人教版七年級數(shù)學上冊專題02數(shù)軸上動點問題的三種考法(原卷版+解析)

專題02數(shù)軸上動點問題的三種考法【知識點梳理】1.數(shù)軸上兩點間的距離數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)為分別為a、b，則A與B間的距離AB=|a－b|；2.數(shù)軸上點移動規(guī)律數(shù)軸上點向右移動則數(shù)變大（增加），向左移動數(shù)變?。p小）；當數(shù)a表示的點向右移動b個單位長度后到達點表示的數(shù)為a+b；向左移動b個單位長度后到達點表示的數(shù)為a－b.類型一、求值（速度、時間、距離）例1．數(shù)軸上點A表示的數(shù)為10，點M，N分別以每秒a個單位長度、每秒b個單位長度的速度沿數(shù)軸運動，a，b滿足．

(1)請直接寫出______，______；(2)如圖1，點M從A出發(fā)沿數(shù)軸向左運動，到達原點后立即返回向右運動；同時點N從原點O出發(fā)沿數(shù)軸向左運動，運動時間為t，點P為線段的中點．若，求t的值；(3)如圖2，若點M從原點向右運動，同時點N從原點向左運動，運動時間為t．當以M，N，O，A為端點的所有線段的長度和為109時，求出此時點M對應的數(shù)．例2．如圖，點O為數(shù)軸原點，點A、B、C都在數(shù)軸上，．已知點A表示的數(shù)為．

(1)直接寫出點B表示的數(shù)；(2)一動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動；另一動點Q同時從點B出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，已知P、Q兩點恰好在點C相遇，求點C表示的數(shù)．(3)在（2）的條件下，當點P分別到A、B、C三點的距離之和為68個單位長度時，求點P的運動時間．例3．如圖1，點在射線上，，，點從點出發(fā)，沿方向以的速度向右勻速運動，點從點出發(fā)，在線段上向左勻速運動，兩點同時出發(fā)．

(1)若點運動速度為，當點和點都運動到線段上，且點恰好為線段的中點時，求點運動的時間；(2)如圖2，若點也為射線上一點，且，當時，點運動到線段上且恰好滿足，求點的運動速度．例4．如圖將一條數(shù)軸在原點，點，點，點處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點表示，點表示，點表示，點表示，點表示，我們稱點和點在數(shù)軸上相距個長度單位．動點從點出發(fā)，以單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，同時，動點從點出發(fā)，以單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動，兩點上坡時速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话耄缕聲r速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀?，平地則保持初始速度不變．當點運動至點時則兩點停止運動，設運動的時間為秒．問：

(1)動點從點運動至點需要秒，此時點對應的點是．(2)，兩點在點處相遇，求出相遇點所對應的數(shù)是多少？(3)求當為何值時，，兩點在數(shù)軸上相距的長度與，兩點在數(shù)軸上相距的長度相等．【變式訓練1】已知多項式的常數(shù)項是a，次數(shù)是b，若a、b兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的點為A、B，點A位于點B的左邊．

(1)數(shù)軸上A點表示的數(shù)為______，B點表示的數(shù)為______．(2)數(shù)軸上在B點右邊有一點C，點C到A、B兩點的距離和為13，求點C在數(shù)軸上所對應的數(shù)．(3)若P、Q兩點分別從A、B出發(fā)，同時沿數(shù)軸正方向運動，O為數(shù)軸原點，P點的速度是Q點速度的2倍，且3秒后，，求點Q運動的速度．【變式訓練2】，分別是數(shù)軸上兩個不同點A，所表示的有理數(shù)，且，，A，兩點在數(shù)軸上的位置始圖所示：

(1)直接寫出數(shù)，的值；(2)A，兩點相距多少個單位長度？(3)若點在數(shù)軸上，點到點的距離是點到A點距離的，求點考示的數(shù)；(4)點從A點出發(fā)，先向左移動一個單位長度，再向右移動2個單位長度，再向左移動3個單位長度，再向右移動4個單位長度，依次操作2022次后，求點表示的數(shù)．【變式訓練3】已知數(shù)軸上的A、B兩點分別對應的數(shù)字為a、b，且a、b滿足．

(1)求a、b的值；(2)點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，出發(fā)后經過t秒鐘，P、A、B三點中其中一個點到另外兩個點的距離相等，求出此時t值；(3)數(shù)軸上還有一點C對應的數(shù)為40，若點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向C點運動，同時，點Q從B點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度向正方向運動，點P運動到C點后立即返回再沿數(shù)軸向左運動．當時，求點P運動的時間．【變式訓練4】已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b、c滿足，請回答問題．

(1)請直接寫出a、b、c的值．______，______，______；(2)a、b、c所對應的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應的數(shù)為x，點P在0到2之間運動時即（時），請化簡式子：（請寫出化簡過程）；(3)在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度也向左運動，運動時間為t，是否存在t，使A、B、C中一點是其它兩點的中點，若存在，求t的值，若不存在，說明理由．類型二、定值問題例．已知M，N兩點在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為m，n，且m，n滿足：．

(1)求m、n的值；(2)①情境：有一個玩具火車如圖1所示，放置在數(shù)軸上，將火車沿數(shù)軸左右水平移動，當點A移動到點B時，點B所對應的數(shù)為m，當點B移動到點A時，點A所對應的數(shù)為n．則玩具火車的長為__________個單位長度；②應用：如圖1所示，當火車勻速向右運動時，若火車完全經過點M需要2秒，則火車的速度為__________個單位長度/秒．(3)在（2）的條件下，當火車勻速向右運動，同時點P和點Q從N、M出發(fā)，分別以每秒1個單位長度和2個單位長度的速度向左和向右運動，記火車運動后對應的位置為．是否存在常數(shù)k使得的值與它們的運動時間無關？若存在，請求出k和這個定值：若不存在，請說明理由．【變式訓練1】如圖，數(shù)軸上有三個點，，，表示的數(shù)分別是，，．

(1)若使、兩點的距離是、兩點的距離的3倍，則需將點向右移動________個單位：(2)點、、開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，設運動時間為秒：①點、、表示的數(shù)分別是_______、_______、_______（用含、的代數(shù)式表示）：②若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為，當為何值時，的值不會隨著時間的變化而改變．【變式訓練2】如圖，在數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)，且

(1)填空，_______________，_______________；(2)若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為，已知點為數(shù)軸上一動點，且滿足，求出點表示的數(shù)；(3)若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時點以每秒個單位長度的速度向右運動，動點從原點開始以每秒個單位長度運動，運動時間為秒，運動過程中，點始終在、兩點之間上，且的值始終是一個定值，求點運動的方向及的值，【變式訓練3】如圖，在數(shù)軸上點A、B、C表示的數(shù)分別為、、，點A與點B之間的距離表示為，點B與點C之間的距離表示為，點A與點C之間的距離表示為．(1)、、；(2)若點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，點Q以每秒3個單位長度的速度從點C出發(fā)，P、Q同時同向而行，運動時間為t秒，經過多少秒后，點P、Q兩點相距2個單位長度？(3)若點D從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向左運動，點E從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向右運動，點F從C點出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度向右運動，設點D、E、F同時出發(fā)，運動時間為t秒，問的值是否隨著時間t的變化而變化？請說明理由．【變式訓練4】如圖所示，數(shù)軸上有，，，四個點，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，且滿足．已知（單位長度），（單位長度）．(1)求點和點分別表示的數(shù)；(2)若線段以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運動，設運動時間為秒，當（單位長度）時，求的值；(3)若動點從表示數(shù)的點開始以每秒5個單位長度的速度向右運動，且滿足的值不隨點運動時間的變化而改變，求的值．類型三、數(shù)量關系問題例．已知在數(shù)軸上有A，B兩點，點A表示的數(shù)為8，點B在A點的左邊，且．若有一動點P從數(shù)軸上點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向點B勻速運動，動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著數(shù)軸向點A勻速運動，規(guī)定其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動時間為t秒．(1)【解決問題】：①當秒時，寫出數(shù)軸上點P，Q所表示的數(shù)；②問點P運動多少秒與點Q相距3個單位長度？(2)【探索問題】：若為的中點，為的中點，直接寫出線段與線段的數(shù)量關系．【變式訓練1】已知數(shù)軸上A，B兩點對應的數(shù)分別是a，b，其中a，b分別為單項式的系數(shù)和次數(shù)，點P為數(shù)軸上的一動點．(1)A，B兩點的距離__________；(2)在數(shù)軸上是否存在點P，使？若存在，請求出點P對應的數(shù)；若不存在，請說明理由；(3)若點P以每秒1個單位的速度從點O（點O對應的數(shù)是0）出發(fā)向右勻速運動，同時點A以每秒5個單位的速度向左勻速運動，點B以每秒8個單位的速度向右勻速運動．在運動的過程中，M，N分別是，的中點，設運動時間為t秒．①請用含t的代數(shù)式表示；②隨著時間t的變化，與之間有怎樣的數(shù)量關系？【變式訓練2】如圖，已知在數(shù)軸上有A，B兩點，點A表示的數(shù)為8，點B在A點的左邊，且．若有一動點P從數(shù)軸上點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運動．設點P的運動時間為t秒．(1)解決問題：①當時，寫出數(shù)軸上點B，P所表示的數(shù)；②若點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，問點P運動多少秒與點Q相距3個單位長度？(2)探索問題：若M為AQ的中點，N為BP的中點．當點P在A，B兩點之間運動時，探索線段MN與線段PQ的數(shù)量關系（寫出過程）．課后訓練1．已知數(shù)軸上有A，B，C三點，分別表示，，6，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點同時出發(fā)，甲的速度是每秒4個單位，乙的速度是每秒3個單位．(1)，．(2)若甲、乙相向而行，則甲、乙在多少秒后數(shù)軸上相遇？該相遇點在數(shù)軸上表示的數(shù)是什么？(3)若甲、乙相向而行，則多少秒后甲到A，B，C三點的距離之和為23個單位？(4)在（3）的條件下，當甲到A，B，C三點的距離之和為23個單位時，甲調頭返回，則甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，并求出相遇點在數(shù)軸上表示的數(shù)；若不能，請說明理由．2．【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點A、點B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點之間的距離，線段的中點表示的數(shù)為．【問題情境】如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為8，點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒．【綜合運用】(1)填空：用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點P表示的數(shù)為；點Q表示的數(shù)為．(2)求當t為何值時，P、Q兩點相遇；(3)求當t為何值時，；(4)若點為的中點，點為的中點，點在運動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段的長．3．如圖，數(shù)軸上A，B兩點對應的有理數(shù)分別為和20、點P從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向勻速運動，同時，點Q從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向勻速運動．設運動時間為秒．(1)當時，線段的長度是___________；當時，線段的長度是___________．(2)當時，求所有符合條件的t的值，并求出此時點Q所對應的數(shù)．(3)若點P一直沿數(shù)軸的正方向運動，點Q運動到點B時，立即改變運動方向，沿數(shù)軸的負方向運動，到達點A時，隨即停止運動，在點Q的整個運動過程中，直接寫出所有使得線段的t值．5．已知數(shù)軸上的、兩點分別對應的數(shù)字為、，且、滿足．(1)直接寫出：______，______；(2)從出發(fā)，以每秒個長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，何時，，三點中其中一個點到另外兩個點的距離相等？求出相應的時間；(3)數(shù)軸上還有一點對應的數(shù)為，若點從出發(fā)，以每秒個單位的速度向點運動，同時，從點出發(fā)，以每秒個長度的速度向正方向運動，點運動到點立即返回再沿數(shù)軸向左運動．當時，求運動的時間．6．已知式子是關于x的二次多項式，且二次項系數(shù)為b，，數(shù)軸上A，B、C三點所對應的數(shù)分別是a、b和c，點A，B沿數(shù)軸同時出發(fā)相向勻速運動，點B的速度為每秒2個單位長度，4秒后兩點相遇．(1)求點A的運動速度；(2)若點A與點B之間的距離記為，原點O與點C之間的距離記為，A，B兩點運動秒時有，求此時t的值；(3)當點A運動到點C時，迅速以初始速度的2倍返回，到達點A的起始位置后，再以初始速度的4倍又折返向C點運動：點B始終保持原來的運動方向和速度不變；求出運動過程中A，B兩點相遇時t的值．7．已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應的點分別為A，B，C，其中b是最小的正整數(shù)，a，c滿足．(1)填空；a＝，b＝，c＝．(2)現(xiàn)將點A，點B和點C分別以每秒4個單位長度，1個單位長度和1個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向右運動，設運動時間為t秒．①求經過多長時間，的長度是長度的兩倍．②定義，已知M，N為數(shù)軸上任意兩點．將數(shù)軸沿線段的中點Q進行折疊，點M與點N剛好重合，所以我們又稱線段的中點Q為點M和點N的折點．試問：當t為何值時，這三個點中恰好有一點為另外兩點的折點？

專題02數(shù)軸上動點問題的三種考法【知識點梳理】1.數(shù)軸上兩點間的距離數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)為分別為a、b，則A與B間的距離AB=|a－b|；2.數(shù)軸上點移動規(guī)律數(shù)軸上點向右移動則數(shù)變大（增加），向左移動數(shù)變?。p?。划敂?shù)a表示的點向右移動b個單位長度后到達點表示的數(shù)為a+b；向左移動b個單位長度后到達點表示的數(shù)為a－b.類型一、求值（速度、時間、距離）例1．數(shù)軸上點A表示的數(shù)為10，點M，N分別以每秒a個單位長度、每秒b個單位長度的速度沿數(shù)軸運動，a，b滿足．

(1)請直接寫出______，______；(2)如圖1，點M從A出發(fā)沿數(shù)軸向左運動，到達原點后立即返回向右運動；同時點N從原點O出發(fā)沿數(shù)軸向左運動，運動時間為t，點P為線段的中點．若，求t的值；(3)如圖2，若點M從原點向右運動，同時點N從原點向左運動，運動時間為t．當以M，N，O，A為端點的所有線段的長度和為109時，求出此時點M對應的數(shù)．【答案】(1)5，6(2)或(3)點M對應的數(shù)為15【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質解答；（2）分三種情況解答：①點未到達時時），，，；②點到達返回時當時），，；③點到達返回時，即時，不成立；（3）根據(jù)兩點間的距離公式列出方程并解答．【詳解】（1）．，，故答案為：5，6．（2）①點未到達時時），，，，即，解得；②點到達返回時時），，，即，解得；③當點到達返回，且到右側時，即時，不成立；（3）①依題意，當M在之間時，，解得，不符合題意，舍去；②當M在A右側時，，解得，點M對應的數(shù)為15答：此時點M對應的數(shù)為15．【點睛】本題考查學生對數(shù)軸相關知識的掌握情況及利用一元一次解決實際問題的能力．本題涉及數(shù)軸即路程為題，清楚各個點之間距離的表示方式是解題的關鍵．另外要注意路程相等的幾種情況．例2．如圖，點O為數(shù)軸原點，點A、B、C都在數(shù)軸上，．已知點A表示的數(shù)為．

(1)直接寫出點B表示的數(shù)；(2)一動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動；另一動點Q同時從點B出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，已知P、Q兩點恰好在點C相遇，求點C表示的數(shù)．(3)在（2）的條件下，當點P分別到A、B、C三點的距離之和為68個單位長度時，求點P的運動時間．【答案】(1)15；(2)；(3)秒【分析】（1）根據(jù)以及點A表示的數(shù)可得，繼而得解；（2）用路程和除以速度和可得運動時間，結合點A表示的數(shù)和點P的運動速度可得結果；（3）設點P運動時間為t，分點P在之間，點P在之間和點P在點B右側三種情況，分別求解．【詳解】（1）解：∵點A表示的數(shù)為，，∴，∴點B表示的數(shù)為15；（2），∴相遇時運動了5秒，∴點C表示的數(shù)為；（3）設點P運動時間為t，當點P在之間時，，解得：，不符合；當點P在之間時，，，解得：，符合；當點P在點B右側時，，，解得：，而，故不符合；綜上：點P的運動時間為秒．【點睛】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，涉及了兩點間的距離，一元一次方程，關鍵是注意分情況進行討論．例3．如圖1，點在射線上，，，點從點出發(fā)，沿方向以的速度向右勻速運動，點從點出發(fā)，在線段上向左勻速運動，兩點同時出發(fā)．

(1)若點運動速度為，當點和點都運動到線段上，且點恰好為線段的中點時，求點運動的時間；(2)如圖2，若點也為射線上一點，且，當時，點運動到線段上且恰好滿足，求點的運動速度．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設運動時間為t秒，表示出和，根據(jù)列出方程，解之即可；（2）設點的運動速度為，運動時間為t秒，分P在線段上和P在射線上兩種情況，分別求解．【詳解】（1）解：設運動時間為t秒，由題意可得：，，則，，∴，即，解得：，即點運動的時間為；（2）設點的運動速度為，運動時間為t秒，當P在線段上時，，解得：，∵，∴，解得：；當P在射線上時，，解得：，∵，∴，解得：；綜上：點的運動速度為或．【點睛】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，一元一次方程，數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關鍵是能用未知數(shù)表示出相應線段的長度．例4．如圖將一條數(shù)軸在原點，點，點，點處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點表示，點表示，點表示，點表示，點表示，我們稱點和點在數(shù)軸上相距個長度單位．動點從點出發(fā)，以單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，同時，動點從點出發(fā)，以單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動，兩點上坡時速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话?，下坡時速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀叮降貏t保持初始速度不變．當點運動至點時則兩點停止運動，設運動的時間為秒．問：

(1)動點從點運動至點需要秒，此時點對應的點是．(2)，兩點在點處相遇，求出相遇點所對應的數(shù)是多少？(3)求當為何值時，，兩點在數(shù)軸上相距的長度與，兩點在數(shù)軸上相距的長度相等．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)時間等于路程除以速度，分成三部分進行求解即可；（2）先求出點到達點時，的位置，再求出兩者還需要經過多長時間相遇，以及這段時間點的的路程，即可得出結論；（3）分點分別在段時，進行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得：點上坡時速度為單位/秒，下坡時速度為單位/秒，點上坡時速度為單位/秒，下坡時速度為單位/秒，，，，，，∴點從點運動至點需要（秒）；點從點運動到點需要（秒），從點運動到點需要：（秒）∴當點從點運動至點時，點運動到點；故答案為：；（2）由（）可知，，兩點在處相遇時，點在段，點由到點用時為秒，點從到用時為秒，從又運動了：秒，當點到達點時，點距離點單位長度，再經過秒，相遇，點經過的的路程為：單位長度，點為，故點對應數(shù)為．（3）當點在段時，點在段，此時大于，小于；當點在段時，點在段，若，則，，，解得：秒；當點在段時，點在段，，，，解得：秒；當點在段或段時，大于，小于．綜上所述，當或秒時，，兩點在數(shù)軸上相距的長度與，兩點在數(shù)軸上相距的長度相等．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是掌握時間等于路程除以速度，正確的列出方程．【變式訓練1】已知多項式的常數(shù)項是a，次數(shù)是b，若a、b兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的點為A、B，點A位于點B的左邊．

(1)數(shù)軸上A點表示的數(shù)為______，B點表示的數(shù)為______．(2)數(shù)軸上在B點右邊有一點C，點C到A、B兩點的距離和為13，求點C在數(shù)軸上所對應的數(shù)．(3)若P、Q兩點分別從A、B出發(fā)，同時沿數(shù)軸正方向運動，O為數(shù)軸原點，P點的速度是Q點速度的2倍，且3秒后，，求點Q運動的速度．【答案】(1)，3；(2)6；(3)或【分析】（1）根據(jù)多項式的常數(shù)和次數(shù)，即可得出a，b的值，從而得到結果；（2）根據(jù)兩點間的距離得到關于的方程，從而可以得到點在數(shù)軸上所對應的數(shù)；（3）設點Q運動的速度為x，分別表示出點P和點Q對應的數(shù)，再列出絕對值方程，解之即可．【詳解】（1）解：的常數(shù)項是，次數(shù)是，∴，，∴A點表示的數(shù)為，B點表示的數(shù)為3；（2）由題意可得：，解得：，即點C在數(shù)軸上所對應的數(shù)為6；（3）設點Q運動的速度為x，則P點的速度為，∴3秒后，點P表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為，∵，∴，解得：或，即點Q運動的速度為或．【點睛】本題考查一元一次方程的應用、數(shù)軸、多項式，解答本題的關鍵是明確題意，求出、的值，找出題目中的等量關系，列出相應的方程．【變式訓練2】，分別是數(shù)軸上兩個不同點A，所表示的有理數(shù)，且，，A，兩點在數(shù)軸上的位置始圖所示：

(1)直接寫出數(shù)，的值；(2)A，兩點相距多少個單位長度？(3)若點在數(shù)軸上，點到點的距離是點到A點距離的，求點考示的數(shù)；(4)點從A點出發(fā)，先向左移動一個單位長度，再向右移動2個單位長度，再向左移動3個單位長度，再向右移動4個單位長度，依次操作2022次后，求點表示的數(shù)．【答案】(1)，(2)(3)或(4)【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義結合由數(shù)軸得出、的符號即可得；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式即可得；（3）設點表示的數(shù)為，分以下兩種情況：點在、之間、點在點左側，利用兩點間距離公式列方程求解；（4）根據(jù)移動的方向和距離，列出算式進行計算即可．【詳解】（1）解：，，或，或，由數(shù)軸可知，，，；（2）解：表示、兩點之間的距離為，（3）解：設點表示的數(shù)為，當點在、之間時，根據(jù)題意有：，解得：當點在點左側時，根據(jù)題意有：，解得：（舍棄）；當點在點的右側時，，解得，點表示的數(shù)為或．（4）解：由題意得：，點表示的數(shù)是．【點睛】本題主要考查絕對值和數(shù)軸及兩點間的距離公式，根據(jù)題意分類討論思想的運用是解題的關鍵．【變式訓練3】已知數(shù)軸上的A、B兩點分別對應的數(shù)字為a、b，且a、b滿足．

(1)求a、b的值；(2)點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，出發(fā)后經過t秒鐘，P、A、B三點中其中一個點到另外兩個點的距離相等，求出此時t值；(3)數(shù)軸上還有一點C對應的數(shù)為40，若點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向C點運動，同時，點Q從B點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度向正方向運動，點P運動到C點后立即返回再沿數(shù)軸向左運動．當時，求點P運動的時間．【答案】(1)，(2)點的運動時間為3秒或12秒(3)當時，點運動的時間為：秒或秒或秒或秒【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質即可求解；（2）根據(jù)點P運動時間設未知數(shù)列方程即可求解；（3）利用點P和點Q的運動情況借助數(shù)軸上兩點間的距離列方程即可求解．【詳解】（1），又，，，，；（2）當點是線段的中點，即，此時點表示的數(shù)為：，點的運動時間為：（秒）；當點是線段的中點，即，此時，，，點的運動時間為：（秒），綜上，點的運動時間為3秒或12秒；（3）設點運動秒時，，分四種情況討論如下：①點、點向右運動，點在點左側時，，解得：；②點、點向右運動，點在點右側時，，解得：，又點到達點的時間為：，符合題意；③點向左運動，點在點右側時，，解得：，又，符合題意；④點向左運動，點在點左側時，，解得：，，符合題意；綜上所述，當時，點運動的時間為：秒或秒或秒或秒．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，數(shù)軸上兩點之間的距離，非負數(shù)的性質，解決本題的關鍵是根據(jù)兩點間的距離找等量關系．【變式訓練4】已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b、c滿足，請回答問題．

(1)請直接寫出a、b、c的值．______，______，______；(2)a、b、c所對應的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應的數(shù)為x，點P在0到2之間運動時即（時），請化簡式子：（請寫出化簡過程）；(3)在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度也向左運動，運動時間為t，是否存在t，使A、B、C中一點是其它兩點的中點，若存在，求t的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)，1，5(2)見解析(3)存在，t的值是或1或【分析】（1）根據(jù)b是最小的正整數(shù)，以及偶次方和絕對值的非負性進行求解即可；（2）分，兩種情況進行討論，化簡即可；（3）分A是的中點，B是中點，C是中點三種情況，進行討論求解．【詳解】（1）解：∵b是最小的正整數(shù)，∴，∵，∴，，∴，，故答案為：，1，5；（2）當時，；當時，；（3）存在t，使A、B、C中一點是其它兩點的中點，理由如下：根據(jù)題意，運動后A表示的數(shù)是，B表示的數(shù)是，C表示的數(shù)是，①A是的中點時，，解得，②B是中點時，，解得，③C是中點時，，解得，綜上所述，t的值是或1或．【點睛】本題考查整式的加減，一元一次方程的應用．熟練掌握絕對值的意義，以及數(shù)軸上兩點間的距離公式，是解題的關鍵．類型二、定值問題例．已知M，N兩點在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為m，n，且m，n滿足：．

(1)求m、n的值；(2)①情境：有一個玩具火車如圖1所示，放置在數(shù)軸上，將火車沿數(shù)軸左右水平移動，當點A移動到點B時，點B所對應的數(shù)為m，當點B移動到點A時，點A所對應的數(shù)為n．則玩具火車的長為__________個單位長度；②應用：如圖1所示，當火車勻速向右運動時，若火車完全經過點M需要2秒，則火車的速度為__________個單位長度/秒．(3)在（2）的條件下，當火車勻速向右運動，同時點P和點Q從N、M出發(fā)，分別以每秒1個單位長度和2個單位長度的速度向左和向右運動，記火車運動后對應的位置為．是否存在常數(shù)k使得的值與它們的運動時間無關？若存在，請求出k和這個定值：若不存在，請說明理由．【答案】(1)7，(2)①3個單位長度；②個單位長度/秒(3)存在，，【分析】（1）根據(jù)得，計算即可．（2）①設A表示的數(shù)為,B表示的數(shù)為,小火車的長度為,根據(jù)題意，，，建立方程計算即可．②根據(jù)①得，火車完全經過點M需要2秒，點A運動路程為單位長度，利用速度=路程÷時間計算即可．（3）設玩具火車運動的時間為t秒，則點B運動到點的距離為個單位長度，此時點表示的數(shù)是，繼而得到，根據(jù)題意，得到點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，繼而表示，代入化簡，令t的系數(shù)為零計算即可．【詳解】（1）∵，∴，∴．（2）①設A表示的數(shù)為,B表示的數(shù)為，小火車的長度為,根據(jù)題意，得，，，∴，∴，解得，即玩具火車長3個單位長度，故答案為：3．②根據(jù)①得，火車完全經過點M需要2秒，故點A運動路程為３單位長度，∴玩具火車的速度為：（單位長度/秒）故答案為：．（3）存在，，理由如下：設玩具火車運動的時間為t秒，則點B運動到點的距離為個單位長度，此時點表示的數(shù)是，∴，根據(jù)題意，得到點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，∴，∴，∵常數(shù)k使得的值與它們的運動時間無關，∴，解得，故，故當時，常數(shù)k使得的值與它們的運動時間無關，此時值為．【點睛】本題考查了數(shù)軸的動點問題，兩點間的距離，數(shù)軸上的點與數(shù)的關系，多項式的無關計算，熟練掌握動點運動的規(guī)律和多項式的無關計算是解題的關鍵．【變式訓練1】如圖，數(shù)軸上有三個點，，，表示的數(shù)分別是，，．

(1)若使、兩點的距離是、兩點的距離的3倍，則需將點向右移動________個單位：(2)點、、開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，設運動時間為秒：①點、、表示的數(shù)分別是_______、_______、_______（用含、的代數(shù)式表示）：②若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為，當為何值時，的值不會隨著時間的變化而改變．【答案】(1)1(2)①，，；②【分析】（1）由，結合數(shù)軸即可得出點向左移動的距離；（2）①結合路程時間速度寫出答案；②先求出的值，進一步根據(jù)題意即可求出結果．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可知：、兩點的距離為，點、點表示的數(shù)分別為：，，所以當、兩點的距離是、兩點的距離的倍時，即、兩點的距離是，則點表示的數(shù)為或，∵，∴需將點向右移動的單位；故答案是：1．（2）①∵點以每秒個單位的速度向左運動，點與點分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，∴點表示的數(shù)是；點表示的數(shù)是；點所表示的數(shù)是．故答案是：，，；②∵點與點之間的距離表示為，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是；∴；∵點與點之間的距離表示為，點表示的數(shù)是，點所表示的數(shù)是；∴；∴，故當時，，此時的值不會隨著時間的變化而改變．故當時，的值不會隨著時間的變化而改變．【點睛】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，數(shù)軸上兩點間的距離，整式的加減運算等，解題的關鍵是根據(jù)點的運動方向和速度求得動點表示的數(shù)．【變式訓練2】如圖，在數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)，且

(1)填空，_______________，_______________；(2)若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為，已知點為數(shù)軸上一動點，且滿足，求出點表示的數(shù)；(3)若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時點以每秒個單位長度的速度向右運動，動點從原點開始以每秒個單位長度運動，運動時間為秒，運動過程中，點始終在、兩點之間上，且的值始終是一個定值，求點運動的方向及的值，【答案】(1)，(2)或(3)從原點向左運動，的值為【分析】（1）利用非負數(shù)的意義即可求得結論；（2）分兩種情況討論解答：①點在點的左側，②點在點的右側解答即可；（3）分點向左運動和向右運動兩種情形解答，依據(jù)題意列出的值的式子，整理后使得的系數(shù)為即可求得結論．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，，故答案為：，；（2）解：設點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，①點在點的左側時，∵，，，∴．解得：；②點在點的右側時，∵，，，∴．解得：．綜上，點表示的數(shù)為或；所以表示的數(shù)是或；（3）解：①當點從原點向左運動時，因為的值始終是一個定值．所以則．所以點運動的方向為從原點向左運動，的值為．當點從原點向右運動時．），因為的值始終是一個定值．所以所以．因為所以此種情形不存在．綜上，點運動的方向為從原點向左運動，的值為．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸、列代數(shù)式，求代數(shù)式的值，非負數(shù)的意義，整式的加減，利用分類討論的思想方法解答是解題的關鍵．【變式訓練3】如圖，在數(shù)軸上點A、B、C表示的數(shù)分別為、、，點A與點B之間的距離表示為，點B與點C之間的距離表示為，點A與點C之間的距離表示為．(1)、、；(2)若點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，點Q以每秒3個單位長度的速度從點C出發(fā)，P、Q同時同向而行，運動時間為t秒，經過多少秒后，點P、Q兩點相距2個單位長度？(3)若點D從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向左運動，點E從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向右運動，點F從C點出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度向右運動，設點D、E、F同時出發(fā)，運動時間為t秒，問的值是否隨著時間t的變化而變化？請說明理由．【答案】(1)3、5、8；(2)3秒或5秒；(3)不變，理由見解析．【分析】（1）由數(shù)軸上兩點的距離等于右邊點表示的數(shù)減去左邊點表示的數(shù)，計算即可．（2）由點P、Q同時同向而行，分類為同時向左或同時向右進行分析，再根據(jù)起點和運動速度分別用含t的式子表示點P、Q所表示的數(shù)，最后由列出方程求解出t的值；（3）分別根據(jù)起點和運動速度分別用含t的式子表示點D、E、F所表示的數(shù)，再根據(jù)左右關系分別計算、的值，用含t的式子表示，最后直接計算的值，計算得為定值，判斷出的值不隨著時間t的變化而變化．【詳解】（1），，;（2）P、Q同時同向而行，運動時間為t秒，若同時向右運動，點P在點Q后面運動，且速度更慢，則間距拉大，，不存在，舍去；P、Q同時向左運動，則點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，或，得到或秒；（3）點表示的數(shù)為；點表示的數(shù)為；點表示的數(shù)為；點D、E、F的左右位置不變，，，為定值，的值不隨著時間t的變化而變化，為定值．【點睛】本題考查數(shù)軸上動點間的長度問題，基本公式是兩點間距離為兩個點表示的數(shù)差的絕對值，運動過程中注意運動方向和點的左右位置，能夠根據(jù)起點和運動速度用運動時間表示動點所表示的數(shù)是解題的關鍵．【變式訓練4】如圖所示，數(shù)軸上有，，，四個點，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，且滿足．已知（單位長度），（單位長度）．(1)求點和點分別表示的數(shù)；(2)若線段以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運動，設運動時間為秒，當（單位長度）時，求的值；(3)若動點從表示數(shù)的點開始以每秒5個單位長度的速度向右運動，且滿足的值不隨點運動時間的變化而改變，求的值．【答案】(1)點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是(2)或4(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值和偶次方的非負性得出的值，然后根據(jù)（單位長度），（單位長度）進而得出答案；（2）根據(jù)題意可得點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，從而得出，求解即可；（3）根據(jù)題意點表示的數(shù)是，則，整理化解，然后根據(jù)的值不隨點運動時間的變化而改變可求得的值．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，，∴點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是18，∵（單位長度），（單位長度），∴點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是；（2）由題意得，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，∴，解得或4；（3）由題意得，點表示的數(shù)是，∴，∵的值不隨點運動時間的變化而改變，∴，∴．【點睛】本題考查了絕對值的偶次方的非負性，數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上的動點問題，運用方程的思想解題是本題的關鍵．類型三、數(shù)量關系問題例．已知在數(shù)軸上有A，B兩點，點A表示的數(shù)為8，點B在A點的左邊，且．若有一動點P從數(shù)軸上點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向點B勻速運動，動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著數(shù)軸向點A勻速運動，規(guī)定其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動時間為t秒．(1)【解決問題】：①當秒時，寫出數(shù)軸上點P，Q所表示的數(shù)；②問點P運動多少秒與點Q相距3個單位長度？(2)【探索問題】：若為的中點，為的中點，直接寫出線段與線段的數(shù)量關系．【答案】(1)①點P表示的數(shù)為5；點Q所表示的數(shù)為；②點P運動秒或3秒時與點Q相距3個單位長度；(2)或．【分析】（1）①根據(jù)已知可得B點表示的數(shù)為；根據(jù)點的運動方式即可得出點P、Q表示的數(shù)t；②點P運動x秒時，與Q相距2個單位長度，則，，根據(jù)，或，列出方程求解即可；（2）根據(jù)點P在點A、B兩點之間運動，故，由此可得出結論．【詳解】（1）①∵點A表示的數(shù)為8，B在A點左邊，，∴點B表示的數(shù)是，∵動點P從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，∴點表示的數(shù)是．動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著數(shù)軸向點A勻速運動，點P表示的數(shù)為5；點Q所表示的數(shù)為．②設點P運動x秒時，則，，當Q在P左側時，與Q相距3個單位長度，如圖：

∵，∴，解得：，當Q在P右側時，與Q相距3個單位長度，如圖：

∵，∴解得：．∴點P運動秒或3秒時與點Q相距3個單位長度．（2）或；理由如下：P在Q右側時，如圖，有：，∴即：．同理在左側時有：．【點睛】本題考查了數(shù)軸和一元一次方程的應用，用到的知識點是數(shù)軸上兩點之間的距離，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分兩種情況進行討論．【變式訓練1】已知數(shù)軸上A，B兩點對應的數(shù)分別是a，b，其中a，b分別為單項式的系數(shù)和次數(shù)，點P為數(shù)軸上的一動點．(1)A，B兩點的距離__________；(2)在數(shù)軸上是否存在點P，使？若存在，請求出點P對應的數(shù)；若不存在，請說明理由；(3)若點P以每秒1個單位的速度從點O（點O對應的數(shù)是0）出發(fā)向右勻速運動，同時點A以每秒5個單位的速度向左勻速運動，點B以每秒8個單位的速度向右勻速運動．在運動的過程中，M，N分別是，的中點，設運動時間為t秒．①請用含t的代數(shù)式表示；②隨著時間t的變化，與之間有怎樣的數(shù)量關系？【答案】(1)8(2)或(3)，【分析】（1）根據(jù)單項式的系數(shù)和次數(shù)，求出，利用兩點間的距離公式進行計算即可得解；（2）分在點之間和在點的右側，兩種情況進行討論求解；（3）①分別用含的式子，表示出所表示的數(shù)，利用兩點間的距離公式，表示出即可；②利用中點公式表示出所表示的數(shù)，利用兩點間的距離公式，表示出，即可得到的數(shù)量關系．【詳解】（1）解：單項式的系數(shù)為，次數(shù)為，∴，∴；故答案為：8；（2）設點表示的數(shù)為，①當在點之間時，由題意，得：，解得：；②在點的右側時，由題意，得：，解得：；綜上：點表示的數(shù)為或；（3）解：①由題意，得：表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，∴；②∵M，N分別是，的中點，∴表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，∴，∴．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用，整式的加減運算．熟練掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式，是解題的關鍵．【變式訓練2】如圖，已知在數(shù)軸上有A，B兩點，點A表示的數(shù)為8，點B在A點的左邊，且．若有一動點P從數(shù)軸上點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運動．設點P的運動時間為t秒．(1)解決問題：①當時，寫出數(shù)軸上點B，P所表示的數(shù)；②若點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，問點P運動多少秒與點Q相距3個單位長度？(2)探索問題：若M為AQ的中點，N為BP的中點．當點P在A，B兩點之間運動時，探索線段MN與線段PQ的數(shù)量關系（寫出過程）．【答案】(1)①點B表示-4，點P表示5；②1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，過程見解析【解析】(1)解：①∵點A表示的數(shù)為8，B在A點左邊，AB=12，∴點B表示的數(shù)是8-12=-4，∵動點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，∴點P表示的數(shù)是8-3×1=5．②設點P運動x秒時，與Q相距3個單位長度，則AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15，解得：x=3．∴點P運動1.8秒或3秒時與點Q相距3個單位長度．(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右側時有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左側時有：2MN-PQ=12．課后訓練1．已知數(shù)軸上有A，B，C三點，分別表示，，6，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點同時出發(fā)，甲的速度是每秒4個單位，乙的速度是每秒3個單位．(1)，．(2)若甲、乙相向而行，則甲、乙在多少秒后數(shù)軸上相遇？該相遇點在數(shù)軸上表示的數(shù)是什么？(3)若甲、乙相向而行，則多少秒后甲到A，B，C三點的距離之和為23個單位？(4)在（3）的條件下，當甲到A，B，C三點的距離之和為23個單位時，甲調頭返回，則甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，并求出相遇點在數(shù)軸上表示的數(shù)；若不能，請說明理由．【答案】(1)12，21(2)3秒，(3)秒或秒(4)能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點表示的數(shù)為【分析】（1）由，，三點表示的數(shù)即可得出答案；（2）設甲、乙行駛秒時相遇，根據(jù)相遇時甲行駛路程乙行駛路程，依此列出方程，進而求解即可；（3）分三種情況：甲在上；甲在上；甲在點右邊時；根據(jù)甲到，，的距離和為23個單位列方程，求解即可．（4）由（3）的結果分兩種情況，根據(jù)相遇時甲、乙表示在數(shù)軸上為同一點列方程，求解即可．【詳解】（1）解：，．故答案為：；（2）設甲、乙行駛秒時相遇，根據(jù)題意得：，解得：，此時相遇點在數(shù)軸上表示的數(shù)是：．答：甲、乙在3秒后在數(shù)軸上相遇，該相遇點在數(shù)軸上表示數(shù)是．（3）設秒后甲到，，三點的距離之和為23個單位，，點距，兩點的距離為，點距、兩點的距離為，點距、的距離為，故甲應位于或之間．①在之間時：，解得：；②之間時：，解得：；③當甲在點右邊時，甲到A，B，C三點的距離之和，故不合題意舍去；答：秒或秒后甲到，，三點的距離之和為23個單位．（4）①甲從A向右運動秒時返回，設z秒后與乙相遇．此時甲、乙表示在數(shù)軸上為同一點，所表示的數(shù)相同．甲表示的數(shù)為：；乙表示的數(shù)為：，依據(jù)題意得：，解得：（不合題意舍去）；②甲從A向右運動秒時返回，設z秒后與乙相遇．甲表示的數(shù)為：；乙表示的數(shù)為：，依據(jù)題意得：，解得：，相遇點表示的數(shù)為：，即甲從A向右運動秒時返回，能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點表示的數(shù)為．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．本題在解答后面二問注意分類思想的運用．2．【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點A、點B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點之間的距離，線段的中點表示的數(shù)為．【問題情境】如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為8，點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒．【綜合運用】(1)填空：用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點P表示的數(shù)為；點Q表示的數(shù)為．(2)求當t為何值時，P、Q兩點相遇；(3)求當t為何值時，；(4)若點為的中點，點為的中點，點在運動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段的長．【答案】(1)，(2)(3)1或3(4)5【分析】（1）根據(jù)題意直接可得秒后，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為；（2）根據(jù)題意得，即可解得，故當為2秒時，、兩點相遇；（3）由得，即可解得或；（4）由點為的中點，點為的中點，可知表示的數(shù)是，表示的數(shù)是，即得，故線段的長度為5，不發(fā)生變化．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，秒后，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，故答案為：，；（2）根據(jù)題意得：，解得，當為2時，、兩點相遇；（3）點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為8，，，，解得或，為1或3時，；（4）線段的長度不發(fā)生變化，理由如下：點為的中點，點為的中點，表示的數(shù)是，表示的數(shù)是，，線段的長度為5，不發(fā)生變化．【點睛】本題考查數(shù)軸上的動點問題，一次方程的應用，解題的關鍵是用含的代數(shù)式表示點運動后表示的數(shù)．3．如圖，數(shù)軸上A，B兩點對應的有理數(shù)分別為和20、點P從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向勻速運動，同時，點Q從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向勻速運動．設運動時間為秒．(1)當時，線段的長度是___________；當時，線段的長度是___________．(2)當時，求所有符合條件的t的值，并求出此時點Q所對應的數(shù)．(3)若點P一直沿數(shù)軸的正方向運動，點Q運動到點B時，立即改變運動方向，沿數(shù)軸的負方向運動，到達點A時，隨即停止運動，在點Q的整個運動過程中，直接寫出所有使得線段的t值．【答案】(1)8，2(2)的值為5或15，此時點所對應的數(shù)為0或20(3)2或【分析】（1）找出運動時間為秒時，點、對應的數(shù)，由此可用含的代數(shù)式表示出的長度，分別代入、即可得出結論；（2）由（1）的結論結合可得出關于的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出值，再將值代入點表示的數(shù)中即可得出結論；（3）找出運動時間為秒時，點、對應的數(shù)，分和兩種情況找出關于的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】（1）解：當運動時間為秒時，點對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為，．當時，；當時，．答：當時，線段的長度為8；當時，線段的長度為2．（2）根據(jù)題意得：，解得：或，當時，點對應的數(shù)為；當時，點對應的數(shù)為．答：當時，的值為5或15，此時點所對應的數(shù)為0或20．（3）當運動時間為秒時，點對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為．當時，，，解得：，（舍去）；當時，，，解得：，（舍去）．綜上所述：在點的整個運動過程中，存在合適的值，使得，此時的值為2或．【點睛】本題考查了兩點間的距離、數(shù)軸以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）用含的代數(shù)式表示出的長度；（2）由（1）的結論結合找出關于的含絕對值符號的一元一次方程；（3）分和兩種情況找出關于的含絕對值符號的一元一次方程．5．已知數(shù)軸上的、兩點分別對應的數(shù)字為、，且、滿足．(1)直接寫出：______，______；(2)從出發(fā)，以每秒個長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，何時，，三點中其中一個點到另外兩個點的距離相等？求出相應的時間；(3)數(shù)軸上還有一點對應的數(shù)為，若點從出發(fā)，以每秒個單位的速度向點運動，同時，從點出發(fā)，以每秒個長度的速度向正方向運動，點運動到點立即返回再沿數(shù)軸向左運動．當