新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何11空間向量及其運(yùn)算11

1.1.2空間向量基本定理

13闌國嗣園底I(教師獨(dú)具內(nèi)容)

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.了解共線向量，共面向量的意義，掌握它們的表示方法.2.理解共線向量基

本定理和共面向量定理,并能判斷空間向量或空間點(diǎn)的共面問題.3.了解空間向量基本定理及

其意義.

學(xué)法指導(dǎo)：在運(yùn)用空間向量基本定理時(shí)，首先選取空間基底，用它們表示指定向量時(shí)，

要結(jié)合圖形，聯(lián)想相關(guān)的公式和運(yùn)算法則表示出與指定向量相接近的向量，再變形整理直至

符合目標(biāo).

教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用共線向量基本定理與共面向量定理解決共線問題與共面問題；空間向量

基本定理的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：證明四點(diǎn)共面問題；應(yīng)用空間向量基本定理解決問題.

核心概念掌握

HEXINGAINIANZHANGWO

rWj

對(duì)比平面向量基本定理，生活實(shí)際需要向三維空間發(fā)展，如美伊戰(zhàn)爭(zhēng)中，地面的坦克如

何瞄準(zhǔn)空中的飛機(jī)，這樣就推廣到空間向量基本定理.

知識(shí)點(diǎn)一共線向量基本定理

如果aWO且6〃a,則存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得b=。a.

知識(shí)點(diǎn)二共面向量定理

(1)如果兩個(gè)向量a,6不共線，則向量a,b,c共面的充要條件是，存在畫唯二的實(shí)

數(shù)對(duì)(x,,使102|c=xa+yb.

(2)判斷空間中四點(diǎn)是否共面的方法：如果4B,，三點(diǎn)圓不共線,則點(diǎn)尸在平面46C

內(nèi)的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使淳=畫遺土遴

知識(shí)點(diǎn)三空間向量基本定理

(1)如果空間中的三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量p存在國

唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得0=|'3可xa+yb+zc.特別地,當(dāng)a,b,c不共面時(shí)，可

知xa+防+zc=0=103|x=y=z=0.表達(dá)式|Ql|xa+p6+zc一般稱為向量a,b,c的線性組

合或線性表達(dá)式.

(2)如果三個(gè)向量a,b,c不共面，則它們的線性組合xa+勸+zc能生成所有的空間向

量.因此，空間中不共面的三個(gè)向量a,b,c組成的集合｛a,b,c｝,常稱為空間向量的一

組1051基底.此時(shí),a,b,c都稱為用基向量;如果。=xa+yb+zc,則稱xa+yb+zc為p

在基底應(yīng)｛a,b,c｝下的分解式.

'新知1

1.共線向量基本定理的推論

如果1為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，那么對(duì)于空間任一點(diǎn)。，點(diǎn)P

在直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,滿足等式=07+3.①

如圖所示.

若在/上取/方=a,則①式可以化為了+〃方=(1—6)應(yīng)+而&.②

可得如下結(jié)論：對(duì)于空間任意點(diǎn)。，若有。方=才應(yīng)+(1—1)。下成立，則4B,C三點(diǎn)

共線.

這一結(jié)論可作為證明三點(diǎn)共線的常用方法.

2.對(duì)共面向量定理的理解

共面向量定理給出了空間平面的向量表示式，說明空間中任意一個(gè)平面都可以由一點(diǎn)及

兩個(gè)不共線的平面向量表示出來，它既是判斷三個(gè)向量是否共面的依據(jù)，又是已知共面條件

的另一種形式，可以借此將已知共面條件轉(zhuǎn)化為向量式，以方便向量運(yùn)算.另外，若存在有

序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使得對(duì)于空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)4B,C,有而+凝+

zOC,且x+y+z=l成立，則R4B,C四點(diǎn)共面.這一結(jié)論可作為判定空間中四個(gè)點(diǎn)共面

的常用方法.

3.對(duì)空間向量基本定理的理解

(1)空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底，所以基底的選擇范圍

很廣，但在具體的題目或幾何體中往往選擇具有特殊關(guān)系的三個(gè)不共面向量作為基底.

注意：基底與基向量的區(qū)別，一個(gè)基底是由三個(gè)不共面的基向量組成的.

(2)建立基底的作用

將空間不同向量用同一組基向量表示，便于判斷向量與向量之間的關(guān)系(如共線、共面

等).

溫評(píng)價(jià)自測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)向量a,b,c共面，即表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面.()

(2)若向量a,a不共線，則對(duì)于空間任意向量a,都有a=Xa+(3〃dR).()

(3)若@〃6,則存在唯一的實(shí)數(shù)/，使a=()

(4)對(duì)于三個(gè)不共面向量國,a-i,a?,,不存在實(shí)數(shù)組｛小，小，八｝使0=八1囪+兒母+

43a3.()

答案⑴X(2)X⑶X(4)X

2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)

(1)設(shè)以,。是平面內(nèi)不共線的向量，已知誦uZei+Ae；,~CB=e^-VZei,~CD=2ei-e^,若

A,B,〃三點(diǎn)共線，則4=.

(2)已知4B,C三點(diǎn)不共線，。是平面力回外任一點(diǎn)，

12

若由游=三而+弓南+4應(yīng)確定的一點(diǎn)P與4B,。三點(diǎn)共面，則［=

53------------

13

⑶在三棱錐力一靦中，若△靦是正三角形，￡為其中心，則葩十萬反-5應(yīng)'一茄化簡(jiǎn)的

結(jié)果為.

9

答案⑴一8(2)-(3)0

核心素養(yǎng),形成

HEXINSUYANGXINC3CHENG-

題型一共線向量

例1如圖所示，在正方體力靦一力6G”中，￡在4〃上，且止=2場(chǎng)，尸在對(duì)角線4。

上，且應(yīng):

求證：E,F,6三點(diǎn)共線.

［證明］連接見EB,設(shè)45=a,AD=b,AAi=c.

■:彘：=2詼,春=押

2—?—?2—?

A\E=-A\D\,A\F=—AxC.

35

A\E=^:AD=-zb,A\F=^^AC~AA\){AB+AD—AAi)=^a+^b~^c.

3355555

一一一24,22/2,、

EF=AiF—AiE=-a——b--c=-{a—-b—c).

515553

又EB=EA\+A\A-VAB=—c+a=a—~^b—c,

2

：.EF=vEB,：.E,F,6三點(diǎn)共線.

5

一［思推國府條成反思感悟］-------------------

1.判斷向量共線的策略

(1)熟記共線向量的充要條件

①若a〃6,b￥0,則存在唯一實(shí)數(shù)A使。=乂戾

②若存在唯一實(shí)數(shù)3使a=A6,6W0,則a〃兒

⑵判斷向量共線的關(guān)鍵：找到實(shí)數(shù)上

2.證明空間三點(diǎn)共線的三種思路

對(duì)于空間三點(diǎn)BA,6可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線：

⑴存在實(shí)數(shù)1，使兩=才歷成立；

⑵對(duì)空間任一點(diǎn)。，有蘇=應(yīng)+”方16R)；

⑶對(duì)空間任一點(diǎn)。，有蘇=才應(yīng)+.通(x+y=l).

［跟蹤訓(xùn)練1］如圖所示，四邊形48切，力婀都是平行四邊形且不共面.M,"分別是

AC,多的中點(diǎn).試判斷方與威是否共線？

解'：M,"分別是〃；郎的中點(diǎn)，而四邊形/8切，/龐尸都是平行四邊形,

：.MN=Wl+AF+FN=^CAJf-AF+^FB.

又訪三說+CE+EB+BN=—g2+CE-AF-^,

：.CE=CA+2AF-YFB=2(M+AF+F/^),

：.~CE=2MN.

：.CE//MN,即也與法共線.

題型二共面向量

例2已知4B,〃三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面/胡外的任一點(diǎn)。，確定在下列各條件下，點(diǎn)

產(chǎn)是否與4B,〃一定共面？

⑴麗永=3蘇一應(yīng)I；

(2)市=4應(yīng)一為一贏

［解］解法一：⑴原式可變形為蘇=麗(而一物十(為一物=補(bǔ)潮+兩即加=一

PA-PB.

由共面向量定理知P與4B,〃共面.

(2)原式可變形為正=2應(yīng)+而一麗應(yīng)一屈2而十或十法.

由共面向量定理可得戶位于平面力陽內(nèi)的充要條件可寫成1三應(yīng)+血+礪.

而此題推得加―2澇+切+法，；.尸與4B,〃不共面.

解法二：⑴原式可變形為應(yīng)=3蘇一而一次

；3+(—1)+(—1)=1,

:.B與P,A,〃共面，即產(chǎn)與4B,〃共面.

⑵市=4澇一應(yīng)一次

V4+(-l)+(-l)=2^1,二戶與4B,〃不共面.

一［思推國府未成反思感悟］-----------------

1.利用四點(diǎn)共面求參數(shù)

共面向量定理的實(shí)質(zhì)是共面的四點(diǎn)中所形成的兩個(gè)不共線的向量一定可以表示其他向

量，對(duì)于共面向量定理，不僅要會(huì)正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值.

2.證明空間向量共面或四點(diǎn)共面的方法

(1)向量表示：設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量的線性組合，即若P=xa

+yb,則向量夕，a,6共面.

⑵若存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使得對(duì)于空間任一點(diǎn)。，有荔應(yīng)+y應(yīng)+z龍，且x+y

+z=l成立，則只A,B,。四點(diǎn)共面.

(3)用平面：尋找一個(gè)平面，設(shè)法證明這些向量與該平面平行.

［跟蹤訓(xùn)練2］已知4B,C三點(diǎn)不共線，平面四C外一點(diǎn)。滿足滁=(澇+(應(yīng)+(應(yīng):

⑴判斷函，MB,底三個(gè)向量是否共面；

(2)判斷〃是否在平面ABC內(nèi).

解(1)要證明三個(gè)向量共面，只需證明存在實(shí)數(shù)x,y,使法=為市+藤

'：0A+0B+dc=3af,：.OA~OM=(OM~OB)+(OM-'oC)=W+CM,即加=麗4■酉仁一山一

MC,.?.向量而，MB,訪英面.

(2)由⑴知向量說MB,應(yīng)共面，而它們有共同的起點(diǎn)明且4B,。三點(diǎn)不共線，，必

A,B,。共面，即〃在平面/6。內(nèi).

題型三空間向量基本定理

例3如圖所示，在平行六面體A?"一4B'CD'中，A~B=a,AD=b,M=c,P

是CA'的中點(diǎn)，〃是CD'的中點(diǎn)，N是C〃的中點(diǎn)，點(diǎn)0在CA'上，且&：QA'=4:1,

用基底｛a,b,c｝表示以下向量：

(l)JP；⑵/7；⑶/下；⑷力花

［解］連接/GAC,AD'.

WAP=^(A~C+AA>)=；(力6)=-1(a+Z?+c).

(2)//=3(4下+4萬)=^(A~B+A~D+A~D+AA!)

=；(a+2b+c)='|a+6+'1c.

一1.—

&)AN=-{AC+AD')

=#(/了+2方+/F)+儲(chǔ)方+2爐)］

1,———、1

=-{AB-\~2AD-\-2AA')=-a+b+c.

AQ=A~C+C~Q=A~C

5

=A~C+^(CA'+AAf)=當(dāng)下+2疝

555

1,一—、4—114

=~(AB+AD)+7AA'=-a+-b+~c.

55555

一［思推耳皮條成反思感恃］-----------------

用基底表示向量的步驟

(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊

形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果.

(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底｛a,b,c｝可以表示出空間所有向量.表示要徹底,

結(jié)果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.

［跟蹤訓(xùn)練3］空間四邊形/歐中，G,H分別是AABC,△幽的重心，設(shè)。才=a,OB

=b,OC=c,試用基底｛a,b,c｝表示向量。G及/〃

解如圖，連接力G,〃并延長(zhǎng)相交于〃所以，為理的中點(diǎn)，

————2—

O~G=O~A+A~G=O~AJt--A~D

2?21

=。才+g(。萬一。7)=-0'A+耳X5(。方+。下)

=；H+：(6+C)=9+；6+：C.

。。。。。

——2—*2］―—］

\'AO=—a,OH=-OD=-^X-｛OB+OC)=g(6+c),

AH=AO+0H=—

oo

題型四利用空間向量基本定理求空間向量數(shù)量積

例4已知長(zhǎng)方體/瓦)一48K2中，AB=AAr=2,AD=^,￡為側(cè)面/8的中心，尸為4〃

的中點(diǎn).試計(jì)算：

⑴詼?麗；

⑵滋?瘋

⑶赤l(xiāng)?m.

［解］如圖，在長(zhǎng)方體力及力一46心4中，設(shè)荔=a,AD=b,M=

則Ia|=|c|=2,

一1

-+6

⑴EIX=b'2=b-=42=16.

一

⑵赤?葩=2222

（a+C）=|C|-|a|=2-2=0.

⑶頤?FQ=

=；(—a+6+c)?像+f=—；|a/+3」=2.

一［思碓區(qū)皮條成反思感悟］-------------------

在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形，將各向量分解成已

知模和夾角的向量的組合形式；其次利用向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為

已知模和夾角的向量的數(shù)量積；最后利用數(shù)量積的定義求解即可.注意利用幾何體中的垂直

關(guān)系或者特殊角.

［跟蹤訓(xùn)練4］如圖所示，在三棱錐/一6切中，DA,DB,〃2兩兩垂直，且DB=DC,E

為〃7的中點(diǎn)，則崩?瓦等于()

答案A

解析：葩?丈軍（恭+歷?（DC-DS）=|（DB-DAA-DC-DA）?（DC-DS）=^（DB-2DA

+應(yīng)）?（DC-D3）=^DB?DC-^-DA?DC+DA?DB+^-^DC-DB,又易知瓦?DC=Q,

DA-DC=0,DA-725=0,\DB\=\DC\,?6仁0.故選A.

題型五利用空間向量基本定理結(jié)合數(shù)量積求向量的夾角

例5已知煙，平面ABC,且△/勿是N8=90°的等腰直角三角形，口ABM,nBR&C

的對(duì)角線都分別相互垂直且相等，求〈嬴AC1）.

［解］設(shè)相=a.如圖所示.

?.,眉尸或+茄1,~AC=ABA-~BC,

：.BAI?AC=（扇+茄J?（AB+BC）=BA?AB+BA?詼+法?花+曲.BC.

'：ABLBC,BBdAB,BB.LBC,

：.AB-~BC=Q,BB,?AB=Q,函?BC=0且就?AB=~a.：.BA,?AC=~a.

又就i?AC=I￡4i|AC\cos<M,AO,

21

—a-

cos〈BAi,AC）2

又（BA,AOe[0°,180°],<M,AO=120°.

一［思惟口府未成反思感悟］-------------------

a,?h

利用cos〈a,b）力訐求向量夾角時(shí)，可結(jié)合共面向量定理和空間向量基本定理,

用分解向量法求a?b.

［跟蹤訓(xùn)練5］已知空間四邊形如歐各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都相等，E,F分別為AB,3的中

點(diǎn)，求cos〈OE,BP).

解如圖，設(shè)的=2OB=b,OC=c,且|司|=|引=|c|=1,易知/AOB=/BOC=/AOC

=~^~，則a?6=6?c=c?.因?yàn)楸?5(a+b),BF=OF—OB=^OC—OB=^c

。乙乙乙乙乙

111

—6,|南=|游1=半,所以應(yīng)?茄=〈(a+6)?倡_@=%c+%?c-方

2-a?-2---2-

乙乙、乙JT：4

所以cos〈血詼=正皿=4

\0E\\BF\

0

題型六利用空間向量基本定理結(jié)合向量數(shù)量積求距離

例6在正四面體力—為力中，棱長(zhǎng)為a,M,"分別是棱/氏切上的點(diǎn)，且MB=2AM,CN

14

=嚴(yán)，求椒

［解］如圖所示，|而=|花|=|茄|=a，把題中所用到的量都用向量誦，通，益成示,

于是跖蕩+詼+承-］荔+（而一誦）+［（茄—而=一（法+］通+|元

又AD.AB=AB,AC=AC*AD=\AD\2COS60°

=||^|2=|a2,

?花+/

MN?MN=~^B+^AD+^AC\=-^AD?~AB-^AB

AC?Ab+^A/f=^a2-7a2—fa2+1a2+^a2+^a2=7：a.

yyyyyyyyy

一［思推國皮條成反思感悟］-------------------

利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選

擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的

兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式㈤=而二求解即可.

［跟蹤訓(xùn)練6］平行四邊形⑦中，/6=2/C=2且//切=90°,將它沿對(duì)角線4C折起,

使四與切成60°角，求點(diǎn)8,〃間的距離.

解如圖，連接被由已知得力紅繆，ACLAB,折疊后血與切所成角為60°,于是,

AC-CD=0,~BA?AC=0,

且(函,Cff)=60°或120°.

\BD\2=(^+AC+cb)2=B^+Ad+cif+2BA?AC+2AC-而+2加?^=22+12+22+

2X2X2cos(BA,而〉，

故應(yīng)「=13或5,解得成|=標(biāo)或或，

即屬〃間的距離為行或乖.

隨堂水平,達(dá)標(biāo)

SUITANGSHUIPINGDABIAO

1.已知空間向量a,b,且葩=a+26,皮=-5a+6b,CD=la-2b,則一定共線的三點(diǎn)

是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

答案A

解析由已知可得恭=a+2b,防=反+而=2a+4A所以法=2適，即防，葩是共線向

量，所以4B,〃三點(diǎn)共線.

2.若｛8,6,會(huì)｝是空間的一組基底，又@=&+白+自，6=a+a—自，。=&一。+會(huì),

d=a+2a+3自，d—xa-\-yb-\-zc,則x,y,z分別為（）

5151

--B--

A.2222

5151

--D--

c.2222

案A

解析xa+yb+zc=x(ei+62+02)+y(a+/一a)+z(ei—/+快)=(x+p+z)e+(x+

p—z)a+(x—y+z)&=8+2e+3e?,由空間向量基本定理，得

x+y+z=l,

1

?.5-

<x~\yz^—2,??x=5,y-2

—y+z=3,

3.（多選）已知弘4B,C四點(diǎn)互不重合且任意三點(diǎn)不共線，則下列式子中能使｛肌4,

MB,〃下｝成為空間的一組基底的是（）

A.了+［。萬下

/J4

B.MA=MB+M~C

C.0~M=0A+0~B+0~C

D.MA=2MB~MC

答案AC

解析對(duì)于A,因?yàn)樗允?，MB,血不共面，能構(gòu)成空間的一組基底,

故A正確；對(duì)于C,因?yàn)?+1+1=3W1,所以加，MB,應(yīng)不共面，能構(gòu)成空間的一組基底,

故C正確；對(duì)于B,D,易知〃/，MB,〃下共面，不能構(gòu)成空間的一組基底，故B,D錯(cuò)誤.故

選AC.

4.如圖，在長(zhǎng)方體/瓜力一血SG2中，AD=AA,=\,AB=2,則花?~BC=,而?DB

D,c,

c

答案1T

解析由題意，得花?反'=（茄+茄+筋J?礪=茄?花+花?耘+筋i?耘=|茄「=

1.而?應(yīng)=薪?~DB=（茄+筋J?（2一沏=AD?法+為1?~AB~~AD?AD-AAx?~AD=一|花/

=-1.

5.已知平行六面體4如『4B'C。，M是加'的中點(diǎn)，點(diǎn)G在對(duì)角線4C上且CG：

GA'=2：1,設(shè)茂Ha,~CB=b,CC1=c,試用基底｛a,b,c｝表示由，,~CM,~CG.

解如圖，在平行六面體/反/一/B'CD'中,

CA=GB+BA=CB+Gb=a+b.

CA1*34=方+/7=3+C^=a+b+c.

>>>>A]-Aj

CM=CA+AM=CB+CD+-CC=a+Z?+-c.

f2f2

CG—~^CA'=w(a+6+c).

OJ

課后課時(shí),精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.已知｛a,b,c｝是空間的一組基底，則下列向量可以與向量R=a+Z>,A=a-6構(gòu)成

空間的另一組基底的是（）

A.aB.b

C.cD.a~\~2b

答案C

解析m,n與a,m,n與b,m,刀與a+26共面，故不能構(gòu)成基底，故選C.

31]

2.已知4B,。三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)0,若碣彳應(yīng)+g為+g應(yīng)；則RA,B,

4oo

。四點(diǎn)（）

A.不共面B.共面

C.不一定共面D.無法判斷是否共面

答案B

解析/日力+）（如+4而+]（如+力。=OA+^AB-V^AC,0P~0A=^

4oo4ooooo

葩+白就，.?.蘇三/葩云:由共面向量定理，知P，A,B,。四點(diǎn)共面.

OOO

3.已知直三棱柱力成—481a的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3,M,N分別為

4G,血的中點(diǎn)，^\AB?NM=()

A.2B.-2

C.4D.-^10

答案B

解析?.?亦=(篇i+J花，AJV=^AS+^AC,：.AB?W=AB?(AM-AN)=

1一

-AB-

2=-2.故選B.

4.已知兩非零向量e”0,且以與a不共線，設(shè)a=Xa+〃偽（兒，〃GR,且不+么"#。），

則（）

A.a//e\

B.a//a

C.司與ei,0共面

D.以上三種情況均有可能

答案D

解析,.?Y+獷力。，.?.當(dāng)〃=。時(shí)，AWO,此時(shí)，a=4a,.??a〃ei,同理，當(dāng)幾=

0時(shí)，〃?0,此時(shí)，a=〃0，:.all孰、當(dāng)4W0且時(shí)，司=4&+〃a,由共面向量

定理可知己與6,a共面，故選D.

5.（多選）設(shè)｛劣b,c｝是空間的一組基底，則下列結(jié)論正確的為（）

A.若己_16,b_Lc,則a_Lc

B.a,b,。兩兩共面，但a,b,。不可能共面

C.對(duì)空間任一向量夕，總存在有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使夕=xa+pb+zc

D.｛a+b,b+c,c+a｝可以作為空間的一組基底

答案BCD

解析由｛a,b,c｝是空間的一組基底，可知，對(duì)于A,若a_L6,bLc,則a與。不一

定垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由基底概念知a,b,。兩兩共面，但a,b,。不可能共面，故

B正確；對(duì)于C,對(duì)空間任一向量夕，總存在有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使夕=xa+pb+zc,故C

正確；對(duì)于D,由a,b,。不共面，易知a+b,b-\-c,c+a不共面，故仿+6,b+c,c+a]

可以作為空間的一組基底，故D正確.故選BCD.

二、填空題

6.已知4B,。三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)入，m,n,使

OA~\~mOB~\-nOC—Q,那么幾+1+〃的值為.

答案0

解析??,2,B,。三點(diǎn)共線，???存在唯一實(shí)數(shù)A使瀛=疝?，即應(yīng)一而=A（龍一游），???

(k-1)CM+OB—kOC—0,又入0A+nOC=0,令—k~1,m=l,n——k,則4+勿+〃

=0.

7.已知在正方體加力一中，點(diǎn)月為底面46C"的中心，b=^AB,c=

1一一舊

~^AD,AE=xa+yb+zc,則x—,y=,z=.

答案215

_————3

解析如圖，AE=AAi+AiE=AAi+-(AB+A￡))=2a+b+-c=xa+yb+zc.

3

所以x=2,y=l,z=~.

8.如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正四面體O-ABC,邊勿的中點(diǎn)為必自。作平面/8C的垂線

組與平面力比1交于點(diǎn)〃，與平面奶C交于點(diǎn)/,將應(yīng)用澇，0B,應(yīng)表示為.

答案亦=（而+]應(yīng)亦

解析易知〃是正三角形力回的中心，所以帝=:（澇+為+擊.又/在〃上，故存在

實(shí)數(shù)人滿足應(yīng)=八①，故應(yīng)=[■（澇+應(yīng)+應(yīng)）=?（2為+應(yīng)+詫）.因?yàn)?在平面物C內(nèi),

2AAA3r—1-1-1一

所以丁+彳+不=1，所以A=7，于是。/=彳如+彳陽+彳宓

ouu4444

三、解答題

9.如圖，平行六面體/砥?一4旦G"中，〃分質(zhì)所成的比為2：1"分面所成的比為1：2,

設(shè)A8=m,AD=n,AAi=t,試將仞俵示成0,n,t的關(guān)系式.

BC