河北省秦皇島市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年河北省秦皇島市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.關(guān)于樣本相關(guān)系數(shù)r，下列結(jié)論正確的是(

)A.r>0，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)

B.r<0，成對樣本數(shù)據(jù)不相關(guān)

C.r越接近0，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強

D.r值越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強2.已知X～B(4,12)，則E(3X?2)=A.12 B.9 C.4 D.23.甲、乙兩位同學(xué)從5本不同的課外讀物中各自選讀1本，則這兩人選讀的讀物不同的選法有(

)A.9種 B.10種 C.15種 D.20種4.已知a>b>0，c>0，則(

)A.ba>b+ca+c B.ab>5.已知函數(shù)f(x)=?f′(1)x?4lnx，則(

)A.f(x)的最小值為2?4ln2 B.f(x)的最小值為4?4ln2

C.f(x)的最大值為2?4ln2 D.f(x)無最小值6.(x2+A.924 B.?924 C.252 D.?2527.已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)y=xf′(x)?1的圖象大致如圖所示，則f(x)極值點的個數(shù)為(

)A.1

B.2

C.3

D.48.已知有編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個2號球，兩個3號球.若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取一個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則在兩次取球編號不同的條件下(

)A.第二次取到1號球的概率最大 B.第二次取到2號球的概率最大

C.第二次取到3號球的概率最大 D.第二次取到1，2，3號球的概率都相同二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.我國在預(yù)測人口變化趨勢上有直接推算法、灰色預(yù)測模型、VAR模型、隊列要素法等多種方法，直接推算法使用的公式是Pn=P0(1+k)n(k>?1)，其中Pn為預(yù)測期人口數(shù)，A.若在某一時期內(nèi)?1<k<0，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢

B.若在某一時期內(nèi)k>0，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢

C.若在某一時期內(nèi)0<k<1，則這期間人口數(shù)擺動變化

D.若在某一時期內(nèi)k=0，則這期間人口數(shù)不變10.已知(x?1)21=aA.a0=1 B.a1+a211.已知a>0，b>0，且2a+b=2，則(

)A.ab的最小值是12 B.1a+2b的最小值是4

C.1a212.已知a>0，b>0，且ea=12A.a=b B.a=b+1 C.b=a+1 D.b=a+2第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.函數(shù)f(x)=x2+sinx+2的圖象在x=0處的切線方程為______14.一次函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(f(x?1))=4x+5，則f(x)=______．15.中國救援力量在國際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得榮譽.現(xiàn)有6支救援隊(含甲、乙)前往A，B，C三個受災(zāi)點執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊只能去其中一個受災(zāi)點，且每個受災(zāi)點至少安排1支救援隊，其中A受災(zāi)點至少需要2支救援隊，且甲、乙2支救援隊不能去同一個受災(zāi)點，則不同的安排方法種數(shù)是______．16.已知函數(shù)f(x)=x2x+1+ax2x?1是定義域為(?1,1)的奇函數(shù)，則a=______，關(guān)于四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素對本校學(xué)生體育鍛煉的喜好是否有影響，為此對學(xué)生是否喜歡體育鍛煉的情況進行調(diào)查，得到下表：體育鍛煉性別合計男生女生喜歡280p280+p不喜歡q120120+q合計280+q120+p400+p+q在本次調(diào)查中，男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的47，女生喜歡體育鍛煉的人數(shù)占女生人數(shù)的35．

(1)求p，q的值；

(2)依據(jù)α=0.001的獨立性檢驗，能否認為學(xué)生的性別與喜歡體育鍛煉有關(guān)？

附：χ2=α0.050.0250.0100.001x3.8415.0246.63510.82818.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=log2(x?6)+log12(a?x)，且f(8)=?1．

(1)求f(x)的定義域；19.(本小題12.0分)

若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如146，369，567等)．

(1)從1，2，3，4，5這五個數(shù)中，任取三個數(shù)組成一個三位遞增數(shù)，求這個數(shù)能被5整除的概率．

(2)在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積既不能被3整除，又不能被5整除，參加者得0分；若能被3或5整除，但不能被15整除，得1分；若能被15整除，得2分.已知甲參加該活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望．20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=x2ex?13x3?ax2．

(1)當(dāng)a=1時，求f(x)的極值；21.(本小題12.0分)

“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中共中央宣傳部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，建立縱向到底、橫向到邊的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺.“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺提供權(quán)威、準(zhǔn)確、詳盡、豐富的學(xué)習(xí)資源，通過組織管理和積分獎勵等方法，實現(xiàn)“有組織、有管理、有指導(dǎo)、有服務(wù)”的學(xué)習(xí).某校團委組織全體教職工參加“學(xué)習(xí)強國”知識競賽.現(xiàn)從全校教職工中隨機抽取100人，對他們的分?jǐn)?shù)進行統(tǒng)計，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)現(xiàn)從這100人中隨機抽取2人，記其中得分不低于90分的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和期望．

(2)由頻率分布直方圖，可以認為該地參加競賽人員的分?jǐn)?shù)Y服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差.經(jīng)計算知樣本分?jǐn)?shù)的平均數(shù)Y?=76，樣本分?jǐn)?shù)的方差s2=135.已知該校教職工共有1000人，估計該校這次競賽分?jǐn)?shù)不低于87.61分的教職工人數(shù)．

參考公式：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=(2x?2)ex?ax2+2a2．

(1)若a=1，求不等式f(x)>0的解集；

(2)若0<a<1，證明：f(x)答案和解析1.【答案】A

【解析】解：對于A，若r>0，則成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，故A正確；

對于B，若r<0，則成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)，故B錯誤；

對于C，當(dāng)r越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱，故C錯誤；

對于D，|r|越接近1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強，故D錯誤．

故選：A．

對于A，由r>0，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)判斷；對于B，由r<0，則成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)判斷；對于C，由r越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱判斷；對于D，由|r|越接近1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強判斷．

本題主要考查了相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】C

【解析】解：因為X～B(4,12)，E(X)=4×12=2，

所以E(3X?2)=3E(X)?2=3×4×12?2=4．

故選：3.【答案】D

【解析】解：由分步乘法計數(shù)原理知，不同的選法有5×4=20種．

故選：D．

利用分步乘法計數(shù)原理求解．

本題考查了分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】B

【解析】解：對于A，若a=2，b=1，c=1，則ba=12,b+ca+c=23，因為12<23，所以ba<b+ca+c，所以A錯誤，

對于B，因為a>b>0，所以a?b>0，因為c>0，所以ab?a+cb+c=(a?b)cb(b+c)>0，所以B正確．

對于C，若a=2，c=5，則a2c=20<a5.【答案】B

【解析】解：因為f(x)=?f′(1)x?4lnx(x>0)，則f′(x)=?f′(1)?4x，

令x=1，可得f′(1)=?f′(1)?4，解得f′(1)=?2，

即f′(x)=2?4x=2x?4x(x>0)，

當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(2,+∞)時，f′(x)>0，f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增；

所以f(x)的最小值為4?4ln2，無最大值．

故選：B．

求導(dǎo)，令x=16.【答案】A

【解析】解：由(x2+1x2?2)6=(x?1x)12，

得展開式的通項Tr+1=C12rx12?r(?7.【答案】B

【解析】解：由圖可知，當(dāng)x∈(?∞,?4)時，f′(x)<0，即f(x)在(?∞,?4)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(?4,0)時，f′(x)>0，即f(x)在(?4,0)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(0,4)時，f′(x)>0，即f(x)在(0,4)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(4,+∞)時，f′(x)<0，即f(x)在(4,+∞)上單調(diào)遞減．

所以f(x)在x=?4處取得極小值，在x=4處取得極大值，

故f(x)極值點的個數(shù)為2．

故選：B．

根據(jù)函數(shù)圖象得到f′(x)的取值情況，即可得到f(x)的單調(diào)性，即可得到極值點數(shù)．

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．

8.【答案】B

【解析】解：兩次取球編號不同的條件下，第二次取到1號球的概率P1=14×12=18；

兩次取球編號不同的條件下，第二次取到2號球的概率P2=12×14+14×12=149.【答案】ABD

【解析】解：對于A，由Pn=P0(1+k)n(k>?1)，得當(dāng)?1<k<0時，0<1+k<1，

因為P0>0，所以對任意的n∈N?，Pn>0，

所以Pn+1Pn=P0(1+k)n+1P0(1+k)n=1+k<1，則Pn+1<Pn，

此時，在某一時期內(nèi)?1<k<0，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢，故A對；

對于B，當(dāng)k>0時，1+k>1，

因為P0>0，所以，對任意的n∈N?，Pn>0，

所以，Pn+1Pn10.【答案】BCD

【解析】解：令x=0，則a0=(?1)21=?1，選項A錯誤；

令x=1，則a0+a1+a2+?+a21=0，則a1+a2+a3+?+a21=?a0=1，選項B正確；

令x=?1，則a11.【答案】BC

【解析】解：因為a>0，b>0，且2a+b=2，所以22ab≤2，

所以ab≤12，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=1時，等號成立，則A錯誤；

由題意可得1a+2b=12(2a+b)(1a+2b)=12(ba+4ab+4)≥12×(4+4)=4，

當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=1時，等號成立，則B正確；

因為ab≤12，所以1a2+4b2≥4ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=1時，等號成立，則12.【答案】CD

【解析】解：令f(x)=ex?12x2?ln(x+e)，則f′(x)=ex?x?1x+e．

令g(x)=ex?x?1x+e，則g′(x)=ex?1+1(x+e)2.，

當(dāng)x>0時，ex?1>0，則g′(x)>0恒成立，故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增．

因為g(0)=1?1e>0，所以g(x)>0，即f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>0時，f(x)>f(0)=0，即ex13.【答案】y=x+2

【解析】解：因為f(x)=x2+sinx+2，所以f′(x)=2x+cosx．

則f(0)=2，f′(0)=1，

所以f(x)的圖象在x=0處的切線方程為y=x+2．

故答案為：y=x+2．

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合題意直接求解即可．14.【答案】2x+3

【解析】解：設(shè)f(x)=kx+b，則f(x?1)=kx?k+b，

f(f(x?1))=k(kx?k+b)+b=k2x?k2+kb+b=4x+5，

則k2=4?k2+kb+b=5.又f(x)在R上單調(diào)遞增，即k>0，

所以k=2，15.【答案】266

【解析】解：若將6支救援隊分成1，1，4三組，再分到A，B，C三個受災(zāi)點，

共有C61C51C44A22?A22=30種不同的安排方法，

其中甲、乙去同一個地方的有C42?A22=12種，

所以有N1=30?12=18種不同的安排方法；

若將6支救援隊分成1，2，3三組，再分到A，B，C三個受災(zāi)點，

共有C61C52C33C21A22=240種不同的安排方法，

其中甲、乙去同一個地方的有(C41+C41C31)C21A216.【答案】1

(0,1【解析】解：因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(?x)=x2?x+1+ax2?x?1=?f(x)=?x2x+1?ax2x?1，

則由x的任意性可得a=1，

所以f(x)=x2x+1+x2x?1=2x3x2?1，則f′(x)=6x2(x2?1)?4x4(x17.【答案】解：(1)由題可知280+q400+p+q=47pp+120=35，解得p=180，q=120．

(2)零假設(shè)為H0學(xué)生的性別與喜歡體育鍛煉之間無關(guān)聯(lián)，

根據(jù)列聯(lián)表及(1)【解析】(1)根據(jù)題設(shè)條件，建立p，q的方程組即可求出結(jié)果；

(2)通過計算出χ2=7.609<10.828即可判斷出結(jié)果．

18.【答案】解：(1)f(8)=log22+log12(a?8)=1?log2(a?8)=?1，

則log2(a?8)=2，解得a=12，

則f(x)=log2(x?6)?log2(12?x)，

則x?6>012?x>0，解得6<x<12，故f(x)的定義域為(6,12)．

(2)由(1)知，f(x)=log2(x?6)?log2(12?x)=log2x?6【解析】(1)利用f(8)=?1求出a=12，再求函數(shù)的定義域即可；

(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)f(x)的單調(diào)性，結(jié)合f(8)=?1即可求解．

本題主要考查了函數(shù)值的求解及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．

19.【答案】解：(1)若從1，2，3，4，5這五個數(shù)中，任取三個數(shù)組成的一個三位遞增數(shù)共有C53=10種情況，

若這個數(shù)能被5整除，

此時個位數(shù)為5，滿足條件的情況有C42=6種情況，

則這個數(shù)能被5整除的概率P=610=35；

(2)易知X的所有取值為0，1，2，

因為滿足條件的三位遞增數(shù)共有C93=84種情況，

當(dāng)X=0時，抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積既不能被3整除，又不能被5整除，

此時該三位遞增數(shù)中不能含有數(shù)字3，5，6，9，

則滿足條件的三位遞增數(shù)有C53=10種情況，

則P(X=0)=1084=542，

當(dāng)X=1時，抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積能被3或5整除，但不能被15整除，

此時該三位遞增數(shù)中有數(shù)字5且沒有數(shù)字3，6，9或至少有數(shù)字3，6，9中的1個且沒有數(shù)字5，

則滿足條件的三位遞增數(shù)有C52+C31C52+C32CX012P523此時E(X)=0×542【解析】(1)由題意，得到滿足條件的三位遞增數(shù)和個位數(shù)能被5整除的情況，利用古典概型概率公式進行求解即可；

(2)先得到X的所有取值，求出相對應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．

本題考查離散型隨機變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查了邏輯推理和運算能力．

20.【答案】解：(1)因為a=1，所以函數(shù)f(x)=x2ex?13x3?x2，f′(x)=(x2+2x)(ex?1)，

令f′(x)=0，得x=?2或0．

且當(dāng)x<?2時，f′(x)<0，當(dāng)x>?2時，f′(x)≥0，

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,?2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(?2,+∞)．

從而f(x)的極小值為f(?2)=4e2?43，無極大值．

(2)因為函數(shù)f(x)=x2ex?13x3?ax2，所以f′(x)=(x2+2x)ex?x2?2ax，

因為f(x)在(0,+∞)上恰有1個極值點，

所以f′(x)在(0,+∞)上恰有一個變號零點．【解析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)即可得到其極值；

(2)根據(jù)題意，將極值點轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究，即可得到結(jié)果．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查分類討論思想及運算求解能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：(1)由題意可知這100人中得分不低于90分的人數(shù)為100×0.15=15，

則X的所有可能取值為0，1，2，

P(X=0)=C852C1002=119165X012P119177故E(X)=0×119165+1×1766+2×7330=310．

(2)由題可得μ=Y?=76，【解析】(1)由題意得到X的所有可能取值為0，1，2，分別求得其相應(yīng)概率，列出分布列，再求期望；

(2)根據(jù)題意得到μ=Y?=76，σ2=s22.【答案】解：(1)已知f(x)=(2x?2)ex?ax2+2a2，函數(shù)定義域為R，

當(dāng)a=1時，f(x)=(