2025屆甘肅省岷縣一中數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試試題含解析

2025屆甘肅省岷縣一中數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則使成立的最小正整數(shù)n為（）A．6 B．7 C．8 D．92．把直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使它與圓相切，則直線轉(zhuǎn)動(dòng)的最小正角度（）．A． B． C． D．3．已知集合，，則（）A． B． C． D．4．在數(shù)列中,,則數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值是（）A．136 B．140 C．144 D．1485．若，，則與向量同向的單位向量是（）A． B． C． D．6．設(shè)滿足約束條件，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．107．l：與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為A．6 B．1 C． D．38．如圖，函數(shù)的圖像是（）A． B．C． D．9．在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，邊上的高，且，則等于()A． B． C． D．10．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（）A．54 B． C．90 D．81二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則滿足的的取值范圍為______________；12．已知呈線性相關(guān)的變量，之間的關(guān)系如下表所示：由表中數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程，由此估計(jì)當(dāng)為時(shí)，的值為______．13．已知直線平面，，那么在平面內(nèi)過點(diǎn)P與直線m平行的直線有________條.14．在四面體中，平面ABC，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_______．15．已知，則___________.16．若在上是減函數(shù)，則的取值范圍為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足：．（1）若為等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若單調(diào)遞增，求的取值范圍；18．下表中的數(shù)據(jù)是一次階段性考試某班的數(shù)學(xué)、物理原始成績(jī)：用這44人的兩科成績(jī)制作如下散點(diǎn)圖：學(xué)號(hào)為22號(hào)的同學(xué)由于嚴(yán)重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，學(xué)號(hào)為31號(hào)的同學(xué)因故未能參加物理學(xué)科的考試，為了使分析結(jié)果更客觀準(zhǔn)確，老師將兩同學(xué)的成績(jī)（對(duì)應(yīng)于圖中兩點(diǎn)）剔除后，用剩下的42個(gè)同學(xué)的數(shù)據(jù)作分析，計(jì)算得到下列統(tǒng)計(jì)指標(biāo)：數(shù)學(xué)學(xué)科平均分為110.5，標(biāo)準(zhǔn)差為18.36，物理學(xué)科的平均分為74，標(biāo)準(zhǔn)差為11.18，數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的相關(guān)系數(shù)為，回歸直線（如圖所示）的方程為.（1）若不剔除兩同學(xué)的數(shù)據(jù)，用全部44人的成績(jī)作回歸分析，設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的相關(guān)系數(shù)為，回歸直線為，試分析與的大小關(guān)系，并在圖中畫出回歸直線的大致位置；（2）如果同學(xué)參加了這次物理考試，估計(jì)同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)（精確到個(gè)位）；（3）就這次考試而言，學(xué)號(hào)為16號(hào)的同學(xué)數(shù)學(xué)與物理哪個(gè)學(xué)科成績(jī)要好一些？（通常為了比較某個(gè)學(xué)生不同學(xué)科的成績(jī)水平，可按公式統(tǒng)一化成標(biāo)準(zhǔn)分再進(jìn)行比較，其中為學(xué)科原始分，為學(xué)科平均分，為學(xué)科標(biāo)準(zhǔn)差）．19．設(shè)，求函數(shù)的最小值為__________．20．若，討論關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù).21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可確定，，，由此可確定最小正整數(shù).【詳解】且，使得成立的最小正整數(shù)故選：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)化簡(jiǎn)前項(xiàng)和公式.2、B【解析】

根據(jù)直線過原點(diǎn)且與圓相切，求出直線的斜率，再數(shù)形結(jié)合計(jì)算最小旋轉(zhuǎn)角?！驹斀狻拷馕觯河深}意，設(shè)切線為，∴.∴或.∴時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)最?。嘧钚≌菫?故選B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。3、A【解析】

先分別求出集合，，由此能求出．【詳解】集合，，1，，或，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．4、C【解析】

可得數(shù)列為等差數(shù)列且前8項(xiàng)為正數(shù)，第9項(xiàng)為0，從第10項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，可得前8或9項(xiàng)和最大，由求和公式計(jì)算可得．【詳解】解：∵在數(shù)列中,，

，即數(shù)列為公差為?4的等差數(shù)列，

，

令可得，

∴遞減的等差數(shù)列中前8項(xiàng)為正數(shù)，第9項(xiàng)為0，從第10項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，

∴數(shù)列的前8或9項(xiàng)和最大，

由求和公式可得

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的判定，屬基礎(chǔ)題．5、A【解析】

先求出的坐標(biāo)，然后即可算出【詳解】因?yàn)?，所以所以與向量同向的單位向量是故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】

結(jié)合題意畫出可行域，然后運(yùn)用線性規(guī)劃知識(shí)來求解【詳解】如圖由題意得到可行域，改寫目標(biāo)函數(shù)得，當(dāng)取到點(diǎn)時(shí)得到最小值，即故選【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用線性規(guī)劃求解最值問題，一般步驟：畫出可行域，改寫目標(biāo)函數(shù)，求出最值，需要掌握解題方法7、D【解析】

先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再求三角形的面積得解.【詳解】當(dāng)x=0時(shí)，y=2,當(dāng)y=0時(shí)，x=3,所以三角形的面積為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8、B【解析】

根據(jù)的取值進(jìn)行分類討論，去掉中絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此，函數(shù)的圖象是B選項(xiàng)中的圖象.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)與正弦函數(shù)的圖象，去掉絕對(duì)值是關(guān)鍵，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.9、A【解析】

在中得到，，在中得到，利用面積公式計(jì)算得到.【詳解】如圖所示：在中：，根據(jù)勾股定理得到在中：利用勾股定理得到，故故選A【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，面積公式，意在考查學(xué)生解決問題的能力.10、A【解析】

由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以正方形為底面的斜四棱柱，進(jìn)而得到答案．【詳解】由三視圖可知，該多面體是一個(gè)以正方形為底面的斜四棱柱，四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，四棱柱的高為6，則該多面體的體積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖知識(shí)及幾何體體積的計(jì)算，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，再由幾何體體積公式求解，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

本題首先可確定在區(qū)間上所對(duì)應(yīng)的的值，然后可結(jié)合正弦函數(shù)圖像得出不等式的解集．【詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得或，如圖，繪出正弦函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，的解集為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)不等式的解法，考查對(duì)正弦函數(shù)性質(zhì)的理解，考查計(jì)算能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是簡(jiǎn)單題．12、【解析】由表格得，又線性回歸直線過點(diǎn)，則，即，令，得.點(diǎn)睛：本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用；求線性回歸方程是?？嫉幕A(chǔ)題型，其主要考查線性回歸方程一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，一定要注意這一點(diǎn)，如本題中利用線性回歸直線過中心點(diǎn)求出的值.13、1【解析】

利用線面平行的性質(zhì)定理來進(jìn)行解答.【詳解】過直線與點(diǎn)可確定一個(gè)平面，由于為公共點(diǎn)，所以兩平面相交，不妨設(shè)交線為，因?yàn)橹本€平面，所以，其它過點(diǎn)的直線都與相交，所以與也不會(huì)平行，所以過點(diǎn)且平行于的直線只有一條，在平面內(nèi)，故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的性質(zhì)定理，是基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè),再根據(jù)外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構(gòu)成直角三角形求解進(jìn)而求得體積即可.【詳解】設(shè),底面外接圓直徑為.易得底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形.則由正弦定理得.又外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構(gòu)成直角三角形有.又外接球的表面積為,即.解得.故四面體體積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了側(cè)棱垂直于底面的四面體的外接球問題.需要根據(jù)題意建立底面三角形外接圓的直徑和三棱錐的高與外接球直徑的關(guān)系再求解.屬于中檔題.15、；【解析】

把已知式平方可求得，從而得，再由平方關(guān)系可求得．【詳解】∵，∴，即，∴，即,∴.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，考查正弦的二倍角公式，在用平方關(guān)系求值時(shí)要注意結(jié)果可能有正負(fù)，因此要判斷是否只取一個(gè)值．16、【解析】

化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，，時(shí)，是余弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間的子集，即可求解.【詳解】,時(shí)，,且在上是減函數(shù)，，，因?yàn)榻獾?【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的三角恒等變化，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）設(shè)出的通項(xiàng)公式，根據(jù)計(jì)算出對(duì)應(yīng)的首項(xiàng)和公差，即可求解出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)條件得到，得到的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，的偶數(shù)項(xiàng)也成等差數(shù)列，根據(jù)單調(diào)遞增列出關(guān)于的不等式，求解出范圍即可.【詳解】（1）設(shè)，所以，所以，所以，所以；（2）因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量求解以及根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍，難度一般.(1)已知數(shù)列的類型和數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，可采用設(shè)出數(shù)列通項(xiàng)公式的形式，然后根據(jù)遞推關(guān)系求解出數(shù)列通項(xiàng)公式中的基本量；(2)數(shù)列的單調(diào)性可通過與的大小關(guān)系來判斷.18、（1），理由見解析（2）81（3）【解析】

（1）不剔除兩同學(xué)的數(shù)據(jù)，44個(gè)數(shù)據(jù)會(huì)使回歸效果變差，從而得到，描出回歸直線即可；（2）將x=125代入回歸直線方程，即可得到答案；（3）利用題目給出的標(biāo)準(zhǔn)分計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論.【詳解】(1)，說明理由可以是：①離群點(diǎn)A,B會(huì)降低變量間的線性關(guān)聯(lián)程度；②44個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與回歸直線的總偏差更大，回歸效果更差，所以相關(guān)系數(shù)更??；③42個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與回歸直線的總偏差更小，回歸效果更好，所以相關(guān)系數(shù)更大；④42個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)更加貼近回歸直線；⑤44個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與回歸直線更離散，或其他言之有理的理由均可.要點(diǎn)：直線斜率須大于0且小于的斜率，具體為止稍有出入沒關(guān)系，無需說明理由.（2）令，代入得所以，估計(jì)同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)大約為分.（3）由表中知同學(xué)的數(shù)學(xué)原始分為122，物理原始分為82，數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分為物理標(biāo)準(zhǔn)分為，故同學(xué)物理成績(jī)比數(shù)學(xué)成績(jī)要好一些.【點(diǎn)睛】本題考查散點(diǎn)圖和線性回歸方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.19、9【解析】試題分析：本題解題的關(guān)鍵在于關(guān)注分母，充分運(yùn)用發(fā)散性思維，經(jīng)過同解變形構(gòu)造基本不等式，從而求出最小值.試題解析：由得，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取“=”，所以.考點(diǎn)：基本不等式；構(gòu)造思想和發(fā)散性思維.20、答案不唯一，見解析【解析】

首先將方程化簡(jiǎn)為，再畫出的圖像，根據(jù)和交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求出方程根的個(gè)數(shù).【詳解】由題知：，，.令，，圖像如圖所示：當(dāng)或，即或時(shí)，無解，即方程無解.當(dāng)，即時(shí)，得到，則方程有兩個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到在有兩個(gè)解，則方程有四個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到或，則方程有四個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到在有一個(gè)解，則方程有兩個(gè)解.當(dāng)，即時(shí)，得到，則方程有一個(gè)解.綜上所述：當(dāng)或時(shí)，即方程無解，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解.當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)解.當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)解.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，同時(shí)考查了分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合為解題的關(guān)鍵，屬于難題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）由遞推公式，再遞推一步，得，兩式相減化簡(jiǎn)得，可以判斷數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而可以求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）根據(jù)（