概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

第12章正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)前面介紹了單因素與雙因素試驗(yàn)的方差分析，但是在實(shí)際問(wèn)題中遇到的因素往往超過(guò)兩個(gè)，需要考察各個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響。從理論上講可以導(dǎo)出多因素的方差分析法，但是一來(lái)公式會(huì)變得很復(fù)雜，二來(lái)總試驗(yàn)次數(shù)也要明顯增多。例如，考慮7個(gè)因素的試驗(yàn)，每個(gè)因素有6個(gè)水平，若在每一種組合水平上都做一次試驗(yàn)，需要做次試驗(yàn)，這是根本不可能的！為了減少試驗(yàn)次數(shù)，希望在所有組合水平中挑選一部分出來(lái)，在這些組合水平上做試驗(yàn)，即局部地進(jìn)行試驗(yàn)。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是利用一套現(xiàn)成的規(guī)格化的表—正交表，科學(xué)地安排試驗(yàn)和分析試驗(yàn)結(jié)果的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，該方法的主要優(yōu)點(diǎn)是能在很多試驗(yàn)條件中選出代表性強(qiáng)的少數(shù)試驗(yàn)方案，同時(shí)通過(guò)對(duì)這少數(shù)試驗(yàn)方案的結(jié)果進(jìn)行分析，從中找出最優(yōu)方案。正交表1944年起源于美國(guó)。第二次世界大戰(zhàn)后在日本開(kāi)發(fā)了使用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的技術(shù)體系，并在日本全國(guó)進(jìn)行大力普及推廣、應(yīng)用，取得了顯著的經(jīng)濟(jì)效益。實(shí)踐證明，正交設(shè)計(jì)是促進(jìn)生產(chǎn)率提高的一種有效手段，目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究、產(chǎn)品設(shè)計(jì)、工藝改革等技術(shù)領(lǐng)域以及經(jīng)營(yíng)、計(jì)劃等管理領(lǐng)域?！?2.1正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)一、正交表正交表記為，表示至多安排個(gè)因素，每個(gè)因素有種水平，共作次試驗(yàn)的正交表。下面就是兩個(gè)常用的正交表，。列號(hào)水平試驗(yàn)號(hào)1234列號(hào)水平試驗(yàn)號(hào)12345671234567891111122213332123223123123132321333211234567811111111112222122112212222112121212212212122112212212112其中符號(hào)含義如下：—正交表符號(hào)；—試驗(yàn)次數(shù)（正交表的行數(shù)）；—水平數(shù)；—因素個(gè)數(shù)（正交表的列數(shù)）。從上面兩個(gè)正交表容易看出它們具有如下性質(zhì)：（1）表中任何一列所含不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同。如表每一列有三個(gè)不同的數(shù)字“1”、“2”、“3”，它們各出現(xiàn)3次。（2）將表中任意兩列同一行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù)對(duì)，每種數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)相同。如表的有序數(shù)對(duì)為（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9個(gè)，它們各出現(xiàn)一次。以上性質(zhì)說(shuō)明正交表中各因素的水平搭配均衡，并可大大減少試驗(yàn)次數(shù)。二、無(wú)交互作用的正交設(shè)計(jì)及其結(jié)果的直觀分析1、如何用正交表安排試驗(yàn)下面用一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明。例1某化工廠進(jìn)行合成氨試驗(yàn)，需要設(shè)計(jì)尋找最優(yōu)生產(chǎn)條件的試驗(yàn)方案。我們分如下幾個(gè)步驟設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案，以便尋找最優(yōu)工藝條件。第一步：明確試驗(yàn)的目的，確定試驗(yàn)指標(biāo)。本試驗(yàn)的目的是尋找合成氨的最優(yōu)生產(chǎn)條件，試驗(yàn)指標(biāo)是氨的產(chǎn)量，高者為優(yōu)。第二步：挑因素，選水平。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和相關(guān)專業(yè)資料列出以下因素水平表。因素水平A反應(yīng)溫度（℃）B反應(yīng)壓力（Pa）C催化劑種類1460250甲2490270乙3520300丙第三步：選擇合適的正交表，進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)。選擇正交表時(shí)，首先要求正交表中的水平數(shù)與每個(gè)因素水平數(shù)一致，其次要求正交表中因素個(gè)數(shù)大于或等于實(shí)際因素個(gè)數(shù)，然后適當(dāng)選用試驗(yàn)次數(shù)較小的正交表。本例是一個(gè)三水平試驗(yàn)，因此要從型中選擇正交表。若不考慮交互作用，本例共有三個(gè)因素，所以應(yīng)選一張的最小的表，因此選用是合適的。將A，B，C隨機(jī)地放到的表頭各列中，叫做表頭設(shè)計(jì)。因素ABC空列列號(hào)1234第四步：列出試驗(yàn)方案表，按其做試驗(yàn)。確定表中各列水平號(hào)碼的具體內(nèi)容。如對(duì)因素A列的數(shù)字“1”、“2”、“3”分別填上460，490，520；類似地確定因素B，C列中水平號(hào)碼的具體內(nèi)容，就得到如下表所示的試驗(yàn)方案。正交表的每一行就代表一個(gè)試驗(yàn)方案。嚴(yán)格按照表中所規(guī)定的9個(gè)試驗(yàn)條件做試驗(yàn)，并把試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)填寫在表中的最后一列。因素列號(hào)試驗(yàn)號(hào)ABC空列產(chǎn)量（噸）12341234567891（460）112（490）223（520）331（250）2（270）3（300）1231231（甲）2（乙）3（丙）2313121233122311.721.821.801.921.831.981.591.601.812、單指標(biāo)試驗(yàn)的直觀分析試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)的試驗(yàn)叫做單指標(biāo)試驗(yàn)。直觀分析法也叫做極差分析法。下面以例1說(shuō)明它的步驟如下：（1）計(jì)算第列上第個(gè)水平的試驗(yàn)結(jié)果總和。類似地可以計(jì)算出（2）計(jì)算的平均值，其中為第列上第個(gè)水平出現(xiàn)的次數(shù)。類似地可以計(jì)算出（3）計(jì)算第列的極差。類似地可以計(jì)算出。（4）選擇最優(yōu)生產(chǎn)條件。極差的意義是：越大，說(shuō)明該因素的水平變化對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響越大，即該因素越重要；反之，越小，該因素越不重要。由此可以根據(jù)的大小順序排出因素的主次。例如在例1中，由于，因此A，B，C的主次順序?yàn)椤Ｒ驗(yàn)橹g的差別僅僅是由引起的，而與B，C取什么水平無(wú)關(guān)，因此一般地可以通過(guò)比較的大小來(lái)確定A的最佳水平。在例1中，由于最大，說(shuō)明A取水平最好。類似地，可以確定B的最佳水平為，C的最佳水平為，由此得最優(yōu)配方為。但是在上述9個(gè)試驗(yàn)方案中，并沒(méi)有。這說(shuō)明，用正交表安排試驗(yàn)不僅可以從表上看到9次試驗(yàn)中的最好配方，而且還可以推斷出全面試驗(yàn)中的最優(yōu)配方條件是。關(guān)于空白列，也需要分析它的極差，若它的極差很小，則可以認(rèn)為因素之間的交互作用很小，可以忽略不計(jì)。否則若它的極差比所有因素的極差都大，則說(shuō)明因素之間可能存在有不可忽略的交互作用，或是忽略了對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有重要影響的其它因素。3、多指標(biāo)試驗(yàn)的直觀分析試驗(yàn)指標(biāo)多于一個(gè)的試驗(yàn)稱為多指標(biāo)試驗(yàn)。在多指標(biāo)試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，各指標(biāo)的最優(yōu)方案之間可能存在一定的矛盾，如何兼顧各個(gè)指標(biāo)，找出使每個(gè)指標(biāo)都盡可能好的生產(chǎn)方案呢？也就是說(shuō)，應(yīng)如何分析多指標(biāo)試驗(yàn)的結(jié)果呢？下面介紹兩種常用方法。（1）綜合評(píng)分法綜合評(píng)分法是由專業(yè)人員根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)的要求，對(duì)每號(hào)試驗(yàn)評(píng)出其各項(xiàng)指標(biāo)的綜合得分，作為這號(hào)試驗(yàn)的總指標(biāo)，從而把多項(xiàng)試驗(yàn)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)試驗(yàn)指標(biāo)，再應(yīng)用單項(xiàng)指標(biāo)試驗(yàn)的直觀分析法進(jìn)行分析。下面以例2說(shuō)明它的步驟。例2某工廠5噸冷風(fēng)煉鐵爐在現(xiàn)有的設(shè)備條件和原料供應(yīng)的情況下，探索好的生產(chǎn)條件，以達(dá)到在鐵水溫度平均為1400℃以上且熔化速度為每小時(shí)5噸左右的前提下，盡量減少焦炭的消耗，提高總焦鐵比的目的。為此確定鐵水溫度、熔化速度、總焦鐵比為試驗(yàn)指標(biāo)，并選出4個(gè)因素，每個(gè)因素取3個(gè)水平，列于下表。因素水平A熔化帶×爐缺直徑(mm)B一排、二排風(fēng)口尺寸(mm)C風(fēng)壓(mm/kg)D批焦鐵比焦：鐵1760×62040×6，40×613013.52740×55030×6，25×616014.53720×55020×6，25×615012.5這是一個(gè)4因素3水平試驗(yàn)，選正交表，并將因素A，B，C，D分別放到1，2，3，4列上即可得試驗(yàn)方案，把方案和試驗(yàn)結(jié)果列于下表。水平因素試驗(yàn)號(hào)ABCD試驗(yàn)指標(biāo)綜合評(píng)分鐵水溫度熔化速度總焦鐵比12341234567891112223331231231231232313121233122311408139714091409140514121415141514195.35.25.65.24.95.15.45.35.111.713.212.311.912.513.013.312.213.52766921241433上表中綜合評(píng)分的方法如下：由于試驗(yàn)的目的是在保證鐵水溫度平均在1400℃以上，且熔化速度為每小時(shí)5噸左右的前提下，盡量減少焦炭的消耗，提高總焦鐵比，因此可以規(guī)定一個(gè)評(píng)分辦法：鐵水溫度以1400℃為標(biāo)準(zhǔn)，每高1℃就加1分，每低1℃就扣1分；熔化速度以每小時(shí)5噸為標(biāo)準(zhǔn)，每多0.1噸或少0.1噸都扣1分，總焦鐵比以1：12為標(biāo)準(zhǔn)，每高0.1就加1分，每低0.1就扣1分；最后對(duì)各號(hào)試驗(yàn)結(jié)果把三者合并起來(lái)就是該號(hào)試驗(yàn)綜合評(píng)分的分?jǐn)?shù)。第號(hào)試驗(yàn)的綜合評(píng)分可以寫成按上式計(jì)算出的綜合評(píng)分見(jiàn)上表中最后一列。再用類似于例1的單指標(biāo)試驗(yàn)的直觀分析法進(jìn)行分析，分別計(jì)算出由此可以看出四個(gè)因素的主次順序是。直接從表上看出9個(gè)試驗(yàn)方案中的好條件是，即第9號(hào)試驗(yàn)。而由表中數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算的好條件是，該結(jié)果不在這9個(gè)試驗(yàn)中。（2）綜合平衡法綜合平衡法就是先分別對(duì)各個(gè)指標(biāo)進(jìn)行與單指標(biāo)一樣的計(jì)算分析，然后把各個(gè)指標(biāo)的分析結(jié)果進(jìn)行綜合平衡，得出結(jié)論。下面仍以例2說(shuō)明它的步驟。對(duì)各個(gè)指標(biāo)進(jìn)行單指標(biāo)計(jì)算，結(jié)果列于下表。平均鐵水溫度/℃平均熔化速度/（t/h）總焦鐵比(1:12)ABCDABCDABCD421442324235423216.115.915.715.337.236.936.938.7422642174225422415.215.415.515.737.437.938.639.5424942404229423315.815.815.916.139.038.838.136.414051411141214115.375.305.235.1012.4012.3012.3012.9014091406140814085.075.135.175.1712.4712.6312.8713.1714161413141014115.275.275.305.3713.0012.9312.7012.1335231090.90.50.40.81.81.91.73.1從表中可以看出：①4個(gè)因素的主次順序?yàn)槠骄F水溫度：ABCD平均熔化速度：ADBC總焦鐵比：DBAC②各指標(biāo)的最優(yōu)試驗(yàn)條件為對(duì)鐵水溫度：（數(shù)值大者為優(yōu)）對(duì)熔化速度：（數(shù)值小者為優(yōu)）對(duì)焦鐵比：（數(shù)值大者為優(yōu)）三個(gè)指標(biāo)分析出的條件互不一致，因此需要視因素的主次關(guān)系進(jìn)行綜合平衡。因素A對(duì)鐵水溫度和熔化速度是首要因素，對(duì)總焦鐵比是次要因素。因此，在確定A的最佳水平時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)考慮對(duì)鐵水溫度和熔化速度為最優(yōu)的水平。故因素A取最佳水平為；同理，因素B取最佳水平為；因素C在三個(gè)指標(biāo)中都不占主要地位，綜合考慮C取較好些；因素D在主次因素中排在末位，從上表可以看出，因素D對(duì)焦鐵比影響最大，取最好，但對(duì)另兩個(gè)指標(biāo)取為好，綜合以上分析可以得出兩個(gè)最優(yōu)生產(chǎn)條件與，其中與綜合評(píng)分得出的結(jié)論一致，而是正交設(shè)計(jì)表中的第9號(hào)試驗(yàn)條件，該試驗(yàn)條件不僅是綜合平衡法得到的最好方案，也是綜合評(píng)分法得到的最好方案。三、有交互作用的正交設(shè)計(jì)及其結(jié)果的直觀分析為了能夠用正交表安排具有交互作用的正交試驗(yàn)，在許多正交表的后面都附有相應(yīng)的交互作用表專供表頭設(shè)計(jì)時(shí)使用。下表就是正交表所對(duì)應(yīng)的交互作用表。列號(hào)列號(hào)1234567（1）325476（2）16745（3）7654（4）123（5）32（6）1（7）上表中所有的數(shù)字都是列號(hào)。正交表中任何兩列的交互作用列都可以從交互作用表中查到。只要在交互作用表中找到這兩列的列號(hào)，這兩個(gè)列號(hào)所在行、列的交叉點(diǎn)上的數(shù)字就是交互作用列的列號(hào)。例如，要查第3列與第5列的交互作用列，只要找（3）行與（5）列的交叉點(diǎn)6，即表中第6列為第3列與第5列的交互作用列。這就是說(shuō)，在正交設(shè)計(jì)時(shí)，若要考慮A與B的交互作用，且A，B分別安排在第3列與第5列上，則交互作用A×B就要安排在第6列上。這時(shí)，第6列就不能再安排其他因素，以免發(fā)生效應(yīng)之間的“混雜”。在做試驗(yàn)時(shí)，交互作用列對(duì)安排試驗(yàn)不起作用，試驗(yàn)條件的安排方法與不考慮交互作用時(shí)完全一樣，只是安排了因素的列內(nèi)的水平去做試驗(yàn)就行了。但在分析試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，A×B仍然作為一個(gè)單獨(dú)因素計(jì)算它的極差，極差的大小反映了A×B交互作用的大小。例3花萊留種培育問(wèn)題，對(duì)花萊留種的生產(chǎn)條件進(jìn)行考察，通過(guò)試驗(yàn)確定A、B、C、D四個(gè)因素2個(gè)水平及交互作用A×B，A×C對(duì)指標(biāo)影響的重要性，并找出最優(yōu)生產(chǎn)方案?？疾斓囊蛩嘏c水平列于下表中。因素水平A澆水次數(shù)B噴藥次數(shù)C施肥方法D進(jìn)室時(shí)間1澆水1~2次隨機(jī)噴開(kāi)花期施11月初2隨時(shí)澆定期噴施四次11月中這是一個(gè)4因素2水平且具有交互作用A×B，A×C的試驗(yàn)，因此選用的2水平正交表至少要有6列，滿足該條件的2水平正交表最小，故選用的交互作用列表做試驗(yàn)方案。首先，作表頭設(shè)計(jì)。把因素A，B分別安排在的第1列和第2列，查的交互作用列表知，A×B占用第3列；為避免混雜，又把因素C安排在第4列，查的交互作用列表知，A×C應(yīng)占第5列；而因素D可以排在第6、7列中的任何一列，現(xiàn)在把因素D排在第7列，于是第6列為空白列。這樣便得到因素與交互作用不會(huì)混雜的表頭設(shè)計(jì)。按以上表頭設(shè)計(jì)，把試驗(yàn)方案和試驗(yàn)結(jié)果列于下表：列號(hào)因素試驗(yàn)號(hào)ABA×BCA×CD產(chǎn)量123456712345678111122221122112211222211121212121212212112211221122121125025125125-100-50-2575325-100-7530012510050175200251507510012581.25-25-18.757531.252512.543.75506.2537.518.752531.25106.2593.756.2531.2543.7518.756.25由上表可以看到的好條件為第3、4號(hào)試驗(yàn)，即和。由極差一行可知，因素的主次順序?yàn)锳，B，A×C，C，D，A×B。從主次順序看A為首要因素，因，取A的最優(yōu)水平；類似地，取B的最優(yōu)水平；而因素C比交互作用A×C還次要，因此C的水平的選取還要由A×C決定。為此先計(jì)算因素A與C的搭配表，如下表所示：由上表知，為最優(yōu)搭配，故取C的最優(yōu)水平，對(duì)最次要因素D，可以從方便、經(jīng)濟(jì)的角度出發(fā)在2水平中任取一個(gè)，記為。故由上個(gè)表中的數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算的最優(yōu)條件為?！?2.2正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析前面介紹了對(duì)正交試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行直觀分析的方法，其優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、直觀、計(jì)算量較小，便于普及和推廣，對(duì)于生產(chǎn)實(shí)際中的一般問(wèn)題用直觀分析法能夠得到很好地解決。但直觀分析法不能估計(jì)試驗(yàn)過(guò)程中以及試驗(yàn)結(jié)果測(cè)定中必然存在的誤差大小，因而不能真正區(qū)分某因素各水平所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果的差異究竟是由于水平的改變所引起的，還是由于試驗(yàn)誤差所引起的。因此，直觀分析法得到的結(jié)論不夠精確。而且，對(duì)影響試驗(yàn)結(jié)果的各因素的重要程度，不能給出精確的數(shù)量估計(jì)，也不能提供一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)考察、判斷因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著。特別，對(duì)于水平數(shù)大于等于3且要考慮交互作用的試驗(yàn)，直觀分析法不便于使用。下面介紹的方差分析法能夠彌補(bǔ)直觀分析法的這些不足。若用正交表安排試驗(yàn)，且每列同水平的試驗(yàn)次數(shù)為，總試驗(yàn)次數(shù)為，試驗(yàn)結(jié)果為，試驗(yàn)結(jié)果的總偏差平方和記為其中記稱為第列因素的偏差平方和，若因素A安排在第列上，也記。可以證明且與的自由度分別為，A×B交互作用列偏差平方和的自由度。正交表上空白列的偏差平方和不是由任何因素引起的，因此應(yīng)是誤差引起的。故誤差平方和為所有空白列的偏差平方和之和。的自由度為各因素（包括交互作用）的自由度之和檢驗(yàn)第列因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響的統(tǒng)計(jì)量是其中。對(duì)于給定的顯著性水平，若由樣本觀察值計(jì)算出的，則認(rèn)為該列安排的因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響顯著。否則，認(rèn)為影響不顯著。在實(shí)際應(yīng)用中，一般先計(jì)算出各列的，若，就認(rèn)為第列影響不顯著，并把當(dāng)做誤差平方和與合并；若有幾列都是如此，則把這些列的加起來(lái)當(dāng)做誤差平方和與合并在一起作為新的誤差平方和，相應(yīng)的自由度與合并作為的自由度，然后再構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量若，則認(rèn)為該列安排的因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響顯著。否則，認(rèn)為影響不顯著。例4苯酚合成工藝條件試驗(yàn)。某化工廠為提高苯酚的產(chǎn)率選了合成工藝條件中的5個(gè)因素2個(gè)水平作試驗(yàn)，數(shù)據(jù)列于下表中。因素水平A反應(yīng)溫度（℃）B反應(yīng)時(shí)間（分）C壓力（Pa）D催化劑種類ENaOH用量（L）130020200甲80232030250乙100這是一個(gè)5因素2水平試驗(yàn)，應(yīng)選用正交表。表頭設(shè)計(jì)、試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)下表。現(xiàn)用方差分析法檢驗(yàn)各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著。列號(hào)因素試驗(yàn)號(hào)ABCDE試驗(yàn)結(jié)果1234567123456781111222211221122112222111212121212122121122112211221211283.484.087.384.887.388.092.390.