山東省重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)合考試新高考數(shù)學(xué)試題及答案解析_第1頁(yè)
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山東省重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)合考試新高考數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,則等于().A. B. C. D.2.在等差數(shù)列中,,,若(),則數(shù)列的最大值是()A. B.C.1 D.33.已知奇函數(shù)是上的減函數(shù),若滿足不等式組,則的最小值為()A.-4 B.-2 C.0 D.44.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會(huì)面,已知這三人都不會(huì)違約且無(wú)兩人同時(shí)到達(dá),則甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概率是()A. B. C. D.5.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線,若與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為()A. B. C. D.6.已知等邊△ABC內(nèi)接于圓:x2+y2=1,且P是圓τ上一點(diǎn),則的最大值是()A. B.1 C. D.27.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為,則對(duì)于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸;②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.已知雙曲線的一條漸近線方程為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.已知,,那么是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知是的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.11.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實(shí)數(shù)x,y滿足(2x-y)2+4y14.已知變量x,y滿足約束條件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6,則15.已知是拋物線上一點(diǎn),是圓關(guān)于直線對(duì)稱的曲線上任意一點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_______.16.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為,,(且),則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2是圓心為(2,),半徑為1的圓.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)M為曲線C1上的點(diǎn),N為曲線C2上的點(diǎn),求|MN|的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.19.(12分)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,,,(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式﹔(2)設(shè),求證:.20.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),證明,在恒成立;(2)若在處取得極大值,求的取值范圍.21.(12分)手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持,在我國(guó)有很多手工藝品制作村落,村民的手工技藝世代相傳,有些村落制造出的手工藝品不僅全國(guó)聞名,還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來(lái)某手工藝品村制作的手工藝品在國(guó)外備受歡迎,該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān),合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān),質(zhì)量把關(guān)程序如下:(i)若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí);(ii)若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān),再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí);(iii)若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)的概率為,且各手工藝品質(zhì)量是否過(guò)關(guān)相互獨(dú)立.(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率;(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級(jí)均可外銷,且利潤(rùn)分別為900元,600元,300元,質(zhì)量為D級(jí)不能外銷,利潤(rùn)記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件;②記1件手工藝品的利潤(rùn)為X元,求X的分布列與期望.22.(10分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào),即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結(jié)合解得,所以,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,即,又,所以公差,所以,即,因?yàn)楹瘮?shù),在時(shí),單調(diào)遞減,且;在時(shí),單調(diào)遞減,且.所以數(shù)列的最大值是,且,所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問(wèn)題,難度較易.3、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù),則,且,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),,即,表示直線與軸截距的相反數(shù),根據(jù)平移得到:當(dāng)直線過(guò)點(diǎn),即時(shí),有最小值為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,線性規(guī)劃問(wèn)題,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.4、D【解析】

先判斷是一個(gè)古典概型,列舉出甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件種數(shù),再得到甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的基本事件的種數(shù),利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6種,其中甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到有甲乙丙,共1種,所以甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概率是.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

直線的方程為,令,得,得到a,b的關(guān)系,結(jié)合選項(xiàng)求解即可【詳解】直線的方程為,令,得.因?yàn)?,所以,只有選項(xiàng)滿足條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查運(yùn)算求解能力.6、D【解析】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系,設(shè),則,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),則.當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算,建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】分析:根據(jù)最低點(diǎn),判斷A=3,根據(jù)對(duì)稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T,再代入最低點(diǎn)可求得解析式為,依次判斷各選項(xiàng)的正確與否.詳解:因?yàn)闉閷?duì)稱中心,且最低點(diǎn)為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯(cuò)誤,②正確,③當(dāng)時(shí),,所以與有6個(gè)交點(diǎn),設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)依次為,則,所以③正確所以選C點(diǎn)睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過(guò)求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.8、B【解析】

由題意得出的值,進(jìn)而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由題意可得,因此,該雙曲線的離心率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率,利用公式計(jì)算較為方便,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由,可得,解出即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:因?yàn)?,且.,解得.是的必要不充分條件.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出的值,再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi,從而確定a,b的值,求出a+b.【詳解】i,∴a+bi=﹣i,∴a=0,b=﹣1,∴a+b=﹣1,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了共軛復(fù)數(shù)的概念,是基礎(chǔ)題.11、A【解析】

將整理成的形式,得到復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的的點(diǎn),從而可選出所在象限.【詳解】解:,所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).易錯(cuò)點(diǎn)是誤把當(dāng)成進(jìn)行計(jì)算.12、D【解析】

利用輔助角公式,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,由,解得,即函?shù)的增區(qū)間為,所以當(dāng)時(shí),增區(qū)間的一個(gè)子集為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點(diǎn)在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)對(duì)于整體法的應(yīng)用,使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn),難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據(jù)柯西不等式:2x-y2+4y當(dāng)2x-y=2y,即x=328故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角換元求得答案.14、-5【解析】

畫出x,y滿足的可行域,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),z最小,求解即可。【詳解】畫出x,y滿足的可行域,由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A【點(diǎn)睛】本題考查的是線性規(guī)劃問(wèn)題,解決線性規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化,即數(shù)形結(jié)合思想。需要注意的是:一,準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域;二,畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí),要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免出錯(cuò);三,一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得。15、【解析】

由題意求出圓的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo),求出對(duì)稱圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值,減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為,則有,解方程組可得,所以曲線的方程為,圓心為,設(shè),則,又,所以,,即,所以,故答案為:.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)動(dòng)點(diǎn)距離的最小值問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值為到圓心的距離減半徑,屬于中檔題目.16、【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,進(jìn)而求得,再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得的值.【詳解】由于,,所以,則,∴,,.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)C1:y2=1,C2:x2+(y﹣2)2=1;(2)[0,1]【解析】

(Ⅰ)消去參數(shù)φ可得C1的直角坐標(biāo)方程,易得曲線C2的圓心的直角坐標(biāo)為(0,2),可得C2的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)M(3cosφ,sinφ),由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得|MC2|的取值范圍,結(jié)合圓的知識(shí)可得答案.【詳解】(1)消去參數(shù)φ可得C1的普通方程為y2=1,∵曲線C2是圓心為(2,),半徑為1的圓,曲線C2的圓心的直角坐標(biāo)為(0,2),∴C2的直角坐標(biāo)方程為x2+(y﹣2)2=1;(2)設(shè)M(3cosφ,sinφ),則|MC2|,∵﹣1≤sinφ≤1,∴1≤|MC2|,由題意結(jié)合圖象可得|MN|的最小值為1﹣1=0,最大值為1,∴|MN|的取值范圍為[0,1].【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的參數(shù)方程,涉及圓的知識(shí)和極坐標(biāo)方程,屬中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)最小值和最大值.【解析】試題分析:(1)由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個(gè)復(fù)合角的三角函數(shù)式,再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計(jì)算公式,即可求得函數(shù)的最小正周期;(2)由(1)得函數(shù),分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性,可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.由已知,有的最小正周期.(2)∵在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),,,∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為.考點(diǎn):1.兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式;2.三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性.19、(1)證明見(jiàn)解析,;(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)由,作差得到,進(jìn)一步得到,再作差即可得到,從而使問(wèn)題得到解決;(2),求和即可.【詳解】(1),,兩式相減:①用換,得②②—①,得,即,所以數(shù)列是等差數(shù)列,又,∴,,公差,所以.(II).【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)根據(jù),求導(dǎo),令,用導(dǎo)數(shù)法求其最小值.設(shè)研究在處左正右負(fù),求導(dǎo),分,,三種情況討論求解.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,令,則,所以是的增函數(shù),故,即.因?yàn)樗裕佼?dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若,則若,則所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,所以在處取得極小值,不符合題意,②當(dāng)時(shí),所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.若,則若,則所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,所以在處取得極大值,符合題意.③當(dāng)時(shí),,使得,即,但當(dāng)時(shí),即所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即函數(shù))在上單調(diào)遞減,不符合題意綜上所述,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于難題.21、(1);(2)①可能是2件;②詳見(jiàn)解析【解析】

(1)由一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的情形,并結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式,列式計(jì)算即可;(2)①先求得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為,設(shè)10件手工藝

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