初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊學(xué)案221

第二十二章二次函數(shù)

22.1.1二次函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解掌握二次函數(shù)的概念和一般形式.

2.會利用二次函數(shù)的概念解決問題.

3.能根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式.

重點：理解掌握二次函數(shù)的概念和一般形式.

難點：能根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式.

自主學(xué)習(xí)

一、知識鏈接

L什么是函數(shù)?

2.什么是一次函數(shù)？正比例函數(shù)?

3.一元二次方程的一般形式是什么?

課堂探究

二、要點探究

探究點1：二次函數(shù)的相關(guān)概念

問題1正方體的六個面是全等的正方形，設(shè)正方體棱長為尤，表面積為y,則y關(guān)于x的

關(guān)系式為.

問題2〃個球隊參加比賽，每兩個隊之間進(jìn)行一場比賽，比賽的場次數(shù)，〃與球隊數(shù)"有什

么關(guān)系？

問題3某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20t,計劃今后兩年增加產(chǎn)量.如果每年都比上一年的產(chǎn)量

增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計劃所定的尤的值而確定，y與x之間的關(guān)系

怎樣表示？

想一想：問題1~3中函數(shù)關(guān)系式有什么共同點?

要點歸納：一般地，形如y=a^+bx+c{a,b,c是常數(shù)，存0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中x是

自變量，fl,b,c分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

溫馨提示：

(1)a,b,c為常數(shù)，且存0；

（2）等號左邊是變量y,右邊是關(guān)于自變量尤的整式；

（3）等式的右邊最高次數(shù)為2,可以沒有一次項和常數(shù)項，但不能沒有二次項.

典例精析

例1下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)？為什么？（x是自變量）

@y=aj<r+bx+c；②y=3—2/；③廣昌

④y=[；⑤尸升了3+25；@_y=（x+3）2—%2；

方法總結(jié)：判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，先看原函數(shù)和整理化簡后的形式再作判斷.二次

函數(shù)除了有一般形式產(chǎn)辦之外，還有一些特殊形式，如y=ax1,y=ax2+bx,y=ax1+c

等.

例2若函數(shù)y=（7〃+1）彳"-"""+（*3）x+4是二次函數(shù)，求機(jī)的值.

歸納：本題易忽略二次項系數(shù)。加這一限制條件，從而得出根=-1的錯誤答案，需要引起

同學(xué)們的重視.

針對訓(xùn)練一個二次函數(shù)y=（k-1）/一次+4+一1.

⑴求上的值；

⑵當(dāng)x=0.5時，y的值是多少？

探究點2：根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式

問題矩形綠地的長為xm,面積為yn?.

（1）若該矩形綠地的長為寬的2倍,則寬為____與x之間的關(guān)系式為；

想一想自變量的取值范圍是.

（2）若該矩形綠地的長比寬多6m,則寬為_____m,y與x之間的關(guān)系式為.

想一想自變量的取值范圍是.

例3如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的矩形菜園

設(shè)AB邊長為尤米，求菜園的面積y（單位：平方米）與x（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式.

墻

A1-----------------'B

注意：在根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式時，要注意自變量的取值范圍.

例4某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次，第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)

95件，每件利潤6元.每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件.若生

產(chǎn)第尤檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元（其中x為正整數(shù)，且1裝10）,求出y關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式.

三、課堂小結(jié)

形如yuad+bx+cm，%,。是常數(shù),際0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中x是

二次函數(shù)的定義自變量，a,b,c分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常

數(shù)項

二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax1+bx+c（a^0,a,b,c是常數(shù)）

y=aj3；

二次函數(shù)的特殊形式y(tǒng)=ax^+bx^

y=a^+c（a^0,a,b,c是常數(shù)）.

當(dāng)堂檢測

1.下列函數(shù)是二次函數(shù)的是()

2

A.y=2x~\-1B.y=—

x

C.y=3/+lD.y=±+l

X

2.函數(shù)y=(m—n)x2,+nvc+n是二次函數(shù)的條件是()

A.m,〃是常數(shù)，且用0B.7",“是常數(shù)，且存0

C.m,〃是常數(shù)，且機(jī)制D.祖，w為任何實數(shù)

3.把y=(2—3x)(6+x)變成y=ax2+bx+c的形式，二次項為,一次項系數(shù)為,常

數(shù)項為.

4.已知函數(shù)產(chǎn)3/底1-5.

①當(dāng)機(jī)=時，y是關(guān)于尤的一次函數(shù)；

②當(dāng)m=時，y是關(guān)于x的二次函數(shù).

5.若函數(shù)y=(a-4)/-3。-2+。是二次函數(shù)，

(1)求。的值.

(2)求函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)廣一2時，y的值是多少？

6.寫出下列各函數(shù)關(guān)系式：

(1)寫出圓的面積y(cm2)與它的周長x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)菱形的兩條對角線的和為26cm,求菱形的面積S(cm2)與一對角線長x(cm)之間的函數(shù)

關(guān)系式.

7.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的商品，根據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售,

一個月能售出500kg,銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10kg,針對這種商品的銷售情

況，請解答下列問題：

(1)當(dāng)銷售單價為每千克55元時，計算月銷售量和銷售利潤分別為多少？

(2)設(shè)銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與尤的函數(shù)關(guān)系式.(不必寫出自變

量x的取值范圍)

8.矩形的周長為16cm,它的一邊長為x(cm),面積為y(cm2).

(1)寫出y與尤之間的函數(shù)解析式及自變量尤的取值范圍；

(2)當(dāng)戶3時，求矩形的面積.

參考答案

自主學(xué)習(xí)

知識鏈接

1.一般地，在一個變化的過程中，如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值，y

都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說尤是自變量，y是無的函數(shù).

2.一般地，形如尸fcc+b(￡6是常數(shù)，上0)的函數(shù)叫做一次函數(shù).當(dāng)6=0時，一次函數(shù)產(chǎn)履

就叫做正比例函數(shù).

3.ax2+bx+c=Q(存0)

課堂探究

二、要點探究

探究點1：二次函數(shù)的相關(guān)概念

問題1y=6^

問題2m=-n2-—n

22

問題3y=20(1+尤)2=20砂+40彳+20

想一想函數(shù)都是用自變量的二次整式表示的.

典例精析

例1解：②③是二次函數(shù)；①不一定是，缺少a,b,c是常數(shù)，且存0的條件.④不是,

等式右邊是分式；⑤不是,x的最高次數(shù)是3；⑥不是，等式右邊化簡后，等式變形為y=6x+9,

是一次函數(shù).

例2解：由題意得上二2：T=2,...根=3.

［加+1/0,

針對訓(xùn)練

解：(1)由題意的卜一"+4=2,2.

⑵由⑴得，y=x2+2x-1,將x=0.5代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=%2+2%-1,得

y=0.52+2?0.51=025.

探究點2：根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式

問題(1)0.5xy=0.5N想一想x>0

(2)(x-6)y=x(x-6)想一想x>6

,12

例3解：邊長為尤米，邊長為;(30-x)?|e..,.y=-(30-x)x=-yx+15(0<x<30).

例4解：由題意得，第尤檔次，提高了(x—1)檔，利潤增加了2(x—1)元，產(chǎn)量減少了

5(x—1)件..".y=[6+2(^—1)][95—5(x—1)],即y=—10爐+180尤+400(其中x是正整數(shù)，

且l<x<10).

當(dāng)堂檢測

3

l.C2.C3.-3N-16124.1-

2

5解：(1)由題意，得['解得。=-1.

[a-4w0,

(2)當(dāng)斫-1時，函數(shù)關(guān)系式為y=(-l-4口2-1=-5/-1.

(3)將廣-2代入函數(shù)關(guān)系