總體離散程度的估計(jì)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)

9.2用樣本估計(jì)總體

9.2.4總體離散程度的估計(jì)

第九章

統(tǒng)計(jì)

導(dǎo)問題導(dǎo)入

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息，這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法.但僅知道集中趨勢(shì)的信息，很多時(shí)候還不能使我們做出有效決策.這節(jié)課學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的另一大重要特征:離散程度離散程度簡(jiǎn)單理解就是數(shù)據(jù)聚在一塊還是分散開聚在一塊分散開導(dǎo)問題導(dǎo)入問題1:有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中環(huán)數(shù)如下：甲：78795491074乙：9578768677如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況做出評(píng)價(jià)？445777899105667777889從數(shù)據(jù)看，甲、乙射擊成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)均為7.無差異從統(tǒng)計(jì)圖看，甲的成績(jī)比較分散，波動(dòng)較大；乙的成績(jī)比較集中，比較穩(wěn)定.有差異思新知探究甲：78795491074乙：9578768677

445777899105667777889一種簡(jiǎn)單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差.甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6，乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4可以發(fā)現(xiàn)甲的成績(jī)波動(dòng)范圍比乙的大.思考1：如何度量成績(jī)的這種差異呢?

極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息，所含的信息量很少，極差度量出的差異誤差較大.思新知探究思考2：你還能想出其他刻畫數(shù)據(jù)離散程度的辦法嗎?我們知道，如果射擊的成績(jī)很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)不會(huì)太遠(yuǎn)；相反，如果射擊的成績(jī)波動(dòng)幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)會(huì)比較遠(yuǎn).因此，我們可以通過這兩組射擊成績(jī)與它們的平均成績(jī)的“平均距離”來度量成績(jī)的波動(dòng)幅度.思新知探究思考3：如何定義“平均距離”?

平均距離：含有絕對(duì)值,運(yùn)算不太方便，改用平方代替思新知探究方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義則這組數(shù)據(jù)的方差為①為了計(jì)算方便，還可把方差寫成由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致，我們對(duì)方差開平方.注：s≥0；s=0時(shí)表示這組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都是相等的.設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn，②這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為思新知探究計(jì)算:兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的方差甲：78795491074乙：9578768677①計(jì)算平均值②計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方③將所有平方相加④將上述平方和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（樣本容量）思新知探究思考4：標(biāo)準(zhǔn)差和方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的？特征：標(biāo)準(zhǔn)差和方差刻畫了數(shù)據(jù)的______程度或波動(dòng)幅度．標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越____，越不穩(wěn)定；

標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越____，越穩(wěn)定．在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問題中，一般多采用

.離散大小標(biāo)準(zhǔn)差思新知探究問題2:有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中環(huán)數(shù)如下：甲：78795491074乙：9578768677如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？

甲的成績(jī)離散程度大，乙的成績(jī)離散程度小.

由此可以估計(jì)，乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定.計(jì)算可得：s甲=2，s乙≈1.095

如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，要看一下他們的平均成績(jī)?cè)谒袇①愡x手中的位置.如果兩人都排在前面，就選成績(jī)穩(wěn)定的乙選手，否則可以選甲.s甲>s乙思新知探究樣本和總體的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

思新知探究樣本和總體的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k（k≤N）個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i=1，2，…，k），則總體方差為

在實(shí)際問題中，總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的.就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣，通常我們也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.在隨機(jī)抽樣中，樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取，具有隨機(jī)性.思練習(xí)鞏固1.甲、乙、丙三名學(xué)生在一項(xiàng)集訓(xùn)中的40次測(cè)試分?jǐn)?shù)都在[50，100]內(nèi)，將他們的測(cè)試分?jǐn)?shù)分別繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，記甲、乙、丙的分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為（

）A.s1＞s2＞s3B.s1＞s3＞s2C.s3＞s1＞s2D.s3＞s2＞s1思練習(xí)鞏固2.樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為0，1，2，3，m.若該樣本的平均值為1，則其方差為（

）D.2

思練習(xí)鞏固4.（多選）高一某班的同學(xué)在學(xué)習(xí)了“統(tǒng)計(jì)”后，進(jìn)行了交流討論.甲同學(xué)說：“平均數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)最主要的指標(biāo).”乙同學(xué)說：“眾數(shù)刻畫了總體中個(gè)體的穩(wěn)定或波動(dòng)程度.”丙同學(xué)說“方差越小，表明個(gè)體越整齊，波動(dòng)越小.”丁同學(xué)說：“兩組樣本數(shù)據(jù)對(duì)比分析時(shí)，極差較大的一組數(shù)據(jù)其方差也較大.”其中說法正確的是（

）A.甲B.乙C.丙D.丁思典例解析例1甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖所示：（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；（2）根據(jù)圖形和（1）中計(jì)算結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià).思典例解析

思例2(1)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)為8，則2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的平均數(shù)為()A．8 B．15C．16 D．32B(2)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為8，則2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為()A．8 B．15C．16 D．32C(3)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為()A．8 B．15C．16 D．32D典例解析思?xì)w納小結(jié)數(shù)據(jù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差方差x1，…，xnax1+b，…，axn+b

平均數(shù)、方差的性質(zhì)思新知探究分層抽樣的方差（以分兩層的樣本為例）把第一層樣本記為:x1，x2，…，xm，平均數(shù)記為x，方差記為sx2;把第二層樣本記為:y1，y2，…，yn，平均數(shù)記為y，方差記為sy2;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z，方差記為s2

.則思典例解析例3甲、乙兩支田徑隊(duì)的體檢結(jié)果為：甲隊(duì)體重的平均數(shù)為60kg，方差200，乙隊(duì)體重