數(shù)學(xué)選修2-2數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)題含答案

數(shù)學(xué)選修2-2數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)題含答案

學(xué)校：班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明0=a+亳+…且nCN)時(shí)，§的值為

().

AiB.渭C瀉D.1

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+*+*+…+島7<2-六(nN2)(n6N*)時(shí)第一步需

要證明()

A.l<2-六B.l+￡<2-占

1111111

C1+甚+淳<2—燈n“14十-2-L?J十_3-2L+j_42_<2..22--1

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+；+：+…+±<n(nCN*,且n>l)時(shí)，第一步應(yīng)

23271—1

證明下述哪個(gè)不等式成立()

A.1<2B.1+-+i<2C.1+<2D.l4-i<2

2323

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+；+工+…+京>髻成立，起始值至少應(yīng)取為()

24271-164

A.7B.8C.9D.10

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1+2+3+...+九)(1+1+|+...4-i)>n2+n-1成立,

初始值幾o(hù)至少應(yīng)取()

A.lB.2C.3D.4

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明"1+:+：+...<n(n6N*,n>1)〃時(shí)，由九=k(k>1)不

232"-1.

等式成立，推證n=k+l時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()

A.2JB.2k-1C.2fcD.2k+1

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+l)(n+2)(n+3)...(n+n)=2n-1?2?3?...<2n-l)(nG

N*),則當(dāng)n=k+l時(shí)，左邊的式子是()

A.k個(gè)數(shù)的積B.(k+1)個(gè)數(shù)的積

C.2k個(gè)數(shù)的積D.(2k+1)個(gè)數(shù)的積

8.用數(shù)學(xué)歸納法證明白+京+.?.+/＞芫,由兀=1到兀=卜+1左邊需添加的項(xiàng)為

S*+7r+2=4(〃")

的前〃項(xiàng)和為s%

9.已知數(shù)列k,則

2019201820172016

A.2020B.2019C.2018D.2017

10.等式I?+22+32+...+n2=|(5n2-7n+4)()

A.n為任何正整數(shù)都成立B.僅當(dāng)n=l,2,3時(shí)成立

C.當(dāng)n=4時(shí)成立，n=5時(shí)不成立D.僅當(dāng)n=4時(shí)不成立

11.用數(shù)學(xué)歸納法證明"(n+l)(n+2)...(n+n)=2n-1-2?...?(2n-l)M(nGN+)時(shí),

從"n=k到n=k+1"時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是.

12.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)neN*時(shí)，1+2+22+…+25"T是31的倍數(shù)時(shí)，當(dāng)n=1

時(shí)，原式的值為；從k到k+1時(shí)需增添的項(xiàng)是.

13.設(shè)/(n)=1+/抖：+…+表，則f(4+1)-f*)=.

14.

下面結(jié)論正確的是.

試卷第2頁(yè)，總30頁(yè)

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=l時(shí)結(jié)論成立.

(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用.

(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由7l=k到n=k/l時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增

加了一項(xiàng).

(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式$''1+2+2八{(lán)2}+\ldots+2"{n+2}\AA\,=2"{n+3}\,\,一

1"$,驗(yàn)證n=l時(shí),左邊式子應(yīng)為1+2及2+23.

(6)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時(shí)，n0=3.

15.已知f(7i)=32"+2-8n-9,存在m€N*,使對(duì)任意nCN*,都有m整除f(n),則

小的最大值為.

16.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=絲誓"(nGN+)時(shí)，第一步驗(yàn)

證n=l時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是

17.用數(shù)學(xué)歸納法證明馬+±+…一一三，假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，則當(dāng)

2Z3Z(n+l)z2n+2

n=k+l時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是.

18.已知f(n)=1+/，…+；(neN*),經(jīng)計(jì)算得f(4)>2,f(8)>|,/(16)>3,

/(32)>則對(duì)于任意n(nGN*)有不等式成立.

19.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+l)(n+2)(n+3)...(n+n)=2n1-3.5...(2n-l)(nGN*)

時(shí)，從《=々到n=/c+1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是.

20.已知〃71)=1+/1+...+；(n€N*),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2+時(shí),/(2k+1)-

/(29等于.

21.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n+l)+0i+2)+~+(n+n)=*i及0ieN*)

22.證明：%71—zu1nT》+(九一l)an能被(％—a)?整除(aH0).

23.用兩種方法證明：1+蠢+專+???+*<2-;(nN2...,nWN+).

24.已知/'(n)=1+工+工+…+%,n=1,2,3...

7v723n

求證：100+/(l)+f(2)+/(3)+…+f(99)=100/(100).

25.(本小題12分)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,并且滿足2sn=忌+九/>0

(1)求內(nèi),。2，。3

(2)猜想｛an｝的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；

(3)設(shè)％>0,y>0,且％+y=l,證明：個(gè)anx+1+Ja71y+14/2(=+2)

26.數(shù)列｛冊(cè)｝中，已知Qn=Qn-i+前高(九？2,n￡N)

(1)計(jì)算@2,。3,%的值，并歸納猜想出數(shù)列色工的通項(xiàng)公式；

(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明你歸納猜想出的結(jié)論.

71

27.已知lan=］+［：：］；；"JWN*求證：an<1.

28.觀察下列等式

1=1

2+34-4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

(I)照此規(guī)律，請(qǐng)你猜測(cè)出第九個(gè)等式；

(II)用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜測(cè)的等式.(其他證法不給分)

29.已知數(shù)列｛an｝,an>0,ax=0,忌+1+an+i-1=。氫九EN).記Sn=%+

"2十???十n-n一言十(1+詼)(1+。2)十…十(1+的)(1+。2)...(1+。)

求證：當(dāng)nWN.時(shí)，

(1)an<an+1；

試卷第4頁(yè)，總30頁(yè)

(2)Sn>n-2.

(3)7；<3.

2

30.用數(shù)學(xué)歸納法證明：n+(n+1)+(n+2)+...+(3n-2)=(2n-l)(ne/V+)

31.用數(shù)學(xué)歸納法證明，，自+京+???+含之/(nCNj，時(shí),由n=k到n=k+l時(shí),

不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是.

32.用數(shù)學(xué)歸納法證明;+；+；+…+京>其中n22,nCN.

234271-12

33.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：蘭+具+…+=里對(duì)于一切neN+都成立.

1x33x5(2n-l)(2n+l)4n+2十

n

34.已知九6N*,Sn=(九+l)(n+2)?-?(n+n),7^=2x1x3x???x(2n—1).

(1)求，，；

S1S2,S3,AT2,a

(2)猜想Snv”的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

35.已知：a,bGR+,n>1,n&N*,求證：a>(-^)n.

36.用數(shù)學(xué)歸納法證明：各各…+馬訴=黜(定心.

37.是否存在常數(shù)a、b、c使等式I?+22+32+…/+⑺—I)2+.22+12=

an(bn2+c)對(duì)于一切neN*都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說(shuō)

明理由.

38.己知數(shù)列{a},a=y=1且縱+a=a(V6N*),S”=白+

nxzn+a1n+2n

2+…+:求證：存在正整數(shù)“，使得對(duì)任意的n>M都有2<S“<3(n€N*).

39.用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利(Bernoa山)不等式：如果X是實(shí)數(shù)，旦%>-1,%H0,幾

為大于1的自然數(shù)，那么有(1+x)n>1+nx.

40.設(shè)i為虛數(shù)單位，跟為正整數(shù)，9G[0,27T).

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：(cos0+isin0)n=cosnB+isinnd；

(2)已知z=V3-i,試?yán)?1)的結(jié)論計(jì)算z】。.

試卷第6頁(yè)，總30頁(yè)

參考答案與試題解析

數(shù)學(xué)選修2-2數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)題含答案

一、選擇題(本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分)

1.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

把不等式」；+上+…；中的n換成2,即得所求.

n+1n+22n

【解答】

解：不等式中分式的分母是從n+1逐步遞增到2n結(jié)束，

所以當(dāng)n=2時(shí)，分式的分母從3到4結(jié)束，

所以S2的值為：1+

故選C.

2.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

【解析】

直接利用數(shù)學(xué)歸納法寫(xiě)出n=2時(shí)左邊的表達(dá)式即可，不等式的左邊需要從1加到昌二

不要漏掉項(xiàng).

【解答】

解：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+±+±+...+^—<2--i-(n>2),

L5-1)Zv—1

第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式為：1+5+點(diǎn)<2--p-；

故選C.

3.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

直接利用數(shù)學(xué)歸納法寫(xiě)出n=2時(shí)左邊的表達(dá)式即可.

【解答】

解：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+：+：+…+N*,且n>l)時(shí)，

232九一1

第一步應(yīng)代入71=2,得到i+g+[<2.

故選B.

4.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

【解析】

先求左邊的和曾=2-2】-n,再進(jìn)行驗(yàn)證，從而可解.

【解答】

解：左邊的和為上軍=2-2-“，當(dāng)n=8時(shí)，和為2-2-7＞巨，

1--64

2

故選B.

5.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

將n代入計(jì)算，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：71=1時(shí)，左邊=1,右邊=1；71=2時(shí)，左邊=（右邊=5,

n=3時(shí)，左邊=11,右邊=11；n=4時(shí)，左邊=更，右邊=19,

6

初始值沏至少應(yīng)取3.

故選：C.

6.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

考查不等式左側(cè)的特點(diǎn)，分母數(shù)字逐漸增加1,末項(xiàng)為六，然后判斷《=1+1時(shí)增加

的項(xiàng)數(shù)即可.

【解答】

解：左邊的特點(diǎn)：分母逐漸增加1,末項(xiàng)為直；

當(dāng)n=k時(shí)成立，則末項(xiàng)為

推證n=k+l時(shí)，末項(xiàng)為湎匕=2&一：+2Q

左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2勺

故選C.

試卷第8頁(yè)，總30頁(yè)

【答案】

B

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

先根據(jù)題意求出n=k時(shí)左邊的式子，觀察其結(jié)構(gòu)特征，即得所求.

【解答】

解：當(dāng)n=k時(shí)，左邊等于(k+l)(k+2)...(k+k)=(k+l)(k+2)...(2k),

共(k+1)個(gè)數(shù)的積，

則當(dāng)n=k+l時(shí)，左邊的式子是(k+1)個(gè)數(shù)的積

故選B.

8.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可得出.

【解答】

解：n=k到n=k+1左邊需添加的項(xiàng)為。J,+,：,一

2k+l2k+2k+l

故選:B.

9.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式

【解析】

直接利用遞推關(guān)系式和猜想法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,

進(jìn)一步求出結(jié)果.

【解答】

解：數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為右，滿足Sn+^+2=a(n22)

snn

則：Sn+m+2=S“—Sx

所以：Sn=-J^

2

由于Si=?1=--

當(dāng)n=2時(shí)，$2=_七=一:

4

當(dāng)n=3時(shí)，S=

3十N5

猜想：土=一霆

下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：

①當(dāng)n=時(shí)，S[=%=—|

②當(dāng)n=k時(shí)，Sk=一震

則當(dāng)n5+1時(shí)，品-1=-點(diǎn)=-去=一然

k+2

綜上所述：S=一三J

n“n+2

所以：

故選A.

10.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

驗(yàn)證當(dāng)n=l,2,3,4,5時(shí)，等式是否成立，從而即可解決問(wèn)題.

【解答】

解：當(dāng)n=l時(shí)，左邊=1,右邊=1,成立；

當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+4=5,右邊=5,成立；

當(dāng)n=3時(shí)，左邊=1+4+9=14,右邊=14,成立；

當(dāng)n=4時(shí)，左邊=1+4+9+16=40,右邊=28,不成立；

當(dāng)n=5時(shí)，左邊=1+4+9+16+25=65,右邊=94,不成立;

故選:B.

二、填空題(本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分)

11.

【答案】

2(2fc+1)

【考點(diǎn)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

【解析】

分別求出n=如寸左邊的式子，n=k+l時(shí)左邊的式子，用?=卜+1時(shí)左邊的式子,

除以n=k時(shí)左邊的式子，即得所求.

【解答】

解：當(dāng)n=k時(shí)，左邊等于(k+l)(k+2)...(k+k)=(k+l)(k+2)...(2k),

當(dāng)71=k+1時(shí)，左邊等于(k+2)(k+3)...(k+k)(2k+l)(2/c+2),

故從僅〃到％+1〃的證明，左邊需增添的代數(shù)式是空瑞3=2(2/c+1),

故答案為：2(2fc+l).

12.

【答案】

31*5"+2sk+1+25fc+2+25fc+3+25k+4

【考點(diǎn)】

試卷第10頁(yè)，總30頁(yè)

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

從式子1+2+22+…+25"T是觀察當(dāng)n=1時(shí)的值以及當(dāng)從ri=k到n=k+1的變化情

況，從而解決問(wèn)題.

【解答】

解：當(dāng)n=l時(shí)，原式的值為1+2+22+23+24=31,

當(dāng)n=k時(shí)，原式=1+2+2?+…+25&T

當(dāng)“=卜+1時(shí)，原式=1+2+2?+…+25上+4

5k

從k到k+1時(shí)需增添的項(xiàng)是25"+25上+1+25女+2+25"+3+25女+4故填：322+

,^5k+l+25k+2+女+3+?^5k+4

13.

【答案】

111

-----++,,?+----

2k+12k+2------2fc+1

【考點(diǎn)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

函數(shù)的求值

【解析】

把函數(shù)/(n)=1+：+[+；+…+/中的n換成k+1,k,再作差后即得所求.

【解答】

解：當(dāng)九=k+1時(shí)，

=赤+赤+…+和

故答案為：島;+六+…

14.

【答案】

(5)⑹

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

解(1)第一步驗(yàn)證n=沏時(shí)，沏并不一定是1,故錯(cuò)誤;

(2)顯然錯(cuò)誤；

(3)歸納假設(shè)必須用，故錯(cuò)誤；

(4)不一定增加一項(xiàng)，故錯(cuò)誤；

(5)正確；

(6)正確.

故答案為(5)(6).

15.

【答案】

64

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

計(jì)算f(l)，/(2),/(3),即可求出m的最大值.

【解答】

解：〃1)=34-8-9=64,

/(2)=36-16-9=64X11,

/⑶=38-24-9=64X102,

故m的最大值為64.

故答案為：64.

16.

【答案】

1+2+3+4

【考點(diǎn)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

【解析】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法的步驟，由等式1+2+3+…+(n+3)=

空告上”(TieN+),當(dāng)71=1時(shí)，n+3=4,而等式左邊起始為1的連續(xù)的正整數(shù)的和,

由此易得答案.

【解答】

解：在等式1+2+3+…+(n+3)=S+3,+4)(NGN+)中，

當(dāng)n=1時(shí)，n+3=4,

而等式左邊起始為1的連續(xù)的正整數(shù)的和，

故n=l時(shí)，等式左邊的項(xiàng)為：1+2+3+4

故答案為：1+2+3+4

17.

【答案】

11111

中+二+?一+初尋＞2一不

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，則當(dāng)n=k+l時(shí)，不等式中n用k+1代入即可.

【解答】

試卷第12頁(yè)，總30頁(yè)

解：假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，則當(dāng)n=k+l時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是全+

------1-A------------>--------------

32(k+2)22fc+3,

故答案為:區(qū)+白+…+,二$>:一白?

Z3+2.K~rJ

18.

【答案】

【考點(diǎn)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

【解析】

本題是利用數(shù)學(xué)歸納法依次證明得出。

【解答】

當(dāng)k=l,購(gòu)1=21時(shí)，/(21)=1+之=詈，取等號(hào)；

當(dāng)k=2,%=22時(shí)，/Q2)=1+：+[+；＞等=2；

假設(shè)當(dāng)n=2卜時(shí)，不等式成立，即/(29=1+扛打…+盤(pán)＞等.則當(dāng)n=k+l時(shí),

/X2k+】)=1+"/…+表+含+…+品＞f(#)+系＞巖+；干此題

得證.

故答案為：/(2H1)＞等.

19.

【答案】

4k+2

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

從n=k到=k+1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是(“1+"羋+1+-1),化簡(jiǎn)即可得出.

nk+1

【解答】

用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+l)(n+2)(n+3)...(n+n)=2'-1-3-5...(2n-l)(neN*)時(shí)，

從n=l｛到n=k+1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是—芋+i+ui)=2(2k+1).

k+1

20.

【答案】

111

------------1--------------1-…-I---------

2k+12k+22k+1

【考點(diǎn)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

【解析】

首先由題目假設(shè)n=k時(shí)，代入得到;"(29=1+抖/…+梟，當(dāng)n=k+1時(shí)，

/2"i)=1+：+9+…+*+*+…+六由已知化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.

【解答】

解：因?yàn)榧僭O(shè)n=k時(shí)，

/(2fc)=l+|+|+-+^

當(dāng)九=k+1時(shí)，

11111

心+1)=1+/§+…+丞…+布

，，(2-1)一/(29=舟+++…+備，

故答案為：Wr+備+,“+/??

三、解答題(本題共計(jì)20小題，每題10分，共計(jì)200分)

21.

【答案】

證明：①n=l時(shí)，左邊=2,右邊=2,等式成立;

②假設(shè)〃=1時(shí)，結(jié)論成立，BP：(k+l)+(k+2)+...+(k+k)=^Y^-

則zi=k+1時(shí)，等式左邊=(k+2)+(k+3)+…+(k+k+1)+(k+1+k+1)=

k(3k+l)+3k+2=(k+l)(3k+4)

22

故71=k+1時(shí)，等式成立

由①②可知：(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=吟3⑺eN*)成立

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，先證n=l時(shí)，等式成立；再假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，

再證幾=k+1時(shí)等式成立.關(guān)鍵是注意n=k+1時(shí)等式左邊與n=k時(shí)的等式左邊的

差，即為n=k+1時(shí)等式左邊增加的項(xiàng)

【解答】

證明：①n=l時(shí)，左邊=2,右邊=2,等式成立；

②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即：(fc+1)+(fc+2)+...+(fc+k)=

則zi=k+1時(shí)，等式左邊=(k+2)+(k+3)+…+(k+k+1)+(k+1+k+1)=

中+3k+2=(k+l)(3/c+4)

2

故n=k+1時(shí)，等式成立

M3；+1)

由①②可知：(幾+1)+5+2)+..?+5+n)=(neN*)成立

22.

【答案】

證明：當(dāng)九=1時(shí)，

xn—nan-1x4-(n—l)an=x—x=0

易得此時(shí)#-na^x+(n-l)Qn能被(x-。產(chǎn)整除成立;

試卷第14頁(yè)，總30頁(yè)

設(shè)n=Z時(shí),xn—nanT%+(n—l)an能被(％—Q)2整除成立，

即/-fcafe-1x+(k-1)產(chǎn)能被(%-Q)2整除成立，

則n=k+1時(shí)，

xn—nan-1x+(ri—l)an=xk+1—(/c+V)akx+kak+1=xk—kak-1x+(/c—l)afc+

k0k-1(X-Q)2

即產(chǎn)—nan-1x+(n—l)an=xk+1—(k+l)akx+kd+i也能被(%—a)?整除

綜合，xn-nan_1x4-(n-l)an能被(％-。產(chǎn)整除(a工0).

【考點(diǎn)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

【解析】

要證明％n-nan-1x4-(n-l)an能被(％-。尸整除(a。0).我們可使用數(shù)學(xué)歸納法：

先證明幾=1時(shí)，結(jié)論》n-nan~1x+(n-l)Qn能被(x-Q/整除成立，再假設(shè)幾=k時(shí),

%n-九產(chǎn)一1%+(九一1)心能被(％-Q)2整除(a工0).進(jìn)而證明：幾=/c+l時(shí)，結(jié)論

xn-na71-1%+(n-1)@幾能被(x-整除(a豐0)也成立，即可得到結(jié)論.

【解答】

證明：當(dāng)兀=1時(shí)，

xn—nan-1x4-(n—l)an=%—%=0

易得此時(shí)”-nan-1x+(n-1)即能被(x-a)2整除成立；

設(shè)幾=k時(shí),xn-nan-1x+(n—l)an能被(x—a)2整除成立，

即/-fcafe-1x+(k—l)a"能被(％-Q)2整除成立，

則九=/c+l時(shí)，

xn—nan-1x+(n—l)an=xk+1—(fc+l)akx4-kak+1=xk-kak~xx+(fc—l)ak4-

/CQLI(x-a)2

即％n—nan-1x+(ri-l)an=xk+1—(k+l)akx+也能被(％—Q)?整除

綜合，xn-nan-1x+(九一l)an能被(％-。不整除(a。0).

23.

【答案】

解:證明：解法一（放縮法）：：?＜看而?.1+/專+??,+專＜1+點(diǎn)+

2x3(n-l)xn

------------------..11------1------r…1----------1T1-----1--------r???1-----

(n-l)xnn-1n1x22x3(n-l)xn223n-1

-=2--

nn

即1+京+/■+…+*＜2-＞2...,n6N+）,即證.

解法二（數(shù)學(xué)歸納法）：

①當(dāng)n=2時(shí)，左端=1+白=9,右端=2—!=2=3「.左端V右端，即證.

2Z4224

②假設(shè)"=k時(shí)，有1+2+專+…+,＜2-久nN2??.,?iWN+）恒成立,即1+強(qiáng)+

專+…+專＜2一表亙成立,

那么當(dāng)n=k+l時(shí)，1+蠢+…+*+島＞＜2一"卷=2一表耨＜2—

2

k+k=2-工也成立,

(k+l)2-/c

即當(dāng)?1=k時(shí)上述原命題也成立，

綜上，由②)知，1+/?+專+…++＜2—；(n22…,neN+)恒成立，即證.

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

此題解法有兩種：解法一是運(yùn)用放縮法來(lái)證明；將左端最后一項(xiàng)放大，并變成兩項(xiàng)之

差，再用疊加法，即可.

解法二是運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明.在證明過(guò)程中，第一步實(shí)際是驗(yàn)證思想，將九=2代

入檢驗(yàn)，第二步是關(guān)鍵一步，

尤其是從k到k+1時(shí)，要注意增添了哪幾項(xiàng).

【解答】

解：證明：解法一(放縮法)：；三＜;~—1+2+士+…+吃＜1+」;+

n2(n-l)xn2232n21x2

2x3(n-l)xn

-------——-----------..工1------1------r???T-------1T±----------1-------r???----

(n-l)xnn-1n1x22x3(n-l)xn223n-1

即1+*+京+…+*＜2—；(n-2...,n￡N*),即證.

解法二(數(shù)學(xué)歸納法)：

①當(dāng)n=2時(shí)，左端=1+蠢=：,右端=2—：=|=3，左端＜右端，即證.

假設(shè)n=k時(shí)，有1+*+蠢+…+*<2—；(zi22…,neN+)恒成立，即1+蠢+

專+…+專＜2-耨成立，

那么當(dāng)n=k+l時(shí)，1+＞…+力看＜2-打卷=2-恐＜2-

島=2-擊也成立,

即當(dāng)n=k時(shí)上述原命題也成立，

綜上,由(J)②知,1+蠢+專+…+*＜2—；(n22,neN+)怛成立，即證.

24.

【答案】

證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：(n+1)(/(l)+/(2)+...+/(n))=(n+l)/(n+

1).

證(1)當(dāng)n=l時(shí)，左邊=2+/(1)=2+1=3,右邊=2(/(2))=2(1+}=3

左邊=右邊，二等式成立....

(2)假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即(n+1)(/(1)+/(2)+…+f(k))=(k+l)/(k+l)

上式兩邊同時(shí)加1+f(k+1)得：(k+1)+1+/(I)+f(2)+…f(k)+f(k+1)=

(fc+l)/(fc+1)+1+/(fc+1)

???(k+l)/(fc+1)+1+/(fc+1)=(fc+2)/(k+1)+1,

試卷第16頁(yè)，總30頁(yè)

(k+l)f(k+2)+f(k+1)+1—(k+2)f(k+2)=(k+2)[/(fc+1)-f(k+

2)]+l

=(k+2)(一*)+1=0.

(k+1)/(。+1)+1+f(k+1)=(k+2)/(fc+2)

[(fc+1)+1]+/(l)+/(2)+...+/(fc)+f(k+1)=(k+2)/(fc+2)

n—k+1時(shí)等式也成立.…

由⑴、(2)知,等式(n+1)(f⑴+f(2)+…+f(n))=(n+l)/(n+1)

對(duì)一切neN*都成立.

100+/(l)+/(2)+...+/(99)=100/(100)....

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

為了證明100+/(1)+/(2)+/(3)+~+/(99)=100/(100).先用數(shù)學(xué)歸納法證明等

式：(n+1)"(1)+f(2)+…+〃死))=(n+l)/(n+1).故首先檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)，等

式兩邊成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式兩邊成立，寫(xiě)出此時(shí)的等式，準(zhǔn)備后面要用，再

檢驗(yàn)當(dāng)n=k+l時(shí)，等式成立，使用幾=卜時(shí)的條件，整理出結(jié)果，最后總結(jié)對(duì)于所

有的自然數(shù)結(jié)論都成立.從而證得100+f⑴+f(2)+f(3)+…+/(99)=100/(100).

【解答】

證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：(n+1)(/(l)+/(2)+...+/(n))=(n+l)/(n+

1).

證(1)當(dāng)n=l時(shí)，左邊=2+/(1)=2+1=3,右邊=2(/(2))=2(1+}=3

左邊=右邊，，等式成立....

(2)假設(shè)n=k時(shí),等式成立,即(n+1)"⑴+f(2)+…+f(k))=(fc+l)/(k+1)

上式兩邊同時(shí)加1+f(k+1)得:(k+1)+1+/(I)+f(2)+…/(A)+f(k+1)=

(/c+l)/(fc+1)+1+/(fc+1)

(fc+l)/(fc+1)+1+/(k+1)=(k+2)/(/c+1)+1,

(k+l)f(1+2)+f(k+1)+1—(k+2)+(k+2)=(k+2)[/"(k+1)—f(k+

2)]+l

=(k+2)(—京)+1=0.

(k+l)/(/c+1)+1+/(k+1)=(fc+2)/(/c+2)

[(/c+1)+1]+/(l)+f(2)+...+f也)+f(k+1)=(k+2)/(fc+2)

n=k+1時(shí)等式也成立.…

由⑴、(2)知,等式(n+1)(/⑴+汽2)+…+f(n))=(n+l)/(n+1)

對(duì)一切nGN*都成立.

100+/(l)+/(2)+...+/(99)=100/(100)....

25.

【答案】

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

【解答】

26.

【答案】

11.122.133,14

解：

(1)a1=~,a2=-+-=~,a3=-+-=~,a4=-+-=--,

猜測(cè)出=看/九

anEN*；

(2)證明：1)幾=1時(shí)，顯然猜想成立；

2)假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即以=備；

??根據(jù)遞推公式"k+1時(shí)，-=備+品西二篙蒜^震；

n=k+l時(shí)猜想成立；

綜上得廝=W對(duì)一切nN*都成立.

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

歸納推理

【解析】

(1)根據(jù)數(shù)列｛&J的遞推公式便容易求出。2=(。3=|，。4=￡從而可猜測(cè)出

(2)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，第一步：n=l時(shí)顯然成立；第二步：假設(shè)n=k時(shí)

成立，根據(jù)遞推公式只要求出以+i=黑，也就是說(shuō)《=卜+1時(shí)成立，從而最后得出

猜想的結(jié)論對(duì)任意正整數(shù)都成立.

【解答】

板/4、11,122,133.14

解：01=一，。2=----1----=一，。3=-----H—=一，。4=----1-----=一；

(1)12z263‘312444205

猜測(cè)出a=——,7i6/V*；

n“n+l

(2)證明：1)n=1時(shí)，顯然猜想成立；

2)假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即耿=備；

根據(jù)遞推公式n=k+1時(shí)，耿+i=看/V-iX+(fkt+i'iA；k十+乙2))=I,"+?；J.：'：：；Z)J=震/vT"4

n=k+1時(shí)猜想成立；

綜上得時(shí)=々對(duì)一切九GN*都成立.

試卷第18頁(yè)，總30頁(yè)

27.

【答案】

證明：(1)當(dāng)n=l時(shí)，aj=1<1,不等式成立.

(2)假設(shè)n=k(k21)時(shí)，不等式成立，即以=---(k+i)k-----<1

亦即1+22+32+...+k2<(fc+l)/c

、I,.,.l2+22+32+-+k2+(fc+l)2,(k+1產(chǎn)+(九+1產(chǎn)1(/c+l)fc+(/c+2)

當(dāng)《=卜+1時(shí)：ak+1=一面即尸一<飛+，2尸一=-(亦］

所以n=k+l時(shí)，不等式也成立.

由(1)、(2)知，對(duì)一切n€N*,不等式都成立.

即冊(cè)<1得證.

【考點(diǎn)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

【解析】

首先分析題目已知斯=求證:an<1.考慮到可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法求解,

首先驗(yàn)證當(dāng)n=l時(shí)，不等式成立，再假設(shè)n=k(k21)時(shí)，不等式成立，推得當(dāng)n=

k+1時(shí)不等式也成立.即得證.

【解答】

證明：(1)當(dāng)n=l時(shí)，不等式成立.

(2)假設(shè)n=k(k21)時(shí)，不等式成立，即念=二^^<1

亦即1+22+32+...+k2<(fc+l)/c

、I,7-Hl2+22+32+-+fc2+(/c+l)2,(文+1產(chǎn)+(k+1產(chǎn)1(k+l)k+(fc+2)

謔(市)門(mén)「

當(dāng)72=卜+1時(shí)：ak+1=一再訴尸一<2M—=

(―)k<1.

所以71=k+l時(shí)，不等式也成立.

由(1)、(2)知，對(duì)一切neN*,不等式都成立.

即即<1得證.

28.

【答案】

5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.

(II)證明：(1)當(dāng)n=l時(shí)，左邊=1,右邊=1,

左邊=右邊

(2)假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即k+(k+l)+(k+2)+~+(3k-2)=(2k-l)2,

當(dāng)《=k+1時(shí)，等式左邊=(fc+1)+(fc+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+(3k)+

(3k+1)=(2k-I)2+(3/c-1)-fc+3fc+(3fc+1)=(2k+l)2.

綜上(1)(2)可知n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2TI-1)2對(duì)于任意的正整數(shù)

n都成立.

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

(I)根據(jù)題意，觀察等式的左邊，分析可得規(guī)律：第n個(gè)等式的左邊是從n開(kāi)始的

(2n-1)個(gè)數(shù)的和，進(jìn)而可得答案.

(II)首先證明當(dāng)7i=1時(shí)等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)等式成立，得到等式k+(k+l)+

(k+2)+...+(3k-1)=(2k-1產(chǎn),下面證明當(dāng)n=A+1時(shí)等式左邊=(k+1)+(k+

2)+...+(3fc-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)根據(jù)前面的假設(shè)化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果，最后

得到結(jié)論.

【解答】

(I)解：根據(jù)題意，觀察可得，

第一個(gè)等式的左邊、右邊都是1,

第二個(gè)等式的左邊是從2開(kāi)始的3個(gè)數(shù)的和，

第三個(gè)等式的左邊是從3開(kāi)始的5個(gè)數(shù)的和，

其規(guī)律為：第n個(gè)等式的左邊是從n開(kāi)始的(2n-1)個(gè)數(shù)的和，

即n+(n+1)+(n+2)+...+(3n-2)=(2n—I)2；

(II)證明：(1)當(dāng)n=l時(shí)，左邊=1,右邊=1,

左邊=右邊

(2)假設(shè)n=k時(shí)等式成立,BPfc+(fc+1)+(k+2)+...+(3fc-2)=(2k-I)2,

當(dāng)幾=k+1時(shí),等式左邊=(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+(3k)+

(3k+1)=(2k-I)2+(3/c-1)-fc+3fc+(3k+1)=(2k+l)2.

綜上(1)(2)可知7i+(ri+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2對(duì)于任意的正整數(shù)

n都成立.

29.

【答案】

(1)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=l時(shí)，因?yàn)槭欠匠?+x-1=0的正根，所以

②假設(shè)當(dāng)n=k(k€N*)時(shí)，ak<ak+1,

a

因?yàn)榛?1-或=(或+2+k+2-1)-(flfc+1+flfc+1-1)=3+2-ak+i)(afc+2+

ak+l+1)，

所以以+1<flfc+2-

即當(dāng)n=卜+1時(shí)，與<%i+l也成立.

根據(jù)①和②，可知的<即+1對(duì)任何nGN*都成立.

(2)證明：由或+i+以+i-1=或，k=1,2,n-l(n>2),

得W+(a2++…+a“)—(n-1)=af.

因?yàn)榈?O,所以％=n—1—a^.

由斯<即+i及即+i=1+W-2W+i<1得an<1,

所以%>71—2.

(3)證明：由或+1+以+1=1+或22tZk，得：

最S黑(k=2,3…,n-l,n>3),

所以訴扁即產(chǎn)懸(心3)，

故當(dāng)7133時(shí)，41<1+1+：+~+2jz<3，

又因?yàn)門(mén)1<72<73,

試卷第20頁(yè)，總30頁(yè)

所以

7n<3.

【考點(diǎn)】

不等式的證明

數(shù)列的求和

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

【解析】

(1)對(duì)于neN?時(shí)的命題，考慮利用數(shù)學(xué)歸納法證明；

(2)由磁+i+%+1-1=或，對(duì)k取1,2,....?1-1時(shí)的式子相加得$71,最后對(duì)％進(jìn)

行放縮即可證得.

(3)利用放縮法由磕+i+%+1=1+磁N2(1上，得77^—工(A=2,3,...,九—

1+ak+l2ak

l,n>3),二一高一(g3),即可得出結(jié)論?

。)。)n27

’(1+3(1+4…(1+aQ2-a2'

【解答】

(1)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=l時(shí)，因?yàn)锧2是方程x2+%-1=0的正根，所以由V。2?

②假設(shè)當(dāng)九=時(shí)，，

k(kEN*)ak<Qk+1

因?yàn)榱?1~ak=(或+2+ak+2-1)一(破+1+ak+l-1)=(%+2-afc+l)(ak+2+

ak+l+1)，

所以以+1<4+2?

即當(dāng)九=時(shí)，九也成立.

k+lQnva+i

根據(jù)①和②，可知對(duì)任何九都成立.

an<0n+iGN*

(2)證明：由磁+i+縱+i—1=磁，k=1,2,...?n-l(n>2),

得W+(。2+Q3+…+Qn)——(九——1)=Qa?

因?yàn)?。所?

1=0,Sn=n—1—Q

由及+成-2a得，

anvan+i%i+i=1n+i<1an<1

所以S九>M—2.

證明：由展+或之以，得：

(3)+i+ak+1=12

■三鴕(仁2.3…n-l,n>3),

所以(。)。)...(即)

1+3(1+1+-2?-"a2(a23),

故當(dāng)九23時(shí)，7；<1+1+|+-+^7<3,

又因?yàn)椋?/p>

7<T2<T3,

所以7；<3.

30.

【答案】

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1.右邊=1?等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，ERfc+(/c+1)+(fc+2)+...+(3/c-2)=(2k-I)2,

那么當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+(3k)+[3(fc+1)-

2]

=k+(k+1)+(k+2)+...+(3fc-2)—fc+(3k-1)+3k+(3k+1)

=(2k-1)2+8k=(2/c+l)2.

這就是說(shuō)當(dāng)n=k+l時(shí)，等式也成立.

根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何neN+都成立.

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，當(dāng)n=l時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)7i=卜時(shí)，k+(k+l)+

(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2成立，證明當(dāng)n=k+l時(shí)，命題也成立

【解答】

證明：(1)當(dāng)n=l時(shí)，左邊=1,右邊=1,等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=/c時(shí)，等式成立，即k+(k+l)+(k+2)+-+(3k-2)=(2k—l)2,

那么當(dāng)n=k+1時(shí)?(k+1)+(k+2)+...+(3k-2)+(3k-1)+(3k)+[3(fc+1)-

2]

=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)—k+(3k-1)+3k+(3k+1)

=(2k-1)2+8k=(2k+1產(chǎn)

這就是說(shuō)當(dāng)n=k+l時(shí)，等式也成立.

根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何幾eN+都成立.

31.