廣東省茂名市信宜市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高二段考二數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分。在每小題所給的選項中，只有一個符合題目要求的。1．七位評委為某跳水運動員打出的分數(shù)如下：84，79，86，87，84，93，84，則這組分數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，852．若橢圓的離心率為，則橢圓C的長軸長為（）A．6 B．或 C． D．或3．已知AD是△ABC的中線，，，則（）A． B． C． D．4．現(xiàn)有上底面半徑為2，下底面半徑為4，母線長為的圓臺，則其體積為（）A． B． C． D．5．己知，則（）A． B． C． D．6．某校A、B、C、D、E五名學(xué)生分別上臺演講，若A須在B前面出場，且都不能在第3號位置，則不同的出場次序有（）種．A．18 B．36 C．60 D．727．已知兩條不同直線m，n，三個不同平面，，，下列命題中正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則8．若的展開式中的系數(shù)為，則a的值為（）A．2 B．3 C．1 D．4二、多選題。本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中。有兩個或三個符合題意，全對的得6分，部分選對的得2分或4分，有選錯的得0分。9．歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個公式也被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”（e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位），依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（）A．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)B．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限C．復(fù)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)為D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半圓10．函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個單位長度，得到的圖象，則下列說法正確的是（）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞減11．已知是定義在R上的偶函數(shù)，且，當時，，則下列各選項正確的是（）A．當時， B．的周期為4C． D．的圖象關(guān)于對稱三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．己知的定義域為A集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是______．13．在平面直角坐標系xOy中，過點，，且圓心在直線上的圓的標準方程為______．14．國家主席習(xí)近平在十九大報告中指出，堅持人與自然和諧共生．必須樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，堅持節(jié)約資源和保護環(huán)境的基本國策．某林區(qū)一片森林2019年底的木材總量為a萬立方米，由于環(huán)境保護，樹木的木材總量每年在上一年的基礎(chǔ)上增加15%，則至少經(jīng)過______年，使得木材總盤翻兩番．（參考數(shù)據(jù)：，，）四、解答題：本題共6小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。15．（本小題13分）在①，，，②其前n項和為，，；③其前n項和為，三個條件中任選一個，補充到橫線處，并解答．已知數(shù)列為等差數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項公式．（2）若，證明數(shù)列的前n項和滿足·16．（本小題15分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點．（1）求證，；（2）求二面角的正弦值；（3）求直線與平面DB，E所成角的正弦值．17．（本小題15分）已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，，證明：．18．（本小題17分）隨著智能手機的迅速普及，外賣點餐也開始成為不少人日常飲食中的一部分，但方便群眾生活的同時，部分外賣派送人員諸如服務(wù)態(tài)度差，派送不及時．包裝損壞等一系列問題也讓市民感到不病，影響了整個行業(yè)的持續(xù)健康發(fā)展．A市外賣行業(yè)協(xié)會為掌握本市外賣派送人員的服務(wù)質(zhì)量水平，隨機選取了20名外賣派送人員，并針對他們的服務(wù)質(zhì)量細化打分（滿分100分），根據(jù)他們的服務(wù)質(zhì)量得分分成以下6組：，，，……，，統(tǒng)計得出以下頻率分布直方圖：（1）求這200名外賣派送人員服務(wù)質(zhì)好的平均得分？（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表）；（2）A市外實派送人員的服務(wù)質(zhì)量得分Z（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本甲均數(shù)．若A市恰有2萬名外賣派送人員，試估計這些外賣派送人員服務(wù)質(zhì)量得分位于區(qū)間的人數(shù)；（3）為答謝外賣派送人員積極參與調(diào)查，該協(xié)會決定給所抽取的這200人一定的現(xiàn)金補助，并準備了兩種補助方案．方案一：按每人服務(wù)質(zhì)量得分進行補助，每1分補助4元；方案二，以抽獎的方式進行補助，得分不低于中位數(shù)t的可抽獎2次，反之只能抽獎1次．在每次抽獎中、若中獎、則補助200元次、若不中獎，則只補助100元/次、且假定每次中獎的概率均為．問：哪一種補助方案補助總金額更低．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量Z服從正態(tài)分布，即，則，．19．（本小題17分）已知橢圓離心率，短軸長為2．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線l過橢圓C的右焦點，并與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點、截得的弦長為，求直線l的方程；（3）如圖，橢圓左頂點為A，過原點O的直線（與坐標軸不重合）與橢圓C交于P，Q兩點，直線PA、QA分別與y軸交于M，N兩點、試問：以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點（與直線PQ的斜率無關(guān)）？請證明你的結(jié)論．高二段考二數(shù)學(xué)參考答案1．B【詳解】數(shù)據(jù)84，79，86，87，84，93，84按從小到大的順序排一列：79，84，84，84，86，87，93，所以這組分數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是84，84，故A，C，D錯誤．故選：B．2．D【詳解】當焦點在y軸時，由，解得，符合題意，此時橢圓C的長軸長為；當焦點在x軸時，由，解得，符合題意，此時橢圓C的長軸長為．故選：D．3．D【詳解】．故選：D．4．B【詳解】由，，，則圓臺的高，根據(jù)圓臺體積公式得．故選：B．5．D【詳解】因為，所以，所以，所以．故選：D．6．B【詳解】因為A在B的前面出場，且A，B都不在3號位置，則情況如下：①A在1號位置，B又2、4、5三種位置選擇。有種次序；②A在2號位置，B有4，5號兩種選擇，有種次序；③A在4號位置，B有5號一種選擇，有種；故共有種．故選：B．7．D【詳解】試題分析：若，，則或m，n相交或m，n異面，A不正確；若，，則或，相交，選項B不正確；若，，則或，相交，選項C不正確；若，則m垂直于內(nèi)的任意一條直線，而，所以選項D正確．選D．A【詳解】依題意，，展開式的通項為，，，當時，，此時展開式的的系數(shù)為，當時，，此時展開式的的系數(shù)為，所以展開式中的系數(shù)為，所以．故選：A9．ABD【詳解】對于A，，則為純虛數(shù)，A正確；對于B，，而，即，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，B正確；對于C，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，C錯誤；對于D，，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半徑為1的半圓，D正確．故選：ABD10．ABD【詳解】函數(shù)，．此時，，，，因為，所以，所以，故A正確；，所以關(guān)于點對稱，故B正確；函數(shù)圖象向左平移個單位長度后得到，，當時，．所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確．故選：ABD11．AB【詳解】是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)，則，，故A正確；由得，的周期為4，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤．故選：AB．12．【詳解】，則或，即．①當時，，滿足，符合題意；②當時，，所以若，則有或（舍），解得；③當時，，所以若，則有或（舍），解得．綜上所跡．故答案為：13．【詳解】根據(jù)題意，圓經(jīng)過點，，則圓心在線段AB的垂直平分線上．又由點，，則線段AB的垂直平分線方程為．則有，解可得，即圓心為，圓的半徑，故圓的方程為．14．10【詳解】第1年：2019年底的木材總量為a萬立方米，第2年：2020年底的木材總量為萬立方米，第3年：2021年底的木材總量為萬立方米，第4年：2022年底的木材總量為萬立方米，……第n年：木材總量為萬立方米，由木材總量翻兩番即為4a，令，，，即．又，，故第11年時，即至少經(jīng)過10年，才能使得木材總量翻兩番．15．【詳解】（1）已知數(shù)列為等差數(shù)列，若選①，，注意到，解得，，從而，所以，若選②其前n項和為，，；則，解得，，所以，若選③其前n項和為，，首先，其次，時，，當時，也滿足，故，綜上無論選條件①，②，③，都有．（2）由題意，所以．16．【詳解】（1）法一、在三棱柱中，平面ABC，則該三棱柱是個直三棱柱（各側(cè)棱均垂直底面，各側(cè)面均與底面垂直）．，M為棱的中點，，又∵平面平面，平面平面，平面．又平面，法二：（1）依題意，以C為原點，分別以、、的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），可得、、、、、、、、．依題意，，，，，（2）依題意，是平面的一個法向量，，．設(shè)為平面的法向量，則，則，不妨令，得．，．二面角的正弦值；（3）依題意，．（2）知為平面的一個法向量，．直線與平面所成角的正弦值為．17．【詳解】（1）的定義域，．若，，則在上單調(diào)遞增；若，當時，，則單調(diào)遞減，當時，，則單調(diào)遞增．綜上：當時，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）因，，設(shè)，則．在上單調(diào)遞減，，．18．【詳解】解：（1）由題意知：中間值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1所以樣本平均數(shù)為．所以這200名外賣派送人員服務(wù)質(zhì)量的平均得分為70.5．（2）由（1）可知，故，，．2萬名外賣派送人員中服務(wù)質(zhì)量得分位于區(qū)間的人數(shù)約為（人）．（3）按方案一：所補助的總費用為（元）按方案二：設(shè)一個人所得補助為Y元，則Y的可能取值為100，200，300，400．由題意知，；，，，，所以Y的分布列為Y100200300400P，估算補助的總金額為：（元）．，所以選擇方案二補助的總金額更