新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)4. 4 對(duì)數(shù)函數(shù)

4.4對(duì)數(shù)函數(shù)

4.4.1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念2會(huì)求簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)

際中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

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知識(shí)點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=log“3>0,且aWl)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,

+8).

X

思考函數(shù)y=10gG,y=log2］是對(duì)數(shù)函數(shù)嗎？

答案y=log7rx是對(duì)數(shù)函數(shù)，y=log2±不是對(duì)數(shù)函數(shù).

■思考辨析判斷正誤

1.由y=log-得％=*所以x>0.(V)

2.y=log2f是對(duì)數(shù)函數(shù).(X)

3.若對(duì)數(shù)函數(shù)y=logqX,則。>0.(V)

4.函數(shù)y=loga(x—1)的定義域?yàn)?0,+°°).(X)

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

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一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用

例1(1)下列給出的函數(shù)：

?y=log5x+l；

2

@y=logftr(a>0,且a#l)；③y=k)g(有_口尤；

④y=log3去⑤y=log.v\/§(x>0,且XTM)；

⑥y=log2x.其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的為()

71

A.③④⑤B.②④⑥C.①③⑤⑥D(zhuǎn).③⑥

(2)已知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)M(8,3),則/g=.

答案(1)D(2)-1

解析(1)①中對(duì)數(shù)式后面加1,所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)；②中真數(shù)不是自變量X,所以不是對(duì)數(shù)

函數(shù)；③和⑥符合對(duì)數(shù)函數(shù)概念的三個(gè)特征，是對(duì)數(shù)函數(shù)；④不是對(duì)數(shù)函數(shù)；⑤中底數(shù)是自

變量X,而非常數(shù)m所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)，故③⑥正確.

(2)設(shè)式x)=log/(a>0,且aWl),由圖象過點(diǎn)M(8,3),則有3=loga8,解得。=2.所以對(duì)數(shù)函

數(shù)的解析式為yi>)=log2X,所以/Q)=log2；=-1.

反思感悟判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)的方法

對(duì)數(shù)函數(shù)必須是形如y=loga尤(。>0,且a=l)的形式，即必須滿足以下條件：

(1)對(duì)數(shù)式系數(shù)為1.

(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù).

(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.

跟蹤訓(xùn)練1(1)下列函數(shù)表達(dá)式中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的有()

?y=log.r2；②y=logd(aGR)；③y=logM；@y=lnx；@y=log,r(x+2)；@y=log2(x+l).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案B

(2)若對(duì)數(shù)函數(shù)八x)的圖象過點(diǎn)(4,-2),則犬8)=.

答案一3

二、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域

例2求下列函數(shù)的定義域.

(l)y=loga(3—x)+loga(3+x)；

(2)y=log2(16一下)；

(3)y=logi-x5.

考點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

題點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

[3—x>0,

解⑴由一c得一3<x<3,

[3+x>0,

...函數(shù)的定義域是(一3,3).

(2)由16-4工>0,得4'<16=4?,

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得x<2,

，函數(shù)y=log2(16—4x)的定義域?yàn)?一8,2).

f1—x>0,

(3)依題意知J得龍<1且x#0,

[1—尤W1,

...定義域?yàn)?一8,0)U(0,l).

反思感悟求含對(duì)數(shù)式的函數(shù)定義域關(guān)鍵是真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不為1.如需對(duì)函數(shù)式

變形，需注意真數(shù)、底數(shù)的取值范圍是否改變.

跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的定義域.

由2—4

⑴y=lg(x+3)；

(2)y=^=^+ln(x+1).

考點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

題點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

一一420,

解(1)要使函數(shù)有意義，需h+3>0,

、x+3￥1,

xW—2或

即<%>—3,即一3<x<—2或x22,

2,

故所求函數(shù)的定義域?yàn)?一3,-2)U[2,+8).

(2—x>0,

(2)要使函數(shù)有意義，需「八

民+1>0,

fx<2,

即1——l<x<2.

[x>—1,

故所求函數(shù)的定義域?yàn)?一1,2).

三、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

例3大西洋鞋魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鞋魚的游速可以表示為函

數(shù)。=；log3偏，單位是m/s,。是表示魚的耗氧量的單位數(shù).

(1)當(dāng)一條鞋魚的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？

(2)某條鞋魚想把游速提高1m/s,那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍？

解(1)由。=夕。83告可知，

當(dāng)6=900時(shí)，v=^log3j^=|log39=1(m/s).

所以當(dāng)一條鞋魚的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是1m/s.

(2)設(shè)鞋魚原來的游速、耗氧量為01,提速后的游速、耗氧量為。2,02.

由。2—。1=1,即夕Og3卷一；iog3備=1,

得華=9.

所以耗氧量的單位數(shù)為原來的9倍.

反思感悟?qū)?shù)函數(shù)應(yīng)用題的解題思路

(1)依題意，找出或建立數(shù)學(xué)模型.

(2)依實(shí)際情況確定解析式中的參數(shù).

(3)依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題.

(4)得出結(jié)論.

隨堂演練基礎(chǔ)磯固學(xué)以致用

1.下列函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的是()

A.y=logo%+l(a>0且aW1)

B.y=loga(2x)(o>0且aW1)

C.y=log(“—i)x(a>l且a=2)

D.y—21og°尤(a>0且aW1)

考點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

題點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

答案C

2.函數(shù)y=log2(x—2)的定義域是()

A.(0,+8)B.(1,+8)

C.(2,+8)D.[4,+8)

考點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

題點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

答案C

3.函數(shù)人尤)=產(chǎn)1+3(了+1)的定義域?yàn)?)

A.[-1,3)B.(-1,3)C.(-1,3]D.[-1,3]

答案C

4.對(duì)數(shù)函數(shù)負(fù)犬)過點(diǎn)(9,2),則/曰=.

答案T

解析設(shè)於)=logax(a>0且aW1),loga9=2,

a2=9,；.a=3(舍a=—3),

/.y(x)=log3X,：.f(J^=log3|=-1.

5.函數(shù)/(x)=logd+a2—2a—3為對(duì)數(shù)函數(shù)，則a=

答案3

a2-2a—3—0,

解析依題意有<。>。，解得。=3.

1,

■課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義.

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.

2.方法歸納：待定系數(shù)法.

3.常見誤區(qū)：易忽視對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)有限制條件.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

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g基礎(chǔ)鞏固

1.給出下列函數(shù):

2

?y=log2X；②y=log3(x—1)；③y=log(x+i>r；@y=logKx.

3

其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

考點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

題點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

答案A

解析①②不是對(duì)數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?duì)數(shù)的真數(shù)不是僅有自變量x；③不是對(duì)數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?duì)數(shù)

的底數(shù)不是常數(shù)；④是對(duì)數(shù)函數(shù).

2.已知函數(shù)八刈=7^的定義域?yàn)間(x)=ln(l+x)的定義域?yàn)镹,則MAN等于()

yi-x

A.{x\x>~1}B.{x\x<\}

C.{x\~l<x<l}D.0

考點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

題點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

答案C

解析9.9M={x|l—x>0}={x|x<l},

N={x|l+x>0]=[x\x>—l],

：.MQN={x\-l<x<l}.

3.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相等的是()

A.y=(g)2B.y=y[j?

C.>=2咋/D.y=log22x

答案D

解析因?yàn)閥=log22"的定義域?yàn)镽,且根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式知y=x.

4.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)M(16,4),則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為()

B

產(chǎn)%

A.y-I024X1

4-

C.y=k)gi%D.y=log2%

2

答案D

解析由于對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)M(16,4),

所以4=logal6,得a=2.

所以對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y=log2%,故選D.

5.已知函數(shù)八尤)=log[a+2),若圖象過點(diǎn)(6,3),則犬2)的值為()

A.—2B.2C，2D.—3

考點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

題點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題

答案B

解析代入(6,3),得3=log°(6+2)=loga8,

即/=8,.,.a—2.

.../(x)=log2(x+2),...式2)=log2(2+2)=2.

6.若/(x)=k)gax+a2—4a—5是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a=.

答案5

解析由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知，

a2—4a-5=0,

<a>0,解得a=5.

1,

7.函數(shù)y=log1(3x-a)的定義域是停，+°°^,貝1Ja=.

2

答案2

解析由y=log](3尤一a)知，3x—a>0,即尤〉/

2

即a=2.

8.某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，在銷售額為x萬元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)y

萬元.若公司擬定的獎(jiǎng)勵(lì)方案為y=21og4—2,某業(yè)務(wù)員要得到5萬元獎(jiǎng)勵(lì)，則他的銷售額

應(yīng)為萬元.

答案128

解析由題意得5=21og4X—2,

即7=log2尤，得x=128.

9.求下列函數(shù)的定義域：

（1求x）=log（x-i）（3—尤）；

、2x+3

（2求>）=—I+log2（3x-l）.

3—x>0,

解⑴由題意知,尤一l>o,解得且無#2,

X—1#1,

故段)的定義域是(1,2)U(2,3).

2x+3^0,

(2)由題意知<x—1W0,解得且無W1.

3x—1>0,

故兀0的定義域是《，+8).

10.20世紀(jì)70年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地

震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里

氏震級(jí)其計(jì)算公式為M=lgA—lg4.其中A是被測(cè)地震的最大振幅，4是“標(biāo)準(zhǔn)地震”

的振幅.

(1)假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中1000千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20,此時(shí)標(biāo)

準(zhǔn)地震的振幅是0.002,計(jì)算這次地震的震級(jí)；

(2)5級(jí)地震給人的震感已比較明顯，我國(guó)發(fā)生在汶川的8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最

大振幅的多少倍？

A20

解(1=1gA—1gAo=1%=坨0.002=']。"=4.

即這次地震的震級(jí)為4級(jí).

[5=lgA—lgAo,

⑵由題意得:5:

[8=lgA8—lgAo,

所以lgA8—lgA5=3,

即噱=3.

所以半=1。3=1000.

A5

即8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的1000倍.

X綜合運(yùn)用

11.函數(shù)y="g咨二"的定義域是()

\2—尤

A.(1,2]B.(1,2)C.(2,+°°)D.(—8,2)

答案B

x—1>0,X>1,

解析由得

2—x>0,x<2,

l＜x＜2.

.?.函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2）.

12.某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動(dòng)物，已知該動(dòng)

物的繁殖數(shù)量M只）與引入時(shí)間雙年）的關(guān)系為y=alog2（x+l），若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量

為100只，則7年后它們發(fā)展到（）

A.300只B.400只C.600只D.700只

答案A

解析將無=1,y=100代入y=alog2（x+l）得，

100=dog2（l+l）,解得a=100,

所以x=7時(shí)，y=1001og2（7+1）=300.

13.若函數(shù)五無）=（“2—a+Dlogs+iF是對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

答案1

解析由°+1=1,

解得＜7=0或a=l.

又底數(shù)。+1＞0,

且a+lWl,所以a=l.

14.函數(shù)人勸二炮,近2—丘+§的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)左的取值范圍是.

答案［0,3）

3

解析依題意，的解集為

OR,

3

即不等式2立2—丘+總＞0恒成立，

O

3

當(dāng)左=0時(shí)，［＞0恒成立，，左二。滿足條件.

O

k>0,

當(dāng)左W0時(shí)，則＜3解得0<k<3.

J=k2—4X2kXQ<0

O9

綜上，%的取值范圍是［0,3）.

X拓廣探究

15.函數(shù)人x）=N“一lg尤的定義域?yàn)椋?,10］,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.0B.10C.1D志

答案C

解析由已知，得a—lgx20的解集為（0/0］,

由a—lgx》O,得IgxWa,

又當(dāng)0aW10時(shí)，IgxWl,

所以a=l,故選C.

16.國(guó)際視力表值（又叫小數(shù)視力值，用V表示，范圍是［0.1,1.5］）和我國(guó)現(xiàn)行視力表值（又叫

對(duì)數(shù)視力值，由繆天容創(chuàng)立，用￡表示，范圍是