328059466.2.4 平面向量的數(shù)量積 -2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步教學(xué)課件

6.2.4平面向量的數(shù)量積1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.掌握向量的數(shù)量積公式及投影的定義.3.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及其運(yùn)算律,并能運(yùn)用這些性質(zhì)與運(yùn)算律解決有關(guān)問題.

從前面的學(xué)習(xí)我們知道，任意兩個(gè)向量都可以進(jìn)行加、減運(yùn)算，數(shù)字與向量之間可以進(jìn)行乘法運(yùn)算.我們自然會(huì)提出：任意兩個(gè)向量是否也可以進(jìn)行乘法運(yùn)算呢？如果能，該如何定義向量的乘法運(yùn)算呢？向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量

，.如圖，O是平面上任意一點(diǎn)，作

，

，則

叫做向量

與

的夾角.顯然：當(dāng)

時(shí)，

與

同向；當(dāng)

時(shí)，

與

反向；當(dāng)

時(shí)，

與

垂直，記作.注：

與

的夾角也可記作.平面向量數(shù)量積的物理背景與含義

如圖，一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移

s，且力F與位移

s的夾角為

θ，那么力F所做的功W是多少？

功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量所確定，或者說由力的大小、位移的大小和兩個(gè)向量的夾角所確定，數(shù)學(xué)上，我們把“功”稱為向量F與向量s

的“數(shù)量積”.sFθ

一般地，已知兩個(gè)非零向量

和

，它們的夾角為

，我們把數(shù)量

叫做

與

的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作

，即注：(1)零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即

．(2)中間的“·”在向量的運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能寫成

．例1.已知

，

，當(dāng)(1)；(2)；(3)與

的夾角為60°時(shí)，分別求

與

的數(shù)量積.例2.已知

，

，

，求

與

的夾角θ.平面向量的單位化思考：對(duì)任意非零向量

，

是與

方向相同，模長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度1的向量，則

可以怎樣用

表示？解：因?yàn)?/p>

與

同向，則有

，即

，化簡(jiǎn)得

，所以.平面向量數(shù)量積的幾何意義

已知兩個(gè)非零向量

，.如圖，O是平面上任意一點(diǎn)，作

，

，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則

，我們把它叫做向量

在向量

上的投影.

向量

就叫做向量

在向量

上的投影向量.例3.已知

，

為單位向量，它們的夾角為

，則

在

上的投影是________；

在

上的投影向量是________.例4.已知

，

在

上的投影是

，則()A.3 B. C.2 D.B平面向量數(shù)量積的代數(shù)性質(zhì)設(shè)向量

、

是非零向量，它們的夾角是θ，

是與

同向的單位向量：(1).(2)(判斷兩向量垂直的依據(jù))(3)當(dāng)

與

同向時(shí)，

；當(dāng)

與

反向時(shí)，

.特別地，.(4).(5).(6)對(duì)于向量

，

，

和實(shí)數(shù)

λ，有①②③注：對(duì)任意向量

，

，有例5.(1)已知

，

，且

與

的夾角

，求

，

，

；(2)已知

，

，且

，若

與

垂直，求

k的值.1.向量的數(shù)量積是一種向量的乘法運(yùn)算，它與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣，也有明顯的物理背景和幾何意義，