高中數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型增分練專題06圓教師版新人教A版選擇性必修第一冊

專題6圓【題型一】求圓1：圓心在直線上求方程【典例分析】（2024·全國·高二）已知圓M的圓心在直線上，且點(diǎn)，在M上，則M的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)寫出的中垂線，求其與的交點(diǎn)即得圓心坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，在M上，所以圓心在的中垂線上．由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為．故選：C【提分秘籍】基本規(guī)律1.圓的一般方程表示的圓的圓心為，半徑長為．2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)為圓心，r為半徑【變式訓(xùn)練】1.（2024·安徽省亳州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓過點(diǎn)，，且圓心在軸上，則圓的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)圓心在軸上，設(shè)出圓的方程，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.2.（2024·山西·太原市第六十六中學(xué)校高二期中）過點(diǎn)，且經(jīng)過圓與圓的交點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)題意，設(shè)所求圓的方程為，再待定系數(shù)求解即可．【詳解】解：由圓系方程的性質(zhì)可設(shè)所求圓的方程為，因?yàn)樗髨A過點(diǎn)，所以，解得：所以所求圓的方程為：故選：A【題型二】求圓2：外接圓【典例分析】（2024·福建漳州·高二期末）在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.如線段的最小覆蓋圓就是以該線段為直徑的圓，銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若，，，則的最小覆蓋圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.【詳解】，，，為銳角三角形，的外接圓就是它的最小覆蓋圓，設(shè)外接圓方程為，則

解得的最小覆蓋圓方程為，即，的最小覆蓋圓的半徑為.故選：C【提分秘籍】基本規(guī)律求外接圓：1.利用一般方程，把三個點(diǎn)代入求解2.外接圓是三邊中垂線的交點(diǎn)，可以分別求出兩邊的中垂線方程，接觸交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心?！咀兪接?xùn)練】1.（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，3），B（﹣2，2），C（1，﹣7），則該三角形外接圓的圓心及半徑分別為（

）A．（2，﹣2）， B．（1，﹣2），C．（1，﹣2），5 D．（2，﹣2），5【答案】C【分析】依據(jù)題意，設(shè)三角形外接圓的圓心為M，其坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，由|MA|＝|MC|和|MA|＝|MB|，求出a、b的值，可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可得r的值，即可得答案.【詳解】依據(jù)題意，設(shè)三角形外接圓的圓心為M，其坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，3），B（﹣2，2），C（1，﹣7），|MA|＝|MC|，必有b＝﹣2，|MA|＝|MB|，則有（a﹣1）2+25＝（a+2）2+16，解可得a＝1，則r＝|MA|＝5；即圓心為（1，﹣2），半徑r＝5；故選：C.2.（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知曲線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，與y軸交于P點(diǎn)，則外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)外接圓的方程為，分別令，結(jié)合韋達(dá)定理求得D,E,F,代入即可求得圓的方程.【詳解】設(shè)外接圓的方程為，點(diǎn)Q是的外接圓與y軸的另一個交點(diǎn)，分別令，則，．設(shè)，則，又曲線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，則，，，，，所以，，故外接圓的方程．故選：C.3.（2024·江蘇·高二單元測試）已知圓，P為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先確定的面積最小時點(diǎn)坐標(biāo)，再由是直角三角形求出外接圓的圓心和半徑，即可求出外接圓方程.【詳解】由題可知，，半徑，圓心，所以，要使的面積最小，即最小，的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到時，最小，直線的斜率為，此時直線的方程為，由，解得，所以，因?yàn)槭侵苯侨切危孕边叺闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，而，所以的外接圓圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.故選：C.【題型三】求圓3：內(nèi)切圓【典例分析】（2024·全國·高二單元測試）已知三角形三邊所在直線的方程分別為、和，求這個三角形的內(nèi)切圓圓心和半徑．【答案】圓心；半徑為.【分析】由三角形所在位置設(shè)出其內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，利用三角形內(nèi)切圓性質(zhì)列方程，求解作答.【詳解】依題意，由得直線與的交點(diǎn)，由得直線與的交點(diǎn)，由得直線與的交點(diǎn)，明顯，且，即是等腰直角三角形，則直線平分，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，，則，解得，即，半徑，所以這個三角形的內(nèi)切圓圓心和半徑分別為圓心，.【提分秘籍】基本規(guī)律求內(nèi)切圓：1.內(nèi)切圓是角平分線的交點(diǎn)，可以求出三角形兩條角平分線，解出交點(diǎn)即為圓心2.待定系數(shù)法，到三邊距離相等的點(diǎn)即為內(nèi)心【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國·高二課時練習(xí)）若直線與兩坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【答案】【分析】結(jié)合三角形面積計(jì)算公式，建立等式，計(jì)算半徑r，得到圓方程，即可．【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，結(jié)合面積公式則因而圓心坐標(biāo)為，圓的方程為2.（2024·重慶南開中學(xué)高二階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、，動點(diǎn)在的內(nèi)切圓上，則的最小值為_________.【答案】##【分析】求出的內(nèi)切圓方程，設(shè)點(diǎn)，計(jì)算得出，其中點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可求得的最小值.【詳解】由兩點(diǎn)間的距離公式可知，則是邊長為的等邊三角形，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，因?yàn)辄c(diǎn)、關(guān)于軸對稱，所以，的內(nèi)切圓圓心在軸上，易知直線的方程為，原點(diǎn)到直線的距離為，所以，的內(nèi)切圓為圓，設(shè)點(diǎn)，，其中點(diǎn)，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為射線與圓的交點(diǎn)時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.3.（2016·重慶·一模（理））已知直線和直線分別與圓相交于和，則四邊形的內(nèi)切圓的面積為________．【答案】【分析】由兩直線方程，得出兩直線垂直且交于點(diǎn)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)推斷出四邊形是邊長為的正方形，其內(nèi)切圓半徑為，由此可求得答案.【詳解】聯(lián)立，解得，即直線和直線相互垂直且交于點(diǎn)，而恰好是圓的圓心，則AB,CD為圓的兩條相互垂直的直徑，且,所以，四邊形是邊長為的正方形，因此其內(nèi)切圓半徑是，面積是，故答案為:.【題型四】點(diǎn)與圓的關(guān)系【典例分析】（2024·全國·高二課時練習(xí)）假如直線和函數(shù)的圖象恒過同一個定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得．再由由點(diǎn)在圓內(nèi)部或圓上可得．由此可解得點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動．由表示以和為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率可得選項(xiàng)．【詳解】函數(shù)恒過定點(diǎn)．將點(diǎn)代入直線可得，即．由點(diǎn)在圓內(nèi)部或圓上可得，即．或．所以點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動．表示以和為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率．所以，．所以．故選：C．【提分秘籍】基本規(guī)律圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，點(diǎn)M(x0，y0)，則有：(1)點(diǎn)在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0；(2)點(diǎn)在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＞0；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＜0.【變式訓(xùn)練】1.（2024·安徽·合肥市第八中學(xué)高二開學(xué)考試）若點(diǎn)在圓：的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系建立不等式求解，并留意方程表示圓所滿意的條件.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓：的外部，所以，解得，又方程表示圓，所以，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：C2.（2024·河北·高二期中）直線與圓有兩個公共點(diǎn)，那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓上 D．不能確定【答案】A【解析】直線與圓有兩個公共點(diǎn)，可得，即為，由此可得點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【詳解】因?yàn)橹本€與圓有兩個公共點(diǎn)，所以有，即，因?yàn)辄c(diǎn)與的圓心的距離為，圓的半徑為1，所以點(diǎn)在圓外.故選：A.3.（2024·遼寧·沈陽市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知三點(diǎn)，，，以為圓心作一個圓，使得，，三點(diǎn)中的一個點(diǎn)在圓內(nèi)，一個點(diǎn)在圓上，一個點(diǎn)在圓外，則這個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【分析】計(jì)算,依據(jù)大小確定半徑，即可求出圓的方程.【詳解】，，，，故所求圓以為半徑，方程為.故答案為：【題型五】弦長與弦心距【典例分析】（2024·江蘇·濱海縣八灘中學(xué)高二期中）已知圓：，直線：與圓交于，兩點(diǎn)，且的面積為8，則直線的方程為(

)A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由三角形面積定理求出等腰三角形頂角，進(jìn)而求出其高，再用點(diǎn)到直線距離得解.【詳解】由圓的方程可得圓心的坐標(biāo)為，半徑為4．∵的面積為，∴，∴，∴點(diǎn)到直線的距離為．由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)到直線的距離為，∴或，∴的方程為或.故選：C．【提分秘籍】基本規(guī)律弦長問題：用勾股，即圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則依據(jù)勾股得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＝r2－d2【變式訓(xùn)練】1.（2024·江蘇·高二期中）已知的三個頂點(diǎn)為，，，過點(diǎn)作其外接圓的弦，若最長弦與最短弦分別為，，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，，三點(diǎn)的坐標(biāo)可得外接圓的方程，依據(jù)題意可知，過（3，5）的最長弦為直徑，最短弦為過（3，5）且垂直于該直徑的弦，利用對角線垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半即可求得面積．【詳解】設(shè)的外接圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由O（0，0），M（6，0），N（8，4），得，解得.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，點(diǎn)（3，5）在圓內(nèi)部，由題意得最長的弦|AC|＝2×5＝10，點(diǎn)（3，5）到圓心（3，4）的距離為1．依據(jù)勾股定理得最短的弦|BD|＝，且AC⊥BD，四邊形ABCD的面積S＝|AC|?|BD|＝×10×＝．故選：B．2.（2024·四川成都·高二開學(xué)考試（文））直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則弦長且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l共有（

）．A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】先利用題意得到圓心到直線的距離，然后分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)進(jìn)行假設(shè)直線方程，結(jié)合弦長即可得到答案；【詳解】解：由可得圓心為，半徑為2，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線l的方程為即，所以圓心到直線的距離為，解得，此時直線為或；當(dāng)直線過原點(diǎn)時，設(shè)直線l的方程為即，所以圓心到直線的距離為，解得，此時直線為或；綜上所述，直線l共有4條，故選：D．3.（2024·江西南昌·模擬預(yù)料（文））若直線與圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．4 C． D．－4【答案】D【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用弦心距，半徑和弦的關(guān)系可求出，然后利用向量的數(shù)量積的定義及幾何意義可求得結(jié)果.【詳解】由題意得圓的圓心到直線的距離為，所以，所以，所以，故選：D【題型六】到直線距離為定值的圓上點(diǎn)個數(shù)【典例分析】（2024·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二期中）已知圓上存在四個點(diǎn)到直線的距離等于，則實(shí)數(shù)范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于1，即求.【詳解】由知圓心，半徑為3，若圓上存在四個點(diǎn)到直線的距離等于，則點(diǎn)C到直線的距離，∴，∴.故選：D.【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知圓上恰有三個點(diǎn)到直線距離等于，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由于圓上恰有三個點(diǎn)到直線距離等于，而圓的半徑為，所以只要圓心到直線l的距離等于半徑的一半即可，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程可求出直線的斜率.【詳解】解：由題意，圓心到直線l的距離等于半徑的一半，所以，解得，故選：A.2.（2016·湖北黃石·高二階段練習(xí)）能夠使得圓上恰好有兩個點(diǎn)到直線的距離等于1的一個c值為A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】依據(jù)當(dāng)M到直線l：2x+y+c=0的距離d∈（1，3）時，⊙M上恰有兩個點(diǎn)到直線l的距離等于1求解.【詳解】解：圓的方程可化為：，所以圓心M（1，-2），半徑r=2，由題意知：當(dāng)M到直線l：2x+y+c=0的距離d∈（1，3）時，⊙M上恰有兩個點(diǎn)到直線l的距離等于1，，得，而，所以滿意題意的c可以是3故選：C3.（2024·山東·日照青山學(xué)校高二期末）定義：假如在一圓上恰有四個點(diǎn)到始終線的距離等于，那么這條直線叫做這個圓的“相關(guān)直線”.則下列直線是圓的“相關(guān)直線”的為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分析可知，圓心到“相關(guān)直線”的距離滿意，然后計(jì)算出圓心到每個選項(xiàng)中直線的距離，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由題意可知，圓的圓心為，半徑為.設(shè)圓心到“相關(guān)直線”的距離為，由圖可知，可得.對于A選項(xiàng)，，不合乎題意；對于B選項(xiàng)，，合乎題意；對于C選項(xiàng)，，合乎題意；對于D選項(xiàng)，，不合乎題意.故選：BC.【題型七】弦長與弦心距：弦心角【典例分析】（2024·江蘇·高二課時練習(xí)）若直線?與圓?相交于?兩點(diǎn)，且?(其中?為原點(diǎn))，則?的值為（

）A．?或? B．? C．?或? D．?【答案】A【分析】依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由可知，圓心到直線的距離為，依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得故選：A【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知直線l：與圓O：相交于不同的兩點(diǎn)A，B，若∠AOB為銳角，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】以∠AOB為直角時為臨界，此時圓心O到直線l的距離，依據(jù)題意可得，代入求解．【詳解】因?yàn)橹本€l：經(jīng)過定點(diǎn)，圓O：的半徑為，當(dāng)∠AOB為直角時，此時圓心O到直線l的距離，解得，則當(dāng)∠AOB為銳角時，．又直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則，即，所以或，故選：A．【題型八】圓過定點(diǎn)【典例分析】（2024·江蘇·高二課時練習(xí)）點(diǎn)是直線上隨意一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)，求出以為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)為，圓的半徑為，所以，以為直徑為圓的方程為，即，即，由，解得或，因此，以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為、.故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律類比含參直線過定點(diǎn)。形如，則圓恒過交點(diǎn)【變式訓(xùn)練】1.（2024·河北滄州·高二期末）已知點(diǎn)為直線上隨意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過定點(diǎn)外還過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)垂直于直線，可知圓恒過垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過點(diǎn)，由得：，以為直徑的圓恒過定點(diǎn).故選：D.2.（2024·寧夏·銀川一中高二期末）假如直線和函數(shù)的圖象恒過同一個定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得．再由由點(diǎn)在圓內(nèi)部或圓上可得．由此可解得點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動．由表示以和為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率可得選項(xiàng)．【詳解】函數(shù)恒過定點(diǎn)．將點(diǎn)代入直線可得，即．由點(diǎn)在圓內(nèi)部或圓上可得，即．或．所以點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動．表示以和為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率．所以，．所以．故選：C．3.（2024·全國·高二）若動圓C過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8,則動圓圓心C的軌跡方程是(

)A． B． C． D．()【答案】C【分析】設(shè)并作軸于，由垂徑定理得，又，利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，過作軸，垂足為，則，，，得.故選：C.【題型九】兩圓位置關(guān)系【典例分析】（2024·浙江·蘭溪市厚仁中學(xué)高二期中）已知圓：和圓：，則（

）A．時，兩圓相交 B．時，兩圓內(nèi)切C．時，兩圓外切 D．時，兩圓內(nèi)含【答案】AD【分析】依據(jù)題意得兩圓圓心距為，圓半徑，再依次探討求解即可得答案.【詳解】解：由題知圓：的圓心為，半徑；圓：的圓心為，半徑，所以兩圓圓心距為，故對于A選項(xiàng)，當(dāng)，，故兩圓相交，正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)，，故兩圓外切，錯誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)，，故兩圓內(nèi)切，錯誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)，，故兩圓內(nèi)含，正確.故選：AD【提分秘籍】基本規(guī)律圓與圓位置關(guān)系的判定（1）幾何法：若兩圓的半徑分別為，，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關(guān)系的推斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與，的關(guān)系__（2）代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進(jìn)行推斷．消元，一元二次方程【變式訓(xùn)練】1.（2024·湖南省邵東市第一中學(xué)高二期末）已知圓O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，則兩圓的位置關(guān)系是(

)A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切【答案】C【詳解】兩圓圓心之間的距離為|O1O2|＝，由1＜＜2＋1＝3，所以兩圓相交，答案C2.（2024·全國·高二專題練習(xí)）分別求當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切．【答案】答案見解析【分析】依據(jù)兩圓的位置關(guān)系，可得圓心距和半徑之間的關(guān)系，由兩圓半徑分別為1和，以及圓心距|C1C2|＝，進(jìn)行比較即可得解.【詳解】將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，圓C1的圓心為C1(－2，3)，半徑長r1＝1；圓C2的圓心為C2(1，7)，半徑長r2＝(k＜50)，從而|C1C2|＝，當(dāng)1＋＝5，即k＝34時，兩圓外切.當(dāng)|－1|＝5，即＝6，即k＝14時，兩圓內(nèi)切.當(dāng)|－1|＜5＜1＋，即14＜k＜34時，兩圓相交，∴當(dāng)k＝14或k＝34時，兩圓相切，當(dāng)14＜k＜34時，兩圓相交.【題型十】兩圓公共弦【典例分析】（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知圓和圓相交，則圓和圓的公共弦所在的直線恒過的定點(diǎn)為（

）A．(2，2) B．(2，1) C．(1，2) D．(1，1)【答案】B【分析】依據(jù)題意，聯(lián)立兩個圓的方程可得兩圓公共弦所在的直線方程，由此分析可得答案．【詳解】依據(jù)題意，圓和圓相交，則，則圓和圓的公共弦所在的直線為，變形可得，則有，則有，即兩圓公共弦所在的直線恒過的定點(diǎn)為，故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律公共弦直線：當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程假如“貌似兩圓”的方程含參數(shù)，則必需先保證兩點(diǎn)以限定參數(shù)范圍：1.保證是兩個圓。2.保證兩圓相交?！咀兪接?xùn)練】1.（2024·全國·高二專題練習(xí)）垂直平分兩圓，的公共弦的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求解兩個圓的圓心，圓心連線即為所求.【詳解】依據(jù)題意，圓，其圓心為，則，圓，其圓心為，則，垂直平分兩圓的公共弦的直線為兩圓的連心線，則直線的方程為，變形可得；故選:B.2.（2024·山東泰安·高二期中）圓和圓交于，兩點(diǎn)，則兩圓公共弦的弦長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】兩圓兩式相減，得到公共弦所在直線的方程為，結(jié)合弦長公式，即可求解.【詳解】由題意，圓和圓，兩式相減，可得，即公共弦所在直線的方程為，又由圓可化為，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以，即兩圓公共弦的弦長為.故選：A.3.2024·全國·高二專題練習(xí)）圓心都在直線上的兩圓相交于兩點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由相交兩圓的公共點(diǎn)性質(zhì)求解，即由直線是線段的垂直平分線求解．【詳解】由題意直線是線段的垂直平分線，所以，解得，所以．故選：A．分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1.．（2024·浙江省蘭溪市第三中學(xué)高二開學(xué)考試）已知圓C過點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組即可.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將坐標(biāo)代入得:

,解得，故圓的方程為，故選：C.2.（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知，則外接圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得外接圓的方程即可進(jìn)行選擇.【詳解】設(shè)外接圓的方程為則有，解之得則外接圓的方程為故選：D3.（2024·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)，，，則的內(nèi)切圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題意設(shè)出圓心，再利用圓心到直線與到直線的距離相等列出一個等式，即可求出圓心，即可進(jìn)而求出半徑，得到答案.【詳解】易知是等腰三角形，且，∴圓心在直線上，設(shè)圓心，易得直線的方程為，直線的方程為，則，解得，則內(nèi)切圓的半徑為，∴所求圓的方程為.故選：D.4.（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由表示圓可得，點(diǎn)A（1，2）在圓C外可得，求解即可【詳解】由題意，表示圓故，即或點(diǎn)A（1，2）在圓C：外故，即故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或即故選：A5.（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則k＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】圓心到直線的距離為，則,而，所以，解方程即可求出答案.【詳解】圓的圓心，所以圓心到直線的距離為，則，而，所以，解得：.故選：B.6.（2024·北京八中高二期末）已知圓：（），直線：.若圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【解析】圓的圓心為到直線的距離為1，由圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1，得到圓心為到直線的距離為，由此求出的值.【詳解】圓的圓心為,則圓心到直線的距離.又圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1.所以圓心為到直線的距離為,即。所以故選：A7.（2024·江蘇·高二單元測試）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】先由余弦定理求出，即可得出圓心到直線的距離，即可求得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為2，則在中，由余弦定理可得，即，所以圓心到直線的距離為，則，即.故選：B.8.（2024·江蘇·高二課時練習(xí)）已知圓，圓，則兩圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)含 D．相切【答案】B【分析】依據(jù)圓的方程確定圓心及半徑，由兩圓圓心距離與半徑的關(guān)系推斷位置關(guān)系.【詳解】由題設(shè)，：，：，∴，半徑；，半徑；∴，即兩圓相交.故選：B9.（2024·吉林·長春市其次試驗(yàn)中學(xué)高二開學(xué)考試）兩圓x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直線的方程為（）A．x+2y﹣6＝0 B．x﹣3y+5＝0 C．x﹣2y+6＝0 D．x+3y﹣8＝0【答案】C【分析】兩圓方程相減得出公共弦所在直線的方程.【詳解】兩圓方程相減得，即x﹣2y+6＝0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6＝0故選：C培優(yōu)其次階——實(shí)力提升練1..（2024·全國·高二）某圓經(jīng)過兩點(diǎn)，圓心在直線上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)圓的平面幾何性質(zhì)可知圓心在的中垂線上，聯(lián)立方程可得圓心坐標(biāo)，再求出半徑即可得解.【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過兩點(diǎn)，所以圓心在中垂線上，聯(lián)立解得圓心，所以圓的半徑，故所求圓的方程為，故選：D2.（2024·全國·高二課時練習(xí)）若不同的四點(diǎn)，，，共圓，則a的值為（

）A．1 B．3 C． D．7【答案】D【分析】設(shè)圓的方程為，解方程組即得解.【詳解】解：設(shè)圓的方程為，分別代入A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，得，解得，所以A，B，C三點(diǎn)確定的圓的方程為．因?yàn)橐苍诖藞A上，所以，所以，解得a＝7或（舍去）．故選：D．3.（2024·黑龍江·鶴崗一中高二階段練習(xí)）直線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的方程為_____________.【答案】【分析】由圓與坐標(biāo)軸相切（圓心在在第一象限），設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，則半徑為.由圓心到切線的距離等于半徑求得，從而得圓方程．【詳解】由題意設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，則半徑為.直線l的方程可化為，由題意可得，解得或（不符合題意，舍去）.∴內(nèi)切圓的方程為.故答案為：.4.（2024·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）．A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓外 D．不能確定【答案】C【分析】先求圓心與已知點(diǎn)之間距離，再與半徑比較確定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外．故選：C5.（2024·江蘇·高二課時練習(xí)）已知圓：，直線過點(diǎn)與圓交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題知，進(jìn)而得，再求直線的方程即可.【詳解】解：由已知得，所以.因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，直線的方程為，即.故選：B6.（2024·全國·高二課時練習(xí)）若圓上恰有相異兩點(diǎn)到直線的距離等于1，則不行能取值（

）A． B．5 C． D．6【答案】D【分析】求出圓心到直線的距離，使得圓心到直線的距離與半徑的差的確定值小于1，即可滿意題意，求出r的范圍．【詳解】∵圓心到直線的距離，圓上恰有相異兩點(diǎn)到直線的距離等于1，∴，即，∴．則不行能取值為6．故選：D．7.（2024·山東·肥城市教學(xué)探討中心模擬預(yù)料）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與圓：相交于兩點(diǎn)，若，則的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】依據(jù)同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，可知，然后可得圓心到直線的距離，依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程可解.【詳解】由，得，則圓心為，半徑為，易知在圓上，因?yàn)?，所以，得，則圓心到直線的距離，即，即或.故選：B.8.（2024·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)，則兩圓與的位置關(guān)系不行能是（

）A．相切 B．相交 C．內(nèi)切和內(nèi)含 D．外切和外離【答案】D【分析】求出兩圓的圓心和半徑，計(jì)算圓心距與半徑比較即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為4；圓的圓心為，半徑為．兩圓心之間的距離為，又因?yàn)?，所以兩圓不行能外切和外離．故選：D．9.（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）當(dāng)時，兩圓與的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相交、相切或相離【答案】D【分析】圓心距為，探討時，時，時，時四種狀況，分別計(jì)算得到答案.【詳解】兩圓與的圓心距為，.當(dāng)時，，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時，，兩圓相交；當(dāng)時，，兩圓外切；當(dāng)時，，兩圓外離；故選：.10.（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則兩圓的公共弦A． B． C． D．2【答案】A【分析】兩圓方程相減得所在的直線方程，再求出到直線的距離，從而由的半徑，利用勾股定理及垂徑定理即可求出．【詳解】圓與圓相減得所在的直線方程：.∵圓的圓心，，圓心到直線：的距離，則．故選A培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.（2024·黑龍江·雞西市第一中學(xué)校高二期中）過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)得的中垂線方程為，其與交點(diǎn)即為所求圓心，并應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求半徑，寫出圓的方程即可.【詳解】由題設(shè)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，∴的中垂線方程為，聯(lián)立，∴，可得，即圓心為，而，∴圓的方程是.故選：B2.（2024·遼寧營口·高二期末）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點(diǎn)A、B是的ON邊上的兩個定點(diǎn)，C是OM邊上的一個動點(diǎn)，當(dāng)C在何處時，最大？問題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊OM相切于點(diǎn)C時，最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（2，0），（4，0），R是y軸正半軸上的一動點(diǎn)，當(dāng)最大時，點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由題意，借助米勒定理，可設(shè)出坐標(biāo)，表示出的外接圓方程，然后在求解點(diǎn)R的縱坐標(biāo).【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（2，0），（4，0）是x軸正半軸上的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)R是y軸正半軸上的一動點(diǎn)，依據(jù)米勒定理，當(dāng)?shù)耐饨訄A與y軸相切時，最大，由垂徑定理可知，弦的垂直平分線必經(jīng)過的外接圓圓心，所以弦的中點(diǎn)為（3，0），故弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的外接圓半徑，即，由垂徑定理可得，圓心坐標(biāo)為，故的外接圓的方程為，所以點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為.故選：C.3.（2024·四川宜賓·高二期末（文））直線分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動點(diǎn)P，則的最小值為（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】由題意，求出內(nèi)切圓的半徑和圓心坐標(biāo)，設(shè)，則，由表示內(nèi)切圓上的動點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，從而即可求解最小值.【詳解】解：因?yàn)橹本€分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，所以設(shè)，則，因?yàn)?，所以三角形OAB的內(nèi)切圓半徑，內(nèi)切圓圓心為，所以內(nèi)切圓的方程為，設(shè)，則，因?yàn)楸硎緝?nèi)切圓上的動點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，且在內(nèi)切圓內(nèi)，所以，所以，,即的最小值為18，故選：B.4.（2024·山東·乳山市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）直線與圓相離，則與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓________．（填“外”或“上”或“內(nèi)”）【答案】內(nèi)【分析】先求得的關(guān)系式，由此推斷出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑為，由于直線與