廣東省廣州市八區(qū)聯(lián)考2025屆數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

廣東省廣州市八區(qū)聯(lián)考2025屆數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．一元二次不等式的解集為（）A． B．C． D．2．函數(shù)的部分圖像如圖所示，如果，且，則等于（）A． B． C． D．13．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C．10 D．5．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，，則（）A． B． C． D．26．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積等于（）A． B．或 C．或 D．7．在中，已知角的對(duì)邊分別為，若，，，，且，則的最小角的余弦值為（）A． B． C． D．8．過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程是（）A． B． C． D．9．如圖所示，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線(xiàn)段上，若,則（）A． B． C． D．10．在中，所對(duì)的邊分別為，若，，，則（）A． B． C．1 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，．則數(shù)列的前項(xiàng)和是_____.12．已知無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，且，則首項(xiàng)的取值范圍是________．13．在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為_(kāi)_________.14．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，（且），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.15．下列結(jié)論中：①②函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)③函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸為④其中正確的結(jié)論序號(hào)為_(kāi)_____．16．382與1337的最大公約數(shù)是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知，，且向量與的夾角為．（1）若，求；（2）若與垂直，求．18．已知數(shù)列滿(mǎn)足，.(Ⅰ)求，的值，并證明：0<≤1；(Ⅱ)證明：；(Ⅲ)證明：.19．已知，且，向量，.（1）求函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為5，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，，，且，，三點(diǎn)共線(xiàn)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求的坐標(biāo)；（3）已知，在（2）的條件下，若，，，四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．21．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，，等差數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案．【詳解】由題意，不等式，即或，解得，即不等式的解集為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

試題分析：觀(guān)察圖象可知，其在的對(duì)稱(chēng)軸為，由已知，選.考點(diǎn)：正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式,的圖象變換規(guī)律,得出結(jié)論.【詳解】為了得到函數(shù)的圖象,

只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,

故選C.4、B【解析】

由三視圖可知該幾何體為正四棱臺(tái)，下底面邊長(zhǎng)為4，上底面邊長(zhǎng)為2，高為1．再由正四棱臺(tái)體積公式求解．【詳解】由三視圖可知該幾何體為正四棱臺(tái)，下底面邊長(zhǎng)為4，上底面邊長(zhǎng)為2，高為1，所以，，∴該正四棱臺(tái)的體積.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求正四棱臺(tái)的體積，關(guān)鍵是由三視圖判斷出原幾何體的形狀，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

根據(jù)已知分析數(shù)列的周期性，可得答案．【詳解】解：∵數(shù)列滿(mǎn)足，，∴，，，，故數(shù)列以4為周期呈現(xiàn)周期性變化，由，故，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的周期性，難度中檔．6、D【解析】

作出幾何體的直觀(guān)圖，可知幾何體為正方體切一角所得的組合體，計(jì)算出正方體的體積和所切去三棱錐的體積，相減可得答案．【詳解】幾何體的直觀(guān)圖如下圖所示：可知幾何體為正方體切一角所得的組合體，因此，該幾何體的體積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積，其中根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀(guān)圖是解答的關(guān)鍵，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中等題.7、D【解析】

利用余弦定理求出和的表達(dá)式，由，結(jié)合正弦定理得出的表達(dá)式，利用余弦定理得出的表達(dá)式，可解出的值，于此確定三邊長(zhǎng)，再利用大邊對(duì)大角定理得出為最小角，從而求出．【詳解】，由正弦定理，即，，，，解得，由大邊對(duì)大角定理可知角是最小角，所以，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查大邊對(duì)大角定理，在解題時(shí)，要充分結(jié)合題中的已知條件選擇正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．8、D【解析】

設(shè)出直線(xiàn)方程，代入點(diǎn)求得直線(xiàn)方程.【詳解】依題意設(shè)所求直線(xiàn)方程為，代入點(diǎn)得，故所求直線(xiàn)方程為，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩條直線(xiàn)垂直的知識(shí)，考查直線(xiàn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

本題首先可根據(jù)點(diǎn)在邊上設(shè)，然后將化簡(jiǎn)為，再然后根據(jù)點(diǎn)在線(xiàn)段上解得，最后通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，所以可設(shè)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段上，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，解得，所以，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查向量共線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)以及向量的運(yùn)算，若向量與向量共線(xiàn)，則，考查計(jì)算能力，是中檔題．10、A【解析】

利用三角形內(nèi)角和為，得到，利用正弦定理求得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，在中，，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和及正弦定理的應(yīng)用，考查基本運(yùn)算求解能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后將數(shù)列的通項(xiàng)裂開(kāi)，利用裂項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】當(dāng)時(shí)，．所以，，，，，.上述等式全部相加得，.，因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)和裂項(xiàng)法求和，解題時(shí)要注意累加法求通項(xiàng)和裂項(xiàng)法求和對(duì)數(shù)列遞推公式和通項(xiàng)公式的要求，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.12、【解析】

根據(jù)極限存在得出，對(duì)分、和三種情況討論得出與之間的關(guān)系，可得出的取值范圍.【詳解】由于，則.①當(dāng)時(shí)，則，；②當(dāng)時(shí)，則，；③當(dāng)時(shí)，，解得.綜上所述：首項(xiàng)的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查極限的應(yīng)用，要結(jié)合極限的定義得出公比的取值范圍，同時(shí)要對(duì)公比的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.13、【解析】

假設(shè)正方體棱長(zhǎng)，根據(jù)//，得到異面直線(xiàn)與所成角，計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】假設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，因?yàn)?/，所以異面直線(xiàn)與所成角即與所成角則角為如圖，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成的角，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用累加法和裂項(xiàng)求和得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的累加法，裂項(xiàng)求和法，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式和方法的靈活運(yùn)用.15、①③④【解析】

由兩角和的正切公式的變形，化簡(jiǎn)可得所求值，可判斷①正確；由正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心可判斷②錯(cuò)誤；由余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸特點(diǎn)可判斷③正確；由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和輔助角公式、二倍角公式和誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)可得所求值，可判斷④正確．【詳解】①，故①正確；②函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，，則圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故②錯(cuò)誤；③函數(shù)，由為最小值，可得圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為，故③正確；④，故④正確．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用以及三角函數(shù)的恒等變換，意在考查學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力．16、191【解析】

利用輾轉(zhuǎn)相除法，求382與1337的最大公約數(shù).【詳解】因?yàn)椋?，所?82與1337的最大公約數(shù)為191，故填：.【點(diǎn)睛】本題考查利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)，屬于容易題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式計(jì)算的值；（2）根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0，列方程求出cosθ的值和對(duì)應(yīng)角θ的值．【詳解】（1）因?yàn)椋裕?）因?yàn)榕c垂直，所以即，所以又，所以【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)和夾角的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．18、(Ⅰ)見(jiàn)證明；(Ⅱ)見(jiàn)證明；(Ⅲ)見(jiàn)證明【解析】

（I）直接代入計(jì)算得，利用得從而可證結(jié)論；（II）證明，即可；（III）由（II）可得，即，，應(yīng)用累加法可得，從而證得結(jié)論．【詳解】解：(Ⅰ)由已知得，.因?yàn)樗?所以又因?yàn)樗耘c同號(hào).又因?yàn)椋?所以.(Ⅱ)因?yàn)橛忠驗(yàn)椋?同理又因?yàn)?，所以綜上，(Ⅲ)證明：由(Ⅱ)可得所以，即所以，，...，累加可得所以由(Ⅱ)可得所以，即所以，，...，累加可得所以即綜上所述.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式，考查數(shù)列中的不等式證明．第（I）問(wèn)題關(guān)鍵是證明數(shù)列是遞減數(shù)列，第（II）問(wèn)題是用作差法證明，第（III）問(wèn)題是在第（II）問(wèn)基礎(chǔ)上用累加法求和（先求）．19、（1），單調(diào)增區(qū)間為；（2）或；（3）.【解析】試題分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)，解不等式求得的范圍即得增區(qū)間（2）討論a的正負(fù)，確定最大值，求a；（3）化簡(jiǎn)絕對(duì)值不等式，轉(zhuǎn)化在上恒成立，即，求出在上的最大值，最小值即得解.試題解析：（1）∵∴∴單調(diào)增區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，若，，∴若，，∴∴綜上，或.（3）在上恒成立，即在上恒成立，∴在上最大值2，最小值，∴∴的取值范圍.點(diǎn)睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，恒成立問(wèn)題的處理及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng).20、（1）；（2）；（3）．【解析】

（1）根據(jù)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，列出向量與共線(xiàn)的表達(dá)式，然后根據(jù)坐標(biāo)求解即可；（2）根據(jù)，列坐標(biāo)即可求解；（3）根據(jù)平行四邊形可以推出對(duì)邊的向量相等，根據(jù)向量相等代入坐標(biāo)求解即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1），∵，，三點(diǎn)共線(xiàn)，∴存在實(shí)數(shù)，使得，即，得，∵，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，∴，解得，；（2）；（3）∵，，