新人教版九年級下冊初中數(shù)學(xué) 課時2 俯角、仰角問題教案

第二十八章銳角三角函數(shù)

28.2解直角三角形及其應(yīng)用

28.2.2應(yīng)用舉例

課時2俯角、仰角問題

【知識與技能】

1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有關(guān)概念，知道坡度與坡角之間的

關(guān)系.

2.經(jīng)歷對實際問題的探究,會利用解直角三角形的知識解決實際問題.

3.在具體情景中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運用數(shù)學(xué)知識解決

簡單實際問題.

【過程與方法】

1.通過畫示意圖,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力,提高

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.

2.經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型的過程,增強應(yīng)用意識，體會數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用.

3.通過探究將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題

的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的靈活性.

【情感態(tài)度與價值觀】

1.學(xué)生積極參與探索活動，并在探索過程中發(fā)表自己的見解，體會三角函數(shù)是

解決實際問題的有效工具.

2.通過探索三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活

以及勇于探索的創(chuàng)新精神.

3.讓學(xué)生在自主探索、合作交流中獲得成功的體驗，建立自信心，讓學(xué)生在解

決問題的過程中體會學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的樂趣.

能根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形元素之間的

關(guān)系.

正確理解題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的建模過程.

多媒體課件.

導(dǎo)入一：

【復(fù)習(xí)提問】

1.如圖,在RtzX4比中，Z/>90°,N4AB,NC的對邊分別為a,b,c.

(1)三邊a,6,c有什么關(guān)系？

(2)N4N6有怎樣的關(guān)系？

(3)邊與角之間有怎樣的關(guān)系？

2.解直角三角形應(yīng)具備怎樣的條件？

【師生活動】學(xué)生回答問題,教師點評歸納.

導(dǎo)入二：

如圖,要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端,梯子與地面所成的

角a一般要滿足50°WaW75°.現(xiàn)有一架長6m的梯子.

(1)使用這架梯子最高可以安全攀上多高的墻？

⑵當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時,a等于多少度?此時人能否安全使用這架梯

子？

【師生活動】學(xué)生小組內(nèi)討論解題思路，小組代表回答解題思路,教師巡視

中幫助有困難的學(xué)生,對學(xué)生的回答作出點評,然后導(dǎo)出新課.

［設(shè)計意佟通過復(fù)習(xí)解直角三角形的有關(guān)知識，為本節(jié)課的用解直角三角形

解決實際問題做好鋪墊，以舊引新,幫助學(xué)生建立新舊知識間的聯(lián)系，以解決生活

實際問題引出新課,激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的意義.

［過渡語］剛才的導(dǎo)入中用解直角三角形的知識解決了實際生活問題，在生

活實際中還有許多問題可以用解直角三角形的知識解決,讓我們一起去探究吧!

一、活動一

畫2012年6月18日，“神舟”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標(biāo)飛

行器成功實現(xiàn)交會對接.“神舟”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面

343km的圓形軌道上運行，如圖，當(dāng)組合體運行到地球表面尸點的正上方時，從中

能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點在什么位置?最遠(yuǎn)點與。點的距離是多少(地球

半徑約為6400km,“取3.142,結(jié)果取整數(shù))？

思路一

師生合作探究:

⑴從組合體上最遠(yuǎn)能直接看到的地球上的點，應(yīng)該是視線與地球相切時的切

占

八、、,

(2)根據(jù)題意畫出平面圖形.

(3)所要求的距離是圖形中的哪條線段的長度?

(4)已知中有哪些條件?求弧長需要知道哪些條件?

(5)弧所對的圓心角在哪個三角形中?你能求出這個角的度數(shù)嗎?

(如圖②，0。表示地球，點/是組合體的位置,用是的切線，切點0是從組

合體中觀測地球時的最遠(yuǎn)點.弧網(wǎng)的長就是地面上P,0兩點間的距離.為計算弧

切的長需先求出

N尸00(即a)的度數(shù))

【師生活動】教師通過提出的問題引導(dǎo)學(xué)生分析思考,指導(dǎo)學(xué)生畫出平面圖

形,分析已知條件和所求的結(jié)論,師生共同分析題意及解題思路后，學(xué)生獨立完成

并板書解題過程.

【課件展示】解:設(shè)在圖②中，F(xiàn)Q是00的切線,XF0Q是直角三角

形.

0Q6400

Vcosa=0F=6400+343%0.9491,

36°.

18.36Ji18.36X3.142

弧尸0的長為180X6400七180X6400-2051(km).

由此可知，當(dāng)組合體在P點正上方時,從中觀測地球表面時的最遠(yuǎn)點距離尸點

約2051km.

思路二

教師引導(dǎo)思考：

(1)要解決實際問題，首先要做什么？(將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題)

(2)如何根據(jù)題意畫出平面圖形？(地球平面圖形是圓，組合體近似看作點)

(3)從組合體中看到的地球表面最遠(yuǎn)的點在什么位置？(過點作圓的切線，切點

即為所求)

學(xué)生操作：畫出平面示意圖.

(4)最遠(yuǎn)點與尸點的距離在示意圖中指的是什么的長？

(5)如何求這段距離?和圓有什么關(guān)系？

(6)如何將所需數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為解直角三角形的知識？

【師生活動】學(xué)生嘗試根據(jù)圖形寫出解題思路,教師巡視過程中及時幫助有

困難的學(xué)生,課件展示解題過程,規(guī)范解題格式.

【課件展示】解答同思路一.

［設(shè)計意圖］引導(dǎo)學(xué)生畫出示意圖，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,分析實際問

題中的數(shù)量關(guān)系，利用解直角三角形的知識解決實際問題，讓學(xué)生經(jīng)歷作圖、分

析過程，體會數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能

力.

二、活動二

【思考】平時我們觀察物體時，我們的視線相對于水平線來說可有幾種情況?

【歸納】視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角是仰角，視線在

水平線下方的角是俯角.

熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°,看這棟樓底部的

俯角為60°,熱氣球與樓的水平距離為120m,這棟樓有多高(結(jié)果取整數(shù))？

教師引導(dǎo)分析：

(1)如何根據(jù)題意畫出符合題意的幾何圖形？(畫出示意圖如圖)

(2)分析題意，已知條件有哪些？

(3)你能直接求出的長嗎？

(4)如何求出回的長？(線段而與線段口的和)

(5)在RtZX/劭中，能否求線段8〃的長？

(6)在口△/切中，能否求線段切的長？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生思考問題，然后獨立完成解題過程，教師巡視過

程中及時發(fā)現(xiàn)問題,并幫助有困難的學(xué)生解決問題,然后課件展示解題過程,規(guī)范

解題格式.

【課件展示】解：如圖，a=30°,￡=60°,4M20.

BDCD

tana=AD,tan.=AD,

BD^AD-tana=120Xtan30°

=120X3=40^/3,

CD^AD?tany5=120Xtan60°

=120X/=120AA

Z.除覦6ZM0AA120V3

=160\/3^277(m).

因此,這棟樓高約為277m.

［設(shè)計意怪I］學(xué)生在教師設(shè)計的問題串的引導(dǎo)下思考，獨立完成解題過程，進(jìn)

一步讓學(xué)生體會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的建模過程，培養(yǎng)學(xué)生建模思想，靈

活應(yīng)用解直角三角形知識解決有關(guān)線段的長的計算問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及

解題能力.

三、活動三：

【思考】你能總結(jié)利用解直角三角形的有關(guān)知識解決實際問題的一般過程

嗎？

【師生活動】學(xué)生思考后小組合作交流,共同歸納解題過程，教師對學(xué)生的

回答以鼓勵為主，將學(xué)生的回答補充完整.

【歸納】

⑴將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(畫出示意圖，將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問

題)；

(2)根據(jù)問題中的條件，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)解直角三角形；

(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；

(4)得到實際問題的答案.

［設(shè)計意圖］通過例題的探究，歸納解決實際問題的一般步驟,培養(yǎng)學(xué)生歸納

總結(jié)能力和建模思想.

［知識拓展］仰角與俯角都是視線與水平線的夾角.

用解直角三角形的有關(guān)知識解決實際問題的一般過程：

⑴將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(畫出示意圖，將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問

題)；

(2)根據(jù)問題中的條件,適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形;

（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案;

（4）得到實際問題的答案.

第1課時

1.活動一

2.活動二

3.活動三

一、教材作業(yè)

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.課外活動小組測量學(xué)校旗桿的高度.如圖，當(dāng)太陽光線與地面成30°角時，測

得旗桿在地面上的影長力為24米，那么旗桿的高度是（）

A.12米B.&羽米C.24米D.248米

2.如圖,為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度,在距離樹的底端30米的8處,測

得樹頂A的仰角NAB0為a,則樹OA的高度為（）

A.tana米B.30sin。米C.30tan。米D.30cos。米

3.如圖，小穎利用有一個銳角是30°的三角板測量一棵樹的高度，已知她與樹之

間的水平距離BE為5m,46為1.5m（即小穎的眼睛到地面的距離），那么這棵樹高

是)

3154

2.

mC.3mD.4m

4.一棵樹因雪災(zāi)于A處折斷,如圖,測得樹梢觸地點6到樹根。處的距離為4米,

乙ABC啊45°,樹干ZC垂直于地面，那么此樹在未折斷之前的高度約為

米（答案保留根號）.

5.如凰兩建筑物的水平距離BC為18m,從A點測得〃點的俯角a為30°,測得

C點的俯角￡為60°,則建筑物切的高度為m.

6.如圖,張華同學(xué)在學(xué)校某建筑物的。點處測得旗桿頂部A點的仰角為30°,旗

桿底部B點的俯角為45°.若旗桿底部8點到建筑物的水平距離B芹9米,旗桿

臺階高1米,求旗桿頂點A離地面的高度.（結(jié)果保留根號）

【能力提升】

7.如圖，小陽發(fā)現(xiàn)垂直于地面的電線桿AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC

上,量得CD-

8米,給20米，繆與地面成30°角，且此時測得垂直于地面的1米桿的影長為2

米，則電線桿的高度為()

A.9米B.28米C.(7+A/3)米D.(14+2/)米

C

8.如圖,在建筑平臺CD的頂部C處,測得大樹AB的頂部A的仰角為45°,測得

大樹46的底部B的俯角為30°,已知平臺CD的高度為5m,則大樹的高度為

m(結(jié)果保留根號).

9.如凰為了知道空中一靜止的廣告氣球A的高度，小宇在8處測得氣球A的仰

角為18°,他向前走了20m到達(dá)。處后,再次測得氣球A的仰角為45°,已知小

宇的眼睛距地面1.6m,則此時氣球A距地面的高度約為(結(jié)果精確到

1m).

10.某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓,該居民樓的一樓是高5米的小區(qū)

超市,超市以上是居民住房.在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓.當(dāng)冬

季正午的陽光與水平線的夾角為32°時.

(1)超市以上的居民住房采光是否受影響?為什么？

（2）若要使超市以上的居民住房采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米?

531065

（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32°^i00,cos32°^125,tan32°^8）

【拓展探究】

11.如圖,在電線桿上的。處引拉線CE,CF固定電線桿,拉線四和地面成60°角,

在離電線桿6米的6處安置測角儀,在A處測得電線桿上。處的仰角為30。，已

知測角儀高為L5米,求拉線龍的長（結(jié)果保留根號）.

AB

1.B解析：在Rt/\ABC中，小24米，tan/〃S=BC,比tan300=24X

色

工=8/（米）.故選B.

0A

2.C解析：由題意得加=30米,tana二。B,.??以二獗ana=30tana（米）.故選C.

3.A解析：在Rt△4切中，NCAD=30°"慶降5m,/.緇應(yīng)?tan30°=5X

35^/3

3=3（m）,

華+4

:.C左CAD后CaA.3.故選A.

4.（4+4/解析：在△月%中，Z0900,；/4吐45°,：.ZA=45°,：.ZAB（=Z

A,：.AC-BC.：.Aa4.由AO+B版AR,得心JAC」+BC」=4、/^,.?.止匕樹在

未折斷之前的高度為（4+4\歷）米.

5.123解析:如圖，過點〃作DELAB于點、E,則四邊形式"是矩形.根據(jù)題意得

ZACB=￡=60°,ZADE-a=30°,給18m,妗除18m,CD=BE.在Rt△ABC

中tan/4妾18Xtan60°=18,羽(m).在RtAADE中，4后龐?tanZ

4Q￡M8Xtan30°=67^(m),

信法冊g]8/_6/=]2/的).

AH

6.解：如圖，作CHLAB于〃在RtAACH中，：/4次30°,tan30°=CH,

HE

A牛CH*tan30°=9X3=3/(米).在RSCHB41,,：ZHCB=^°,tan45°=CH,

：.BH=CH-tan45°=9米，.?.旗桿頂點力離地面的高度為濟1=10+3,羽（米）.

7.D解析:如圖，延長/〃交比1的延長線于尸點，作DE1CF于￡點.小8sin30°

=4,CB-

8cos300=4、/與.?測得1米桿的影長為2米，小2歷8,...

冊冊儂爐20+4A/3+8=28+4/,二電線桿AB的高度是

1

2（28+4A/3）=14+2，羽（米）.故選D.

BE

8.(5+5")解析：作C￡L48于點E.在Rt△旌中，除。5m,誨tan30°=5，k

在RtZS/IG'中，[盡2?tan45°=5、/%i,，力廬的/后5+5/(m).

9.11m解析：如圖，過點A作ADLBC于點D,交FG于點￡：/力西45°,二

/斤必在

AEx

咫中，設(shè)/F長是Am,貝ijtan/l/^EF,即tanl8°=x+2C解得^9.6.由

題意知陟陷1.6,.../小9.6+1.6=11.2^11(m).

10.解：⑴受影響.理由如下：如圖，延長光線交CD子打作FEUB于￡在RtA

A5F中，

AEAE575335

tanN4/2tan32°=EF=15??8,解得力￡=8=98,故可得/^jE^ZO-gSnog處,即

超市以上的居民住房采光要受影響.

155

⑵要使采光不受影響，則小5米,4層15米,tan32°=EF^8解得*24米,

即要使超市以上的居民住房