2024屆廣東省高三年級第二次調(diào)研考試模擬卷03（廣東專用）【含答案】

2024屆廣東省高三年級第二次調(diào)研考試模擬卷03（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2023上·貴州遵義·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再按交集的定義求即可.【詳解】由題意：，所以.故選：A2．（2023下·貴州貴陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接將代入中計算即可.【詳解】因為，所以，故選：C.3．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）若某等差數(shù)列的前3項和為27，且第3項為5，則該等差數(shù)列的公差為（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，則，則，所以公差.故選：B.4．（2022上·貴州·高二統(tǒng)考期中）已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】向量在向量上的投影為，投影向量為，其中為與同向的單位向量，分別計算，代入即可.【詳解】因為，，所以.向量在向量上的投影為設(shè)為與同向的單位向量，則向量在向量上的投影向量為故選：C5．（2023上·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，集合，則集合的元素個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由集合的元素個數(shù)為圓與直線的交點個數(shù)求解.【詳解】解：表示以為圓心，以為半徑的圓，表示一條直線，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，所以有兩個交點，所以集合的元素個數(shù)為2，故選：B6．（2023下·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）第八屆中國涼都·六盤水夏季馬拉松將于2023年7月16日在六盤水市開跑．本次賽事以“清涼馬拉松·激情六盤水”為主題，設(shè)有馬拉松（42.195公里）、半程馬拉松（21.0975公里）、大眾健身跑三個項目．現(xiàn)從六盤水市某中學(xué)選出4名志愿者，每名志愿者需要去服務(wù)一個項目，每個項目至少安排一個志愿者，則不同的分配方案有（

）種．A．12 B．24 C．36 D．72【答案】C【分析】按先分組再分配的方法求解即可.【詳解】可將這4名志愿者先分成3組，每組至少1個志愿者，共有種分法，再將這3組志愿者分配給三個項目，每個項目分配1組志愿者，共有種分配法，故不同的分配方案有種.故選：C7．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）①的圖象關(guān)于直線對稱②的圖象關(guān)于點對稱③將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象④若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是A．①④ B．②④ C．③④ D．②③【答案】B【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐次判斷各選項即可得到結(jié)論．【詳解】解：由函數(shù)的圖象可得，由，解得，又函數(shù)過點，所以，，又，得，所以函數(shù)，當(dāng)時，，即的圖象關(guān)于點對稱，故②正確；當(dāng)時，，故①錯誤；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，故③錯誤；當(dāng)，則，令，解得，此時，即，令，解得，此時，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，即與在上有兩個交點，所以，故④正確；故選：B8．（2023上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則滿足的a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分，和三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】當(dāng)時，，則，故無解；當(dāng)時，，故無解；當(dāng)時，要使，有兩種情況，第一種情況，，即時，此時由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；第二種情況，，即時，此時，則，解得，綜上所述，a的取值范圍是.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)分段函數(shù)解析式，找到臨界點，從而分，和三種情況討論，是解決本題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（2023上·貴州貴陽·高三貴陽一中校考開學(xué)考試）一組互不相等的樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，方差為，極差為，中位數(shù)為，去掉其中的最小值和最大值后，余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，極差為，中位數(shù)為，則下列選項一定正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差的定義逐項分析判斷可得答案.【詳解】對于A，中位數(shù)是把數(shù)據(jù)從小到大依次排列后，排在中間位置的數(shù)或中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)，因為是對稱的同時去掉最小值和最大值，故中間位置的數(shù)相對位置保持不變，故新數(shù)據(jù)的中位數(shù)保持不變，故A正確；對于B，平均數(shù)受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，故去掉最小值和最大值后，余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能會改變，故B不一定正確；對于C，方差反映數(shù)據(jù)的離散程度，當(dāng)去掉數(shù)據(jù)中的最小值和最大值后，數(shù)據(jù)的離散程度減小，故方差減小，故C正確；對于D，極差為最大值與最小值之差，是原來數(shù)據(jù)里面任意兩個數(shù)據(jù)差值的最大值，，故去掉最小值和最大值后，新數(shù)據(jù)的極差必然小于原數(shù)據(jù)的極差，故D正確.故選：ACD10．（2022上·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知、為函數(shù)的兩個不相同的零點，則下列式子一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】分析可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，數(shù)形結(jié)合可得出，利用基本不等式可判斷ABC選項，利用特殊值法可判斷D選項.【詳解】令可得，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，且這兩個交點的橫坐標(biāo)分別為、，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，設(shè)，則，由，可得，解得，由，可得，解得，所以，，對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，，則，C對；對于D選項，取，則，，D錯.故選：ABC.11．（2023上·貴州黔南·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2，點為的中點，點為正方形上的動點，則（

）A．滿足平面的點的軌跡長度為B．滿足的點的軌跡長度為C．存在唯一的點滿足D．存在點滿足【答案】AC【分析】利用線面平行的判定定理可以證得點的軌跡，進而判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，為正方形上的點，可設(shè)，且，，進而對BCD各個選項進行計算驗證即可判斷并得到答案.【詳解】對于A，取的中點，的中點，又點為的中點，由正方體的性質(zhì)知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故點的軌跡為線段，故A正確；以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，，，，對于B，，即，又，，則點的軌跡為線段，,且，故B錯誤；對于C，顯然，只有時，，即，故存在唯一的點滿足，故C正確；對于D，點關(guān)于平面的對稱點的為，三點共線時線段和最短，故，故不存在點滿足，故D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（2021上·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C的對邊a，b，c為三個連續(xù)偶數(shù)，且，則.【答案】8【解析】根據(jù)大邊對大角，可得,可設(shè),由已知條件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到關(guān)于的方程求解即可.【詳解】由題意可得,,又角A，B，C的對邊a，b，c為三個連續(xù)偶數(shù)，故可設(shè)由,,由余弦定理得.所以,即解得,故.故答案為：.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的綜合運用，關(guān)鍵是熟練使用二倍角公式，正弦定理角化邊，正余弦定理聯(lián)立得到方程求解.13．（2023·貴州·高三階段練習(xí)）三棱錐的四個頂點點在同一球面上，若底面，底面是直角三角形，，則此球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，確定出三棱錐外接球球心，進而求出球半徑作答.【詳解】在三棱錐中，底面，平面，則，，由是直角三角形，，得，而，平面，于是平面，又平面，因此，取中點，連接，如圖，

從而，點是三棱錐外接球球心，則，所以三棱錐外接球的表面積.故答案為：14．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考三模）斜率為的直線過橢圓的焦點，交橢圓于兩點，若，則該橢圓的離心率為．【答案】【分析】設(shè)，，由可知；令，將方程與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，利用可得關(guān)于的齊次方程，由此可求得離心率.【詳解】設(shè)，，由得：，，即；不妨令，則直線，由得：，，，即，，；由橢圓對稱性可知：當(dāng)時，；橢圓的離心率為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓離心率的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)向量共線得到的關(guān)系，從而結(jié)合韋達定理，利用構(gòu)造關(guān)于的齊次方程來進行求解.解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．（2023上·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記銳角的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，且．(1)求；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式以及向量數(shù)量積的定義，結(jié)合同角關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因為的面積為，所以，即，因為，所以，所以，得，因為，所以（2）設(shè)的外接圓的半徑為，結(jié)合（1）可得，而，則，根據(jù)正弦定理有，得，故，而，故，又，因為為銳角三角形，則有，得，故，故，故，故.16．（2023上·貴州遵義·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是平行四邊形，且，，，，.(1)證明：平面.(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到⊥，由線面垂直得到線線垂直，證明出線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進而得到面面角的余弦值.【詳解】（1）因為四邊形是平行四邊形，所以，，又，由余弦定理得，故，所以，由勾股定理逆定理得⊥，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面.（2）由（1）知，⊥，又，所以⊥，因為平面，平面，所以，，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由得，故，解得，故，設(shè)平面的法向量為，故，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，故，令，則，故，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為.17．（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某地區(qū)教育局?jǐn)?shù)學(xué)教研室為了了解本區(qū)高三學(xué)生一周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間的分布情況，做了全區(qū)8000名高三學(xué)生的問卷調(diào)查，現(xiàn)抽取其中部分問卷進行分析（問卷中滿時長為12小時），將調(diào)查所得學(xué)習(xí)時間分成，，，，，6組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．

(1)求a的值；(2)以樣本估計總體，該地區(qū)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間近似服從正態(tài)分布，試估計該地區(qū)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的人數(shù)；(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時間在，內(nèi)的學(xué)生隨機抽取8人，并從這8人中再隨機抽取3人作進一步分析，設(shè)3人中學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的人數(shù)為變量X，求X的期望．【答案】(1)(2)1087人(3)0.75【分析】（1）由概率之和為1計算即可得；（2）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計算即可得；（3）結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)與期望計算公式計算即可得.【詳解】（1）由題意得，解得；（2）則，所以估計該地區(qū)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間在(8，9.48]內(nèi)的人數(shù)約為1087人；（3），對應(yīng)的頻率比為，即為3∶1，所以抽取的8人中學(xué)習(xí)時間在，內(nèi)的人數(shù)分別為6人，2人，設(shè)從這8人中抽取的3人學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的人數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2，，，，所以.18．（2023下·貴州黔西·高二?？茧A段練習(xí)）已知點，在雙曲線E：上．(1)求雙曲線E的方程；(2)直線l與雙曲線E交于M，N兩個不同的點（異于A，B），過M作x軸的垂線分別交直線AB，直線AN于點P，Q，當(dāng)時，證明：直線l過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將點坐標(biāo)代入雙曲線方程，即可求解的值，進而得雙曲線方程；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達定理，根據(jù)向量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，即可得的關(guān)系，進而可得直線過定點.【詳解】（1）由題知，，得，所以雙曲線E的方程為．（2）由題意知，當(dāng)l⊥x軸時，與重合，由可知：是的中點，顯然不符合題意，故l的斜率存在，設(shè)l的方程為，聯(lián)立，消去y得，則，即，且，設(shè)，，，，AB方程為，令，得，AN方程為，令得，由，得，即，即，即，將，代入得即，所以，得或，當(dāng)，此時由，得，符合題意；當(dāng)，此時直線l經(jīng)過點A，與題意不符，舍去所以l的方程為，即，所以l過定點．19．（2023上·貴州六盤水·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析