河北省邯鄲市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年河北省邯鄲市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合A={?1,0,1}，B={x|x2?3x+2=0}，則A∪B=A.{1} B.{1,2} C.{?1,0,1} D.{?1,0,1,2}2.已知復(fù)數(shù)z=2+i，且az?z?+b=0，其中a，b為實(shí)數(shù)，則A.a=?1，b=?4 B.a=?1，b=4

C.a=1，b=?4 D.a=1，b=43.已知向量a,b滿足|a|=1,|bA.1 B.2 C.?1 D.?24.開普勒第一定律也稱橢圓定律、軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點(diǎn)上.將某行星H看作一個質(zhì)點(diǎn)，H繞太陽的運(yùn)動軌跡近似成曲線x2m+y2n=1(m>n>0)，行星H在運(yùn)動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點(diǎn)距離，距離太陽最遠(yuǎn)的距離稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.若行星H的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是18(距離單位：億千米)A.39 B.52 C.86 D.975.如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，正方形ABCD和A1B1C1D1的中心分別為O1和O2，A.23 B.26 C.6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=ex?2+2x?5，則不等式xf(x)>0的解集是A.(?2,0)∪(2,+∞) B.(?∞,?2)∪(0,2)

C.(?2,0)∪(0,2) D.(?∞,?2)∪(2,+∞)7.在一個3×3宮格中，有如圖所示的初始數(shù)陣，若從中隨機(jī)選擇2個宮格，將其相應(yīng)的數(shù)字變成相反數(shù)，得到新的數(shù)陣，則新的數(shù)陣中所有數(shù)字之和為25的概率為(

)123456789A.19 B.318 C.298.已知a=22?2,b=e27A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)=(

)A.sin(8x?π3)

B.sin(8x?π

10.某校為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)，對2022屆初三年級所有學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)情況進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計，結(jié)果如圖1所示.該校2023屆初三學(xué)生人數(shù)較2022屆初三學(xué)生人數(shù)上升了10%，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)分布條形圖如圖2所示，則(

)

A.該校2022屆初三年級學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在[30,60)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占70%

B.該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在[60,80]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)同個數(shù)段的學(xué)生人數(shù)的2.2倍還多

C.該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)和2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)的中位數(shù)均在[50,60)內(nèi)

D.相比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)占比增加11.已知函數(shù)f(x)=x3?mx，若過點(diǎn)P(?1,1)恰能作2條曲線y=f(x)的切線，則m的值可以為A.0 B.1 C.2 D.312.如圖1，《盧卡?帕喬利肖像》是意大利畫師的作品.圖1中左上方懸著的是一個水晶多面體，其表面由18個全等的正方形和8個全等的正三角形構(gòu)成，該水晶多面體的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，如圖2.若MN=2，則(

)A.AB=32

B.該水晶多面體外接球的表面積為(10+42)π

C.直線HG與平面HPQ所成角的正弦值為33

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知圓C的圓心為點(diǎn)C(2,1)，且經(jīng)過原點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．14.已知α∈[0,2π]，sin2α?cos2α=1，則α的取值可以是______.(寫出一個即可)15.已知a>1，b>1，且log2a=logb16，則ab16.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，過M的直線l與C交于A，B兩點(diǎn).若MA=AB，則直線l的斜率為四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a+b=10，c=27，且csinB=3bcosC．

(1)求C；

(2)18.(本小題12.0分)

在數(shù)列{an}中，a2=2，a3+a7=10，且an+1=2an?an?1(n≥2)．

(1)求數(shù)列{an19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PD=CD=AD=2AB=4，AB/?/CD，∠CDA=90°，E，F(xiàn)分別為棱PD，PB的中點(diǎn)，PG=14PC．

(1)證明：A，G，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．

(2)求平面ABF與平面20.(本小題12.0分)

世界衛(wèi)生組織建議成人每周進(jìn)行2.5至5小時的中等強(qiáng)度運(yùn)動.已知A社區(qū)有20%的居民每周運(yùn)動總時間超過5小時，B社區(qū)有30%的居民每周運(yùn)動總時間超過5小時，C社區(qū)有50%的居民每周運(yùn)動總時間超過5小時，且A，B，C三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為3：3：4．

(1)從這三個社區(qū)中隨機(jī)各選取1名居民，求至少有1名居民每周運(yùn)動總時間超過5小時的概率；

(2)從這三個社區(qū)中隨機(jī)抽取1名居民，求該居民每周運(yùn)動總時間超過5小時的概率；

(3)假設(shè)這三個社區(qū)每名居民每周運(yùn)動總時間為隨機(jī)變量X(單位：小時)，且X～N(4,σ2)，現(xiàn)從這三個社區(qū)中隨機(jī)選取1名居民，求該居民每周運(yùn)動總時間為3至21.(本小題12.0分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(4,2)，雙曲線C的右焦點(diǎn)F到其漸近線的距離為2．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知Q(0,?2)，D為PQ的中點(diǎn)，作PQ的平行線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線AQ與雙曲線C交于另一點(diǎn)M，直線BQ與雙曲線C交于另一點(diǎn)22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=3ex?aln(x+1)．

(1)若f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)若f(x)?sinx≥3在[0,+∞)上恒成立，求a的取值范圍．答案和解析1.【答案】D

【解析】解：集合A={?1,0,1}，B={x|x2?3x+2=0}={1,2}，

則A∪B={?1,0,1,2}．

故選：D．

求出集合B，利用并集定義能求出A∪B．2.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閦?=2?i，所以az?z?+b=a(2+i)?(2?i)+b=(2a+b?2)+(a+1)i，

由az?z?+b=0，得2a+b?2=0a+1=0，即a=?1b=43.【答案】C

【解析】解：已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|a+2b|=13，

則a2+4a?b+44.【答案】D

【解析】解：設(shè)橢圓的方程：x2a2+y2b2=1，(a>b>0)，設(shè)c為半焦距，由題意m=a2，n=b2，

由橢圓的性質(zhì)可得a+c+a?c=18(a+c)(a?c)=16，可得a2=81，b2=a25.【答案】B

【解析】解：連接AO1，A1O2，作A1E⊥AO1，垂足為E，

∠AA1E即直線O1O2與直線AA1所成的角，6.【答案】D

【解析】解：當(dāng)x>0時，f(x)=ex?2+2x?5，則f′(x)=ex?2+2，

∵x>0，∴f′(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，且f(0)=0，

則f(2)=0，f(?2)=0，

作出草圖，如圖所示：

不等式xf(x)>0，則x>0f(x)>0或x<0f(x)<0，

由圖象得x<?2或x>?2，即原不等式的解集為(?∞,?2)∪(2,+∞)．

故選：D．

由題意得f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，結(jié)合題意可得f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，且f(0)=0，7.【答案】A

【解析】解：初始數(shù)陣中所有數(shù)字之和為1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，

設(shè)選擇的2個宮格的數(shù)字為a，b，

則45?2a?2b=25，

所以a+b=10，

所以選擇的2個宮格的數(shù)字有(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，共4種情況，

所以新的數(shù)陣中所有數(shù)字之和為25的概率為C41C92=19．

故選：A．

設(shè)選擇的2個宮格的數(shù)字為a，b，由題意可知a+b=10，所以選擇的2個宮格的數(shù)字有(1,9)，(2,8)，(3,7)8.【答案】B

【解析】解：已知a=22?2,b=e27，c=ln2，

因?yàn)閑2>2.72=7.29>7，

所以e27>1，

則b>1，

又22?2<2×32?2=1，

則a<1，

所以b>a，

不妨設(shè)f(x)=x?2?lnx3，函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)，

可得f′(x)=12x?13x=3x?26x，

當(dāng)0<x<49時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>49時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

因?yàn)?2>e，

所以8>e2，

此時9.【答案】BC

【解析】解：根據(jù)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的部分圖象，可得A=1，

T2=7π48?π48=πω，∴ω=8．

再跟五點(diǎn)法作圖，可得8×π48+φ=0，可得φ=?π6，

f(x)=sin(8x?π6)=cos[π10.【答案】ABD

【解析】解：A選項(xiàng)，由圖1可知，2022屆初三年級學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在[30,60)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)頻率為20%+25%+25%=70%，A正確；

B選項(xiàng)，設(shè)2022屆初三學(xué)生人數(shù)為a(a>0)，由圖1可知，2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在[60,80]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.2a，

2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在[60,80]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為a×(1+10%)×41%=0.451a，0.451a>0.2a×2.2=0.44a，B正確；

C選項(xiàng)，2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)的中位數(shù)在[40,50)內(nèi)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)的中位數(shù)在[50,60)內(nèi)，C錯誤；

D選項(xiàng)，2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)占25%+15%+5%=45%，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)占41%+34%+7%=82%，D正確．

故選：ABD．

根據(jù)統(tǒng)計圖逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論．

本題考查由頻數(shù)分布表、直方圖求頻數(shù)、頻率，考查頻率公式，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】BC

【解析】解：由f(x)=x3?mx，得f′(x)=3x2?m，

設(shè)切點(diǎn)為(t,t3?mt)，則過切點(diǎn)的切線方程為y=(3t2?m)(x?t)+t3?mt，

把點(diǎn)P(?1,1)代入，可得1=(3t2?m)(?1?t)+t3?mt，

整理得：m=2t3+3t2+1．

令g(t)=2t3+3t2+1，則g′(t)=6t2+6t=6t(t+1)，

則當(dāng)t∈(?∞,?1)∪(0,+∞)時，g′(t)>0，當(dāng)t∈(?1,0)時，g′(t)<0，

可得g(t)的增區(qū)間為(?∞,?1)，(0,+∞)，減區(qū)間為(?1,0)．

∴g(t)的極大值為g(?1)=2，極小值為g(0)=1，

又當(dāng)12.【答案】BCD

【解析】解：由水晶多面體的結(jié)構(gòu)特征可得NF=MN=2，

進(jìn)而可得AB=2+2，故A錯誤；

在水晶多面體在大正方體的對面的兩個正方形構(gòu)成的長方體的外接球，

即為該水晶多面體外接球，

設(shè)外接球的半徑為R，由題意可得(2R)2=(2+2)2+(2)2+(2)2，

∴4R2=42+10，故該水晶多面體外接球的表面積為4πR2=(10+42)π，故B正確；

∵GK//HQ，∵K到平面HPQ的距離即為點(diǎn)G到平面HPQ的距離，

設(shè)點(diǎn)G到平面HPQ的距離為d，

由VH?PQK=13.【答案】(x?2)【解析】解：圓C的圓心為點(diǎn)C(2,1)，且經(jīng)過原點(diǎn)，故圓的半徑為r=22+12=5；

故圓的方程為(x?2)14.【答案】π4(或π2或5π【解析】解：因?yàn)閟in2α?cos2α=1，

所以2sinαcosα?2cos2α+1=1，

即sinαcosα=cos2α，

則cosα=0或sinα=cosα，

所以α=π2+kπ或α=π4+kπ，k∈Z，

因?yàn)棣痢蔥0,2π]，

所以α的取值可以是π4或π2或5π4或3π2．

故答案為：π4(或π2或5π15.【答案】16

【解析】解：因?yàn)閍>1，b>1，設(shè)log2a=logb16=k，

所以lgalg2=lgk，lga=lgk?lg2，

lg16lgb=lgk，lgb=lg16lgk，

lga+lgb=lgk?lg2+lg16lgk≥2(lgk?lg2)?lg16lgk=4lg2，

當(dāng)且僅當(dāng)lgk?lg2=lg16lgk，即k=100，a=2100，b=10016時取“16.【答案】±2【解析】解：設(shè)直線l的方程為x=my?p2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立x=my?p2y2=2px，得y2?2pmy+p2=0．

Δ=4p2m2?4p2>0，解得m<?1或m>1．

由韋達(dá)定理得y1y2=p2，

又M(?p2,0)，MA17.【答案】解：(1)因?yàn)閏sinB=3bcosC，由正弦定理可得sinCsinB=3sinBcosC，

因?yàn)閟inB≠0，所以sinC=3cosC，即tanC=3，

因?yàn)镃∈(0,π)，所以C=π3．

(2)因?yàn)閍+b=10，c=27，

所以由余弦定理【解析】(1)由正弦定理可得sinCsinB=3sinBcosC，從而可得tanC=3，進(jìn)而可得C的值；

(2)由余弦定理可求得18.【答案】解：(1)由an+1=2an?an?1，得an+1?an=an?an?1，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，

所以a3+a7=2【解析】(1)由an+1=2an?an?1，得an+1?an=an?an?1，所以數(shù)列{19.【答案】解：(1)證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD，CD?平面ABCD，

所以PD⊥AD，PD⊥CD，

又底面ABCD為直角梯形，∠CDA=90°，

故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(4,0,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(2,1,2)，G(0,1,3)，

則AE=(?4,0,2)，AF=(?2,1,2)，AG=(?4,1,3)，

設(shè)AG=mAE+nAF，

則?4m?2n=?42m+2n=3，

解得m=12n=1，

所以AG=12AE+AF，

故A，G，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．

(2)設(shè)n=(x,y,z)是平面AEF的法向量，

則n?AF=?2x+y+2z=0n?AE=?4x+2z=0，

則可取n=(1,?2,2)，

取AP的中點(diǎn)H，則H(2,0,2)，連接DH，

又因?yàn)镻D=AD，

所以DH⊥AP，

又由(1)可知，CD⊥AD，PD⊥CD，

且AD∩PD=D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，

又AB/?/CD，

所以AB⊥平面PAD，

又DH?平面PAD，

所以DH⊥AB，

又AP∩AB=A，AP?平面ABF，AB?平面【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，只需證明存在m，n∈R，使AG=mAE+nAF，即可得到A，G，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；

(2)分別求出平面ABF與平面AEF20.【答案】解：(1)設(shè)從A，B，C三個社區(qū)中各選取的1名居民的每周運(yùn)動總時間超過5小時分別為事件A，B，C，

則P(A)=15,P(B)=310,P(C)=12．

設(shè)選取的3名居民中至少有1名居民每周運(yùn)動總時間超過5小時為事件M，

則事件M的對立事件為選取的3名居民每周運(yùn)動總時間都沒有超過5小時，

所以P(M)=1?P(M?)=1?(1?15)(1?310)(1?12)=1825，

故選取的3名居民中至少有1名居民每周運(yùn)動總時間超過5小時的概率為1825．

(2)設(shè)A，B，C三個社區(qū)的居民人數(shù)分別為3a，3a，4a，

則A社區(qū)每周運(yùn)動總時間超過5小時的人數(shù)為3a×20%=0.6a，

B社區(qū)每周運(yùn)動總時間超過5小時的人數(shù)為3a×30%=0.9a，

C社區(qū)每周運(yùn)動總時間超過5小時的人數(shù)為4a×50%=2a，

所以P=0.6a+0.9a+2a3a+3a+4a=0.35，

故從這【解析】(1)根據(jù)概率公式，先算出該居民是各社區(qū)且每周運(yùn)動時間沒有超過5小時的概率，由對立事件的概率公式求解即可；

(2)由于A，B，C三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為3：3：4，設(shè)出三個社區(qū)的居民人數(shù)，計算出各社區(qū)每周運(yùn)動總時間超過5小時的人數(shù)，然后由頻率估計概率即可；

(3)由正態(tài)分布的性質(zhì)結(jié)合條件求解即可．

本題考查離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用，屬于中檔題．

21.【答案】解：(1)因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為y=±bax，

所以雙曲線C的右焦點(diǎn)F到其漸近線的距離為bca2+b2=b=2，

因?yàn)殡p曲線C經(jīng)過點(diǎn)P(4,2)，所以16a2?422=1，解得a2=8，

故雙曲線C的方程為x28?y24=1．

(2)證明：因?yàn)镻(4,2)，Q(0,?2)，D為PQ的中點(diǎn)，所以D(2,0)，kPQ=1，

設(shè)直線l的方程為y=x+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)，N(x_N,y_N)，

所以kAQ=y1+2x1，kBQ=y2+2x2【解析】(1)根據(jù)雙曲線的漸近線方程和點(diǎn)到直線的距離公式求