全國(guó)理數(shù)第37課 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

第37課空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

普查講37空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1.空間向量及其運(yùn)算

a.空間向量的基本定理及線性運(yùn)算

(1)(經(jīng)典題，13分)如圖37—2所示，已知E,F,G,”分別是空間四邊形ABC。的邊

AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).

(I)求證：E,F,G,"四點(diǎn)共面;

(II)求證：BD〃平面EFGH；

(III)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)0,有痂無+又1+而).

答案：(1)(11)(111)見證明過程

證明：(I)連接H分別為AB和AZ)的中點(diǎn)，

：.EH//BD,JiEH=^BD,：.EH=^BD.

G是8的中點(diǎn)，,BG=1(fiC+BD),

：.EG^EB+BG=EB+^BC+Bb)^EB+BF+EH^EF+EH.

由向量共面的充要條件，可知E,F,G,，四點(diǎn)共面.(5分)

(11)由(I)知EH//BD,

?.,E//U平面EFGH,80?平面EFGH,

〃平面EFGH.(8分)

(III)由(I)知麗=g而，同理壽而，：.EH^FG,：.EH//FG,EH=FG,四邊形

EFGH為平行四邊形，

為對(duì)角線EG的中點(diǎn)，

：.0M=^0E+0G).(10分)

又E,G分別是AB,8的中點(diǎn)，：.OE=^OA+OB),dG=1(dC+5b),：.OM=^OE

+0G)=^1COA+OB)+1C0C+0D)^=^(0A+0B+0C+db).(13分)

b.空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

(2)(經(jīng)典題，5分)已知向量a=(l,0,一1),則下列向量中與a成60。夾角的是()

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)

C.(0,一1,1)D.(-1,0,1)

答案：B

解析：不妨設(shè)與向量。成60。夾角的向量為江

對(duì)于A,當(dāng)〃=(—1,1,0)時(shí),溫=M=T不滿足條件;

對(duì)于B,當(dāng)b=(l,—1?0)時(shí)，\ci\\b\~yj?Xy[2=^f滿足條件；

對(duì)于C,當(dāng)八(0'-1,1)時(shí),髓=&rT不滿足條件;

對(duì)于D,當(dāng)匕=(一1,0,1)時(shí)，瑞=[日克=—1,不滿足條件.

(3)(2015浙江，6分)已知e1，e?是空間單位向量，eie=5,若空間向量b滿足加幻=2,

萬?2=,，且對(duì)于任意x，yCR，也一(xei+陽(yáng))閆〃-5)01+)懶)|=l(xo，y()WR),則xo=,

yo=.1*1=-

答案：122小

解析：：?，02是單位向量，e\C2=2<

?/\1

..cos\e\,62)—2-

又,.?0°W””e2〉W180°,；.Qi，e2〉=60°.

不妨把向量e1，e2放到空間直角坐標(biāo)系。一町z的平面xOy中，設(shè)ei=(l,0,0),ei—

Q,坐，0),再設(shè)初=0=(zn,n,r).由be\—2,b-ez—y得膽=2,n=y[3,則Z>=(2,小，

r)._

而xei+ye2是平面xOy中的任意向量，由仍一(xei+ve2)l》l知點(diǎn)B(2,A/5,r)到平面xOv

的距離為1,

理解田一(xei+ye2)|》l的幾何意義是解題的關(guān)健.

故「=±1,則b=(2,小,±1),：.\b\=2y]2.

'/|i—(,xoe\+yo?2)l=1)

綜上，xo=l，yo—2,\b\=2y[2.

2.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

a.利用向量法證明垂直與平行問題

(4)(經(jīng)典題，12分)如圖37—5所示，在四棱錐p—ABC。中，PC_L平面48CC,PC=2,

在四邊形ABCQ中，ZB=ZC=90°,AB=4,CZ)=1,點(diǎn)M在PB上，PB=4PM,P8與平

面ABC。成30。的角.求證：

p

圖37-5

（I）CM〃平面PAD；

（II）平面平面RAD.

答案：（1）（H）見證明過程

證明：（I）；尸C_L平面ABC。，：.PCLCD,PCA.BC.

又NC=90。，，CB,CD,CP兩兩垂直.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CZ）所在直線為），軸，CP所在直線為z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.（l分）

?.了（7，平面48。。，...NPBC為PB與平面ABC。所成的角，AZPBC=30°.

VPC=2,：.BC=2事,PB=4.

，C（0,0,0）,D（0,1,0）,B（2小，0,0）,A（2小，4,0）,P（0,0,2）.

：PB=4PM,惇0,I）,：.DP=（0,-l,2）,DA=（2V3,3,0）,CM=（^-,0,1J（2

分）

設(shè)"=（x,y,z）為平面以。的法向量，

而n=0,f—y+2z=0,

由V得r,

扇〃=0,12小x+3y=0,

令y=2,得〃=（—S，2,1）.（4分）

Vn-CA/=-V3X：^+2X0+lx|=0,：.nLCM.

又CM.平面南O,〃平面外￡）.（6分）

（II）（法一）由（I）知法=（0,4,0）,麗=（2小，0,-2）.設(shè)平面PAB的法向量為機(jī)=（xo,

Jo>Zo），

得產(chǎn)=0,

叫B-Am=0,

[2小xo—2zo=0,

.曲,”=0,

令必=1,得m=（l,0,b）.（9分）

「平面外力的一個(gè)法向量”=（一小，2,1）,

IX（一小）+0X2+小X1=0,

平面以8_L平面B4D.（12分）

（法二）如圖，取AP的中點(diǎn)E,連接BE,

則改小，2,1）,昉=（一小，2,1）.

易知曲〃n,平面PAD.（\O分）

又BEu平面PAB,

平面以BJ_平面布D（12分）

b.求異面直線所成的角

（5）（2015全國(guó)I,12分）如圖37-7所示，四邊形ABCZ）為菱形，/ABC=120。，E,F

是平面ABC。同一側(cè)的兩點(diǎn)，BELL平面ABC。，力B_L平面ABC。，BE=2DF,AELEC.

（I）證明：平面AEC_L平面AFC；

（II）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

答案：（I）見證明過程（II）坐

解：（I）證明：如圖，連接8。，設(shè)8OCAC=G,連接EG,FG,EF.

在菱形ABC￡>中，不妨設(shè)G8=l,由/ABC=120。，可得AG=GC=小，AB=BC=2.

由BE_L平面ABCD,AB=BC,可知BE1AB,BE±BC,：.AE2=BE2+AB2=BE2+BC2

=EC2,，AE=EC.又AE_LEC,.?.△EAC為等腰直角三角形，；.￡：6=）。=/，且EG_L4c（2

分）

在RtZXEBG中，:GB=1,EG=p：.BE=y12f

:.DF=3BE=坐.

5r

在RtZXFDG中，V￡>G=1,DF=+，：.FG=^,

在直角梯形BDFE中,,:BD=2,BE=0,DF=^,

22+

.\EG±FG.（4分）

又ACCBG=G,，EG_L平面AFC

：EGu平面4EC,

二平面AEC_L平面4尸C.（6分）

z。vy

（11）（法一）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以G8,GC所在直線為x軸、y軸，以過點(diǎn)G

與8E平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系G-“z.

設(shè)G8=l,則由（I）可得A（0,一.,0）,E（l,0,包,從一1,0,亭）,C（0,0）,

：.AE={\,小,柩,市=（—1,一小，乎），（10分）

AECF小

（AE,CF}

cos———「一3'

|AE||CF|

直線AE與直線CF所成角為向量能，亦夾角的補(bǔ)角，

直線4E與直線CF所成角的余弦值為坐.（12分）

（法二）如圖，延長(zhǎng)EB,尸G交于點(diǎn)“，連接A4,CH.

由于G是BO的中點(diǎn)，E"〃0F,，G為H尸的中點(diǎn).

又G平分AC,.?.四邊形AHCF為平行四邊形，

：.AH//FC,且A”=FC,則NE4H或其補(bǔ)角即為異面直線AE與C尸所成角.（8分）

,:BG=GD,NBGH=NFGD,HG=FG,

:.△BGHQADGF,

：.BH=DF.

設(shè)G8=l,由（I）知，EH=EB+BH=EB+DF=平.

在Rt/XABE中，AE=yjAB2+BE2=y]22+（A/2）2=V6；

.?.在中，由余弦定理可得

（佝2+（及戶然飛

AE^+AFf-EH2

cosZEAH—

2AEAH2XaX乎3

，異面直線AE與C尸所成角的余弦值為坐.（12分）

（6）（2015江蘇節(jié)選,7分）如圖37—8所示，在四棱錐產(chǎn)一ABC。中，己知以_1_平面ABCD,

7T

且四邊形ABCD為直角梯形，ZABC^ZBAD=yB4=A￡>=2,A8=BC=1.點(diǎn)。是線段BP

上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線C。與。尸所成角最小時(shí)，求線段8Q的長(zhǎng).

圖37-8

答案：平

解：（法一）因?yàn)锽4_L平面A8CZ）,ZBAD=^,所以A8,AQ,”兩兩垂直.以{熱，AD,

AP｝為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—冷處

易得崩=(-1,0,2),可設(shè)麗=%旃=(一九0,2?(OW/IW1).

因?yàn)闊o=(0,-1,0),所以&=史+詼=(一九-1,22).

又5>=(0,-2,2),

，-f、CQDP2+421+22八

所以cos(CQ,DP)——?—尸=廠.(3分)

IC0HDPI75工~+1?2^5yj1022

設(shè)l+24=f,3],貝

2t2

所以cos2(CQ,DP)=

5f2-10/+9

僅當(dāng)f=￡,即2=，時(shí)，|cos(CQ,DP)|取得最大值3yp.

又因?yàn)閥=cosx在(0,&上是減函數(shù)，

所以此時(shí)直線CQ與DP所成角最小.

因?yàn)锽P=#^=小,所以BQ=|BP=乎，所以當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時(shí);

線段8。=羋.(7分)

(法二)如圖，延長(zhǎng)AB,0c交于點(diǎn)E,連接PE,取PE中點(diǎn)凡過。作Q4〃必交A8

于“，連接FC,FB,FQ.

因?yàn)?C〃AO,且BC=%￡),所以B,C分別為AE和E。的中點(diǎn).又尸為PE的中點(diǎn)，

所以FC〃PO,FB//PA,FC=^PD,所以EB_L平面ABC。，/FCQ或其補(bǔ)角為

直線C。與P。所成的角.

所以PD=2p,所以尸C=5v)=dl由法一知AO_L布，ADLAB,PAC\AB=A,所以4￡>J_

平面%B.又BC〃AC所以BC_L平面力B,所以所以。。=也聲不了=，^正巧，

FQ=^X2+(2x-1)2=-\/5x2—4x+l,

則在△FCQ中，

FC2+CQ2~QF22+5/+1—(5/-4x+l)^2(2x+l)八

=

cosZFCe=2FC.CG=2X^XV^+I2^分)

令f=2x+l(lWfW3),則x=t—，

也⑵+1)

所以cosNFCQ=

2^57+1-.

25|+1

J2zV2

3回

10

又因?yàn)閥=cosx在(0,§上是減函數(shù)，

所以此時(shí)直線CQ與DP所成角最小，且BQ=4x=^.(7分)

(7)(2017全國(guó)HI,5分)小人為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角

邊AC所在直線與mb都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線A8與a成60。角時(shí)，A8與匕成30。角；

②當(dāng)直線AB與a成60。角時(shí)，AB與匕成60。角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最小值為60°.

其中正確的是.(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))

答案：②③

解析：由題意知，a,b,AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖所示.

不妨設(shè)圖中所示正方體棱長(zhǎng)為1，故|AC|=1,|4?|=也，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋

轉(zhuǎn)，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以質(zhì)方向?yàn)閤軸正方向，無方向?yàn)閥軸正方向，為方向?yàn)閦軸正方

向，建立空間直角坐標(biāo)系，則。(I,0,0),A(0,0,1).

取直線。的方向向量a=(0,1,0),⑷=1,直線b的方向向量力=(1,0,0),創(chuàng)=1.設(shè)

B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)夕(cosasin仇0),其中6『0。，360。)，則向S?畝=(cos。，sin。,

-1),而1=隹

設(shè)A8與a所成角為aG(0。,90°],

I病MI(cos6>,sin(9,-1)-(0,1,0)1丘

則cosa=|sin^|e

同|病|同網(wǎng)2吟

故aW[45。，90°],所以③正確，④錯(cuò)誤.

設(shè)A"與6所成角為￡6（0。，90。],

\AB'b\I(cosi9,sin^,-1)-(1,0,0)1&

則cos4=-；T=----------iWtri-------------=—

I叫病||/>|AB,2

所以cos2a+cos2^=^(sin2^+cos20)=^,

所以當(dāng)AB，與a夾角為60。，E|la=60。時(shí)，cosP=^.-

又因?yàn)?G（0。，90°],

所以尸=60。，即此時(shí)A所與方所成角為60。，

所以②正確，①錯(cuò)誤.

C.求直線與平面所成的角

（8）（2018全國(guó)I,12分）如圖37—10所示，四邊形ABCO為正方形，E,K分別為AO,

BC的中點(diǎn)，以。F為折痕把△QFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且

（I）證明：平面平面ABFD；

圖37-10

（II）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

答案：（I）見證明過程（H）乎

解：（I）證明：因?yàn)镋,尸分別是正方形ABCC的邊AO,8c的中點(diǎn),

所以E尸〃AB,且AB_LBF,

所以?F±￡F.（3分）

又因?yàn)?F_LPF,EF,PFu平面PEF,EFCPF=F,

所以BF_L平面PEF.

又因?yàn)锽Fu平面A8FZ）,

所以平面平面ABFD.（5分）

（U）（法一）因?yàn)?。BFLPF,所以?！阓LPF.

又因?yàn)镻B_LP。，DE,PCu平面尸DE,DECPD=D,

所以PF_L平面PDE.

又因?yàn)镻Eu平面PDE,所以P尸_LP￡,

即是直角三角形且尸為直角頂點(diǎn).（8分）

平面PEFA平面ABFD=EF,PGu平面PEF,

所以PG_L平面ABFQ,

所以NPDG即為。P與平面AB尸。所成的角.（10分）

設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a,

則PO=CD=a,EF=a,PF吟

所以PE=/E七一「尸=坐小

所以5鬻邛〃

因?yàn)镈Gu平面ABE。，PGmABFD,

所以PGIDG,

所以sin^.PDG=~p^—^~,

所以。P與平面ABFD所成角的正弦值為坐.（12分）

（法二）過點(diǎn)尸作PGLEF,垂足為G,

同法一可知PGJ?平面ABFD.

作G”_LEF交AB于點(diǎn)“，易知GP,GH,G/兩兩垂直.以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GH,GF,

迸分別為x,y,z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G—xyz.

因?yàn)锳Z)〃BF,BFLPF,所以AQ_LPF.

又尸產(chǎn)_LPO,ADDPD=D,所以尸F(xiàn)_L平面尸CE.

又PEu平面POE,所以P/UPE.(8分)

設(shè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2a,

則EF=2a,PF=a,

所以在RtAPfF中，PE=y](2a)2一片=小小

^PEPF=^EFPG,

即;X小az=Tx20PG,解得PG=^a,

3

所以EG=呼，（10分）

所以G（0,0,0）,從一a,-|a,0）,P（0,0,坐a）,

所以￡>P=（a,^a,坐，?

易知平面ABFD的一個(gè)法向量為6>=（0,0,坐a）.

設(shè)DP與平面ABFD所成角為仇

a

2)

則{DP,GP}尸_____

sin6?=|cos辛號(hào)與干一彳

\DP\\GP\(6

ax——a

272

所以直線。P與平面ABFD所成角的正弦值為平.(12分)

（9）（2018天津節(jié)選，10分）如圖37—11所示，AD//BCHAD=2BC,ADLCD,EG//AD

且EG=AO,CO〃尸G且CD=2FG,DG±￥?ABCD,DA=DC=DG=2.

圖37-11

(I)若M為C尸的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN〃平面CDE；

(11)若點(diǎn)T在線段。6上，且直線BP與平面AQGE所成的角為60。，求線段。P的長(zhǎng).

答案：(I)見證明過程(II)坐

解：依題意易知D4,DC,OG兩兩垂直.建立以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,虎的方向

分別為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得。(0,0,0),A(2,0,0),

8(1,2,0),C(0,2,0),EQ,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2).(2分)

3

(I)證明：依題意得M(0,-

2)

2J

no-DC=0,2y=0,

設(shè)“o=(x,y,z)為平面CDE的法向量,則1即

2x+2z=0.

jioDE=O,

可得〃o=（l，0,-1）.（4分）

3

-,1），

2

所以MM"o=O.

又直線MMt平面CDE,所以MN〃平面C￡)E.(5分)

(11)設(shè)線段。尸的長(zhǎng)為/7(/76[0,2]),

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,0,〃)，可得而=(-1,-2,h).

易知比=(0,2,0)為平面ADGE的一個(gè)法向量，

故|cos(BP,5bl=二一」-r-T—.(8分)

\BP\\DC\W+5

又直線BP與平面4OGE所成的角為60°,

所以7^=；==$山60。=坐，所以〃=坐6[0,2],

■\]h+5zJ

所以線段OP的長(zhǎng)為坐.（10分）

d.求二面角的平面角

（10）（2017全國(guó)HI,12分）如圖37-13所示，四面體ABCD中，ZiABC是正三角形，/\ACD

是直角三角形，/ABD=NCBD,AB=BD.

（I）證明：平面AC￡>_L平面ABC；

（H）過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,

求二面角D-AE-C的余弦值.

答案：（I）見證明過程（I呼

解：（I）證明：如圖，取AC中點(diǎn)O,連接BO,DO.

:△ABC為等邊三角形，

：.BO±AC,KAB=BC.

又<BD=BD,NABD=NCBD,

：./\ABD^/\CBD,：.AD=CD,

...△AC。為等腰直角三角形，NAOC為直角.

又。為底邊4c中點(diǎn)，C.DO1.AC,OD=；AC.（3分）

設(shè)AB=a,則AB=AC=BC=B￡）=a,

.'.OD—^a,。8=坐小

：.OD2+OB2=BD2,二/。08=多即0￡>_L08.

5l.,：ACnOB=O,平面ABC.(5分)

又?.?OOu平面ACD,平面4CO_L平面ABC.（6分）

（H）由題意可知yD-ACE=VB-ACE，即B，。到平面ACE的距離相等,

為8。中點(diǎn).

以。為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，0。所在直線為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

設(shè)AC=a,則0(0,0,0),卷0,0),40,亞合

4m4/

.,.危=(—今興a,J,在=(—*0,51=(*0,0).(8分)

設(shè)平面AE￡)的法向量為"1=(x1,y\,zi),

旅〃產(chǎn)0,J—炭+號(hào)”尸0,

叫-即1

ADn1—0,[―?xi+gzi=0,

取>1=1,則川=（小，1,小）；（9分）

設(shè)平面AEC的法向量為"2=（X2,丫2,Z2）,

一%2+華丫2+*2=0,

AE-〃2=0，

則'即

0A〃2=0，齊=20,

取丫2=1，則"2=（0，I，一小）.（10分）

設(shè)二面角。一4E-C為仇易知。為銳角，

?mS

則COS0=而兩=7-

所以二面角D-AE-C的余弦值為理.（12分）

（11）（2016全國(guó)I,12分）如圖37—14所示，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體

中，底面ABE尸為正方形，AF=2FD,ZAFD=90°,且二面角￡）一4尸一后與二面角C-8E

-F都是60°.

（I）證明：平面A8EFJ_平面EFDC-.

（H）求二面角E-BC-A的余弦值.

答案：（I）見證明過程（II）一嘴

解：（I）證明：由已知可得AF_LQF,AFVFE.

因?yàn)椤Ｋ?尸，平面EFCC.

又AFu平面ABEF,

所以平面ABEF_L平面EFDC.（4分）

（H）如圖，過。作力GJ_EF,垂足為G,由（I）知平面ABEF_L平面EFOC,所以力GJ_

平面ABEF.

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GF所在直線為x軸，過點(diǎn)G與吊平行的直線為），軸，G。所在直線

為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G—xyz.

因?yàn)镹AF￡>=90。，四邊形ABEF為正方形，

所以/DFE為二面角。一A尸一E的平面角，

所以NDFE=60°.

設(shè)FG=1,則。尸=2,DG=y[3.

又AF=2FD,

所以A尸=4,可得A（l,4,0）,B（~3,4,0）,E（—3,0,0）,D（0,0,小）.

因?yàn)樗倪呅蜛BEF為正方形，所以A8〃EF.

又平面EFQC,所以AB〃平面EFCC.

又平面ABCDC平面EFDC=OC,所以A8〃CZ）〃EE

由（I）知，AF_L平面EFDC.

因?yàn)锽E//AF,所以BE_L平面EFDC,

所以BEJLEC,BELEF,

所以NCEF為二面角C-BE-F的平面角，

所以/CEF=60。，

所以C（一2,0,?。?，

所以的=（1,0,?。?，旗=（0,4,0）,AC=（~3,-4,?。?，b=（-4,0,0）.（8分）

n^EC—Ot

設(shè)”=（x,y,z）是平面BCE的法向量，貝小

?旗=0,

卜+小z=0,

即14y=0,

所以可取〃=（3,0,一?。?；（9分）

m-AC=0,

設(shè)機(jī)是平面ABC。的法向量，則<

in-AB—0,

同理可取》i=（0,小，4）,（10分）

所以cos"m>=溫飛姿而一嚼'觀察可知,二面角E—BC-A為

鈍角，故二面角E-BC-A的余弦值為一節(jié).（12分）

（12）（2018全國(guó)n節(jié)選，7分）如圖37—15所示，在三棱錐P-4BC中，AB=BC=2小,

PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角加一省—C為30。，

求PC與平面PAM所成角的正弦值.

圖37-15

答案:當(dāng)

解：連接。8

在底面AABC中，因?yàn)锳B=BC=2吸，AC=4,

所以AC2=AB2+BC2,

所以由勾股定理的逆定理得ABL8C,

所以△ABC是等腰直角三角形，

所以O(shè)8_LAC,0B=pC=2.

因?yàn)镻A=AC=PC=4,

所以△必C為等邊三角形.

又因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，

所以POLAC,

所以PO=PCsin60°=2小.

又PB=4,所以

所以由勾股定理的逆定理得PO1.OB.

由上可知OP,OB,OC兩兩垂直.（1分）

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以5kOC,標(biāo)的方向?yàn)閤軸、y軸、Z軸的正方向，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系。一盯z.

易知0(0,0,0),A(0,~2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),尸(0,0,2小).

因?yàn)辄c(diǎn)M在棱8c上，且二面角為30。，

故可設(shè)原=2協(xié)+（1—冷灰其中0<2Wl,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（22,2-22,0）.（3分）

顯然，OB_L平面B4C,

所以油是平面B4C的一個(gè)法向量，且勵(lì)=（2,0,0）.

易知成=（0,2,2V5）,病=（2九4-2A,0）,PC=（O,2,一2?。?

設(shè)平面的法向量為“=（xo,比，zo）,

，2，AP=2）b+2，^z（）=0,

叫-

.n-AA/=2/Lro+（4一22）州=0.

?廠ni?。?—2）

取yo=d^，則zo=—1,沏=?

此時(shí)片代（尸,V3,-1）

/uun)

依題意得cos(n,OB\nOB\

\n\\OB\

2小(7—2)

2近

cos30°=

/3(；-2)2,2，

(小)2+(-1)2

化簡(jiǎn)得3產(chǎn)+42—4=0.

解得力=12或4=一2（舍去）.（5分）

此時(shí)〃=（一2小，小,一1），

/u叫n，PC(-2小，小，-1)?(0,2,-2小)小

所以cos(n,PC)—

回西―H（—2?。?+（?。?+（一1）24，

所以PC與平面PAM所成角的正弦值為坐.（7分）

（13）（2018山東荷澤二模，12分）如圖37—16所示，在幾何體ABCOEF中，四邊形ABC。

是邊長(zhǎng)為2的菱形，?！阓1_平面48。力，BFJ_平面ABC。，DE=20DE>BF,NABC=120。.

（I）當(dāng)8F的長(zhǎng)為多少時(shí)，平面平面CEF?

（II）在（I）的條件下，求二面角E—AC一尸的余弦值.

答案：（1）斯的長(zhǎng)為吸時(shí)，平面AEF,平面CM（II）坐

解：（I）連接B。交AC于點(diǎn)O.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，所以AC_L8D

因?yàn)镺E_L平面A8CD,ABCD,

所以DE//BF.

又DE>BF,所以四邊形3QEF是梯形.

取EF的中點(diǎn)G,連接OG,則OG//DE.

因?yàn)椤_L平面A8C￡>,

所以O(shè)G_L平面ABCZ）,

所以。G,AC,8。兩兩垂直.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,BD,OG所在的直線分別為x軸、），軸、z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系.（1分）

設(shè)BF—??（0</?<2^/2）.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，NABC=120。，

所以O(shè)A=OC=2Xsin6（T=小，OB=O￡>=2Xcos60°=1,

所以4小，0,1,m),

所以泰=（一小,-1,2吸），#=（一小，1,⑼，4=他,-1,2/），序=（小，1,

機(jī)）.（2分）

設(shè)平面AEF、平面CE廠的法向量分別為小=（x”力，zi）,“2=（X2,再，Z2）.

ffn\AE=O,

由"i_LAE,n\LAF,得＜

,ni-AF—O,

f-y/3xi—yi+2-J2zi=0,w+2\[2

即r解得〈廠r

V3XI+VI+/MZI=0,2^6—73m

[y'=m+2^2X，-

令制=根+25，則〃i=（，"+2吸，2#一小nt,2?。?

一—?"2，CE=0,

由n2±CE,n2±CF,得，

、"2?CF=0,

小X2—丫2+2啦2Z=0,Z2=_,〃+2也如

即彳V解得《

.V3x2+y2+mzi=0,

y2=，〃+2吸電

令X2=m+2巾,則"2=（加+2/，y[3m-2-\[6,—2?。?（5分）

若平面AErJ_平面CEF,則"「"2=0，

所以（加+2啦＞+（小〃]一2班）（2加-?小⑼-12=0,解得m=@或機(jī)=7啦（舍）,

所以8尸的長(zhǎng)為啦時(shí)，平面AEFL平面CEF.（6分）

（H）當(dāng)〃?=啦時(shí)，最=（一小，-1,2柩,啟=（一2小，0,0）,#=（一小，1,y[2）.

設(shè)平面ACF的法向量為"3=（X3,L，Z3）.

_?_?nj-AF—0,I—A/5X3+）'3+{^Z3=O,

由n3.LAF,m^-AC,得彳即，廣

lnyAC=Q,〔-2包3=0.

令Z3=啦，則"3=（0，-2,6）.（8分）

設(shè)平面AEC的法向量為"4=（X4,戶，Z4）.

"4,A￡=。，J—y[3x4—y4+2寸&=0,

由/i4±AE,114-LAC,得，1―2匹4=0.

M4-AC=0,

令Z4=巾,則“4=（0,4,也），（10分）

所以COS（113,"4〉=|"：|"4|=一坐

|"3網(wǎng)|3

因?yàn)槎娼荅-AC一尸為銳角，所以所求的二面角E—AC一尸的余弦值為號(hào).（12分）

e.求點(diǎn)到平面的距離

（14）（經(jīng)典題，12分）如圖37—19所示，正三棱柱ABC-AiBG的所有棱長(zhǎng)均為2,D,E

分別是和AB的中點(diǎn).

圖37-19

（I）證明：ADJ_平面4EC；

(H)求點(diǎn)Bl到平面AiEC的距離.

答案：(I)見證明過程(H)呼

解：(I)證明：由題知直線A4i，CE,BE兩兩垂直，如圖，以E為原點(diǎn)，EB所在直線

為x軸，EC所在直線為y軸，過E與44平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

在正三棱柱ABC—AIBIG中，AA\=AB=BC=AC=2,EB=EA=1,CE=小,

則A(-l,0,0),0,2),E(0,0,0),C(0,40),0(1,0,1),

：.AD=（2,0,1）,血尸（一1,0,2）,EC=（0,小，0）.（3分）

:訪西i=-2+2=0,ADECCO,

：.AD±EAi，ADLEC.

又

平面AiEC.（6分）

（II）由（I）知Bi（l,0,2）,則前i=（l,0,2）.（8分）

；AO_L平面4EC,

平面AiEC的一個(gè)法向量為45=（2,0,1）,（10分）

...點(diǎn)Bi到平面A\EC的距離3=呼,"=生=羋.（12分）

\AD\書5

f.向量法解決立體幾何中的存在性問題

（15）（2016北京，14分）如圖37-21所示，在四棱錐P-ABCQ中，平面力。_L平面ABCD,

PALPD,PA^PD,ABLAD,A8=l,A￡>=2,AC=C￡>=小.

圖37-21

(I)求證：平面PAB；

(II)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;

(III)在棱以上是否存在點(diǎn)使得〃平面PC。？若存在，求索的值；若不存在,

說明理由.

答案：(I)見證明過程(II)當(dāng)(III)存在，第=!

。rxr4+

解：(I)證明：因?yàn)槠矫嬉?。J_平面ABCD,AB1,AD,ABu平面ABC。，平面以。n平

面ABCD=AD,

所以AB_L平面PAD.

又「。u平面B4。，所以AB_LPD

又因?yàn)椴糭LP。，PAC\AB=A,所以PO_L平面限B.（4分）

（II）取A。的中點(diǎn)。，連接尸O,C0.

因?yàn)?=P￡>,所以尸0LAD

又因?yàn)镻Ou平面力力，平面力￡>!.平面ABCZ）,平面%0n平面

所以尸0_L平面A8CD

因?yàn)镃Ou平面ABCD,

所以POLCO.

因?yàn)锳C=CD,。為A。中點(diǎn)，所以C0，AD（6分）

所以PO,CO,A力兩兩垂直.

如圖，以。為原點(diǎn)，OC,OA,0P所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系

O-xyz.

因?yàn)?c=8=小，4。=暴力=1,COA-AD,

所以O(shè)C=NAC2-AO2=2.

又PA=PD,AD=2,所以PO=1.

所以4(0,1,0),8(1,1,0),C(2,0,0),D[0,一1,0),P(0,0,1).

所以的=(0,-1,-1),元=(2,0,-1).

設(shè)平面PDC的法向量為/i=(x,y,z),

n-PD=0,-y—z=0,

則彳即

2x~z=0.

JI-PC=O,

令z=2,則x=l,y——2,所以"=(1,—2,2).(7分)

又誦=(l,1,-1),

所以|cos〈"，PB)\~

I?||PB|3X小

所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為坐.（10分）

（IH）假設(shè)在棱以上存在點(diǎn)M,且=/=，（），-1,1）,2G[0,1J,

因此點(diǎn)M（0,1-2,A）,-2,A）.（12分）

因?yàn)?M〃平面PCD,由（II）知1,平面尸C￡）的一個(gè)法向量〃=（1,-2,2）,所以詼?〃

=0,即（一1,一九2）-（1,—2,2）=0,解得2=1，

所以在棱布上存在點(diǎn)使得〃平面PCD,此時(shí)爺=/（14分）

（16）（經(jīng)典題，13分）如圖37—22所示，平面四邊形中，/%C=NA8C=90。，PA

=AB=2小,AC=4.現(xiàn)把4c沿AC折起，使與平面ABC成60。角，設(shè)此時(shí)P在平面

ABC上的投影為。點(diǎn)（O與B在AC的同側(cè)）.

圖37-22

(I)求證：。8〃平面以C；

(II)試問:線段PA上是否存在一點(diǎn)使得二面角M-BC-A的正切值為亭？若存在,

指出M的位置；若不存在，說明理由.

答案：(I)見證明過程(II)存在，/點(diǎn)是線段以的三等分點(diǎn)，且靠近P點(diǎn)

解：(I)證明：?.?20_1_平面48。，,2。_1_。4.

B4np0=P,

，CA_L平面RAO,則C4_LAO.(3分)

又在平面ABC上的投影為。點(diǎn)，

ZB40是PA與平面ABC所成的角，

ZB4O=6（）°.

又?.?必=2小，POLAO,：.0A=4

在RtZ\ABC中，AC=4,AB=2小，：.ZBAC^30°,

在△OAB中，Z<9AB=90°-30o=60°,

：.OB2=AO2+AB2-2A