2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（重慶專用）專題04 數(shù)論填空壓軸題-重慶中考壓軸題（教師版）

PAGE1PAGE專題04數(shù)論填空題--重慶中考壓軸題通用的解題思路：通?？疾榈男问剑赫?、平方差公式通常用到的技巧及知識點(diǎn)：一、整除類1、表示出該數(shù)，并標(biāo)注未知數(shù)范圍2、用位值原理展開并合并3、分離：分離為整除部分與余式部分，余式部分系數(shù)越小越好4、要運(yùn)用未知數(shù)范圍求解二、平方差公式：1、因式分解后本質(zhì)是求該數(shù)的因數(shù)2、a+b＞a-b3、a+b與a-b，奇偶相同1．（中考真題）如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足﹣＝，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“遞減數(shù)”．例如：四位數(shù)4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“遞減數(shù)”；又如：四位數(shù)5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“遞減數(shù)”．若一個(gè)“遞減數(shù)”為，則這個(gè)數(shù)為4312；若一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是8165．【解答】解：由題意可得10a+3﹣31＝12，解得a＝4，∴這個(gè)數(shù)為4312，由題意可得，10a+b﹣（10b+c）＝10c+d，整理，可得10a﹣9b﹣11c＝d，一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和為：100a+10b+c+100b+10c+d＝100a+10b+c+100b+10c+10a﹣9b﹣11c＝110a+101b＝99（a+b）+11a+2b，又∵一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，∴是整數(shù)，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，a＝9時(shí)，原四位數(shù)可得最大值，此時(shí)b只能取0，不符合題意，舍去，當(dāng)a＝8時(shí)，b＝1，此時(shí)71﹣11c＝d，c取9或8或7時(shí)，均不符合題意，當(dāng)c取6時(shí)，d＝5，∴滿足條件的數(shù)的最大值是8165，故答案為：4312；8165．2．（中考真題）對于一個(gè)四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為6200；一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為9313．【解答】解：求最小的“天真數(shù)”，首先知道最小的自然數(shù)的0．先看它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，個(gè)位數(shù)為最小的自然數(shù)0時(shí)，千位數(shù)為6；百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，十位數(shù)為最小的自然數(shù)0時(shí)．百位數(shù)是2；則最小的“天真數(shù)”為6200．故答案為：6200．一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d．由“天真數(shù)”的定義得a＝d+6，所以6≤a≤9，b＝c+2，所以0≤c≤7，又P（M）＝3（a+b）+c+d＝3（a+c+2）+c+a﹣6＝4a+4c；Q（M）＝a﹣5.＝若能被10整除當(dāng)a取最大值9時(shí)，即當(dāng)a＝9時(shí)，滿足能被10整除，則c＝1，“天真數(shù)”M為9313．故答案為：9313．1．若一個(gè)四位正整數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字不同，且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為完全平方數(shù)，則稱這個(gè)四位數(shù)為“和平數(shù)”，那么最大的“和平數(shù)”為9871；將一個(gè)“和平數(shù)”M的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為s，后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為t，規(guī)定，．若F（M）、G（M）都是整數(shù)，則滿足條件的M的最大值和最小值的差為4761．【解答】解：為最大的“和平數(shù)”，而1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，但各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字不同，而各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為完全平方數(shù)，∴最大的完全平方數(shù)為25，∴最大的“和平數(shù)”，當(dāng)b＝8，c＝7時(shí)，d＝25﹣9﹣8﹣7＝1，∴最大的“和平數(shù)”為9871；∵s＝10a+b，t＝10c+d，則，，∵F（M）、G（M）都是整數(shù)，設(shè)＝k1，＝k2，k1，k2為正整數(shù)，則10（a+c）+b+d＝9k1，10（a﹣c）+b﹣d＝3k2，兩式相加得：20a+2b＝18a+2（a+b）＝9k1+3k2＝3（3k1﹣k2），兩式相減得：20c+2d＝18c+2（c+d）＝9k1﹣3k2＝3（3k1﹣k2），∴a+b，c+d都能被3整除，∴a+b+c+d能被3整除，4＜a+b+c+d＜36，∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，∴4＜a+b+c+d＜36，∴a+b+c+d＝9或16或25，而a+b+c+d能被3整除，∴a+b+c+d＝9，又∵a+b，c+d都能被3整除，∴a+b＝6，c+d＝3時(shí)，M最大，a+b＝3，c+d＝6時(shí)，M最小，∴Mmax＝6021，Mmin＝1260，Mmax﹣Mmin＝4761．故答案為：9871；4761．2．一個(gè)四位數(shù)n，如果千位與十位上的數(shù)字之和等于百位與個(gè)位上的數(shù)字之和，則稱n為“等和數(shù)”，將這個(gè)“等和數(shù)”反序排列（即千位與個(gè)位對調(diào)，百位與十位對調(diào)）得到一個(gè)新的四位數(shù)m，記，則D（1254）＝﹣3；若某個(gè)“等和數(shù)”n的千位與十位上的數(shù)字之和為8，D（n）為正數(shù)且能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，則滿足條件的最大“等和數(shù)”n是8404．【解答】（1）D（1254）＝＝＝﹣3．故答案為﹣3．（2）設(shè)“等和數(shù)“n的千位、百位分別為a、b，則十位數(shù)為（8﹣a），個(gè)位數(shù)為（8﹣b），n＝990a+99b+88，m＝8800﹣990b﹣99a，n﹣m＝1089（a+b﹣8）D（n）＝＝a+b﹣8．∵D（n）能表示兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，可設(shè)D（n）＝（2k+2）2﹣（2k）2（k為自然數(shù)），∴D（n）＝8k+4＝4（2k+1）＝a+b﹣8，即a+b﹣8為4的奇數(shù)倍，∵n的千位與十位上的數(shù)字之和為8，..1≤a≤8，1≤b≤7，..a+b﹣8＝4，..a+b＝12，當(dāng)a最大是8，b為4，滿足條件的最大“等和數(shù)”n是8404．故答案為8404．3．若一個(gè)兩位數(shù)N滿足N＝ab+a+b，其中a、b均為正整數(shù)，則稱N為好數(shù)，那么最大的好數(shù)是99；若a、b同時(shí)還滿足或4，則稱N為絕對好數(shù)，那么絕對好數(shù)的個(gè)數(shù)為39．【解答】解：①∵N＝ab+a+b，∴N+1＝ab+a+b+1＝（a+1）（b+1），∵a≥1，b≥1，∴（a+1）（b+1）≥4，即N+1≥4，∴N+1是合數(shù)，又∵10≤N≤99，∴12≤N+1≤100，且N+1是合數(shù)，∵N+1的最大值為100，∴N的最大值為99；②當(dāng)a、b同時(shí)滿足，即ab＝3（a+b），∴N＝ab+a+b＝3（a+b）+a+b＝4（a+b），∵a≥1，b≥1，∴4（a+b）≥8，即N≥8，且N是4的倍數(shù)，又∵N是一個(gè)兩位數(shù)，∴8≤N≤88，且N是4的倍數(shù)，∴絕對好數(shù)N有21個(gè)，當(dāng)a、b同時(shí)滿足，即ab＝4（a+b），∴N＝ab+a+b＝4（a+b）+a+b＝5（a+b），∵a≥1，b≥1，∴5（a+b）≥10，且N是5的倍數(shù)，又∵N是一個(gè)兩位數(shù)，∴10≤N≤95，且N是5的倍數(shù)，∴絕對好數(shù)N有18個(gè)，綜上所述，絕對好數(shù)N的個(gè)數(shù)為：21+18＝39（個(gè)）．故答案為：99；39．4．對于一個(gè)四位自然數(shù)M，其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，若滿足個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差等于千位數(shù)字與十位數(shù)字之差的兩倍，則稱它為“附中數(shù)”，并規(guī)定F（M）等于M的前兩位數(shù)所組成的數(shù)字與后兩位數(shù)所組成的數(shù)字之差．例如：四位數(shù)8274，滿足：4﹣2＝2×（8﹣7），則8274是一個(gè)“附中數(shù)”，F(xiàn)（8274）＝82﹣74＝8．記“附中數(shù)”，（1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d均為整數(shù)），若F（M）為完全平方數(shù)，則a+b﹣c﹣d＝﹣2；同時(shí)，令G（M）＝c2﹣d2+a﹣b﹣6，若為整數(shù)，則滿足條件的M最大值與最小值之差為4040．【解答】解：∵是“附中數(shù)”，∴d﹣b＝2（a﹣c），∴b﹣d＝﹣2（a﹣c），∵F（M）為完全平方數(shù)，∴10a+b﹣（10c+d）＝10（a﹣c）+（b﹣d）＝10（a﹣c）﹣2（a﹣c）＝8（a﹣c），∵8（a﹣c）是完全平方數(shù)，且1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d均為整數(shù)，∴a﹣c＝2或8，∵a﹣c＝8，則d﹣b＝16，不合題意，∴a﹣c＝2，∴a+b﹣c﹣d＝（a﹣c）+（b+d）＝（a﹣c）﹣2（a﹣c）＝﹣（a﹣c）＝﹣2；當(dāng)a﹣c＝2時(shí)，d﹣b＝4，∵a，b，c，d互不相同，①當(dāng)a＝3，c＝1時(shí)，d＝6，b＝2，所以G（M）＝﹣40，此時(shí)不是整數(shù)，d＝8，b＝4，則G（M）＝﹣70，此時(shí)不是整數(shù)，d＝9，b＝5，則G（M）＝﹣88，此時(shí)不是整數(shù)，②當(dāng)a＝4，c＝2時(shí)，d＝5，b＝1，則G（M）＝﹣24，此時(shí)是整數(shù)，M＝4125，d＝7，b＝3，則G（M）＝﹣50，此時(shí)不是整數(shù)，故舍去，d＝9，b＝5，則G（M）＝﹣84，此時(shí)不是整數(shù)，故舍去，③當(dāng)a＝5，c＝3時(shí)，d＝6，b＝2，則G（M）＝﹣30，此時(shí)不是整數(shù)，d＝8，b＝4，則G（M）＝﹣60，此時(shí)不是整數(shù)，故舍去，④當(dāng)a＝6，c＝4時(shí)，d＝5，b＝1，則G（M）＝﹣10，此時(shí)不是整數(shù)，d＝7，b＝3，則G（M）＝﹣36，此時(shí)不是整數(shù)，d＝9，b＝5，則G（M）＝﹣70，此時(shí)不是整數(shù)，⑤當(dāng)a＝7，c＝5時(shí)，d＝6，b＝2，所以G（M）＝﹣12，此時(shí)是整數(shù)，M＝7256，d＝8，b＝4，所以G（M）＝﹣42，此時(shí)不是整數(shù)，舍去，⑥當(dāng)a＝8，c＝6時(shí)，d＝5，b＝1，所以G（M）＝12，此時(shí)是整數(shù)，M＝8165，d＝7，b＝3，所以G（M）＝﹣14，此時(shí)不是整數(shù)，舍去，d＝9，b＝5，所以G（M）＝﹣48，此時(shí)不是整數(shù)，舍去，⑦當(dāng)a＝9，c＝7時(shí)，d＝5，b＝1，所以G（M）＝26，此時(shí)不是整數(shù)，舍去，d＝6，b＝2，所以G（M）＝14，此時(shí)不是整數(shù)，d＝8，b＝4，所以G（M）＝﹣16，此時(shí)不是整數(shù)，M最大值為8165，M最小值為4125，8165﹣4125＝4040，故答案為：﹣2，4040．5．若一個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字比百位數(shù)字大1，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大2，則稱這個(gè)四位數(shù)是“驚蟄數(shù)”，若其千位數(shù)字比百位數(shù)字大2，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大4，則稱這個(gè)四位數(shù)是“谷雨數(shù)”．如3220是“驚蟄數(shù)”，6495是“谷雨數(shù)”，最小的“谷雨數(shù)”是2040；若M、N分別是“驚蟄數(shù)”、“谷雨數(shù)”，且它們的個(gè)位數(shù)字均為2，M、N各數(shù)位上的數(shù)字之和分別記為F（M）和F（N），若能被10整除．則當(dāng)取得最大值時(shí)M的值是4342．【解答】解：根據(jù)題意，最小的”谷雨數(shù)”，若千位數(shù)字最小，則應(yīng)為2，百位數(shù)字為0，此時(shí)十位數(shù)字最小為4，個(gè)位數(shù)字最小為0，則最小的“谷雨數(shù)”是2040．設(shè)“驚蟄數(shù)”千位、百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為：a+1，a，4，2；“谷雨數(shù)”千位、百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為：b+2，b，6，2；則：M＝1000（a+1）+100a+42＝1100a+1042，F(xiàn)（M）＝a+1+a+4+2＝2a+7；N＝1000（b+2）+100b+62＝1100b+2062，F(xiàn)（N）＝b+2+b+6+2＝2b+10；則＝＝＝＝550+，∵能被10整除，即55+為整數(shù)，也就是說，2（a﹣b）﹣3是51的因數(shù)，根據(jù)題意0≤a≤8，0≤b≤7，（千位上最大的數(shù)字是9），當(dāng)取得最大值時(shí)，也就是說最大，又∵51＝1×3×17，∴當(dāng)a﹣b＝3時(shí)，，當(dāng)a﹣b＝2時(shí)，＝51，∴當(dāng)a﹣b＝3時(shí)，a＝b+3，＝＝1+，b＝0時(shí)，最大值為1.3；當(dāng)a﹣b＝2時(shí)，a＝b+2，＝＝1+，b＝0時(shí)，最大值為1.1．故當(dāng)b＝0，a＝3時(shí)，有最大值，此時(shí)M的值為：4342．故答案為：2040；4342．6．對于一個(gè)三位自然數(shù)N，如果其十位數(shù)字為6，則稱這個(gè)三位數(shù)為“中六數(shù)”，將一個(gè)“中六數(shù)”N的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字互換得到的新三位數(shù)記為N'，記．若一個(gè)“中六數(shù)”N的百位數(shù)字為a（1≤a≤9），個(gè)位數(shù)字為b（0≤b≤9），且滿足F（N）+9＝ab，則滿足條件的“中六數(shù)”N的最大值為564．【解答】解：由題意，得N＝100a+60+b，N′＝100b+60+a，∴．∵“中六數(shù)”N要取得最大值，∴a≥b，∴F（N）＝11a﹣11b，∵F（N）+9＝ab，∴F（N）+9＝ab．當(dāng)a＝9時(shí)，99﹣11b+9＝9b，，不符合題意；當(dāng)a＝8時(shí)，88﹣11b+9＝8b，，不符合題意；當(dāng)a＝7時(shí)，77﹣11b+9＝7b，，不符合題意；當(dāng)a＝6時(shí)，66﹣11b+9＝6b，，不符合題意；當(dāng)a＝5時(shí)，55﹣11b+9＝5b，b＝4，符合題意；∴“中六數(shù)”N的最大值為564．故答案為：564．7．對于任意一個(gè)四位數(shù)m，若它的千位數(shù)字與百位數(shù)字的和比十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和大2，則稱這個(gè)四位數(shù)m為“差雙數(shù)”，記F（m）為m的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和．例如：m＝1632，∵1+6﹣（3+2）＝2，∴1632是“差雙數(shù)”，F(xiàn)（1632）＝1+6+3+2＝12；m＝6397，∵6+3﹣（9+7）＝﹣7≠2，∴6397不是“差雙數(shù)”．若與都是“差雙數(shù)”，且，則“差雙數(shù)”是3432；已知M，N均為“差雙數(shù)”，其中M＝2000a+100b+10c+d，N＝1000x+300b+40﹣d（1≤a≤4，0≤b≤3，0≤c≤9，1≤d≤9，1≤x≤9，a，b，c，d，x是整數(shù)），已知F（M）+F（N）﹣2能被6整除，且為整數(shù)，則滿足條件的所有的M的值之和為8628．【解答】解：∵與都是“差雙數(shù)”，∴（5+k）﹣（4+1）＝2，（3+s）﹣（t+2）＝2．∴k＝2，s﹣t＝1．∵，∴5+2+4+1＝3+s+t+2，∴s+t＝7．∴．解得：．∴“差雙數(shù)”＝3×1000+4×100+3×10+2＝3432；∵M(jìn)＝2000a+100b+10c+d，N＝1000x+300b+40﹣d，∴M＝2a×1000+b×100+c×10+d，N＝x?1000+3b?100+3×10+（10﹣d）．∴M千位上的數(shù)字是2a，百位上的數(shù)字是b，十位上的數(shù)字是c，個(gè)位上的數(shù)字是d，N千位上的數(shù)字是x，百位上的數(shù)字是3b，十位上的數(shù)字是3，個(gè)位上的數(shù)字是10﹣d．∴F（M）＝2a+b+c+d，F(xiàn)（N）＝x+3b+3+10﹣d＝x+3b+13﹣d．∵M(jìn)，N均為“差雙數(shù)”，∴（2a+b）﹣（c+d）＝2，（x+3b）﹣（3+10﹣d）＝2．∴2a+b＝2+c+d，x+3b＝15﹣d．∴F（M）＝2c+2d+2，F(xiàn)（N）＝28﹣2d．∴F（M）+F（N）﹣2＝2c+2d+2+28﹣2d﹣2＝2c+28，＝＝．∵F（M）+F（N）﹣2能被6整除，∴＝＝4+是整數(shù)．∵0≤c≤9，且c為整數(shù)，∴c＝1或c＝4或c＝7．當(dāng)c＝1時(shí)，＝＝．∵為整數(shù)，1≤d≤9，d為整數(shù)，∴d＝2或d＝6；當(dāng)c＝4時(shí)，＝＝．∵為整數(shù)，1≤d≤9，d為整數(shù)，∴d不存在；當(dāng)c＝7時(shí)，＝＝．∵為整數(shù)，1≤d≤9，d為整數(shù)，∴d不存在．①c＝1，d＝2．∵2a+b＝2+c+d，∴2a+b＝5．∵1≤a≤4，0≤b≤3，∴a＝1，b＝3或a＝2，b＝1．∵x+3b＝15﹣d．當(dāng)a＝2，b＝1，c＝1，d＝2時(shí)，x＝10，不符合題意，舍去．∴M＝2000a+100b+10c+d＝2312．②c＝1，d＝6．∵2a+b＝2+c+d，∴2a+b＝9．∵1≤a≤4，0≤b≤3，∴a＝3，b＝3．∴M＝2000a+100b+10c+d＝6316．∴滿足條件的所有的M的值之和為：2312+6316＝8628．故答案為：3432，8628．8．一個(gè)四位正整數(shù)M，如果千位數(shù)字與十位數(shù)字之和的兩倍等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和，則稱M為“共進(jìn)退數(shù)”，并規(guī)定F（M）等于M的前兩位數(shù)所組成的數(shù)字與后兩位數(shù)所組成的數(shù)字之和，G（M）等于M的前兩位數(shù)所組成的數(shù)字與后兩位數(shù)所組成的數(shù)字之差，如果F（M）＝60，那么M各數(shù)位上的數(shù)字之和為15；有一個(gè)四位正整數(shù)（0≤x≤8，0≤y≤9，0≤z≤8，且為整數(shù)）是一個(gè)“共進(jìn)退數(shù)”，且F（N）是一個(gè)平方數(shù)，是一個(gè)整數(shù)，則滿足條件的數(shù)N是1125．【解答】解：設(shè)M千位上的數(shù)字為a，百位上的數(shù)字為b，十位上的數(shù)字為c，個(gè)位上的數(shù)字為d．∴2（a+c）＝b+d．∵F（M）＝60，∴（10a+b）+（10c+d）＝60．∴10a+10c+b+d＝60．∴12a+12c＝60．∴a+c＝5．∴b+d＝2（a+c）＝10．∴a+b+c+d＝15；∵N＝+1000x+10y+z，∴N＝1×1000+1×100+1+1000x+10y+z＝1000（x+1）+1×100+y×10+（z+1）．∴N的千位上的數(shù)字為x+1，百位上的數(shù)字為1，十位上的數(shù)字為y，個(gè)位上的數(shù)字為z+1．∵N是一個(gè)“共進(jìn)退數(shù)”，∴2（x+1+y）＝1+z+1．∴2x+2y＝z．∴F（N）＝[10（x+1）+1]+[10y+（z+1）]＝10x+10y+z+12＝5z+z+12＝6z+12．G（N）＝[10（x+1）+1]﹣[10y+（z+1）]＝10x﹣10y﹣z+10＝10x﹣10y﹣（2x+2y）+10＝8x﹣12y+10．∵F（N）是一個(gè)平方數(shù)，6z+12＝6（z+2），0≤z≤8，且為整數(shù)，∴z＝4．∴x+y＝2．∴x＝2﹣y．∴G（N）＝8（2﹣y）﹣12y+10＝26﹣20y．∴＝＝＝3﹣3y+．∵是一個(gè)整數(shù)，0≤y≤9，∴y＝2或9．當(dāng)y＝2時(shí)，x＝0；當(dāng)y＝9時(shí)，x＝﹣7（不合題意，舍去）．∴N＝1000（x+1）+1×100+y×10+（z+1）＝1125．故答案為：15，1125．9．如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且滿足，則稱這個(gè)四位數(shù)為“乘風(fēng)破浪數(shù)”，例如：四位數(shù)3296，∵23+69＝92，∴3296是“乘風(fēng)破浪數(shù)”．則1341不是（填“是”或“不是”）“乘風(fēng)破浪數(shù)”；若一個(gè)“乘風(fēng)破浪數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)和后兩個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)的差，再減去2c能被8整除，則滿足條件的“乘風(fēng)破浪數(shù)”的最大值為8131．【解答】解：∵31+14＝45≠43，∴1341不是“乘風(fēng)破浪數(shù)”．故答案為：不是；∵是一個(gè)乘風(fēng)破浪數(shù)，，∴10b+a+10d+c＝10c+b，即a+9b﹣9c+10d＝0，∵一個(gè)“乘風(fēng)破浪數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)和后兩位數(shù)組成的兩位數(shù)的差，再減去2c能被8整除，∴100a+10b+c﹣（10c+d）﹣2c＝100a+10b+c﹣10c﹣d﹣2c＝100a+10b﹣11c﹣d＝（12×8+4）a+（8+2b）﹣（8+3）c﹣d，∴4a+2b﹣3c﹣d能被8整除，∵a＝9c﹣10d﹣9b，∴4a+2b﹣3c﹣d＝4（9c﹣10d﹣9b）+2b﹣3c﹣d＝36c﹣40d﹣36b+2b﹣3c﹣d＝33c﹣41d﹣34b＝（4×8+1）c﹣（5×8+1）d﹣（4×8+2）b，∴c﹣d﹣2b能被8整除，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，當(dāng)c＝8，b＝1，則d＝7，a＝9c﹣10d﹣9b＝81﹣70﹣9＝2，則2197，b為其他數(shù)時(shí)，不合題意，舍去；當(dāng)c＝8，b＝1，則d＝6，a＝9c﹣10d﹣9b＝72﹣60﹣9＝3，則3186，當(dāng)c＝7，b＝1，則d＝5，a＝9c﹣10d﹣9b＝63﹣50﹣9＝4，則4175，當(dāng)c＝6，b＝1，則d＝4，a＝9c﹣10d﹣9b＝54﹣40﹣9＝5，則5164，當(dāng)c＝5，b＝1，則d＝3，a＝9c﹣10d﹣9b＝45﹣30﹣9＝6，則6153，當(dāng)c＝4，b＝1，則d＝2，a＝9c﹣10d﹣9b＝36﹣20﹣9＝7，則7142，當(dāng)c＝3，b＝1，則d＝1，a＝9c﹣10d﹣9b＝27﹣10﹣9＝8，則8131，當(dāng)c＝2，b＝1，則d＝8，則a＝9c﹣10d﹣9b＝18﹣80﹣9＜0，舍去，綜上所述，最大值為8131．10．一個(gè)四位正整數(shù)若滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且它的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與它的后兩位數(shù)組成的兩位數(shù)的乘積能被35整除，則稱這個(gè)四位正整數(shù)為“三五數(shù)”．例如：四位數(shù)1225，∵12×25＝300，300不能被35整除．∴1225不是“三五數(shù)”；又如：四位數(shù)1425，∵14×25＝350，350能被35整除．∴1425是“三五數(shù)”．若m是最小的“三五數(shù)”，則m＝1135；若四位正整數(shù)是“三五數(shù)”，且滿足a+b＝c+d，則滿足條件的最大的“三五數(shù)”與最小的“三五數(shù)”之和為10119．【解答】解：設(shè)，∵能被35整除，且35＝5×7＝1×35，∴當(dāng)中都不等于35時(shí)，那么能被7整除的時(shí)候，一定能被5整除或能被5整除的時(shí)候，一定能被7整除，∵兩位數(shù)中能被7整除的數(shù)有14、21、28、42、49、56、63、77、84、91，98（除去35），能被5整除的數(shù)有15、25、45、55、65、75、85、95（除去35），∴此時(shí)組成的最小的四位數(shù)為1415；當(dāng)中至少有一個(gè)數(shù)為35時(shí)，那么另一個(gè)數(shù)可以為任意的不被10整除的兩位數(shù)，∴當(dāng)要保證此時(shí)m最小時(shí)，則，即此時(shí)最小的四位數(shù)為1135；∴m＝1135；同理若四位正整數(shù)是“三五數(shù)”，則當(dāng)中都不等于35時(shí)，那么能被7整除的時(shí)候，一定能被5整除或能被5整除的時(shí)候，一定能被7整除，∵兩位數(shù)中能被7整除的數(shù)有14、21、28、42、49、56、63、77、84、91，98（除去35），能被5整除的數(shù)有15、25、45、55、65、75、85、95（除去35），當(dāng)，不存在滿足被5整除且滿足a+b＝c+d；當(dāng)，cd＝77，最大值應(yīng)該為9577．當(dāng)，只有時(shí)，滿足a+b＝c+d，即此時(shí)的最大值為9155；當(dāng)，不存在滿足被5整除且滿足a+b＝c+d；當(dāng)，只有時(shí)，滿足a+b＝c+d，即此時(shí)的最小組值為1542；當(dāng)中至少有一個(gè)數(shù)為35時(shí)，∴a+b＝c+d＝8，∴此時(shí)滿足題意得的最大值為7135，最小值為1735；∴最大的“三五數(shù)”為9577，與最小的“三五數(shù)”1542，∴和為9577+1542＝10119；故答案為：1135；10119．11．一個(gè)四位正整數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字不完全相同且均不為零，若滿足千位和百位數(shù)字之和是十位和個(gè)位數(shù)字之和的兩倍，則稱這樣的四位數(shù)為“二階數(shù)”．將“二階數(shù)”R的千位數(shù)字與百位數(shù)字對調(diào)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對調(diào)得到一個(gè)新的“二階數(shù)”記為R′，記，例如：當(dāng)R＝4212時(shí)，R′＝2421，則．已知兩個(gè)“二階數(shù)”，滿足是一個(gè)完全平方數(shù)，且為整數(shù)，則a+b＝12，R﹣S的最大值為1809．【解答】解：∵，S＝，∴R＝1000a+100b+10c+d，R'＝1000b+100a+10d+c，∴R+R′＝1100a+1100b+11c+11d，∵千位和百位數(shù)字之和是十位和個(gè)位數(shù)字之和的兩倍，∴a+b＝2（c+d），∴，∴S＝1000×7+100m+10×4+n，S＝1000m+100×7+10n+4∴S+S＝7700+1100m+44+1ln，同理可得：7+m＝8+2n，即m＝2n+1，S+S′＝221ln+8844，，∵a、b、c、d是不完全相同的正整數(shù)且均不為零，∴a+b≤18，，是一個(gè)完全平方數(shù)，∴解得：a+b＝12或（舍去），∵＝＝為整數(shù)即為整數(shù)，∵m、n是正整數(shù)且均不為零，m＝2n+1，∴n≤4當(dāng)n＝1時(shí)（不符合題意舍去），當(dāng)n＝2時(shí)（符合題意），當(dāng)n＝3時(shí)（不符合題意舍去），當(dāng)n＝4時(shí)（不符合題意舍去），∴n＝2，m＝5，∴S＝7542，求R﹣S的最大值只需R最大，∵a+b＝12，c+d＝6，，∴a＝9，b＝3，c＝5，d＝1，∴R＝9351，∴R﹣S＝9351﹣7542＝1809，故a+b＝12，R﹣S＝1809．12．若一個(gè)三位正整數(shù)m＝（各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0）滿足a+b+c＝9，則稱這個(gè)三位正整數(shù)為“吉祥數(shù)”．對于一個(gè)“吉祥數(shù)”m，將它的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換以后得到新數(shù)n，記F（m）＝．如：m＝216滿足2+1+6＝9，則216為“吉祥數(shù)”，那么n＝612，所以F（216）＝＝92．則最小的“吉祥數(shù)”是117；對于任意一個(gè)“吉祥數(shù)”m，若F（m）能被7整除，則滿足條件的“吉祥數(shù)”m的最大值是351．【解答】解：（1）∵a+b+c＝9，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，這個(gè)三位數(shù)要最小，∴百位上是1，十位上是1，∴個(gè)位是7，∴最小的“吉祥數(shù)”是117；（2）設(shè)m＝100a+10b+c，其中a+b+c＝9，則n＝100c+10b+a，∴F（m）＝＝＝＝＝101﹣9b，∵a+b+c＝9，且a，b，c均不為0，∴b＝1，2，37，當(dāng)b＝1時(shí)，F(xiàn)（m）＝101﹣9×1＝92，不能被7整除，不合題意，當(dāng)b＝2時(shí)，F(xiàn)（m）＝101﹣9×2＝83，不能被7整除，不合題意，當(dāng)b＝3時(shí)，F(xiàn)（m）＝101﹣9×3＝74，不能被7整除，不合題意，當(dāng)b＝4時(shí)，F(xiàn)（m）＝101﹣9×4＝65，不能被7整除，不合題意，當(dāng)b＝5時(shí)，F(xiàn)（m）＝101﹣9×5＝56，能被7整除，符合題意，∴a+c＝4，∴，，，∴m＝153或252或351，當(dāng)b＝6時(shí)，F(xiàn)（m）＝101﹣9×6＝47，不能被7整除，不合題意，當(dāng)b＝7時(shí)，F(xiàn)（m）＝101﹣9×7＝38，不能被7整除，不合題意，∴滿足條件的“吉祥數(shù)”m的最大值是315．故答案為：117，351．13．在任意n（n＞1且為整數(shù)）位正整數(shù)K的首位后添加6得到的新數(shù)叫做K的“順數(shù)”，在K的末位前添加6得到的新數(shù)叫做K的“逆數(shù)”．若K的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差能被17整除，稱K是“最佳拍檔數(shù)”．1324的“逆數(shù)”為13264，1324的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差為16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍檔數(shù)”．若一個(gè)首位是5的四位“最佳拍檔數(shù)”N，其個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為8，則所有符合條件的N的最大值5662．【解答】解：設(shè)N的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則個(gè)位數(shù)字為8﹣b，∴N＝5000+100a+10b+（8﹣b），∴N的“順數(shù)”為50000+6000+100a+10b+（8﹣b）＝56008+100a+9b，N的“逆數(shù)”為50000+1000a+100b+60+（8﹣b）＝50068+1000a+99b，∴N的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差為56008+100a+9b﹣（50068+1000a+99b）＝5940﹣900a﹣90b＝90（66﹣10a﹣b），∵N是“最佳拍檔數(shù)”，∴90（66﹣10a﹣b）能被17整除，即66﹣10a﹣b能被17整除，∴66﹣10a﹣b＝17k，即10a+b＝66﹣17k（0≤k≤3，k為整數(shù)），由題意可得，0≤a≤9，0≤b≤8（a，b均為整數(shù)），當(dāng)k＝0時(shí)，10a+b＝66，此時(shí)a＝6，b＝6，N＝5662當(dāng)k＝1時(shí)，10a+b＝49，此時(shí)無合適的a，b值，當(dāng)k＝2時(shí)，10a+b＝32，此時(shí)a＝3，b＝2，N＝5326，當(dāng)k＝3時(shí)，10a+b＝15，此時(shí)a＝1，b＝5，N＝5153，綜上，所有符合條件的N的值為5662，5326，5153，∴所有符合條件的N的最大值為5662．故答案為：5662．14．若一個(gè)各個(gè)數(shù)位的數(shù)字均不為零的四位數(shù)M滿足其千位數(shù)字與十位數(shù)字的和等于其百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，則稱這個(gè)數(shù)為“間位等和數(shù)”：將一個(gè)“間位等和數(shù)”的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字去掉后剩下的兩位數(shù)記作A，千位數(shù)字和百位數(shù)字去掉后剩下的兩位數(shù)記作B．令F（M）＝．若四位數(shù)M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d．則F（1573）＝，如果F（M）為完全平方數(shù)，那么M的最大值與最小值的差為8811．【解答】解：由題意得：A＝15，B＝73．∴F（1573）＝＝；∵四位數(shù)M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，M為“間位等和數(shù)”，∴a+c＝b+d．∴A＝10a+b，B＝10c+d．∴F（M）＝＝＝＝．∵F（M）為完全平方數(shù)，各個(gè)數(shù)位的數(shù)字均不為零，∴a+c＝3或a+c＝12．∵求M的最大值，∴a，b均可以取最大值9，∴c，d均取3，∴最大值為9933．∵求M的最小值，∴a，b均可以取最小值1，∴c，d均取2，∴最小值為1122．∴M的最大值與最小值的差為：9933﹣1122＝8811．故答案為：，8811．15．如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字不全相等，滿足，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“跳躍數(shù)”．例如：四位數(shù)1323，∵12+33＝5（1+2+3+3），∴1323是“跳躍數(shù)”；又如：四位數(shù)5324，∵52+34≠5（5+3+2+4），∴5324不是“跳躍數(shù)”．若一個(gè)“跳躍數(shù)”為，則這個(gè)數(shù)為4437；若一個(gè)“跳躍數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的差能被7整除，則滿足條件的“跳躍數(shù)”的最大值是9369．【解答】解：①∵是“跳躍數(shù)“，∴43+10m+7＝5（4+m+3+7），解得m＝4，∴這個(gè)數(shù)為4437；②設(shè)滿足條件的“跳躍數(shù)”的最大值是，∴90+c+10b+d＝5（9+b+c+d），∴b＝﹣9，∵b，c，d是0～9中的整數(shù)，∴c+d＝15，b＝3，∴滿足條件的“跳躍數(shù)”的最大值是，∵前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的差能被7整除，且930+c﹣（300+10c+d）＝630﹣9c﹣d＝7（90﹣c）﹣（2c+d），∴2c+d是7的倍數(shù)，∵c+d＝15，∴c+15的7的倍數(shù)，∴c最大為6，∴d＝9，∴滿足條件的“跳躍數(shù)”的最大值是9369；故答案為：9369．16．如果一個(gè)三位自然數(shù)的百位數(shù)字與1的和等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，則稱這個(gè)數(shù)為“差一數(shù)”．例如：726，∵7+1＝2+6，726是“差一數(shù)”．又如：632，∵6+1≠3+2，∴632不是“差一數(shù)”，則最小的“差一數(shù)”是102；若一個(gè)“差一數(shù)”P為，且P可以被5整除，又，且G（P）為整數(shù)，則滿足條件的“差一數(shù)”P的最大值為560．【解答】解：最小三位數(shù)百位為1時(shí)，滿足題意的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和為2，∴十位為0，個(gè)位為2，∴三位數(shù)為102；“差一數(shù)”P滿足a+1＝b+c，∴c＝a﹣b+1，∴＝＝＝2+，∵G（P）為整數(shù)，∴a+b+1為12的因數(shù)，想要讓P大，∴a+b+1＝12，∴a+b＝11，∴P為928，836，744，652，560，∵P可以被5整除，∴P為560．故答案為：102；560．17．如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足a+b+c＝d2；那么稱這個(gè)四位數(shù)為“和方數(shù)”．例如：四位數(shù)2613，因?yàn)?+6+1＝32，所以2613是“和方數(shù)”；四位數(shù)2514，因?yàn)?+5+1≠42，所以2514不是“和方數(shù)”．若是“和方數(shù)”，則這個(gè)數(shù)是8354；若四位數(shù)M是“和方數(shù)”，將“和方數(shù)”M的千位數(shù)字與百位數(shù)字對調(diào)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對調(diào)，得到新數(shù)N，若M+N能被33整除，則滿足條件的M的最大值是6213．【解答】解：由題意可得a+3+5＝42，解得a＝8，∴這個(gè)數(shù)為8354；設(shè)M＝1000a+100b+10c+d，則N＝1000b+100a+10d+c，a+b+c＝d2，∴M+N＝1100（a+b）+11（c+d）＝1100（d2﹣c）+11（c+d）＝1100d2+11d﹣1089c，∵M(jìn)+N能被33整除，∴是整數(shù)，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，∴是整數(shù)，∴d或d+1是3的倍數(shù)，∴d的可能值為：2，3，5，6，8，9．∵四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，∴d＝3．∴滿足條件的數(shù)的M的最大值是6213．故答案為：8354；6213．18．對于一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不相等且均不為零的三位自然數(shù)m，若m的十位數(shù)字分別小于m的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字，則稱m為“義渡數(shù)”．當(dāng)三位自然數(shù)為義渡數(shù)”時(shí)，重新排列m各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字可得到一個(gè)最大數(shù)m1和一個(gè)最小數(shù)m2，規(guī)定F（m）＝，例如：m＝524，因?yàn)?＜5，2＜4，所以524是“義渡數(shù)”，且F（524）＝，則最小的“義渡數(shù)”是213；若三位自然數(shù)n＝100x+10y+z是“義渡數(shù)”（其中1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x、y、z均為整數(shù)），且n的個(gè)位數(shù)字小于百位數(shù)字，F(xiàn)（n）+2x＝20，求滿足條件的所有三位自然數(shù)n的最大值是978．【解答】解：由“義渡數(shù)”定義得最小的“義渡數(shù)”是213，故答案為：213．F（n）＝＝x﹣y，∵F（n）+2x＝20，∴x﹣y+2x＝20，∴y＝3x﹣20，∵y＜z＜x，∴當(dāng)x＝7時(shí)，y＝1，若n最大，則z＝6，∴當(dāng)x＝8時(shí)，y＝4，若n最大，則z＝7，∴當(dāng)x＝9時(shí)，y＝7，若n最大，則z＝8，∴n的最大是978．故答案為：978．19．對于一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不相等且均不為零的三位自然數(shù)m，若m的十位數(shù)字分別小于m的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字，則稱m為“弦月數(shù)”，當(dāng)三位自然數(shù)為弦月數(shù)時(shí)，重新排列m各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字可得到一個(gè)最大數(shù)m1和一個(gè)最小數(shù)m2，規(guī)定，例如：m＝524，因?yàn)?＜5，2＜4，所以524是“弦月數(shù)”，若m＝412．求F（412）＝3；若三位自然數(shù)n＝100x+10y+z是“弦月數(shù)”（其中1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x、y、z均為整數(shù)），且n的個(gè)位數(shù)字小于百位數(shù)字，F(xiàn)（n）+3x＝15，求滿足條件的所有三位自然數(shù)n的值是412或413．【解答】解：由“弦月數(shù)”得：F（412）＝＝3．∵x＞z＞y，∴F（n）＝＝x﹣y，∴x﹣y+3x＝15，∴x＝，當(dāng)y＝1時(shí)，x＝4，∴n＝412或413．當(dāng)y＝5時(shí)，x＝5，舍去．故答案為：3，412或413．20．若一個(gè)四位數(shù)滿足百位數(shù)字和十位數(shù)字相同，千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為7，這樣的數(shù)稱為“同七數(shù)”．已知M為一個(gè)“同七數(shù)”，且M可以被9整除．將M的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和記為P（M），則可求出P（M）的值是9（請?zhí)钊刖唧w數(shù)字）．將M的個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字的差記為Q（M），并令G（M）＝，當(dāng)G（M）是整數(shù)時(shí)，則滿足條件M的最大值與最小值的差是2997．【解答】解：設(shè)M的千位數(shù)字是a，則個(gè)位數(shù)字是7﹣a，百位數(shù)字是b，則十位數(shù)字也是b，1≤a≤7，M＝1000a+100b+10b+7﹣a＝999a+110b+7，P（M）＝a+b+b+7﹣a＝2b+7．M可以被9整除，M＝999a+110b+7＝9（111a+12b）+2b+7，2b+7是9的倍數(shù)，又∵0≤b≤9，且b為自然數(shù)，7≤2b+7≤25，且2b+7是奇數(shù)，2b+7＝9，即P（M）＝9．解得：b＝1，又∵M(jìn)的個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字的差記為O（M），即Q（M）＝7﹣a﹣a＝7﹣2a．G（M）＝＝，又∵1≤a≤7，且a為正整數(shù)，∴﹣7≤7﹣2a≤5，且7﹣2a是奇數(shù)，又∵G（M）是整數(shù)，∴7﹣2a＝﹣3或﹣1或1或3，解得：a＝5或4或3或2，∴M＝5112或4113或3114或2115．∴滿足條件M的最大值與最小值的差是：5112﹣2115＝2997．故答案為：9；2997．21．若一個(gè)四位正整數(shù)滿足：a+c＝b+d，我們就稱該數(shù)是“交替數(shù)”，則最小的“交替數(shù)”是1001；若一個(gè)“交替數(shù)”m滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是15，且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)的和能被5整除．則滿足條件的“交替數(shù)”m的最大值為8778．【解答】解：a取最小的正整數(shù)1，c取最小的整數(shù)0，則a+c＝b+d，b＝0，d＝1．∴最小的“交替數(shù)”是1001；根據(jù)題意知：a2﹣b2＝15，c+d＝5k（k是正整數(shù)），a+c＝b+d．∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝15＝15×1＝5×3，且0≤a≤9，0≤b≤9，∴或，解得或，∵a+c＝b+d．∴c﹣d＝b﹣a，∴c﹣d＝﹣1或c﹣d＝﹣3，∵c+d＝5k（k是正整數(shù)），∴c+d＝5或10或15，∴或或或或或，解得或或（舍去）或（舍去）或或，∴a＝8，b＝7，c＝2，d＝3，即8723；或a＝4，b＝1，c＝1，d＝4，即4114；或a＝8，b＝7，c＝7，d＝8，即8778；或a＝4，b＝1，c＝6，d＝9，即4169．故所有的“交替數(shù)”是