微專題01 共線問題與數(shù)量積求解策略（七大題型）（原卷版）

微專題01共線問題與數(shù)量積求解策略【題型歸納目錄】題型一：向量共線定理題型二：雞爪定理題型三：數(shù)量積之技巧1:已知兩邊夾角題型四：數(shù)量積技巧2:一邊定長轉(zhuǎn)投影題型五：數(shù)量積技巧3:極化恒等式題型六：數(shù)量積之技巧4:基底法題型七：數(shù)量積之技巧5:坐標(biāo)法【方法技巧與總結(jié)】①定義法：已知兩個(gè)向量的模長和對應(yīng)的夾角；②幾何意義：當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)，且向量的夾角未知時(shí)，可以考慮用數(shù)量積的幾何意義求解；③坐標(biāo)表示法：它可以將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)換為簡單的代數(shù)問題，可以用向量的坐標(biāo)表示求數(shù)量積；④基底法：根據(jù)平面向量的基本定理可知，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量均可以用兩個(gè)不共線的向量表示，所以在求解兩個(gè)向量的數(shù)量積時(shí)，可以先將未知向量用已知向量表示；⑤極化恒等式．【典型例題】題型一：向量共線定理【例1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，中任意兩個(gè)都不共線，并且與共線，與共線，那么等于（）A． B．C． D．【變式1-1】（2024·全國·高三校聯(lián)考期末）已知所在平面內(nèi)的一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)必在（

）A．的外面 B．的內(nèi)部C．邊上 D．邊上【變式1-2】（2024·上海閔行·高一校考期末）是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則點(diǎn)必在（

）A．內(nèi)部 B．在直線上C．在直線上 D．在直線上題型二：雞爪定理【例2】（2024·福建泉州·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)G是的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)點(diǎn)N與點(diǎn)C不重合，設(shè)，，則的最小值為（

）A．2 B．C． D．【變式2-1】（2024·湖北恩施·高二利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)G是的重心，過點(diǎn)G作直線分別與兩邊交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【變式2-2】（2024·河北滄州·高三周測）如右圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線與，兩邊分別交于，兩點(diǎn)，且，，則的最小值為A． B．C． D．題型三：數(shù)量積之技巧1:已知兩邊夾角【例3】已知菱形的邊長為，，則（）A． B． C． D．【變式3-1】（2024·廣東梅州·高三?？计谀┮阎庑蔚倪呴L為，，則（

）A． B． C． D．【變式3-2】（多選題）（2024·重慶沙坪壩·高一重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．題型四：數(shù)量積技巧2:一邊定長轉(zhuǎn)投影【例4】（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知外接圓的圓心為，若，，則的值是（

）A．18 B．36 C．72 D．144【變式4-1】（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，的外接圓的圓心為O，，，，則的值為（

）．A． B． C．2 D．3【變式4-2】已知△ABC外接圓的圓心為O，若AB=3，AC=5，則的值是（

）A．2 B．4 C．8 D．16題型五：數(shù)量積技巧3:極化恒等式【例5】（2024·江蘇無錫·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，點(diǎn)P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式5-1】（2024·浙江杭州·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對于邊上任一點(diǎn)P，恒有.則（

）A． B． C． D．題型六：數(shù)量積之技巧4:基底法【例6】（2024·四川成都·高一校聯(lián)考期末）設(shè)四邊形ABCD中，有向線段，，．若點(diǎn)M，N分別在BC、CD上，滿足，，則=（

）A．20 B．15 C．9 D．6【變式6-1】（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知菱形的邊長為3，，與交于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，的延長線與交于點(diǎn).則（

）A． B． C． D．6【變式6-2】（2024·湖南長沙·湖南師大附中?？家荒＃┰凇鰽BC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，點(diǎn)P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型七：數(shù)量積之技巧5:坐標(biāo)法【例7】（2024·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面四邊形ABCD中，，，，．若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

【變式7-1】（2024·河南省直轄縣級單位·高一統(tǒng)考期末）已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（

）A．76 B．78 C．80 D．82【變式7-2】（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四邊形是邊長為的菱形，，，分別是，上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足，則的取值范圍是.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·福建南平·高一校考階段練習(xí)）已知所在平面內(nèi)的一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P必在（

）A．的外部 B．的內(nèi)部C．直線AB上 D．線段AC上2．（2024·重慶·高一校聯(lián)考期末）如圖，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB?AC兩邊交于M?N兩點(diǎn)（M?N與B?C不重合），設(shè)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2024·新疆昌吉·統(tǒng)考一模）如圖所示，已知點(diǎn)G是的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M，N與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)，，則的最小值為（

）

A．2 B． C．4 D．4．（2024·廣東廣州·高三校聯(lián)考期末）如圖，在平行四邊形中，分別為上的點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2024·浙江·高三校聯(lián)考期末）已知三角形，，，，點(diǎn)為三角形的內(nèi)心，記，，，則（

）A． B． C． D．6．（2024·陜西西安·高一長安一中校考期末）如圖，在平面四邊形ABCD，，，，．若點(diǎn)E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2024·福建福州·高一校聯(lián)考期末）四邊形為平行四邊形，，．若點(diǎn)滿足，，則（

）A．20 B．16 C．9 D．68．（2024·江蘇南京·高一?？计谀┰O(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，，，若點(diǎn)N，N滿足，，則（

）A．-5 B．0 C．5 D．109．（2024·河北邯鄲·高三階段練習(xí)）設(shè)平行四邊形，，，若點(diǎn)滿足，，則（

）A．20 B．15 C．36 D．6二、多選題10．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．A，B，C，D四點(diǎn)共線 B．C，B，D三點(diǎn)共線C． D．11．（2024·湖北武漢·高一校考期末）如圖，已知平面四邊形，，，，與交于點(diǎn)，記，，，則錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（

）A． B．C． D．12．（2024·福建三明·高三三明一中校考階段練習(xí)）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則以下結(jié)論正確的是（

）．A． B．C． D．13．（2024·福建廈門·高一廈門一中?？茧A段練習(xí)）已知在△ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，是邊AB上一定點(diǎn)滿足，且對于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題14．（2024·湖北武漢·高三階段練習(xí)）已知是兩個(gè)單位向量，且，向量與共線，則的最小值為．15．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)P，，給出關(guān)于點(diǎn)P的位置的下列四種說法：①P在三角形ABC的內(nèi)部，②P在三角形ABC的外部，③P在直線AB上，④P在邊AC上.其中正確的說法是．(填序號)16．（2024·全國·高二專題練習(xí)）下列命題是真命題的是.(填序號)①若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量；②若A，B，C，D不在一條直線上，則與不是共線向量；③向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在一條直線上；④向量與是共線向量，則A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上.17．（2024·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，是邊上一點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與兩邊分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值為.18．（2024·福建龍巖·高一校聯(lián)考期末）在中，，若為外接圓的圓心，則的值為．19．（2024·浙江杭州·高一學(xué)軍中學(xué)?？计谀┮阎鰽BC的外接圓圓心為O，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，則．20．（2024·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)校考期末）已知正方體的內(nèi)切球半徑為1，線段是球的一條動(dòng)直徑（，是直徑的兩端點(diǎn)），點(diǎn)是正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．21．（2024·江西新余·校聯(lián)考一模）已知半徑為1的球內(nèi)切于正四面體，線段是球的一條動(dòng)直徑（是直徑的兩端點(diǎn)），點(diǎn)是正四面體的表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．22．（2024·高二單元測試）已知球內(nèi)切于正四面體，且正四面體的棱長為，線段是球的一條動(dòng)直徑（，是直徑的兩端點(diǎn)），點(diǎn)是正四面體的表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．23．（2024·天津·高三耀華中學(xué)階段練習(xí)）在等腰梯形中，已知，，，，動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上，且，且，則=.24．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在等腰梯形中，已知，，，，動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上，且，，則的最小值為．25．（2024·天津南開·統(tǒng)考三模）在等腰梯形中，已知，，，，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段和上，且，，當(dāng)時(shí)，則有最小值為．26．（2024·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）已知同一平面上的和分別是邊長為2和4的正三角形（其中A，B，O和C，D，O均按逆時(shí)針排列），則的取值范圍是．27．（2024·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習(xí)）已知，，，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，當(dāng)變化時(shí)，的最大值等于.28．（2024·福建泉州·高一福建省泉州市泉港區(qū)第一中學(xué)校考期末）已知，，,若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于.29．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是．

30．（2024·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值為；31．（2024·黑龍江大慶·高三統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若＝，則的值是．四、解答題32