小學(xué)直線型面積講義圖文版

第跋等目竭

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1.熟練運(yùn)用直線型面積的最基本性質(zhì)——等積變形:

2.熟練掌握直線型面積的兩個模型：

（1）等積變形（2）鳥頭模型

直線型面積求解是在以三角形、長方形、正方形、梯形等一些規(guī)則圖形為基礎(chǔ)上進(jìn)行的。

最基本的思想是等積變形。

一、等積變形

①等底等高的兩個三角形面積相等；

②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比：

兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；

如左圖S]:S2=a:h

③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖S/se=5△"?>；

反之，如果k48=%的，則可知直線平行于CO.

④等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）；

⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；

⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比.

二、鳥頭定理

兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面積比等于對應(yīng)南（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比.

如圖在△ABC中，分別是AB,4c上的點(diǎn)如圖⑴（或。在84的延長線上，E在AC上），

則:S&QE=（A3xAC）:（AOxAE）

板塊一、等積變形

【例1】如圖，長方形ABC。的面積是56平方厘米，點(diǎn)E、F、G分別是長方形A8CD邊上的中點(diǎn)，H為

AD邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積.

【解析】本題是等底等高的兩個三角形面積相等的應(yīng)用.

連接BH、CH.

AE=EB,

,?S4AEH-S4BEH,

同理，S&BFH=S&CFH，0GH,

,,,$陰影=5方形ABCO=—x56=28（平方厘米）.

【鞏固】圖中的E、F、G分別是正方形A8CQ三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長是12,那么陰影部

分的面積是.

【例2】如圖，有三個正方形的頂點(diǎn)。、G、K恰好在同一條直線上，其中正方形GFE8的邊長為10厘米,

求陰影部分的面積.

【解析】對于這種幾個正方形并排放在一起的圖形，一般可以連接正方形同方向的對角線，連得的這些對角

線互相都是平行的，從而可以利用面積比例模型進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)化.

如右圖所示，連接FK、GE、BD,則BDUGE//FK,根據(jù)幾何五大模型中的面積比例模型，可

得S3E=SRBGE,SAKGE=SE所以陰影部分的面積就等于正方形GFE8的面積，即為1。2=10°平

方厘米.

【鞏固】右圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是4厘米，求三角形A8C的面積.

【鞏固】（2008年西城實(shí)驗(yàn)考題）如圖，ABC。與AEFG均為正方形，三角形A3”的面積為6平方厘米，圖

中陰影部分的面積為?

【鞏固】正方形4BC。和正方形CEFG,且正方形ABCD邊長為10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米?

【例3】長方形A8CO的面積為36a/,E、F、G為各邊中點(diǎn)，〃為AD邊上任意一點(diǎn)，問陰影部分面

積是多少？

【解析】解法一：尋找可利用的條件，連接84、HC,如下圖：

可仔：S.HB=]^^AHB、S^FHB=S'CHB、S^HG=Q^SDHC，而SABCD=S^HB+S&CHB+S&CHD=36

即,的用+SmHF+SWHG=2"3出十^^CHB+*^AC//D)=/'36=18；

=xxx

而SAEHB+S.HF+SM）HG=A,膨+^EBF'?^&EBF77BExBF=—（-AB）x（彳xBC）=—x36=4.5.

，LLLo

所以陰影部分的面積是：*吃=18-=18-4.5=13.5

解法二：特殊點(diǎn)法.找〃的特殊點(diǎn)，把〃點(diǎn)與。點(diǎn)重合，

那么圖形就可變成右圖：

這樣陰影部分的面積就是AOEF的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有：

SW?=^ABCD~SMKI)~S&HEF-^ACT?=36-TX-X36-XXX36~XX36=13.5?

【鞏固】在邊長為6厘米的正方形ABC。內(nèi)任取一點(diǎn)P,將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分,

分別與P點(diǎn)連接,求陰影部分面積.

[例4]（2007首屆全國資優(yōu)生思維能力測試）A8c。是邊長為12的正方形，如圖所示，P是內(nèi)部任意一點(diǎn),

BL=DM=4、BK=DN=5,那么陰影部分的面積是.

【解析】（法1）特殊點(diǎn)法.由于P是內(nèi)部任意一點(diǎn)，不妨設(shè)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合（如上中圖），那么陰影部分就是

AAMN和A4LK.而AAMN的面積為（12-5）x4+2=14,AAAK的面積為（12-4）x5+2=20,所以

陰影部分的面積為14+20=34.

（法2）尋找可以利用的條件，連接AP、BP、CP、OP可得右上圖所示：

則有：S^K+ShPAn=—SA8co=5x12~=72

同理可彳于：S4PAe+S.BC=72;

而Sw/w:Sgix=DM:￡>C=4:12=1:3,即SSPDM——;

同理：S&PBL=—SaAB'S&PND~Y2'S"BK=五^APBC；

所以：(SAPOM+SaBL)++S"BK)=](SAPDC+^&PAB)++)

而3+S"PBL)*(SwM>+SMBK)=(S"NM+)+(5皿的+SA/ILK)；

陰影面積

S^DNM=SSBLK=-x4x5=10：

所以陰影部分的面積是：

SbPNM+S,VZK=2(S,\mc+S"AB)+~(SM/M+S"HC)—(S,v加“+S謝.K)

即為：-x72+—x72-10x2=24+30-20=34.

312

[例5]（2008年四中考題）如右圖，AD=DB,AE=EF=FC,已知陰影部分面積為5平方厘米，\ABC

的面積是..平方厘米.

連接C￡>.根據(jù)題意可知，由所的面積為AD4c面積的1,AD4C的面積為A4BC面積的L,所

【解析】

32

以ADE尸的面積為&4BC面積的=而AOEE的面積為5平方厘米，所以AA8C的面積為

236

5+1=30(平方厘米).

6

【鞏固】圖中三角形A8C的面積是180平方厘米，。是8c的中點(diǎn)，AZ）的長是長的3倍，的長是3尸

長的3倍.那么三角形AEF的面積是多少平方厘米？

A

BC

［例6］如圖，大長方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個小長方形

組合而成.求陰影部分的面積.

AB

【解析】如圖，將大長方形的長的長度設(shè)為1,則48=上一=',CD=-^—=-,

12+36424+483

所以,陰影部分面積為(12+24+36+48)x1xL=5(cm2).

3412212

【例7】(2009年第七屆“希望杯“二試六年級)如圖，在三角形ABC中，已知三角形AOE、三角形。CE、

三角形BC。的面積分別是89,28,26.那么三角形的面積是.

【解析】根據(jù)題意可知，5MDC+5^￡=89+28=117,

所以BD:AD=Sg0c:SMDC=26:117=2:9,

刃卜么S皿底5必麻=Q:A0=2:9,

2227

故53=89、§=(90-1?3=20-§=19鼠

【例8】。是長方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，已知AOBC的面積是5cm-A0A8的面積是2cm?,求AOBD的面積是

多少？

由于。是長方形所以而所以

【解析】A8C,S.oo+SM0C=/SABCD，SgBo=/SABCD,SMOO+SABOC=

則所以

S,\Boc—S.MMH+Sf101m>S.OBD=S4goe—S610AB=5—2=3cm.

【例9】如右圖，過平行四邊形ABC力內(nèi)的一點(diǎn)p作邊的平行線即、GH,若的面積為8平方分米,

求平行四邊形PHCF的面積比平行四邊形PGAE的面積大多少平方分米？

【解析】根據(jù)差不變原理，要求平行四邊形PHCF的面積與平行四邊形PGAE的面積差，相當(dāng)于求平行四邊

形BCFE的面積與平行四邊形ABHG的面積差.

如右上圖，連接CP、AP.

由于湫「所以

$+=SMBP++SMDP--S48co，SABCP-SAABP=^&BDP?

S-I5=

所以SBCFEABHG~2(S*fiCP—)2s=16(平方分米).

-2ABHG，—Ae

【例10］如右圖，正方形A8C。的面積是20,正三角形ABPC的面積是15,求陰影反叫的面積.

【解析】連接AC交班>于。點(diǎn)，并連接PO.如下圖所示，

可得PO//OC,所以△。尸O與△CPO面積相等（同底等高），所以有:

S^BPO+S&CPO=S詡O+^SPDO=SgPD>

因?yàn)?；S"CD=；x20=5,所以％叨=15-5=10.

【鞏固】如右圖，正方形A5CO的面積是12,正三角形ABPC的面積是5,求陰影A6PD的面積.

B

【例11】（2008年“華杯賽”決賽）右圖中，ABC。和CGEF是兩個正方形，AG和CF相交于已知C”

等于CF的三分之一，三角形C”G的面積等于6平方厘米，求五邊形48GE尸的面積.

【解析】連接AC、GF,由于AC與GF平行，可知四邊形ACGF構(gòu)成一個梯形.

由于A//CG面積為6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的,，根據(jù)梯形蝴蝶

2

定理或相似三角形性質(zhì)，可知AF"G的面積為12平方厘米，AA/7F的面積為6平方厘米，的

面積為3平方厘米.

那么正方形CGEF的面積為（6+12）x2=36平方厘米，所以其邊長為6厘米.

又AA尸C的面積為6+3=9平方厘米，所以AO=9x2+6=3（厘米），即正方形ABCO的邊長為3厘

米.那么，五邊形A8GEF的面積為：36+9+32x4=49.5（平方厘米）.

2

【例12］如圖，已知長方形的面積16,三角形4）3的面積是3,三角形ACF的面積是4,那么三角

形ABC的面積是多少？

【解析】方法一：連接對角線AE.

,/ADEF是長方形

..DB_S^DB3FC_S^CF1

DES^DE8EFS$EF2

.BEDE-DB5CEFE-CF\

,~DE~~DE~-8'~EF~~EF~~2

515

?c_?1A_

?"SABEC=-XgX2X16=2

13

SiABC=SADEF—SB~^MCFSiCBE

6AoT

方法二：連接3/，由圖知S”所=16+2=8,所以5口印=16-8-3=5,又由59“=4,恰好是

AAEF面積的一半，所以C是￡F的中點(diǎn)，因此2=2,所以

5A4BC=16-3-42.5

［例13］（第七屆“小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競賽五年級復(fù)賽）如圖所示，三角形4BC中，。是45邊的中點(diǎn)，E是AC

邊上的一點(diǎn)，且AE=3EC,。為OC與BE的交點(diǎn).若ACEO的面積為。平方厘米，AB。。的面積

為平方厘米.且。-a是2.5平方厘米，那么三角形A8C的面積是平方厘米.

==a+

【解析】3slMc=S騁CD=b+S^co，^SABC^&BCE^&BCO,所以5sA48c一1S/VIBC=人一a=2.5（平方厘

米）.所以無（BC=2.5x4=10（平方厘米）.

【例14]如圖，長方形ABC。的面積是2平方厘米，EC=2DE,尸是DG的中點(diǎn).陰影部分的面積是多少

平方厘米？

【解析】如下圖，連接FC,DBF、BFG的面積相等，設(shè)為x平方厘米；FGC、。尸C的面積相等，設(shè)

為y平方厘米，那么DEF的面積為:），平方厘米.

SBC=^Lx+2y=,SBDE=x+1y=lx1=」.所以有?.比較②、①式，②式左邊比①

333[3x+y=l②

式左邊多2x,②式右邊比①式右邊大0.5,有2x=0.5,即x=0.25,y=0.25.而陰影部分面積為

y+±2y=25x0.25=35平方厘米.

■3312

【例151（2008年第一屆“學(xué)而思杯”綜合素質(zhì)測評六年級2試）如圖，BC=45,AC=21,AA8C被分成

9個面積相等的小三角形，那么/+%=.

2

【解析】由題意可知，BD:BC=S,:S?=2:9,所以BD=-BC=\Q,CD=BC-BD=35;又

WDMC9

2

DI:D€酬：&$九2：,所以O(shè)/=yOC=14同樣分析可得FK=1（,所以

DkF<4+10=.

【鞏固】（2009年清華附中入學(xué)測試題）如圖，在角MON的兩邊上分別有A、C、E及B、D、F六個點(diǎn),

并且AOA8、AABC、ABC。、RCDE、AGE尸的面積都等于1,則AOCF的面積等于.

【例16]（2009年四中入學(xué)測試題）如圖，已知CQ=5,DE=7,EF=}5,FG=6,線段口將圖形分成

兩部分，左邊部分面積是38,右邊部分面積是65,那么三角形AOG的面積是.

【解析】連接AF,BD.

根據(jù)題意可知，CF=5+7+15=27;0G=7+15+6=28：

1512217

：

所以，S2EF=藥S&CBF,SgEc=—S^CBF'=云^MDG'女^HADG'

2115712

7o

于40c+王SACSF=65;—SCM)G+—SACBF=38;

可得見兇二射.故三角形AOG的面積是40.

【例17】（2008年走美六年級初賽）如圖所示，長方形ABCO內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,A8=8,

AO=15,四邊形EFGO的面積為.

【解析】利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形AOE、QOG和四邊形E/GO的面積之和，以及三角形

AOE和DOG的面積之和，進(jìn)而求出四邊形EFGO的面積.

由于長方形ABC。的面積為15x8=120,所以三角形BOC的面積為120x4=30,所以三角形AOE和

4

3

OOG的面積之和為120x2—70=20;

4

又三角形AOE、OOG和四邊形EFGO的面積之和為120x（g-；）=30,所以四邊形EFGO的面積

為30-20=10.

另解：從整體上來看，四邊形EFGO的面積=三角形AFC面積+三角形BFD面積-白色部分的面積，

而三角形AFC面積+三角形3ED面積為長方形面積的一半，即60,白色部分的面積等于長方形面

積減去陰影部分的面積，即120-70=50,所以四邊形的面積為60-50=10.

【鞏固】（2008年“華杯賽”初賽）如圖所示，矩形ABC。的面積為24平方厘米.三角形4加與三角形8CN

的面積之和為7.8平方厘米，則四邊形PMON的面積是平方厘米.

【例18］（清華附中分班考試題）如圖，如果長方形ABC。的面積是56平方厘米，那么四邊形MNPQ的面積

是多少平方厘米？

AN6B

【解析】如圖，過M、N、P、。分別作長方形ABC。的各邊的平行線.易知交成中間的陰影正方形的邊長

為3厘米，面積等于9平方厘米.設(shè)AMQ。、g/AM、APBN、AQCP的面積之和為S,四邊形MVPQ

的面積等于X,則解得x=32.5（平方厘米）.

x-S=9

板塊二鳥頭模型

【例19］如圖在△ABC中，分別是A8,4C上的點(diǎn)，且AO:A8=2:5,AE:AC=4:7,5%叱=16平

方厘米，求△4BC的面積.

【解析】連接BE,S“0E：S"BE=A￡）：A3=2:5=（2X4）:（5X4）,

5AABE:S^ABC=A￡:AC=4:7=（4x5）:（7x5）,所以SaDg:詆=（2x4）:（乙5：,設(shè)份，

則%ABC=35份，S”0E=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ZiABC的

面積是70平方厘米.由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相

等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比.

【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部分面

積是甲部分面積的幾倍？

AA

:.AB=3BE,S.=3SBDE

又：BD=DC=4,

,?2sABD,..6sBDE，5乙=5s甲.

【例20]如圖在△ABC中，。在物的延長線上，E在AC上，且48:40=5:2,

AEtEC=3:2,=12平方厘米，求△48C的面積.

【解析】連接BE,5AAD￡:SA4B￡=AD:AB=2:5=(2X3):(5X3)

S/\AM：$△,%=人氏AC=3:(3+2)=(3*5):[(3+2)X5],

所以:S.ABC=(3x2):[5x(3+2)]=6:25,設(shè)k4展=6份,則以謝.=25份'平方厘

米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面積是50平方厘米.由此我們得到

一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比

【例21)如圖，三角形A8C的面積為3平方厘米，其中A8:8E=2:5,BC:CD=3:2,三角形或區(qū)的面

積是多少？

D

【解析】由于乙48。+/。8￡'=180',所以可以用共角定理，設(shè)45=2份，BC=3份，則BE=5份，

80=3+2=5份，由共角定理工“8c:S△皿=(ABxBC)：(8Ex8D)=(2x3):(5x5)=6:25,設(shè)

=6份，恰好是3平方厘米，所以1份是().5平方厘米，25份就是25x0.5=12.5平方厘米，三角

形BDE的面積是12.5平方厘米

【例22)已知的面積為7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面積.

【解析】S&BDE:S.ABC=(8DxBE):(BAxBC)=(1x1)：(2x3)=1:6,

SAC￡F:S^ABC=(CExCF):(CBxC4)=(1X3):(2X4)=3:8

SA4DF:SAABC=(AZ>XAF):(ABXAC)=(2X1)：(3X4)=1:6

設(shè)S“BC=24份，貝IS△曲=4份，S△皿=4份，S/F=9份，S△團(tuán)=24-4-4-9=7份，恰好是7

平方厘米，所以Z.c=24平方厘米

【例23］如圖，已知三角形ABC面積為延長他至。，使BD=AB;延長8c至E,使CE=2BC；延

長C4至尸，使AF=3AC,求三角形￡>￡F的面積.

【解析】(法1)本題是性質(zhì)的反復(fù)使用.

連接AE、CD.

?.$說_1o_1

?q-1，OABC-1，

3DBC1

=

,"SDBC1?

同理可得其它，最后三角形。EF的面積=18.

(法2)用共角定理???在A8C和CFE中，NACB與NFCE互補(bǔ),

.SA”ACBC1x11

-

“sFC￡-FC-CE4x2-8,

又SABC=1，所以SFCE=8.

同理可得5皿.=6,SBDE=3.

所以+SFCE+SADF+SBDE=1+8+6+3=18.

【例24］如圖，平行四邊形ABC。，BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四邊形ABC。的

面積是2,求平行四邊形48C。與四邊形EFGH的面積比.

【解析】連接AC、BD.根據(jù)共角定理

??,在△ABC和△BFE中，/ABC與NFBE互補(bǔ),

.S^cABBClx{=i

S"跖BEBF1x33

又S^ABC=1,所以S2FBE=3.

同理可得S^GCF~8'S^DHG=15,S&AEH=8.

+

所以SEFGH=^^AEH+SMFG+^^DHG+ABCD=8+8+15+3+2=36.

所以&^=_1=_L.

SEFGH3618

【例25］如圖，將四邊形ABC。的四條邊A3、CB、CD、4。分別延長兩倍至點(diǎn)E、F、G、〃，若四

邊形ABCD的面積為5