廣東省深圳市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

2023年深圳市普通高中高二年級(jí)調(diào)研考試數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生請(qǐng)務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，可得.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求解作答.【詳解】依題意，，所以的共軛復(fù)數(shù).故選：C3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式，結(jié)合平方關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次齊次式，再化為，代入求值.【詳解】.故選：A．4.已知，若，則（）A.1 B.-1 C.4 D.-4【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用平面向量平行的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?故選：C.5.白酒又名燒酒?白干，是世界六大蒸餾酒之一，據(jù)《本草綱目》記載：“燒酒非古法也，自元時(shí)創(chuàng)始，其法用濃酒和糟入甑（蒸鍋），蒸令氣上，用器承滴露”，而飲用白酒則有專門(mén)的白酒杯，圖1是某白酒杯，可將它近似的看成一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成的組合體，圖2是其直觀圖（圖中數(shù)據(jù)的單位為厘米），則該組合體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求解圓柱部分與圓臺(tái)部分的體積，即可得該組合體的體積.【詳解】由題可知圓柱部分的底面半徑，高為，所以圓柱的體積為，圓臺(tái)部分上底面半徑為，下底面半徑為，高為，所以圓臺(tái)部分體積為，則該組合體的體積為.故選：D.6.已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則下列不等式恒成立的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形為矩形，再根據(jù)橢圓的定義求出，再利用勾股定理構(gòu)造齊次式即可得解.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性可得，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，所以，由，得，又，所以，在中，由，得，即，所以，即的離心率為.故選：A.8.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)恰有三條不同的直線與曲線相切，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】求出曲線的導(dǎo)函數(shù)，得到的表達(dá)式，構(gòu)造新函數(shù)，得出單調(diào)性，即可求出點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，∴，的方程為，∴，化簡(jiǎn)得，設(shè)，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵若過(guò)點(diǎn)恰有三條不同的直線與曲線相切，，∴滿足條件的恰有三個(gè)，∴，即，∴點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為8.故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某校舉辦數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)，10名教師組成評(píng)委小組，給參加數(shù)學(xué)演講比賽的選手打分.已知各位評(píng)委對(duì)某名選手的打分如下：則下列結(jié)論正確的為（）A.平均數(shù)為48 B.極差為9C.中位數(shù)為47 D.第75百分位數(shù)為51【答案】BC【解析】【分析】運(yùn)用平均數(shù)、極差、中位數(shù)及百分位數(shù)的公式計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，平均數(shù)為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，極差為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，這組數(shù)從小到大排序：、、、、、、、、、，所以中位數(shù)為.故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為49.故選：BC.10.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.在區(qū)間恰有一個(gè)極大值點(diǎn)D.在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性求得的值，從而可確定函數(shù)的解析式，根據(jù)余弦型函數(shù)的取值、單調(diào)性、極值、零點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可得答案.【詳解】函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，因?yàn)?，所以．所以．則，故A正確；當(dāng)時(shí)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上先增后減，故B不正確；令，則，又，所以可得是函數(shù)的極大值點(diǎn)，即在區(qū)間恰有一個(gè)極大值點(diǎn)，故C正確；令，則，又，所以可得是函數(shù)的零點(diǎn)，即在區(qū)間恰有一個(gè)零點(diǎn)，故D不正確.故選：AC.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的一條直線與交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】由拋物線的定義可判斷A項(xiàng)，聯(lián)立直線AB方程與拋物線方程求得、，進(jìn)而可求得可判斷B項(xiàng)，由直角三角形性質(zhì)及拋物線的定義可判斷C項(xiàng)，設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，計(jì)算可得，可得，運(yùn)用等面積法、直角三角形性質(zhì)及基本不等式可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：如圖所示，由拋物線定義可知，若，則，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：如圖所示，當(dāng)時(shí)，為正三角形，所以直線的傾斜角為，設(shè)直線的方程為，由可得，，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：過(guò)點(diǎn)作直線垂直于，垂足分別為，作的中點(diǎn)N，如圖所示，由選項(xiàng)B可知，又因?yàn)?，所以，由拋物線定義可知，所以，所以M為的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D：如圖所示，設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率為，則，由B項(xiàng)可知，由選項(xiàng)C可知，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，且，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.在四面體中，有四條棱的長(zhǎng)度為1，兩條棱的長(zhǎng)度為，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，四面體的外接球的表面積為C.的取值范圍為D.四面體體積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，取中點(diǎn)，通過(guò)證明平面，即可得到，從而判斷出選項(xiàng)的正誤；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)條件，將四面體放置到長(zhǎng)方體中，轉(zhuǎn)化成求長(zhǎng)方體的外接球，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果；對(duì)于選項(xiàng)C，分兩種情況討論：或，再利用構(gòu)成三角形的條件，即可求出的范圍，從而判斷出結(jié)果的正誤；對(duì)于選項(xiàng)D，分兩種情況討論：或，分別求出四面體的體積，再進(jìn)行比較即可得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，易知與分別為等腰三角形、等邊三角形，如圖1，作中點(diǎn)，，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，易知四面體的所有對(duì)棱相等，如圖2，可將四面體補(bǔ)為長(zhǎng)方體，其中四面體的各條棱為該長(zhǎng)方體各面的對(duì)角線，所以四面體的外接球即為該長(zhǎng)方體的外接球，易知長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)該長(zhǎng)方體的三條棱的長(zhǎng)度分別為，則，將三式相加可得，得到外接球的半徑為，所以四面體的外接球的表面積為，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，由上分析知：四面體有兩種情況，不妨假設(shè)情況如下，當(dāng)時(shí)，作的中點(diǎn)，則在中，由三角形性質(zhì)可得，得到；當(dāng)時(shí)，作的中點(diǎn)，則在中由三角形性質(zhì)可知，得到，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，若四面體的體積最大，則底面上的高為1，即平面，此時(shí)四面體體積的最大值為，當(dāng)時(shí)，由C分析知：，則的面積為，四面體體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，所以四面體體積的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是___________（用數(shù)字作答）【答案】15【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，并確定常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)r值，即可得常數(shù)項(xiàng).【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)是.故答案為：1514.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則__________.【答案】【解析】【分析】先由，求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，即，解得，所以.故答案為：15.已知定義在上的函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，若方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】分別求出，，的解析式，畫(huà)出的圖象，由圖象即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，所以，即，當(dāng)時(shí)，則，所以，即，則，當(dāng)時(shí)，則，所以，即，畫(huà)出的圖象如下：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：16.已知線段是圓上的一條動(dòng)弦，且，設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________；如果直線與相交于點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】①.②.【解析】【分析】綜合應(yīng)用直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系和平面向量的數(shù)量積等知識(shí)即可解決問(wèn)題.【詳解】設(shè)為中點(diǎn)，則，點(diǎn)的軌跡方程為，，則最大值為，由直線，，可得且過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是以為直徑端點(diǎn)的圓，其方程為，，，，，的最小值為.故答案為：；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系，證明常數(shù)即可；（2）求出的通項(xiàng)公式，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求解.【小問(wèn)1詳解】，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，則；【小問(wèn)2詳解】，，；綜上，，.18.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理進(jìn)行變化角處理，再結(jié)合三角恒等變換，從而求得角的大??；（2）結(jié)合余弦定理與已知，可求得值，再根據(jù)面積公式即可求得的面積.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理及，得，又，，，.【小問(wèn)2詳解】記的面積為，由余弦定理，及，可得，將代入上式，得，故，.19.如圖，已知三棱錐的三個(gè)頂點(diǎn)在圓上，為圓的直徑，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面平面.（1）證明：平面平面；（2）若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且與位于直徑的兩側(cè)，當(dāng)平面時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）只要證明平面PAC即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量求解.【小問(wèn)1詳解】的中點(diǎn)為等邊三角形，，平面平面，平面平面平面，平面，為圓的直徑，，又平面PAC，平面，平面PAC；平面平面平面；【小問(wèn)2詳解】連接OE，OF，由三角形中位線的性質(zhì)可知，又平面平面平面，平面平面平面，平面平面，平面平面，由題可知，則，取中點(diǎn)，連接，則平面平面，由（1）可知平面，即PM，MO，AC兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，如下圖：建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，由（1）可知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，平面與平面的夾角的余弦值為.20.甲參加某多輪趣味游戲，在兩個(gè)不透明的盒內(nèi)摸球.規(guī)定在一輪游戲中甲先在盒內(nèi)隨機(jī)取出1個(gè)小球放入盒，再在盒內(nèi)陏機(jī)取出2個(gè)小球，若每輪游戲的結(jié)果相互獨(dú)立，且每輪游戲開(kāi)始前，兩盒內(nèi)小球的數(shù)量始終如下表（小球除顏色外大小質(zhì)地完全相同）：紅球藍(lán)球白球盒221盒221（1）求在一輪游戲中甲從兩盒內(nèi)取出小球均為白球的概率；（2）已知每輪游戲的得分規(guī)則為：若從盒內(nèi)取出的小球均為紅球，則甲獲得5分；若從盒內(nèi)取出的小球中只有1個(gè)紅球，則甲獲得3分；若從盒內(nèi)取出的小球沒(méi)有紅球，則甲獲得1分.（i）記甲在一輪游戲中的得分為，求的分布列；（ii）假設(shè)甲共參加了5輪游戲，記5輪游戲甲的總得分為，求.【答案】（1）（2）（i）分布列見(jiàn)解析；（ii）【解析】【分析】（1）記“在一輪游戲中甲從兩盒內(nèi)取出的小球均為白球”為事件，求得，即可求解；（2）（i）由題意得到隨機(jī)變量可以取，求得相應(yīng)的概率，列出分布列；（ii）由（i）求得期望，結(jié)合每輪游戲的結(jié)果相互獨(dú)立，進(jìn)而得到.【小問(wèn)1詳解】解：記“在一輪游戲中甲從兩盒內(nèi)取出的小球均為白球”為事件，所以由條件概率可知，所以在一輪游戲中甲從兩盒內(nèi)取出的小球均為白球的概率為.【小問(wèn)2詳解】解：（i）由題意，可知隨機(jī)變量可以取，可得，，，所以隨機(jī)變量的分布列為135（ii）由（i）可知，因?yàn)槊枯営螒虻慕Y(jié)果相互獨(dú)立，且甲共參加了5輪游戲，所以.21.已知.（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，分、兩種情況討論求解即可；（2）由得，法一：令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，不滿足條件，當(dāng)時(shí)，令，通過(guò)隱零點(diǎn)可求解；法二：由題意可得，令，求導(dǎo)得，再，求導(dǎo)后結(jié)合隱零點(diǎn)可求解；法三：先證明不等式（等號(hào)在時(shí)取得）成立，再通過(guò)放縮可求解.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，由，解得，由，解得，當(dāng)時(shí)，由，解得，由，解得，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由，得，①（法一）令，則，當(dāng)時(shí)，不滿足條件，不成立，當(dāng)時(shí)，令，則，則在上單調(diào)遞增，且，，使得，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，由，取對(duì)數(shù)得，則，要使不等式①恒成立，需，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（法二）由（1）解得，令，則，令在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，使得，即，且當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，由，得，則，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（方法三）先證明不等式（等號(hào)在時(shí)取得）成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，即不等式成立，則，令在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，使得，即，即存在實(shí)數(shù)使得成立，則上式等號(hào)能夠取得，的最大值為，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易