.,.BE—BCtcosB—,^2cos6Q°AE=AC，cos45°

:.AB=AE+BE=^+M,

2

\'AB=AR'sinC,

.smC=AB=V6+V2,

2R4

22.（10分）（2019?荊門）如圖，為了測量一棟樓的高度。E,小明同學(xué)先在操場上A處放

一面鏡子，向后退到8處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E；再將鏡子放到C處，然后后

退到。處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O,A,B,C,。在同一條直線上），測

得AC=2m,BD=2Am,如果小明眼睛距地面高度BF,DG為1.6%，試確定樓的高度

OE.

E

DCBAO

【考點】相似三角形的應(yīng)用.

【分析】設(shè)E關(guān)于。的對稱點為M,由光的反射定律知，延長GC、項相交于點連

接GF并延長交0E于點“，根據(jù)GF//AC得到利用相似三角形的對

應(yīng)邊的比相等列式計算即可.

【解答】

解：設(shè)E關(guān)于。的對稱點為由光的反射定律知，延長GC、相交于點M,

連接GF并延長交0E于點H,

'：GF//AC,

：./\MAC^/\MFG,

-AC_MA_M0

'*FG=MF=MH?

即.AC_OE_OE_OE

：而二MH=MO+OH=OE+BF'

■OE2

"OE+1.6=2.1'

，?！?32,

答：樓的高度OE為32米.

E

D―O

23.（10分）（2019?荊門）為落實“精準扶貧”精神，市農(nóng)科院專家指導(dǎo)李大爺利用坡前空

地種植優(yōu)質(zhì)草莓.根據(jù)場調(diào)查，在草莓上市銷售的30天中，其銷售價格根（元/公斤）與

‘3x+15(l<x<15),

第尤天之間滿足（X為正整數(shù)），銷售量W（公斤）與第X

-x+75(15<x<30).

天之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：

如果李大爺?shù)牟葺谏鲜袖N售期間每天的維護費用為80元.

（1）求銷售量〃與第尤天之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求在草莓上市銷售的30天中，每天的銷售利潤y與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式；（日

銷售利潤=日銷售額-日維護費）

（3）求日銷售利潤y的最大值及相應(yīng)的x.

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】本題是通過構(gòu)建函數(shù)模型解答銷售利潤的問題.

（1）依據(jù)題意利用待定系數(shù)法易求得銷售量”與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式，

（2）然后根據(jù)銷售利潤=銷售量X（售價-進價），列出每天的銷售利潤y與第尤天之

間的函數(shù)關(guān)系式，

（3）再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤.

【解答】解：

（1）當IWXWIO時，設(shè)"=依+匕，由圖知可知

（12=kx+b,解得（k=2

l30=10k+blb=10

???幾=2%+10

同理得，當10VxW30時，〃=-1.4%+44

'2x+10,(l<x<10)

銷售量〃與第X天之間的函數(shù)關(guān)系式:

-1.4x+44,(10<x<30)

(2)'：y=mn-80

，(2x+10)(3x+15)-80,(l<x<10)

二尸(-1.4x+44)(3x+15)-80,(10<x<15：

(-1.4x+44)(-x+75-80,(15<x<30)

’6X2+60X+70,(1<X<10)

整理得，y=,-4.2x^+lllx+580,(10<x<15)

1.4X2-149X+3220,(15<X<30)

(3)當IWXWIO時，

'."y=6x2+60x+70的對稱軸尤=一—=一&"-=-5

2a2X6

此時，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大

...尤=10時，y取最大值，則yio=127O

當10cxe15時

Vy=-4.2/+111尤+580的對稱軸是x=-'=~里一=_11L心13.2V13.5

2a-4.2X28.4

尤在x=13時，y取得最大值，此時y=1313.2

當15WxW30時

：丫=1.4/-149x+3220的對稱軸為了=一上=騷2>30

2a2.8

此時，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小

.*.x=15時，y取最大值，y的最大值是>15=1300

綜上，草莓銷售第13天時，日銷售利潤y最大，最大值是1313.2元

24.(12分)(2019?荊門)已知拋物線y=a/+6x+c頂點(2,-1),經(jīng)過點(0,3),且與

直線y=x-l交于A,8兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若在拋物線上恰好存在三點。，M,N,滿足&QAB=SAMAB=%MIB=S,求S的值;

(3)在A,8之間的拋物線弧上是否存在點尸滿足NAPB=90°?若存在，求點尸的橫

坐標；若不存在，請說明理由.

(坐標平面內(nèi)兩點M(xi,yi),N(X2,”)之間的距離MN=力-々)2)

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)已知拋物線頂點坐標，故可設(shè)其頂點式為y=“(x-2)2-1,再把點C(0,

3)代入即求得a的值，進而得到拋物線解析式.

(2)把拋物線解析式與直線y=x-1