2025屆遼寧省大連市普蘭店市第三中學高一數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

2025屆遼寧省大連市普蘭店市第三中學高一數(shù)學第二學期期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學專著，成于公元一世紀左右，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，其中《方田》一章中記載了計算弧田（弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形）的面積所用的經(jīng)驗公式：弧田面積=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差，現(xiàn)有圓心角為，弦長為米的弧田，其實際面積與按照上述經(jīng)驗公式計算出弧田的面積之間的誤差為（）平方米（其中，）A．14 B．16 C．18 D．202．某工廠利用隨機數(shù)表對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，…，599，600從中抽取60個樣本，如下提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若從表中第6行第6列開始向右依次讀取3個數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號為（）A．522 B．324 C．535 D．5783．已知向量滿足，．O為坐標原點，．曲線，區(qū)域．若是兩段分離的曲線，則（）A． B． C． D．4．已知是的共軛復數(shù)，若復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點是（）A． B． C． D．5．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，事件“至少1名女生”與事件“全是男生”（）A．是互斥事件，不是對立事件B．是對立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是對立事件D．既不是互斥事件也不是對立事件6．設等比數(shù)列的公比，前n項和為，則（）A．2 B．4 C． D．7．在鈍角三角形ABC中,若B=45°,a=2,則邊長cA．(1,2) B．(0,1)∪(8．點M(4，m）關(guān)于點N（n,－3）的對稱點為P（6，-9）則（）A．m＝－3,n＝10 B．m＝3,n＝10C．m＝－3,n＝5 D．m=3,n=59．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．既有極小值，也有極大值 B．有極小值，但無極大值C．有極大值，但無極小值 D．既無極小值，也無極大值10．在數(shù)列中，，且數(shù)列是等比數(shù)列，其公比，則數(shù)列的最大項等于（）A． B． C．或 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．將正整數(shù)按下圖方式排列，2019出現(xiàn)在第行第列，則______；12345678910111213141516………12．5人排成一行合影，甲和乙不相鄰的排法有______種．（用數(shù)字回答）13．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．14．在中，角、、所對的邊為、、，若，，，則角________．15．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3:5:7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量=．16．觀察下列式子：你可歸納出的不等式是___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點．（1）證明：平面;（2）設，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離．18．已知數(shù)列滿足，，其中實數(shù).（I）求證：數(shù)列是遞增數(shù)列；（II）當時.（i）求證：；（ii）若，設數(shù)列的前項和為，求整數(shù)的值，使得最?。?9．設二次函數(shù).（1）若對任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍.20．（1）解方程：；（2）有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)；21．已知f(x)=（Ⅰ）化簡f(x)；（Ⅱ）若x是第三象限角，且tanx=2，求f(x)

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出扇形的面積與三角形的面積，計算弓形的面積，再利用弧長公式計算弧田的面積，求兩者的差即可.【詳解】如圖所示，扇形的半徑為，所以扇形的面積為，又三角形的面積為，所以弧田的面積為，又圓心到弦的距離等于，所示矢長為，按照上述弧田的面積經(jīng)驗計算可得弦矢矢，所以兩者的差為.故選：B.【點睛】本題主要考查了扇形的弧長公式和面積公式的應用，以及我國古典數(shù)學的應用問題，其中解答中認真審題，合理利用扇形弧長和面積公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.2、D【解析】

根據(jù)隨機抽樣的定義進行判斷即可．【詳解】第行第列開始的數(shù)為（不合適），，（不合適），，，，（不合適），（不合適），，（重復不合適），則滿足條件的6個編號為，，，，，則第6個編號為本題正確選項：【點睛】本題主要考查隨機抽樣的應用，根據(jù)定義選擇滿足條件的數(shù)據(jù)是解決本題的關(guān)鍵．3、A【解析】

由圓的定義及平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算可得：點P在以O為圓心，r為半徑的圓上運動且點P在以Q為圓心，半徑為1和2的圓環(huán)區(qū)域運動，由圖可得解．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，由，則，即點P在以O為圓心，r為半徑的圓上運動，又，則點P在以Q為圓心，半徑為1和2的圓環(huán)區(qū)域運動，由圖可知：當C∩Ω是兩段分離的曲線時，r的取值范圍為：3<r<5，故選：A．【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，利用數(shù)形結(jié)合思想，將向量問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題.4、A【解析】由，得，所以在復平面內(nèi)對應的點為，故選A.5、C【解析】至少1名女生的對立事件就是全是男生.因此事件“至少1名女生”與事件“全是男生”既是互斥事件，也是對立事件6、D【解析】

設首項為，利用等比數(shù)列的求和公式與通項公式求解即可.【詳解】設首項為，因為等比數(shù)列的公比，所以，故選：D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的求和公式與通項公式，熟練掌握基本公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題.7、D【解析】試題分析：解法一：，由三角形正弦定理誘導公式有，利用三角恒等公式能夠得到，當A為銳角時，0°<A<45°，，即，當A為鈍角時，90°<A<135°，，綜上所述，；解法二：利用圖形，如圖，，，當點A（D）在線段BE上時（不含端點B,E）,為鈍角，此時；當點A在線段EF上時，為銳角三角形或直角三角形；當點A在射線FG（不含端點F）上時，為鈍角，此時，所以c的取值范圍為．考點：解三角形．【思路點睛】解三角形需要靈活運用正余弦定理以及三角形的恒等變形，在解答本題時，利用三角形內(nèi)角和，將兩角化作一角，再利用正弦定理即可列出邊長c與角A的關(guān)系式，根據(jù)角A的取值范圍即可求出c的范圍，本題亦可利用物理學中力的合成，合力的大小來確定c的大小，正如解法二所述．8、D【解析】因為點M，P關(guān)于點N對稱，所以由中點坐標公式可知.9、B【解析】由導函數(shù)圖象可知，在上為負，在上非負，在上遞減，在遞增，在處有極小值，無極大值，故選B.10、C【解析】

在數(shù)列中，，，且數(shù)列是等比數(shù)列，其公比，利用等比數(shù)列的通項公式可得：．可得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】在數(shù)列中，，，且數(shù)列是等比數(shù)列，其公比，．，．由或8時，，或9時，，數(shù)列的最大項等于或．故選：C.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式、累乘法、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、128【解析】

觀察數(shù)陣可知：前行一共有個數(shù)，且第行的最后一個數(shù)為，且第行有個數(shù)，由此可推斷出所在的位置.【詳解】因為前行一共有個數(shù)，且第行的最后一個數(shù)為，又因為，所以在第行，且第45行最后數(shù)為，又因為第行有個數(shù)，，所以在第列，所以.故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)列在數(shù)陣中的應用，著重考查推理能力，難度一般.分析數(shù)列在數(shù)陣中的應用問題，可從以下點分析問題：觀察每一行數(shù)據(jù)個數(shù)與行號關(guān)系，同時注意每一行開始的數(shù)據(jù)或結(jié)尾數(shù)據(jù)，所有行數(shù)據(jù)的總個數(shù)，注意等差數(shù)列的求和公式的運用.12、72【解析】

先對其中3個人進行全排列有種，再對甲和乙進行插空有種，利用乘法原理得到排法總數(shù)為.【詳解】先對其中3個人進行全排列有種，再對甲和乙進行插空有種，利用乘法原理得到排法總數(shù)為種，故答案為72【點睛】本題考查排列、組合計數(shù)原理的應用，考查基本運算能力.13、【解析】由三視圖知該幾何體是一個半圓錐挖掉一個三棱錐后剩余的部分，如圖所示，所以其體積為.點睛：求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心，本題就是第三種方法.14、.【解析】

利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍得出角的值.【詳解】由余弦定理得，，，故答案為.【點睛】本題考查余弦定理的應用和反三角函數(shù)，解題時要充分結(jié)合元素類型選擇正弦定理和余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.15、【解析】試題分析：由題意得，解得，故答案為．考點：分層抽樣．16、【解析】

觀察三個已知式子的左邊和右邊，第1個不等式左邊可改寫成；第2個不等式左邊的可改寫成，右邊的可改寫成；第3個不等式的左邊可改寫成；據(jù)此可發(fā)現(xiàn)第個不等式的規(guī)律.【詳解】觀察三個已知式子的左邊和右邊，第1個式子可改寫為：，第2個式子可改寫為：，第3個式子可改寫為：，所以可歸納出第個不等式是：.故答案為：.【點睛】本題考查歸納推理，考查學生分析、解決問題的能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）到平面的距離為【解析】

試題分析：（1）連結(jié)BD、AC相交于O，連結(jié)OE，則PB∥OE，由此能證明PB∥平面ACE．（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出A到平面PBD的距離試題解析：(1）設BD交AC于點O，連結(jié)EO．因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點．又E為PD的中點，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由題設易知，所以故，又所以到平面的距離為法2：等體積法由，可得.由題設易知,得BC假設到平面的距離為d，又因為PB=所以又因為(或)，，所以考點：線面平行的判定及點到面的距離18、（I）證明見解析；（II）（i）證明見解析；（ii）.【解析】

（I）通過計算，結(jié)合，證得數(shù)列是遞增數(shù)列.（II）（i）將轉(zhuǎn)化為，利用迭代法證得.(ii)由（i）得，從而，即.利用裂項求和法求得，結(jié)合（i）的結(jié)論求得，由此得到當時，取得最小值．【詳解】（I）由所以，因為，所以，即，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列．（II）此時．（i）所以，有由（1）知是遞增數(shù)列，所以所以（ii）因為所以有.由由（i）知，所以所以所以當時，取得最小值．【點睛】本小題主要考查數(shù)列單調(diào)性的證明方法，考查裂項求和法，考查迭代法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）是關(guān)于m的一次函數(shù)，計算得到答案.（2）易知，討論和兩種情況計算得到答案.【詳解】（1）對任意實數(shù)，恒成立，即對任意實數(shù)恒成立，是關(guān)于m的一次函數(shù)，，解得或，所以實數(shù)x的取值范圍是.（2）存在，使得成立，即，顯然.（i）當時，要使成立，即需成立，即需成立.，(當且僅當時等號成立)，，.（ii）當時，要使成立，即需成立，即需成立，，（當且僅當時等號成立），.綜上得實數(shù)m的取值范圍是.【點睛】本題考查了恒成立問題和存在性問題，意在考查學生的綜合應用能力.20、（1）或。（2）、、、，或、、、【解析】

（1）由正弦的倍角公式，化簡得，得到解得或，結(jié)合正弦和余弦的性質(zhì)，即可求解；（2）設這四個數(shù)分別為，得到，且，即可求解，得到答案.【詳解】（1）由題意，方程，可得，即，解得或，所以或.（2）由題意，設這四個數(shù)分別為，可得，且，解得：或，所以這四個數(shù)為：