2024年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）每小題都有代號為A，B，C，D四個答案選項(xiàng)，其中只有一個是正確的．請根據(jù)正確選項(xiàng)的代號填涂答題卡對應(yīng)位置，填涂正確記4分，不涂、錯涂或多涂記0分．1．（4分）如圖，數(shù)軸上表示的點(diǎn)是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D2．（4分）學(xué)校舉行籃球技能大賽，評委從控球技能和投球技能兩方面為選手打分，各項(xiàng)成績均按百分制計(jì)，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%計(jì)算選手的綜合成績（百分制）．選手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林綜合成績?yōu)椋ǎ〢．170分 B．86分 C．85分 D．84分3．（4分）如圖，兩個平面鏡平行放置，光線經(jīng)過平面鏡反射時，∠1＝∠2＝40°，則∠3的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．120°4．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)8÷a4＝a2 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（3a2）3＝27a65．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，則線段DE長度的最小值為（）A． B． C．2 D．36．（4分）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩“我問開店李三公，眾客都來到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后面兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房．設(shè)有客房x間，客人y人，則可列方程組為（）A． B． C． D．7．（4分）若關(guān)于x的不等式組的解集為x＜3，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤28．（4分）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過點(diǎn)B作BC⊥AB，使BC＝AB，連接AC；②以點(diǎn)C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D；③以點(diǎn)A為圓心，以AD長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E．若AE＝mAB，則m的值為（）A． B． C． D．9．（4分）當(dāng)2≤x≤5時，一次函數(shù)y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或110．（4分）如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三個結(jié)論：①若tan∠ADF＝，則EF＝2；②若Rt△ABG的面積是正方形EFGH面積的3倍，則點(diǎn)F是AG的三等分點(diǎn)；③將△ABG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG'，則BG′的最大值為5+5．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）請將答案填在答題卡對應(yīng)的橫線上．11．（4分）計(jì)算﹣的結(jié)果為．12．（4分）若一組數(shù)據(jù)6，6，m，7，7，8的眾數(shù)為7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．13．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，位于AB兩側(cè)的點(diǎn)C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，則∠ADC＝度．14．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一個根，則（m+5）（m﹣1）的值為．15．（4分）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，∠ABE＝30°，將△ABE沿BE折疊得△FBE，連接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，則DF的長為．16．（4分）已知拋物線C1：y＝x2+mx+m與x軸交于兩點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），拋物線C2：y＝x2+nx+n（m≠n）與x軸交于兩點(diǎn)C，D（C在D的左側(cè)），且AB＝CD．下列四個結(jié)論：①C1與C2交點(diǎn)為（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D兩點(diǎn)關(guān)于（﹣1，0）對稱．其中正確的結(jié)論是.（填寫序號）三、解答題（本大題共9個小題，共86分）解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（8分）先化簡，再求值：（x+2）2﹣（x3+3x）÷x，其中x＝﹣2．18．（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：△BDE≌△CDA．（2）若AD⊥BC，求證：BA＝BE．19．（8分）某研學(xué)基地開設(shè)有A，B，C，D四類研學(xué)項(xiàng)目．為了解學(xué)生對四類研學(xué)項(xiàng)目的喜愛情況，隨機(jī)抽取部分參加完研學(xué)項(xiàng)目的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)（每名學(xué)生必須選擇一項(xiàng)，并且只能選擇一項(xiàng)），并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖）．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)的學(xué)生中喜愛B類研學(xué)項(xiàng)目有多少人？在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求C類研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù)．（2）從參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)喜愛D類研學(xué)項(xiàng)目的4名學(xué)生（2名男生2名女生）中隨機(jī)選取2人接受訪談，求恰好選中一名男生一名女生的概率．20．（10分）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍．（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整數(shù)，求k的值．21．（10分）如圖，直線y＝kx+b經(jīng)過A（0，﹣2），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與雙曲線y＝（x＜0）交于點(diǎn)C（a，2）．（1）求直線和雙曲線的解析式．（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P在x軸上，若以O(shè)，A，P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．（10分）如圖，在⊙O中，AB是直徑，AE是弦，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，＝，AE，BF交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為BF延長線上一點(diǎn)，且∠CAD＝∠CDA．（1）求證：AD是⊙O的切線．（2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半徑長．23．（10分）2024年“五一”假期期間，閬中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷售A，B兩類特產(chǎn)．A類特產(chǎn)進(jìn)價50元/件，B類特產(chǎn)進(jìn)價60元/件．已知購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元，購買3件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元．（1）求A類特產(chǎn)和B類特產(chǎn)每件的售價各是多少元？（2）A類特產(chǎn)供貨充足，按原價銷售每天可售出60件．市場調(diào)查反映，若每降價1元，每天可多售出10件（每件售價不低于進(jìn)價）．設(shè)每件A類特產(chǎn)降價x元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（3）在（2）的條件下，由于B類特產(chǎn)供貨緊張，每天只能購進(jìn)100件且能按原價售完．設(shè)該店每天銷售這兩類特產(chǎn)的總利潤為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件A類特產(chǎn)降價多少元時總利潤w最大，最大利潤是多少元？（利潤＝售價﹣進(jìn)價）24．（10分）如圖，正方形ABCD邊長為6cm，點(diǎn)E為對角線AC上一點(diǎn)，CE＝2AE，點(diǎn)P在AB邊上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在BC邊上以2cm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0＜t≤3）．（1）求證：△AEP∽△CEQ．（2）當(dāng)△EPQ是直角三角形時，求t的值．（3）連接AQ，當(dāng)tan∠AQE＝時，求△AEQ的面積．25．（12分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖1，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段OC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線PA，PB分別交拋物線于點(diǎn)E，D，設(shè)△PAD面積為S1，△PBE面積為S2，求的值．（3）如圖2，點(diǎn)K是拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)K的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)M，N，過拋物線頂點(diǎn)G作直線l∥x軸，點(diǎn)Q是直線l上一動點(diǎn)．求QM+QN的最小值．

2024年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）每小題都有代號為A，B，C，D四個答案選項(xiàng)，其中只有一個是正確的．請根據(jù)正確選項(xiàng)的代號填涂答題卡對應(yīng)位置，填涂正確記4分，不涂、錯涂或多涂記0分．1．（4分）如圖，數(shù)軸上表示的點(diǎn)是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【分析】先計(jì)算出的取值范圍，再根據(jù)各點(diǎn)的分布位置，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵，∴1＜＜2，由數(shù)軸可知，只有點(diǎn)C的取值范圍在1和2之間，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸，估算無理數(shù)的大小，熟練掌握數(shù)軸上各點(diǎn)的分布特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（4分）學(xué)校舉行籃球技能大賽，評委從控球技能和投球技能兩方面為選手打分，各項(xiàng)成績均按百分制計(jì)，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%計(jì)算選手的綜合成績（百分制）．選手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林綜合成績?yōu)椋ǎ〢．170分 B．86分 C．85分 D．84分【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計(jì)算可得．【解答】解：李林綜合成績?yōu)椋?0×60%+80×40%＝86（分），故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的求法，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．3．（4分）如圖，兩個平面鏡平行放置，光線經(jīng)過平面鏡反射時，∠1＝∠2＝40°，則∠3的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．120°【分析】根據(jù)經(jīng)過兩次反射后的光線與入射光線平行，得出∠3＝∠4即可．【解答】解：如圖：∵∠1＝∠2＝40°，∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝100°，∵兩個平面鏡平行放置，∴經(jīng)過兩次反射后的光線與入射光線平行，∴∠3＝∠4＝100°，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握經(jīng)過兩次反射后的光線與入射光線平行．4．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)8÷a4＝a2 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（3a2）3＝27a6【分析】A．先判斷a2，a3是不是同類項(xiàng)，能否合并，然后判斷即可；B．根據(jù)同底數(shù)冪相除法則進(jìn)行計(jì)算，然后判斷即可；C．根據(jù)同底數(shù)冪相乘法則進(jìn)行計(jì)算，然后判斷即可；D．根據(jù)積的乘方和冪的乘方法則進(jìn)行計(jì)算，然后判斷即可．【解答】解：A．∵a2，a3不是同類項(xiàng)，不能合并，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B．∵a8÷a4＝a4，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C．∵a2?a3＝a5，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D．∵（3a2）3＝27a6，∴此選項(xiàng)的計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了整式的有關(guān)運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握同底數(shù)冪乘除法則、積的乘方和冪的乘方法則．5．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，則線段DE長度的最小值為（）A． B． C．2 D．3【分析】先利用30°的正切求出AC的長，再在Rt△ACD中，用∠CAD的正切值可求出CD的長，最后利用角平分線的性質(zhì)及垂線段最短即可解決問題．【解答】解：在Rt△ABC中，tanB＝，∴AC＝．∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝．在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，∴CD＝．∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，∴點(diǎn)D到AB邊的距離等于線段CD的長，即線段DE長度的最小值為2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理、垂線段最短及含30度角的直角三角形，熟知角平分的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．6．（4分）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩“我問開店李三公，眾客都來到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后面兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房．設(shè)有客房x間，客人y人，則可列方程組為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“如果每一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房”，即可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：∵如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住，∴7x+7＝y(tǒng)；∵如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房，∴9（x﹣1）＝y(tǒng)．∴根據(jù)題意得可列方程組．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．7．（4分）若關(guān)于x的不等式組的解集為x＜3，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【分析】求出第二個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到即可確定m的范圍．【解答】解：解不等式2x﹣1＜5，得：x＜3，∵關(guān)于x的不等式組的解集為x＜3，∴m+1≥3，∴m≥2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．8．（4分）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過點(diǎn)B作BC⊥AB，使BC＝AB，連接AC；②以點(diǎn)C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D；③以點(diǎn)A為圓心，以AD長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E．若AE＝mAB，則m的值為（）A． B． C． D．【分析】令A(yù)B的長為2a，根據(jù)題中所給作圖步驟，可得出BC的長為a，再用勾股定理表示出AC的長，進(jìn)而可得出AD（即AE）的長，據(jù)此可解決問題．【解答】解：令A(yù)B的長為2a，則BC＝，在Rt△ABC中，AC＝．因?yàn)镃D＝CB，AE＝AD，所以AE＝，則AE＝AB，所以m的值為．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查黃金分割，能用含a的代數(shù)式表示AE及AB的長是解題的關(guān)鍵．9．（4分）當(dāng)2≤x≤5時，一次函數(shù)y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或1【分析】分兩種情況，利用一次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程，解方程即可．【解答】解：當(dāng)m+1＞0，即m＞﹣1時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝5時，一次函數(shù)y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，∴5（m+1）+m2+1＝6，解得m1＝0，m2＝﹣5（舍去），當(dāng)m+1＜0，即m＜﹣1時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝2時，一次函數(shù)y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，∴2（m+1）+m2+1＝6，解得m1＝﹣3，m2＝1（舍去），綜上，當(dāng)2≤x≤5時，一次函數(shù)y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，則實(shí)數(shù)m的值為0或﹣3，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（4分）如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三個結(jié)論：①若tan∠ADF＝，則EF＝2；②若Rt△ABG的面積是正方形EFGH面積的3倍，則點(diǎn)F是AG的三等分點(diǎn)；③將△ABG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG'，則BG′的最大值為5+5．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根據(jù)∠ADF的正切值，結(jié)合勾股定理可求出EF的值．根據(jù)△ABG的面積與正方形EFGH面積之間的關(guān)系，得出關(guān)于AG和FG的方程，據(jù)此可解決問題．得出點(diǎn)G′的運(yùn)動軌跡即可解決問題．【解答】解：在Rt△ADF中，tan∠ADF＝＝．令A(yù)F＝3x，DF＝4x，則（3x）2+（4x）2＝102，解得x＝2（舍負(fù)），所以AF＝6，DF＝8．因?yàn)橥獠康乃膫€直角三角形全等，所以DE＝AF＝6，所以EF＝8﹣6＝2．故①正確．因?yàn)镽t△ABG的面積是正方形EFGH面積的3倍，所以＝3FG2．因?yàn)锽G＝AF＝AG﹣FG，所以，整理得，6FG2+FG?AG﹣AG2＝0．則，解得（舍負(fù)），則點(diǎn)F是AG的三等分點(diǎn)．故②正確．由旋轉(zhuǎn)可知，∠AG′D＝∠AGB＝90°，所以點(diǎn)G′在以AD為直徑的圓上．在Rt△ABM中，BM＝．當(dāng)點(diǎn)B，M，G′共線時，BG′取得最大值，此時BG′＝．故③正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及解直角三角形，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）請將答案填在答題卡對應(yīng)的橫線上．11．（4分）計(jì)算﹣的結(jié)果為1．【分析】根據(jù)分式加減法的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：原式＝＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查的是分式的加減法，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．12．（4分）若一組數(shù)據(jù)6，6，m，7，7，8的眾數(shù)為7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7．【分析】根據(jù)人數(shù)眾數(shù)為7求得m的值，再由求中位數(shù)的方法即可求出中位數(shù)．【解答】解：∵一組數(shù)據(jù)6，6，m，7，7，8的眾數(shù)為7，∴m＝7，∴這組數(shù)據(jù)從小到大排列順序?yàn)椋?，6，7，7，7，8，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評】本題考查眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義．13．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，位于AB兩側(cè)的點(diǎn)C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，則∠ADC＝75度．【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求出∠AOC＝150°，再根據(jù)圓周角定理求解即可．【解答】解：∵∠BOC＝30°，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝150°，∴∠ADC＝∠AOC＝75°，故答案為：75．【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵．14．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一個根，則（m+5）（m﹣1）的值為﹣4．【分析】把x＝m代入方程x2+4x﹣1＝0，求出m2+4m的值，然后利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算（m+5）（m﹣1），最后把m2+4m的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：把x＝m代入m2+4m﹣1＝0，m2+4m＝1，∴（m+5）（m﹣1）＝m2﹣m+5m﹣5＝m2+4m﹣5＝1﹣5＝﹣4，故答案為：﹣4．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．15．（4分）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，∠ABE＝30°，將△ABE沿BE折疊得△FBE，連接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，則DF的長為．【分析】過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥CD于點(diǎn)H．由矩形的性質(zhì)可得CD＝AB＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°．由翻折得，BF＝AB＝2，∠ABE＝∠FBE＝30°，則∠FBG＝30°，進(jìn)而可得FG＝BF＝1，CH＝FG＝1，DH＝CD﹣CH＝1，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得HF＝FG＝1，再利用勾股定理求DF的長即可．【解答】解：過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥CD于點(diǎn)H．∵CF平分∠BCD，∴HF＝FG．∵四邊形ABCD為矩形，∴CD＝AB＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°．由翻折得，BF＝AB＝2，∠ABE＝∠FBE＝30°，∴∠FBG＝30°，∴FG＝BF＝1，∴HF＝1，CH＝FG＝1，∴DH＝CD﹣CH＝1，∴DF＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查翻折變換（折疊問題）、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．16．（4分）已知拋物線C1：y＝x2+mx+m與x軸交于兩點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），拋物線C2：y＝x2+nx+n（m≠n）與x軸交于兩點(diǎn)C，D（C在D的左側(cè)），且AB＝CD．下列四個結(jié)論：①C1與C2交點(diǎn)為（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D兩點(diǎn)關(guān)于（﹣1，0）對稱．其中正確的結(jié)論是①②④.（填寫序號）【分析】解析式聯(lián)立解方程即可判斷①；由拋物線C1：y＝x2+mx+m與拋物線C2：y＝x2+nx+n的開口方向和大小相同，且AB＝CD，則兩拋物線的關(guān)于直線x＝﹣1對稱，即可判斷②④；由題意可知，m＞1，n＜1或m＜1，n＞1，故mn＞0不一定成立，即可判斷③．【解答】解：令x2+mx+m＝x2+nx+n，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入y＝x2+mx+m得，y＝1，∴C1與C2交點(diǎn)為（﹣1，1），故①正確；∵拋物線C1：y＝x2+mx+m與拋物線C2：y＝x2+nx+n的開口方向和大小相同，且AB＝CD，∴兩拋物線的關(guān)于直線x＝﹣1對稱，∴A，D兩點(diǎn)關(guān)于（﹣1，0）對稱，故④正確；﹣﹣＝﹣2，∴m+n＝4，故②正確；由題意可知，m＞1，n＜1或m＜1，n＞1，∴mn＞0不一定成立，故③錯誤．故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9個小題，共86分）解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（8分）先化簡，再求值：（x+2）2﹣（x3+3x）÷x，其中x＝﹣2．【分析】首先化簡（x+2）2﹣（x3+3x）÷x；然后把x＝﹣2代入化簡后的算式計(jì)算即可．【解答】解：當(dāng)x＝﹣2時，（x+2）2﹣（x3+3x）÷x＝（x2+4x+4）﹣（x2+3）＝x2+4x+4﹣x2﹣3＝4x+1＝4×（﹣2）+1＝﹣8+1＝﹣7．【點(diǎn)評】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡求值問題，解答此題的關(guān)鍵是要明確：先按運(yùn)算順序把整式化簡，再把對應(yīng)字母的值代入求整式的值．18．（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：△BDE≌△CDA．（2）若AD⊥BC，求證：BA＝BE．【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)定義得BD＝CD，再根據(jù)BE∥AC得∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，由此即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AD⊥BC得直線AD為線段BC的垂直平分線，則BA＝CA，再由（1）得△BDE≌△CDA，則BE＝CA，據(jù)此即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴BE∥AC，∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（AAS）；（2）證明：∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AD⊥BC，∴直線AD為線段BC的垂直平分線，∴BA＝CA，由（1）可知：△BDE≌△CDA，∴BE＝CA，∴BA＝BE．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．19．（8分）某研學(xué)基地開設(shè)有A，B，C，D四類研學(xué)項(xiàng)目．為了解學(xué)生對四類研學(xué)項(xiàng)目的喜愛情況，隨機(jī)抽取部分參加完研學(xué)項(xiàng)目的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)（每名學(xué)生必須選擇一項(xiàng)，并且只能選擇一項(xiàng)），并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖）．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)的學(xué)生中喜愛B類研學(xué)項(xiàng)目有多少人？在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求C類研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù)．（2）從參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)喜愛D類研學(xué)項(xiàng)目的4名學(xué)生（2名男生2名女生）中隨機(jī)選取2人接受訪談，求恰好選中一名男生一名女生的概率．【分析】（1）先求出樣本容量，再將樣本容量乘以20%即可求出喜愛B類研學(xué)項(xiàng)目有多少人；將樣本中C類人數(shù)出游樣本容量，再乘以360°，即可求出C類研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù)；（2）利用列表法或畫樹狀圖法即可求出恰好選中一名男生一名女生的概率．【解答】解：（1）樣本容量為：16÷40%＝40，參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)的學(xué)生中喜愛B類研學(xué)項(xiàng)目人數(shù)：40×20%＝8（人）；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求C類研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù)為：（40﹣16﹣4﹣8）÷40×360＝108°．答：喜愛B類研學(xué)項(xiàng)目有8人，C類研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù)為108°；（2）喜愛D類研學(xué)項(xiàng)目的4名學(xué)生分別記為：男1，男2，女1，女2．列表如下：第2位第1位男1男2女1女2男1﹣男1，男2男1，女1男1，女2男2男2，男1﹣男2，女1男2，女2女1女1，男1女1，男2﹣女1，女2女2女2，男1女2，男2女2，女1﹣由表可知，抽選2名學(xué)生共有12種等可能的結(jié)果，抽中一名男生和一名女生（記作事件M）共8種可能．∴，答：抽中一名男生和一名女生的概率為．【點(diǎn)評】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率，能從統(tǒng)計(jì)圖中獲取數(shù)據(jù)，掌握用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．20．（10分）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍．（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整數(shù)，求k的值．【分析】（1）若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．（2）根據(jù)k的取值范圍確定整數(shù)k的值為2，3，4，當(dāng)k＝2時，解一元二次方程得到x1＝1，x2＝3，滿足x1，x2都是整數(shù)，當(dāng)k＝3或4時，此時方程解不為整數(shù)，故k的值為2．【解答】解：（1）∵原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＞0，∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k+1）＝4k2﹣4k2+4k﹣4＝4k﹣4＞0，解得k＞1．（2）∵1＜k＜5，∴整數(shù)k的值為2，3，4，當(dāng)k＝2時，方程為x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，當(dāng)k＝3或4時，此時方程解不為整數(shù)．綜上所述，k的值為2．【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程根的判別式，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根即Δ＞0，并且考查了根與系數(shù)的關(guān)系．21．（10分）如圖，直線y＝kx+b經(jīng)過A（0，﹣2），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與雙曲線y＝（x＜0）交于點(diǎn)C（a，2）．（1）求直線和雙曲線的解析式．（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P在x軸上，若以O(shè)，A，P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法可得直線的解析式，再計(jì)算a的值，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y＝中，可得結(jié)論；（2）先根據(jù)坐標(biāo)確定CD和BD的長，再由三角形相似可知：OP＝1或4，最后由x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0可解答．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（0，﹣2），B（﹣1，0）在直線y＝kx+b上，∴，解得：，∴直線解析式為：y＝﹣2x﹣2；∵點(diǎn)C（a，2）在直線y＝﹣2x﹣2上，∴﹣2a﹣2＝2，∴a＝﹣2，即點(diǎn)C為（﹣2，2）；∵雙曲線過點(diǎn)C（﹣2，2），∴m＝﹣4，∴雙曲線解析式為：；（2）∵CD⊥x軸，C（﹣2，2），∴D（﹣2，0），CD＝2，∵B（﹣1，0），∴BD＝1，∵A（0，﹣2），∴OA＝2，若以O(shè)，A，P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，OP＝1或4，∵點(diǎn)P在x軸上，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣4，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（4，0）．【點(diǎn)評】本題為反比例函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)，反比例函數(shù)，三角形相似等知識點(diǎn)，其中（2）要注意分類求解，避免遺漏．22．（10分）如圖，在⊙O中，AB是直徑，AE是弦，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，＝，AE，BF交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為BF延長線上一點(diǎn)，且∠CAD＝∠CDA．（1）求證：AD是⊙O的切線．（2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半徑長．【分析】（1）由＝，得∠ABF＝∠BAE，而∠CAD＝∠CDA，則∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°，即可證明AD是⊙O的切線；（2）連接AF，則AF＝BE＝4，因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以∠AFD＝∠AFB＝90°，求得DF＝＝2，由＝＝tanD＝2，得AD＝AB，所以O(shè)A＝AB＝AD＝2，則⊙O的半徑長為2．【解答】（1）證明：∵＝，∴∠ABF＝∠BAE，∵∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA，∴∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE＝180°，∴∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°，∵OA是⊙O的半徑，且AD⊥OA，∴AD是⊙O的切線．（2）解：連接AF，∵＝，BE＝4，AD＝2，∴AF＝BE＝4，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFD＝∠AFB＝90°，∴DF＝＝＝2，∵∠BAD＝∠AFD＝90°，∴＝＝tanD＝＝2，∴AD＝AB，∴OA＝AB＝AD＝2，∴⊙O的半徑長為2．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、切線的判定定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23．（10分）2024年“五一”假期期間，閬中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷售A，B兩類特產(chǎn)．A類特產(chǎn)進(jìn)價50元/件，B類特產(chǎn)進(jìn)價60元/件．已知購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元，購買3件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元．（1）求A類特產(chǎn)和B類特產(chǎn)每件的售價各是多少元？（2）A類特產(chǎn)供貨充足，按原價銷售每天可售出60件．市場調(diào)查反映，若每降價1元，每天可多售出10件（每件售價不低于進(jìn)價）．設(shè)每件A類特產(chǎn)降價x元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（3）在（2）的條件下，由于B類特產(chǎn)供貨緊張，每天只能購進(jìn)100件且能按原價售完．設(shè)該店每天銷售這兩類特產(chǎn)的總利潤為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件A類特產(chǎn)降價多少元時總利潤w最大，最大利潤是多少元？（利潤＝售價﹣進(jìn)價）【分析】（1）依據(jù)題意，設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價為x元，則每件B類特產(chǎn)的售價為（132﹣x）元，從而3x+5（132﹣x）＝540，進(jìn)而可以得解；（2）依據(jù)題意，由每件A類特產(chǎn)降價x元，又每降價1元，每天可多售出10件，從而可以得解；（3）依據(jù)題意，由w＝（60﹣50﹣x）（10x+60）+100×（72﹣60）＝﹣10（x﹣2）2+1840，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算可以得解．【解答】解：（1）由題意，設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價為x元，則每件B類特產(chǎn)的售價為（132﹣x）元．∴3x+5（132﹣x）＝540．∴x＝60．∴每件B類特產(chǎn)的售價132﹣60＝72（元）．答：A類特產(chǎn)的售價為60元/件，B類特產(chǎn)的售價為72元/件．（2）由題意，∵每件A類特產(chǎn)降價x元，又每降價1元，每天可多售出10件，∴y＝60+10x＝10x+60（0≤x≤10）．答：y＝10x+60（0≤x≤10）．（3）由題意，∵w＝（60﹣50﹣x）（10x+60）+100×（72﹣60）＝﹣10x2+40x+1800＝﹣10（x﹣2）2+1840．∵﹣10＜0，∴當(dāng)x＝2時，w有最大值1840．∴A類特產(chǎn)每件售價降價2元時，每天銷售利潤最大，最大利潤為1840元．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．24．（10分）如圖，正方形ABCD邊長為6cm，點(diǎn)E為對角線AC上一點(diǎn)，CE＝2AE，點(diǎn)P在AB邊上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在BC邊上以2cm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0＜t≤3）．（1）求證：△AEP∽△CEQ．（2）當(dāng)△EPQ是直角三角形時，求t的值．（3）連接AQ，當(dāng)tan∠AQE＝時，求△AEQ的面積．【分析】（1）首先推導(dǎo)出∠PAE＝∠QCE＝45°，然后推導(dǎo)出＝＝，進(jìn)而得證；（2）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N．分別求得EP2＝t2﹣4t+8，PQ2＝5t2﹣36t+72，EQ2＝4f2﹣16t+32，分三種情況討論：①當(dāng)∠EPQ＝90°時，②當(dāng)∠PEQ＝90°時，③當(dāng)∠PQE＝90°時，分別解答即可；（3）過點(diǎn)A作AF⊥AC，交CB的延長線于點(diǎn)F，連接FE交AQ于點(diǎn)G．首先推導(dǎo)出△AGF∽△EGQ，得到＝，進(jìn)一步推導(dǎo)出△AGE∽△FGQ，得到∠AEG＝∠FQG，∠FQE＝90°，進(jìn)而得到AB∥EQ，△EQC是等腰直角三角形，利用＝，解得QC＝QE＝4，最后利用S△AEQ＝S△AQC﹣S△EQC解答即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠PAE＝∠QCE＝45°，∵CE＝2AE，AP＝t，CQ＝2t，∴＝＝，∴△AEP∽△CEQ；（2）解：過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N．由題意知AE＝，AM＝ME＝2，EN＝CN＝4，AP＝t，CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，MP＝|t﹣2|，BP＝6﹣t，QN＝|2t﹣4|，∴EP2＝EM2+MP2，即EP2＝22+（2﹣t）2＝t2﹣4t+8，PQ2＝BP2+BQ2，即PQ2＝（6﹣t）2+（6﹣2t）2＝5t2﹣36t+72，EQ2＝EN2+NQ2，即EQ2＝42+（2t﹣4）2＝4f2﹣16t+32，①當(dāng)∠EPQ＝90°時，則EQ2＝EP2+PQ2，即4t2﹣16t+32＝t2﹣4t+8+5t2﹣36t+72，整理得t2﹣12t+24＝0．解得t1＝6﹣，t2＝6+（不合題意，舍去），②當(dāng)∠PEQ＝90°時，則PQ2＝EP2+EQ2，即5t2﹣36t+72＝t2﹣4t+8+4t2﹣16t+32，整理得t﹣2＝0，解得t＝2；③當(dāng)∠PQE＝90°時，則EP2＝PQ2+EQ2，即t2﹣4t+8＝5t2﹣36t+72+4t2﹣16t+32，整理得t2﹣6t+12＝0，該方程無實(shí)數(shù)解，綜上所述，當(dāng)△EPQ是直角三角形時，t的值為秒或2秒；（3）解：過點(diǎn)A作AF⊥AC，交CB的延長線于點(diǎn)F，連接FE交AQ于點(diǎn)G．如圖2，∵AF⊥AC，∠ACF＝45°，∴AF＝AC，又∵CE＝2AE，∴＝＝，∴tan∠AFE＝，∵tan∠AQE＝，∴∠AFE＝∠AQE，∵∠AGF＝∠EGQ，∴△AGF∽△EGQ，∴＝，∵∠AGE＝∠FGQ，∴△AGE∽△FGQ，∴∠AEG＝∠FQG，∵∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠FQG+∠EQG＝90°，即∠FQE＝90°，∴AB∥EQ，△EQC是等腰直角三角形，∴＝，即＝，∴QC＝Q