數(shù)學(xué)（文）一輪教學(xué)案第二章第3講函數(shù)的奇偶性與周期性

第3講函數(shù)的奇偶性與周期性

考綱展示命題探究

考點(diǎn)展示考綱要求高考命題探究

判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合具體函數(shù)，

函數(shù)的奇偶性

了解函數(shù)奇偶性的含義.1.內(nèi)容探究：判斷函數(shù)的奇偶性、周期性，并應(yīng)用其性質(zhì)解決一

些簡單的函數(shù)問題,如求解析式、求值等.

判斷函數(shù)的周期性,結(jié)合具體函數(shù)

函數(shù)的周期性2.形式探究：高考中本講內(nèi)容多以選擇題、填空題形式出現(xiàn).

了解周期性的含義.

___

股考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性

:求基礎(chǔ)點(diǎn)重難點(diǎn)

奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇函數(shù)偶函數(shù)

如果對于函數(shù)八%)的定義域內(nèi)的任意一個工

定義都有外一%)=一?%),那么函數(shù)都有%)="),那

八%)是奇函數(shù)么函數(shù)人")是偶函數(shù)

圖象

關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于上軸對稱

特點(diǎn)

加》注意點(diǎn)判斷函數(shù)的奇偶性時需注意兩點(diǎn)

(1)對于較復(fù)雜的解析式，可先對其進(jìn)行化簡，再利用定義進(jìn)行

判斷，同時應(yīng)注意化簡前后的等價性.

(2)所給函數(shù)的定義域若不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則這個函數(shù)一定不具

有奇偶性.

jte小題快做：

1.思維辨析

(1)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是函數(shù)的定義域在X軸上是關(guān)于

坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的.()

(2)若函數(shù)於)為奇函數(shù)，則一定有火0)=0.()

(3)若函數(shù)丁=犬%+。)是偶函數(shù)，則函數(shù)＞=危)關(guān)于直線x=a對

稱.()

(4)若函數(shù)y=火工+》)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=*%)關(guān)于點(diǎn)S,0)中心對

稱.()

(5)函數(shù)八%)=0,%￡(0,+8)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).()

(6)若函數(shù)於)=(X_2)(%+。)為奇函數(shù)，則a=2.()

答案(1)V(2)X(3)V(4)V(5)X(6)V

2.已知危尸加十法是定義在［q—1,20上的偶函數(shù)，那么。+方

的值是()

A.一；

B,3

11

C，2D.一2

答案B

得?=|,又#%)為偶函數(shù)，艮一

解析由已知得。-1+2a=0,

%)=火%),.'.b=0,所以Q+Z?=；.

3.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()

A.y=2x—^B.y=x3siru：

C.y=2cosx+lD.y=x2-\-2x

答案A

解析由函數(shù)奇偶性的定義知，B、C中的函數(shù)為偶函數(shù)，D中

的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，只有A中的函數(shù)為奇函數(shù)，故選A.

避將命題法解題法

於［考法綜述］判斷函數(shù)的奇偶性是比較基礎(chǔ)的問題，難度不

大，常與函數(shù)單調(diào)性相結(jié)合解決求值和求參數(shù)問題，也與函數(shù)的周期

性、圖象對稱性在同一個題目中出現(xiàn).主要以選擇題和填空題形式出

現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)或中檔題目.

命題法判斷函數(shù)的奇偶性及奇偶性的應(yīng)用

典例(1)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()

A.y=mB.y=|sinx|

C.y=cosxD.y=ex—Q~x

(2)設(shè)函數(shù)八%),g(x)的定義域都為R,且危)是奇函數(shù)，g(%)是偶

函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.兀v)g(%)是偶函數(shù)B.［/(%*(%)是奇函數(shù)

C.危)|g(%)|是奇函數(shù)D.|/(%)g(%)|是奇函數(shù)

［解析］(1)因?yàn)楹瘮?shù)丁=4的定義域?yàn)椋?,+°°),不關(guān)于原點(diǎn)對

稱，所以函數(shù)丁=加為非奇非偶函數(shù)，排除A；因?yàn)閥=、inx|為偶函

數(shù)，所以排除B；因?yàn)閥=cos"為偶函數(shù)，所以排除C；因?yàn)閥=#%)

=ex—e-x,x)=e-x—ex=—(ex—e-x)=—所以函數(shù)丁=^一

x為奇函數(shù)，故選D.

(2)由題意可知八一%)=一八%),g(一%)=g(%),對于選項(xiàng)A,火一

%>g(—%)=—所以?x)g(x)是奇函數(shù)，故A項(xiàng)錯誤；對于選

項(xiàng)B,網(wǎng)一%)lg(—%)=|—X%)lg(%)=|/(%)lg(%),所以|K%)lg(%)是偶函數(shù),

故B項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)C,火一%)|g(一%)|=-x%)|g(%)|,所以f(x)\g(x)\

是奇函數(shù)，故C項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D,悵一%)g(—%)|=|—八%)g(%)|=

依爾(%)|,所以|/(%)g(%)|是偶函數(shù)，故D項(xiàng)錯誤，選C

［答案］(1)D(2)C

A【解題法】判斷函數(shù)奇偶性的方法

(1)定義法

結(jié)論

(2)圖象法

1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()

A.y=cosxB.y=siiu

C.y=lnxD.y=x2+l

答案A

解析y=cos%是偶函數(shù)且有無數(shù)多個零點(diǎn)，y=sinx為奇函數(shù)，

y=ln%既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，y=%2+i是偶函數(shù)但沒有零點(diǎn),

故選A.

2-r+l

2.若函數(shù)火%)=5=是奇函數(shù),則使八%)>3成立的x的取值范

圍為()

A.(—8,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,+8)

答案C

2七+12￥+12X+1

解析人—%)=2-1二a2非由火一%)=一火用得1=a2'=一

2X+1

至二，即l-a-2x=~2x+a,化簡得小(1+2?=1+2"所以a=l,兀0

乙Ct

2-r+l

=FP由?>3得0<%<1.故選C.

3.已知兀0,g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且八%)

—g(%)=V+%2+[,則火])+g(i)=()

A.-3B.-1

C.1D.3

答案c

解析令X=—1得,/(—1)—g(—1)=(—1)3+(—1)2+1=1.V

八%),g(%)分別是偶函數(shù)和奇函數(shù)，

???——1)=#1),g(T)=-g(l)，

即-D+g⑴=1.故選C.

4.已知函數(shù)八%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)入20時，火%)=；(|%

一屋|+|%—2a2|-3*.若V%￡R,火%則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為()

11-

-

^-BA/6

A.0

61—6'

11

C.亨3D.

答案B

解析當(dāng)％20時,

x-3a2,%，2屋,

/(%)=<—a2,屋<%<2屋,畫出圖象，再根據(jù)危)是奇函數(shù)補(bǔ)全

、一%,OWxWa2,

圖象.

^/-3ar-2,a1-ar~誨2^/^/x

..?滿足Vx￡R,>-1)<?,則只需3屋一(一3屋)W1,

6屋W1,即一乎WaW平，故選B.

5.若定義在R上的偶函數(shù)危)和奇函數(shù)g(%)滿足式%)+g(%)=ex,

則g(%)=()

A.ex—Q~xB.T(eA'+e-%)

答案D

解析因?yàn)?%)+g(%)=ex①,則/(—%)+g(—%)=er,即火%)—g(%)

=e=②，故由①一②可得g(%)=；e—ep,所以選D.

fix)=xln(%+la+x2)為偶函數(shù),則a=.

答案1

解析解法一：由題意得加)=%ln(x+^/a+x2)=/(—x)=—xln

解法二：由八%)為偶函數(shù)有y=ln(%+A/^P?)為奇函數(shù)，令g(%)

=如(%+/+/),有g(shù)(一%)=—g(x),以下同解法一.

八工)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)%>0時，丸%)=%2—4%,則不等式

?>X的解集用區(qū)間表示為.

答案(一5,O)U(5,+8)

解析:八工)是定義在R上的奇函數(shù)，.\A0)=0.

又當(dāng)x<0時，一%〉0,x)=x2-\-4x.

又八%)為奇函數(shù)，「?/(一%)=—八%)，

.,.#%)=—X2—4x(x<0),

X2—4x,x>0,

.,&)={0,x=Q,

、一區(qū)2一4%,x<0.

①當(dāng)x>0時,由f(x)>x得％2—4x>x,解得x>5；

②當(dāng)x=0時，火%)>為無解；

③當(dāng)％<0時，由f(x)>x得一%2-4x>x,解得一5<%<0.

綜上得不等式<工)>式的解集用區(qū)間表示為(一5,0)U(5,+°°).

8.已知函數(shù)式；0=e、+er,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)證明：貝工)是R上的偶函數(shù)；

(2)若關(guān)于x的不等式influx)x-\-m—1在(0,+8)上怛成立，

求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)已知正數(shù)。滿足：存在祀仁口，+8),使得危o)<q(一端+3%0)

成立.試比較e。］與qe-i的大小，并證明你的結(jié)論.

解(1)證明：因?yàn)閷θ我猓ァ闞,都有=e-x+e-(-x)=e~x

+e-=?,所以八工)是R上的偶函數(shù).

(2)由條件知根(e'+e-x—l)Wer—1在(0,+8)上恒成立，

令片叫￥>0),則彳>1,

所以小W------［----對任意/>1成立.

因?yàn)?-1+737+122A/(?—1)-737+1=3,所以一

I上\/IJ-

------\-----1,當(dāng)且僅當(dāng)方=2,即％=ln2時等號成立.

“Ei

因此實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是1—8,-1.

(3)令函數(shù)g(%)=ex+9一a(—x3+3%),

則g'(x)=e-v—T^+3aC?-1).

當(dāng)入21時，e*一：>。，x2—1^0,又a〉0,故g'(%)>0,所以g(%)

是［1,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，因此g(%)在“，+8)上的最小值是g(l)

=e+ei—2a.

由于存在％0仁[1,+°°),使e%o+e%。-a(—%8+3/o)<O成立,

當(dāng)且僅當(dāng)最小值g(l)<0,

e+ei

故e+e1——2Q<0,艮口a>.

e—1

令函數(shù)/z(x)=x—(e—l)lnx—l,貝!](%)=1

x

令h'(%)=0,得％=e—1.

當(dāng)一￡(0,e—1)時，h'(x)<0,故/?(%)是(0,e—1)上的單調(diào)減函

數(shù)；

當(dāng)x￡(e—1,+8)時，h'(%)>0,故力(%)是(e—1,+8)上的單

調(diào)增函數(shù).

所以四%)在(0,+8)上的最小值是"七一1).

注意到/z(l)=/i(e)=0,所以當(dāng)％￡(1,e—1)=(0,e—1)時，/i(e

—l)W/z(%)</z(l)=0；

當(dāng)工￡(e—1,e)^(e—1,+°°)0^,-(%)<知1(])<0對任意的工￡(1,

e)成立.

fe+e-1)

①當(dāng)—5—，e=(1,e)時，h(a)<0,即a—l<(e—l)lnQ,從

IZ7

而e"—i；

②當(dāng)a=e時，e"—1

③當(dāng)a￡(e,+oo)c(e-l,+8)時,/z(￡Z)>/z(e)=0,即Q—l>(e

—l)lna,故呼1>。門.

綜上所述，當(dāng)aw1*：e]時，e〃r<Qer；

IZ7

當(dāng)a=e時，e。—i=qe-%

當(dāng)q￡(e,+8)時，eui〉。，-1.

E隨考點(diǎn)二函數(shù)的周期性

電星基礎(chǔ)點(diǎn)重難點(diǎn)

1周期函數(shù)

對于函數(shù))=#%),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)％取定義域

內(nèi)的任何值時，都有心十息=心),那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，

稱T為這個函數(shù)的周期.

2最小正周期

如果在周期函數(shù)#%)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這

個最小正數(shù)就叫做/U)的最小正周期.

版注意點(diǎn)常見的有關(guān)周期的結(jié)論

周期函數(shù)y=#%)滿足：

(1)若八%+。)=/(%—q),則函數(shù)的周期為2a.

(2)若火%+。)=一＜%),則函數(shù)的周期為2。

(3)若火x+a)=-—,則函數(shù)的周期為2a.

4|10小題快做

1.思維辨析

(1)若函數(shù)危)滿足火0)=#5)=火10),則它的周期7=5.()

(2)若函數(shù)危)的周期7=5,則人-5)=#0)=/(5).()

(3)若函數(shù)危)關(guān)于％=Q對稱，也關(guān)于對稱，則函數(shù)“￥)的

周期為2|〃一a|.()

(4)函數(shù)危)在定義域上滿足＞+?)=-?(?＞0),則危)是周期

為。的周期函數(shù).()

(5)函數(shù)危)為區(qū)上的奇函數(shù)，且於+2)=危)，則#2016)=0.()

答案(1)X(2)V(3)V(4)X(5)V

2.已知八%)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意都有危+

4)=?+/(2),則火2014)等于()

A.0B.3

C.4D.6

答案A

解析:危)是定義在R上的偶函數(shù)，

.?次-2)=，2),

...八—2+4)=犬2)=#-2)+#2)=2火2),

，#2)=0,

X2014)=/4X503+2)=/2)+503X/(2)=/2)=0,故選A.

3.設(shè)八工)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)OWxWl時，危)=2%(1一%),

答案-I

解析:八工)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時，?=2x(l-

避將命題法解題法

施［考法綜述］函數(shù)周期性的考查在高考中主要以選擇題、填空

題形式出現(xiàn).常與函數(shù)的奇偶性、圖象對稱性結(jié)合考查，難度中檔.

命題法判斷函數(shù)的周期性，利用周期性求值

典例(1)若八%)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足式1)=1,犬2)

=2,則火8)—#4)的值為()

A.-1B.1

C.-2D.2

(2)設(shè)函數(shù)滿足危+兀)=危)+sinx當(dāng)OWXWTI時，f(x)

皿(23喻

=0,則)

1s

A，2B.

1

C.0D.

［解析］(1)由于“￥)周期為5,且為奇函數(shù)，.\/(8)=#5+3)=丸3)

=X5-2)=X-2)=-/2)=-2,?=X5-1)=X-1)=-/1)=-1,

/./8)-?=-2-(-1)=-1.

(2)因?yàn)?71)=+71)+sin(x+71)=j(x)+sinx—siru—fix),所

以/U)的周期T=2n.

又因?yàn)楫?dāng)0W%W兀時，/(%)=0,所以《周=0,

即T=1—V+sin[—V=°，

所以O(shè)H

所以卜消I=力冗—V=彳—1=,

［答案］(1)A(2)A

A【解題法】函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用

(1)判定：判斷函數(shù)的周期性只需證明加+T)=/a)(TWO)便可證

明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為7.

(2)應(yīng)用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)

的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，

則kT*RZ且左W0)也是函數(shù)的周期.

建即對點(diǎn)題必刷題

1.定義在R上的函數(shù)兀0滿足八一%)=一八%),八%—2)=犬%+2),

且工￡(—1,0)時，危)=2*,則#log220)=()

4

A.-1B.g

4

C.1D.一§

答案A

解析由八%—2)=抵%+2),得加+4)=八%),

.TA%)的周期7=4,結(jié)合八一%)=一兀)有火Iog220)=/(l+log210)

=Xlog210-3)=-X3-log210),

141

3-110

V3-log210e(-1,0),/.Xlog220)=-2°g2--=—5—5=一

1.故選A.

2.函數(shù)*%)=lg四11%|是()

A.最小正周期為兀的奇函數(shù)

B.最小正周期為2冗的奇函數(shù)

C.最小正周期為兀的偶函數(shù)

D.最小正周期為2兀的偶函數(shù)

答案C

解析易知函數(shù)的定義域?yàn)樽蟆闦},關(guān)于原點(diǎn)對稱，又

x)=lg|sin(—x)|=lg|—sinx|=lg|sinx|=/(x),所以火%)是偶函數(shù),

又函數(shù)y=|sinx|的最小正周期為兀，所以函數(shù)*%)=lg|sim|是最小正周

期為兀的偶函數(shù).故選C.

八工)是(一8,十8)上的奇函數(shù)，且八%)的圖象關(guān)于％=1對稱，當(dāng)

時，危)=2'—1,則式2013)+#2014)的值為()

A.-2B.-1

C.0D.1

答案D

解析,函數(shù)八%)為奇函數(shù)，則八一%)=—八%),又函數(shù)的圖象關(guān)

于％=1對稱，則人2+%)=八一%)=-fix),

.7/(4+%)=/[(2+%)+2]=—危+2)=火%)..\/(雙=1對稱，.二八。)

=火2),

/./(2013)+/(2014)=/(1)+/(2)=/(1)+?=21-1+20-1=1.t

選D.

4.已知定義在R上的奇函數(shù)危)滿足八%+1)=一火%),且在[0,1)

上單調(diào)遞增，記Q=C),。=火2),c=/(3),則a,b,C的大小關(guān)系為

()

A?ct^b~~cB?b^ci~~c

C.b>c>aD.a>c>b

答案A

解析由題意得，*%+2)=—五%+1)=*%),即函數(shù)八%)是以2為

周期的奇函數(shù)，所以人2)=求%+1)=—火%),所以火3)=一獷⑴在。1)

上是增函數(shù)，于是有彳；，/(0)=火2)=/(3),即。泌=c.故選A.

5.已知函數(shù)<%)=

則12+log23)的值為()

A—R—

八2412

11

C6D3

答案A

角平析,?2+log23<4,/./2+log23)=<3+log23).V3+log23>4,

3+log3

-,?/2+log23)=/(3+log23)=^2=|x］；>g23.故選A.

6.若y=K%)既是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)y=

fW()

A.既是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)

B.既是周期函數(shù)，又是偶函數(shù)

C.不是周期函數(shù)，但是奇函數(shù)

D.不是周期函數(shù)，但是偶函數(shù)

答案B

解析因?yàn)槎?危)是周期函數(shù)，設(shè)其周期為T,則有加+7)=危),

兩邊同時求導(dǎo)，得=/(%),即/(%),

所以導(dǎo)函數(shù)為周期函數(shù).因?yàn)閥=/U)是奇函數(shù)，所以人一%)=—/(%)，

兩邊同時求導(dǎo)，得/(—%)(—%)'=—/'(%),即一/'(一%)=—/'(%),

所以/(—%)=/(%),即導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，選B.

學(xué)霸錯題警示忽視函數(shù)的定義域?qū)е缕媾夹耘袛噱e誤

機(jī)判斷危)=爐+1,%引一2,2)的奇偶性.

［錯解］

由t(-7)乂一。十/二/十/二“彳)力打(N)是偶屬數(shù).

［錯因分析］忽視判斷函數(shù)的奇偶性時對定義域的要求.

［正解］由于%￡［—2,2),所以火%)=f+l的定義域不關(guān)于原點(diǎn)

對稱，所以函數(shù)火%)=%2+1是非奇非偶函數(shù).

［心得體會］

應(yīng)判幽密鼓的奇偶忖的，應(yīng)把握定義成和

先的原則,首先定義成事關(guān)孑原玄、對林，再犯

用定義r(一力二/3有偶/數(shù),/(一彳)二一/())方奇

品數(shù)的條件如行劌街.

M課時撬分練

時間：60分鐘

基礎(chǔ)組

1.[2016?冀州中學(xué)期末]下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(一8,0)

上單調(diào)遞增的是()

A.尸爐B.y=2因

尸嗎

CD.y=sinx

答案C

解析函數(shù)y=%2在(-8,0)上是減函數(shù)；函數(shù)y=2國在(-8,

0)上是減函數(shù)；函數(shù)y=log2==—log2|%|是偶函數(shù)，且在(一8,0)上

|%|

是增函數(shù)；函數(shù)y=sim不是偶函數(shù).綜上所述，選C.

2

2.[2016龔亍水中學(xué)預(yù)測]函數(shù)*%)=asin2%+Z?%+4(a,Z?WR),若

1lg蒲二2013,則與g2014)=()

A.2018B.-2009

C.2013D.-2013

答案C

22

解析,?(%)=asin2x+,g(-x)=asin2x-\-bx,g(x)=g(—x),

g(%)為偶函數(shù)，力g芯=八一lg2014),7(-1g2014)=g(-lg2014)+

4=g(lg2014)+4=/(lg2014)=2013,故選C.

3.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)熱身]若函數(shù)八%)(X￡R)是奇函數(shù)，函數(shù)g(%)(%

￡R)是偶函數(shù)，則一定成立的是()

A.函數(shù)*g(%))是奇函數(shù)

B.函數(shù)是奇函數(shù)

C.函數(shù)用(%))是奇函數(shù)

D.函數(shù)g(g(%))是奇函數(shù)

答案C

解析由題得，函數(shù)八X),g(x)滿足/(—%)=一五%),g(—x)=g(x),

則有火g(一%))=Kg(x))，g(/(一%))=g(—N%))=g(/(%))，歡一%))=A—加))

=—加⑴)，g(g(一%))=g(g(%))，可知函數(shù)歡%))是奇函數(shù)，故選C.

4.[2016彳斷水中學(xué)猜題]定義域?yàn)?一8,0)U(0,+8)的函數(shù)危)

不恒為0,且對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)％,y都有人孫)=率+早成立，

xy

則危)()

A.是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)

B.是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)

C.既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)

答案A

解析令％=y=l,則火1)=”^+片2

1)-1)

令％=y=—1,則火1)=七1+、1)=0.

令y=—1,則八一彗，

.二八%)是奇函數(shù).

又..._/(%)不恒為0,，八%)不是偶函數(shù).故選A.

5.[2016彳斷水中學(xué)一輪檢測]設(shè)偶函數(shù)危)滿足危)=/—8(X20),

則{%府一2)>0}=()

A.或%>4}B.{%[%<0或%>4}

C.{小<0或%>6}D.{小<一2或%>2}

答案B

解析當(dāng)％<0時，一%>0,.?7(%)是偶函數(shù)，

%)=—8.

%3—8,%20,

—x3—8,x<Q,

(%—2>—8,%22,

???>-2)=由於—2)>0,得

L-(%—2/—8,x<2,

(x<2,

\或<

(%—2)3—8>0［―(%—2)3—8>0,

解得％>4或％<0.故選B.

6.［2016?冀州中學(xué)模擬］已知定義在R上的奇函數(shù)危)滿足八%—4)

=—危)，且在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，則()

A.八一25)</Ql)</(80)

B.>0)</(11)</(-25)

C.Xll)<K80)</(-25)

D.八一25)480)411)

答案D

解析由函數(shù)八%)是奇函數(shù)且#%)在［0,2］上是增函數(shù)可以推知，兀t)

在［—2,2］上遞增，

又>-4)=-?=>>-8)=->-4)=?,

故函數(shù)八%)以8為周期，火一25)=#—1),式11)=火3)=一火3—4)

=火1),/(80)=?,故人—25)<A80)勺(11).

7.［2016彳斷水二中周測］函數(shù)兀0=%3+sin%+l(%￡R),若角%)=

2,則人一加)的值為()

A.3B.0

C.-1D.-2

答案B

解析把/(%)=X3+sinx+l變形為危)一l=x3+sinx,令g(%)=?r)

—l=x3+sinx,則g(%)為奇函數(shù)，有g(shù)(一機(jī))=一g(wi),所以八一根)一

1=—[Xm)—1],得到八一7")=—'(2—1)+1=0.

8.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)仿真]設(shè)函數(shù)八%)是定義在R上的周期為2的

偶函數(shù)，當(dāng)工￡[0,1]時，?Y)=X+1,則/1]=.

9.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)月考]若火%)=(%+/(%—4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a

答案4

解析由火%)=(X+a)(x—4),

得j(x)=x2+(。一4)%—4a,

若八工)為偶函數(shù)，則Q—4=0,即a=4.

10.[2016?武邑中學(xué)熱身]設(shè)八工)是定義在R上的以3為周期的奇

2cl—3—

函數(shù)，若#2)>1,式2014)=萬]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案J，|)

解析-//(2014)=/1)=/-2)=-/2)<-1,

2a—3,2

?,<—1,斛得一l<a<￡.

。十13

11.[2016彳斷水二中熱身]設(shè)函數(shù)八%)是定義在R上的偶函數(shù)，且

滿足：

①/(%)=#2一%)；②當(dāng)OWxWl時，?=x2.

(1)判斷函數(shù)八%)是否為周期函數(shù)；

(2)求犬5.5)的值.

解⑴由1?=?一%)=八一%)=八2—%)=*%)=危+2)=火%)

是周期為2的周期函數(shù).

(2求5.5)=火4+1.5)=火1.5)=#2—1.5)=#0.5)=0.25.

12.[2016?武邑中學(xué)期末]已知函數(shù)八%)的定義域?yàn)?一2,2),函數(shù)

g(x)=f(x—l)+/3—2%).

(1)求函數(shù)g(x)的定義域；

(2)若八")為奇函數(shù)，并且在定義域上單調(diào)遞減，求不等式g(%)W0

的解集.

—1<%<3,

—2*^%—1<2

解(1)由題意可知15

[—2<3—2x<

解得;<%<|,故函數(shù)g(%)的定義域?yàn)镮]

(2)由g(%)W0得加一1)+火3—2%)W0.

.二危―1)W—#3—2%).

又..?_/(%)為奇函數(shù)，...加一3),

fx—1三2x—3,

而火x)在(一2,2)上單調(diào)遞減一,?115

解得;<%W2,

...不等式g(%)WO的解集為2.

能力組

13.[2016醺亍水二中預(yù)測]已知丁=八%)是偶函數(shù)，而丁=<%+1)是奇

98101

函數(shù)，且對任意都有/則

OWxWl,(%)20,a19b=17

106

~15的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<c<bD.a<b<c

答案B

解析因?yàn)閥=火%)是偶函數(shù)，所以火%)=#—%),①

因?yàn)槎?火%+1)是奇函數(shù)，所以八%)=一八2一%),②

所以/(一%)=一五2一%),即危)=火%+4).

所以函數(shù)火%都有/(%)與0,所以函數(shù)在。1］上單調(diào)遞

增，又因?yàn)楹瘮?shù)y="r+l)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在［0,2］上單調(diào)遞增,

14.［2016彳斷水二中月考］已知>=火%)+%2是奇函數(shù)，且%(%)=危)

+2,則g(—1)=.

答案T

解析設(shè)7z(x)=Xx)+x2為奇函數(shù)