概率論與數(shù)理統(tǒng)計-正交試驗設(shè)計

第12章正交試驗設(shè)計前面介紹了單因素與雙因素試驗的方差分析，但是在實(shí)際問題中遇到的因素往往超過兩個，需要考察各個因素對試驗結(jié)果是否有顯著影響。從理論上講可以導(dǎo)出多因素的方差分析法，但是一來公式會變得很復(fù)雜，二來總試驗次數(shù)也要明顯增多。例如，考慮7個因素的試驗，每個因素有6個水平，若在每一種組合水平上都做一次試驗，需要做次試驗，這是根本不可能的！為了減少試驗次數(shù)，希望在所有組合水平中挑選一部分出來，在這些組合水平上做試驗，即局部地進(jìn)行試驗。正交試驗設(shè)計是利用一套現(xiàn)成的規(guī)格化的表—正交表，科學(xué)地安排試驗和分析試驗結(jié)果的一種數(shù)理統(tǒng)計方法，該方法的主要優(yōu)點(diǎn)是能在很多試驗條件中選出代表性強(qiáng)的少數(shù)試驗方案，同時通過對這少數(shù)試驗方案的結(jié)果進(jìn)行分析，從中找出最優(yōu)方案。正交表1944年起源于美國。第二次世界大戰(zhàn)后在日本開發(fā)了使用正交表進(jìn)行試驗設(shè)計的技術(shù)體系，并在日本全國進(jìn)行大力普及推廣、應(yīng)用，取得了顯著的經(jīng)濟(jì)效益。實(shí)踐證明，正交設(shè)計是促進(jìn)生產(chǎn)率提高的一種有效手段，目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究、產(chǎn)品設(shè)計、工藝改革等技術(shù)領(lǐng)域以及經(jīng)營、計劃等管理領(lǐng)域?！?2.1正交試驗設(shè)計一、正交表正交表記為，表示至多安排個因素，每個因素有種水平，共作次試驗的正交表。下面就是兩個常用的正交表，。列號水平試驗號1234列號水平試驗號12345671234567891111122213332123223123123132321333211234567811111111112222122112212222112121212212212122112212212112其中符號含義如下：—正交表符號；—試驗次數(shù)（正交表的行數(shù)）；—水平數(shù)；—因素個數(shù)（正交表的列數(shù)）。從上面兩個正交表容易看出它們具有如下性質(zhì)：（1）表中任何一列所含不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同。如表每一列有三個不同的數(shù)字“1”、“2”、“3”，它們各出現(xiàn)3次。（2）將表中任意兩列同一行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同。如表的有序數(shù)對為（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9個，它們各出現(xiàn)一次。以上性質(zhì)說明正交表中各因素的水平搭配均衡，并可大大減少試驗次數(shù)。二、無交互作用的正交設(shè)計及其結(jié)果的直觀分析1、如何用正交表安排試驗下面用一個實(shí)例來說明。例1某化工廠進(jìn)行合成氨試驗，需要設(shè)計尋找最優(yōu)生產(chǎn)條件的試驗方案。我們分如下幾個步驟設(shè)計試驗方案，以便尋找最優(yōu)工藝條件。第一步：明確試驗的目的，確定試驗指標(biāo)。本試驗的目的是尋找合成氨的最優(yōu)生產(chǎn)條件，試驗指標(biāo)是氨的產(chǎn)量，高者為優(yōu)。第二步：挑因素，選水平。根據(jù)以往經(jīng)驗和相關(guān)專業(yè)資料列出以下因素水平表。因素水平A反應(yīng)溫度（℃）B反應(yīng)壓力（Pa）C催化劑種類1460250甲2490270乙3520300丙第三步：選擇合適的正交表，進(jìn)行表頭設(shè)計。選擇正交表時，首先要求正交表中的水平數(shù)與每個因素水平數(shù)一致，其次要求正交表中因素個數(shù)大于或等于實(shí)際因素個數(shù)，然后適當(dāng)選用試驗次數(shù)較小的正交表。本例是一個三水平試驗，因此要從型中選擇正交表。若不考慮交互作用，本例共有三個因素，所以應(yīng)選一張的最小的表，因此選用是合適的。將A，B，C隨機(jī)地放到的表頭各列中，叫做表頭設(shè)計。因素ABC空列列號1234第四步：列出試驗方案表，按其做試驗。確定表中各列水平號碼的具體內(nèi)容。如對因素A列的數(shù)字“1”、“2”、“3”分別填上460，490，520；類似地確定因素B，C列中水平號碼的具體內(nèi)容，就得到如下表所示的試驗方案。正交表的每一行就代表一個試驗方案。嚴(yán)格按照表中所規(guī)定的9個試驗條件做試驗，并把試驗結(jié)果的數(shù)據(jù)填寫在表中的最后一列。因素列號試驗號ABC空列產(chǎn)量（噸）12341234567891（460）112（490）223（520）331（250）2（270）3（300）1231231（甲）2（乙）3（丙）2313121233122311.721.821.801.921.831.981.591.601.812、單指標(biāo)試驗的直觀分析試驗指標(biāo)只有一個的試驗叫做單指標(biāo)試驗。直觀分析法也叫做極差分析法。下面以例1說明它的步驟如下：（1）計算第列上第個水平的試驗結(jié)果總和。類似地可以計算出（2）計算的平均值，其中為第列上第個水平出現(xiàn)的次數(shù)。類似地可以計算出（3）計算第列的極差。類似地可以計算出。（4）選擇最優(yōu)生產(chǎn)條件。極差的意義是：越大，說明該因素的水平變化對試驗指標(biāo)的影響越大，即該因素越重要；反之，越小，該因素越不重要。由此可以根據(jù)的大小順序排出因素的主次。例如在例1中，由于，因此A，B，C的主次順序為。因為之間的差別僅僅是由引起的，而與B，C取什么水平無關(guān)，因此一般地可以通過比較的大小來確定A的最佳水平。在例1中，由于最大，說明A取水平最好。類似地，可以確定B的最佳水平為，C的最佳水平為，由此得最優(yōu)配方為。但是在上述9個試驗方案中，并沒有。這說明，用正交表安排試驗不僅可以從表上看到9次試驗中的最好配方，而且還可以推斷出全面試驗中的最優(yōu)配方條件是。關(guān)于空白列，也需要分析它的極差，若它的極差很小，則可以認(rèn)為因素之間的交互作用很小，可以忽略不計。否則若它的極差比所有因素的極差都大，則說明因素之間可能存在有不可忽略的交互作用，或是忽略了對試驗結(jié)果有重要影響的其它因素。3、多指標(biāo)試驗的直觀分析試驗指標(biāo)多于一個的試驗稱為多指標(biāo)試驗。在多指標(biāo)試驗設(shè)計中，各指標(biāo)的最優(yōu)方案之間可能存在一定的矛盾，如何兼顧各個指標(biāo)，找出使每個指標(biāo)都盡可能好的生產(chǎn)方案呢？也就是說，應(yīng)如何分析多指標(biāo)試驗的結(jié)果呢？下面介紹兩種常用方法。（1）綜合評分法綜合評分法是由專業(yè)人員根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)的要求，對每號試驗評出其各項指標(biāo)的綜合得分，作為這號試驗的總指標(biāo)，從而把多項試驗指標(biāo)轉(zhuǎn)化為單項試驗指標(biāo)，再應(yīng)用單項指標(biāo)試驗的直觀分析法進(jìn)行分析。下面以例2說明它的步驟。例2某工廠5噸冷風(fēng)煉鐵爐在現(xiàn)有的設(shè)備條件和原料供應(yīng)的情況下，探索好的生產(chǎn)條件，以達(dá)到在鐵水溫度平均為1400℃以上且熔化速度為每小時5噸左右的前提下，盡量減少焦炭的消耗，提高總焦鐵比的目的。為此確定鐵水溫度、熔化速度、總焦鐵比為試驗指標(biāo)，并選出4個因素，每個因素取3個水平，列于下表。因素水平A熔化帶×爐缺直徑(mm)B一排、二排風(fēng)口尺寸(mm)C風(fēng)壓(mm/kg)D批焦鐵比焦：鐵1760×62040×6，40×613013.52740×55030×6，25×616014.53720×55020×6，25×615012.5這是一個4因素3水平試驗，選正交表，并將因素A，B，C，D分別放到1，2，3，4列上即可得試驗方案，把方案和試驗結(jié)果列于下表。水平因素試驗號ABCD試驗指標(biāo)綜合評分鐵水溫度熔化速度總焦鐵比12341234567891112223331231231231232313121233122311408139714091409140514121415141514195.35.25.65.24.95.15.45.35.111.713.212.311.912.513.013.312.213.52766921241433上表中綜合評分的方法如下：由于試驗的目的是在保證鐵水溫度平均在1400℃以上，且熔化速度為每小時5噸左右的前提下，盡量減少焦炭的消耗，提高總焦鐵比，因此可以規(guī)定一個評分辦法：鐵水溫度以1400℃為標(biāo)準(zhǔn)，每高1℃就加1分，每低1℃就扣1分；熔化速度以每小時5噸為標(biāo)準(zhǔn)，每多0.1噸或少0.1噸都扣1分，總焦鐵比以1：12為標(biāo)準(zhǔn)，每高0.1就加1分，每低0.1就扣1分；最后對各號試驗結(jié)果把三者合并起來就是該號試驗綜合評分的分?jǐn)?shù)。第號試驗的綜合評分可以寫成按上式計算出的綜合評分見上表中最后一列。再用類似于例1的單指標(biāo)試驗的直觀分析法進(jìn)行分析，分別計算出由此可以看出四個因素的主次順序是。直接從表上看出9個試驗方案中的好條件是，即第9號試驗。而由表中數(shù)據(jù)經(jīng)計算的好條件是，該結(jié)果不在這9個試驗中。（2）綜合平衡法綜合平衡法就是先分別對各個指標(biāo)進(jìn)行與單指標(biāo)一樣的計算分析，然后把各個指標(biāo)的分析結(jié)果進(jìn)行綜合平衡，得出結(jié)論。下面仍以例2說明它的步驟。對各個指標(biāo)進(jìn)行單指標(biāo)計算，結(jié)果列于下表。平均鐵水溫度/℃平均熔化速度/（t/h）總焦鐵比(1:12)ABCDABCDABCD421442324235423216.115.915.715.337.236.936.938.7422642174225422415.215.415.515.737.437.938.639.5424942404229423315.815.815.916.139.038.838.136.414051411141214115.375.305.235.1012.4012.3012.3012.9014091406140814085.075.135.175.1712.4712.6312.8713.1714161413141014115.275.275.305.3713.0012.9312.7012.1335231090.90.50.40.81.81.91.73.1從表中可以看出：①4個因素的主次順序為平均鐵水溫度：ABCD平均熔化速度：ADBC總焦鐵比：DBAC②各指標(biāo)的最優(yōu)試驗條件為對鐵水溫度：（數(shù)值大者為優(yōu)）對熔化速度：（數(shù)值小者為優(yōu)）對焦鐵比：（數(shù)值大者為優(yōu)）三個指標(biāo)分析出的條件互不一致，因此需要視因素的主次關(guān)系進(jìn)行綜合平衡。因素A對鐵水溫度和熔化速度是首要因素，對總焦鐵比是次要因素。因此，在確定A的最佳水平時，應(yīng)重點(diǎn)考慮對鐵水溫度和熔化速度為最優(yōu)的水平。故因素A取最佳水平為；同理，因素B取最佳水平為；因素C在三個指標(biāo)中都不占主要地位，綜合考慮C取較好些；因素D在主次因素中排在末位，從上表可以看出，因素D對焦鐵比影響最大，取最好，但對另兩個指標(biāo)取為好，綜合以上分析可以得出兩個最優(yōu)生產(chǎn)條件與，其中與綜合評分得出的結(jié)論一致，而是正交設(shè)計表中的第9號試驗條件，該試驗條件不僅是綜合平衡法得到的最好方案，也是綜合評分法得到的最好方案。三、有交互作用的正交設(shè)計及其結(jié)果的直觀分析為了能夠用正交表安排具有交互作用的正交試驗，在許多正交表的后面都附有相應(yīng)的交互作用表專供表頭設(shè)計時使用。下表就是正交表所對應(yīng)的交互作用表。列號列號1234567（1）325476（2）16745（3）7654（4）123（5）32（6）1（7）上表中所有的數(shù)字都是列號。正交表中任何兩列的交互作用列都可以從交互作用表中查到。只要在交互作用表中找到這兩列的列號，這兩個列號所在行、列的交叉點(diǎn)上的數(shù)字就是交互作用列的列號。例如，要查第3列與第5列的交互作用列，只要找（3）行與（5）列的交叉點(diǎn)6，即表中第6列為第3列與第5列的交互作用列。這就是說，在正交設(shè)計時，若要考慮A與B的交互作用，且A，B分別安排在第3列與第5列上，則交互作用A×B就要安排在第6列上。這時，第6列就不能再安排其他因素，以免發(fā)生效應(yīng)之間的“混雜”。在做試驗時，交互作用列對安排試驗不起作用，試驗條件的安排方法與不考慮交互作用時完全一樣，只是安排了因素的列內(nèi)的水平去做試驗就行了。但在分析試驗結(jié)果時，A×B仍然作為一個單獨(dú)因素計算它的極差，極差的大小反映了A×B交互作用的大小。例3花萊留種培育問題，對花萊留種的生產(chǎn)條件進(jìn)行考察，通過試驗確定A、B、C、D四個因素2個水平及交互作用A×B，A×C對指標(biāo)影響的重要性，并找出最優(yōu)生產(chǎn)方案?？疾斓囊蛩嘏c水平列于下表中。因素水平A澆水次數(shù)B噴藥次數(shù)C施肥方法D進(jìn)室時間1澆水1~2次隨機(jī)噴開花期施11月初2隨時澆定期噴施四次11月中這是一個4因素2水平且具有交互作用A×B，A×C的試驗，因此選用的2水平正交表至少要有6列，滿足該條件的2水平正交表最小，故選用的交互作用列表做試驗方案。首先，作表頭設(shè)計。把因素A，B分別安排在的第1列和第2列，查的交互作用列表知，A×B占用第3列；為避免混雜，又把因素C安排在第4列，查的交互作用列表知，A×C應(yīng)占第5列；而因素D可以排在第6、7列中的任何一列，現(xiàn)在把因素D排在第7列，于是第6列為空白列。這樣便得到因素與交互作用不會混雜的表頭設(shè)計。按以上表頭設(shè)計，把試驗方案和試驗結(jié)果列于下表：列號因素試驗號ABA×BCA×CD產(chǎn)量123456712345678111122221122112211222211121212121212212112211221122121125025125125-100-50-2575325-100-7530012510050175200251507510012581.25-25-18.757531.252512.543.75506.2537.518.752531.25106.2593.756.2531.2543.7518.756.25由上表可以看到的好條件為第3、4號試驗，即和。由極差一行可知，因素的主次順序為A，B，A×C，C，D，A×B。從主次順序看A為首要因素，因，取A的最優(yōu)水平；類似地，取B的最優(yōu)水平；而因素C比交互作用A×C還次要，因此C的水平的選取還要由A×C決定。為此先計算因素A與C的搭配表，如下表所示：由上表知，為最優(yōu)搭配，故取C的最優(yōu)水平，對最次要因素D，可以從方便、經(jīng)濟(jì)的角度出發(fā)在2水平中任取一個，記為。故由上個表中的數(shù)據(jù)經(jīng)計算的最優(yōu)條件為?！?2.2正交試驗設(shè)計的方差分析前面介紹了對正交試驗的結(jié)果進(jìn)行直觀分析的方法，其優(yōu)點(diǎn)是簡單、直觀、計算量較小，便于普及和推廣，對于生產(chǎn)實(shí)際中的一般問題用直觀分析法能夠得到很好地解決。但直觀分析法不能估計試驗過程中以及試驗結(jié)果測定中必然存在的誤差大小，因而不能真正區(qū)分某因素各水平所對應(yīng)的試驗結(jié)果的差異究竟是由于水平的改變所引起的，還是由于試驗誤差所引起的。因此，直觀分析法得到的結(jié)論不夠精確。而且，對影響試驗結(jié)果的各因素的重要程度，不能給出精確的數(shù)量估計，也不能提供一個標(biāo)準(zhǔn)來考察、判斷因素對試驗結(jié)果的影響是否顯著。特別，對于水平數(shù)大于等于3且要考慮交互作用的試驗，直觀分析法不便于使用。下面介紹的方差分析法能夠彌補(bǔ)直觀分析法的這些不足。若用正交表安排試驗，且每列同水平的試驗次數(shù)為，總試驗次數(shù)為，試驗結(jié)果為，試驗結(jié)果的總偏差平方和記為其中記稱為第列因素的偏差平方和，若因素A安排在第列上，也記?？梢宰C明且與的自由度分別為，A×B交互作用列偏差平方和的自由度。正交表上空白列的偏差平方和不是由任何因素引起的，因此應(yīng)是誤差引起的。故誤差平方和為所有空白列的偏差平方和之和。的自由度為各因素（包括交互作用）的自由度之和檢驗第列因素對試驗結(jié)果是否有顯著影響的統(tǒng)計量是其中。對于給定的顯著性水平，若由樣本觀察值計算出的，則認(rèn)為該列安排的因素對試驗結(jié)果影響顯著。否則，認(rèn)為影響不顯著。在實(shí)際應(yīng)用中，一般先計算出各列的，若，就認(rèn)為第列影響不顯著，并把當(dāng)做誤差平方和與合并；若有幾列都是如此，則把這些列的加起來當(dāng)做誤差平方和與合并在一起作為新的誤差平方和，相應(yīng)的自由度與合并作為的自由度，然后再構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量若，則認(rèn)為該列安排的因素對試驗結(jié)果影響顯著。否則，認(rèn)為影響不顯著。例4苯酚合成工藝條件試驗。某化工廠為提高苯酚的產(chǎn)率選了合成工藝條件中的5個因素2個水平作試驗，數(shù)據(jù)列于下表中。因素水平A反應(yīng)溫度（℃）B反應(yīng)時間（分）C壓力（Pa）D催化劑種類ENaOH用量（L）130020200甲80232030250乙100這是一個5因素2水平試驗，應(yīng)選用正交表。表頭設(shè)計、試驗結(jié)果見下表?，F(xiàn)用方差分析法檢驗各因素對試驗結(jié)果的影響是否顯著。列號因素試驗號ABCDE試驗結(jié)果1234567123456781111222211221122112222111212121212122121122112211221211283.484.087.384.887.388.092.390.