高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)專題題組訓(xùn)練23拉格朗日教師版

專題23拉格朗日一、單選題1．拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：假如函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”．依據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定條件，求出導(dǎo)數(shù)，列方程求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，令為在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”，則有，即，解得，所以函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.故選：B2．英國數(shù)學(xué)家布魯克泰勒，以發(fā)覺泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)而著名于世.依據(jù)泰勒公式，我們可知：假如函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于，有，其中，（此處介于和之間）.若取，則，其中，（此處介于0和之間）稱作拉格朗日余項(xiàng).此時(shí)稱該式為函數(shù)在處的階泰勒公式，也稱作的階麥克勞林公式.于是，我們可得（此處介于0和1之間）.若用近似的表示的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)，當(dāng)不超過時(shí)，正整數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知可得，依據(jù)可出正整數(shù)的最小值.【詳解】解：由條件有，即因?yàn)?，，所以的最小值?故選：C.3．英國數(shù)學(xué)家泰勒以發(fā)覺泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)著名于世．由泰勒公式，我們能得到（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），其拉格朗日余項(xiàng)是．可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的e的近似值也就越精確．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)，不超過時(shí)，正整數(shù)n的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，得到不等式，結(jié)合階乘的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，可得的，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以n的最小值是6．故選：B.4．以羅爾中值定理?拉格朗日中值定理?柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容.其定理陳述如下：假如函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為m，函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為n，則有（

）（參考數(shù)據(jù)：.）A．1 B．2 C．0 D．【答案】B【解析】【分析】利用中值點(diǎn)的定義分別求解兩函數(shù)的中值點(diǎn)即可【詳解】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”為，由，得，則由拉格朗日中值定理得，，即，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1，即，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”為，由，得，則由拉格朗日中值定理得，，即，作出函數(shù)和的圖像如圖所示，，當(dāng)時(shí)，，由圖可知，函數(shù)和的圖像在區(qū)間上有一個(gè)交點(diǎn)，即方程區(qū)間上有1個(gè)解，所以函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1，即，所以，故選：B5．以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容.其定理陳述如下：假如函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得，稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)，依據(jù)上述結(jié)論，函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題設(shè)中給出的“拉格朗日中值點(diǎn)”的定義，結(jié)合函數(shù)進(jìn)行分析，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，由，可得，即，解得，所以在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為.故選：B.6．英因數(shù)學(xué)家泰勒(B.Taylor，1685-1731)以發(fā)覺泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)著名于世.由泰勒公式，我們能得到(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，)，其拉格朗日余項(xiàng)是.可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的的近似值也就越精確.若近似地表示的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)，不超過時(shí)，正整數(shù)的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意建立不等式，利用驗(yàn)證的方式求解即可.【詳解】依題意得，即，，，所以的最小值是6.故選：B7．拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：假如函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”．依據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題中給出的“拉格朗日中值點(diǎn)”的定義分析求解即可．【詳解】函數(shù)，則，由，得，即，解得，所以在，上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2．故選：B.8．以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容.其定理如下：假如函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象不間斷，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得，稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn).則函數(shù)在區(qū)間上的中值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題設(shè)中給出的“拉格朗日中值點(diǎn)”的定義，結(jié)合函數(shù)進(jìn)行分析，將問題轉(zhuǎn)化為求在上的解的個(gè)數(shù)問題，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可..【詳解】由題意，函數(shù)，所以，所以，所以由拉格朗日中值定理得：，即，所以，由于時(shí)，所以在無解，在上有2解.所以函數(shù)在區(qū)間上的中值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B.9．?dāng)?shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：隨意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿意條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是（

）A．28 B．24 C．20 D．16【答案】A【解析】【分析】分類探討四個(gè)數(shù)的組成后，由計(jì)數(shù)原理求解【詳解】明顯a，b，c，d均為不超過5的自然數(shù)，下面進(jìn)行探討．最大數(shù)為5的狀況：①，此時(shí)共有種狀況；最大數(shù)為4的狀況：②，此時(shí)共有種狀況；③，此時(shí)共有種狀況．當(dāng)最大數(shù)為3時(shí)，，故沒有滿意題意的狀況．綜上，滿意條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是．故選：A10．拉格朗日定理又稱拉氏定理：假如函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有一，使得.已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依題意可得在區(qū)間上隨意兩點(diǎn)連線的斜率大于，因此即對(duì)隨意恒成立，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】依題意可知，，且，不等式成立，它表示函數(shù)在區(qū)間上隨意兩點(diǎn)連線的斜率大于，即在區(qū)間上隨意兩點(diǎn)連線的斜率大于，所以即對(duì)隨意恒成立，當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，即實(shí)數(shù)的最小值是.故選：C.11．拉格朗日中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必存在，滿意等式，若，對(duì)，，，那么實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】【分析】由題意可得，即要求導(dǎo)函數(shù)的最大值，令，對(duì)求導(dǎo)推斷它的單調(diào)性，從而求出最大值即可.【詳解】由題意知，，，，使得．因?yàn)?，則，令，則，令得.當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)．所以即，故實(shí)數(shù)的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：求函數(shù)的最大值.12．拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微積分學(xué)中的基本定理之一，它反映了函數(shù)在閉區(qū)間上的整體平均變更率與區(qū)間某點(diǎn)的局部變更率的關(guān)系，其詳細(xì)內(nèi)容如下：若在上滿意以下條件：①在上圖象連續(xù)，②在內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（為的導(dǎo)函數(shù)）．則函數(shù)在上這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】用已知定義得到存在點(diǎn)，，使得，轉(zhuǎn)化為探討函數(shù)數(shù)和圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)圖象即可得到答案．【詳解】函數(shù)，則，由題意可知，存在點(diǎn)，，使得，即，所以，，，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，由圖象可知，函數(shù)和的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，只有一個(gè)解，即函數(shù)在，上點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)．故選：A13．以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容.其定理陳述如下：假如函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得，稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（

）參考數(shù)據(jù)：，，.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)再求出，由拉格朗日中值定理可得，故該方程根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，由函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系即可求解.【詳解】由，知.由拉格朗日中值定理：令，即，，，畫出函數(shù)圖像，如圖由圖可知，的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程在區(qū)間內(nèi)有解，故在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”有個(gè)，故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拉格朗日中值定理、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的應(yīng)用，考查理解辨析實(shí)力與運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.14．拉格朗日中值定理又稱拉氏定理：假如函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有一，使得．已知函數(shù)，，，那么實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．0 C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意可得，即要求導(dǎo)函數(shù)的最大值，令，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)推斷它的單調(diào)性，從而求出最大值即可.【詳解】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．由題意知，，，，使得．因?yàn)?，則，令，則．當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)．所以，所以，所以實(shí)數(shù)的最大值為0故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵要結(jié)合所給的定義解題，屬于一般題.15．2024年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器勝利實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸須要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，放射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿意方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】本題在正確理解題意的基礎(chǔ)上，將有關(guān)式子代入給定公式，建立的方程，解方程、近似計(jì)算．題目所處位置應(yīng)是“解答題”，但由于題干較長，易使考生“望而生畏”，留意了閱讀理解、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解實(shí)力的考查．【詳解】由，得因?yàn)?，所以，即，解得，所以【點(diǎn)睛】由于本題題干較長，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是困難式子的變形出錯(cuò)．二、多選題16．對(duì)于一組數(shù)據(jù)，我們記，并稱為這組數(shù)據(jù)的拉格朗日插值多項(xiàng)式．下列說法正確的有（

）．A．對(duì)于數(shù)據(jù)，，，其拉格朗日插值多項(xiàng)式為B．對(duì)于隨意一組數(shù)據(jù)，點(diǎn)都在曲線上C．對(duì)于隨意一組數(shù)據(jù)，點(diǎn)都大致分布在曲線兩側(cè)D．若點(diǎn)共線，則確定為一條直線【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)拉格朗日插值多項(xiàng)式的定義逐一分析推斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于數(shù)據(jù)，，，有，，∴，A選項(xiàng)正確．易知，則，∴對(duì)隨意一組數(shù)據(jù)，點(diǎn)都在曲線上，B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤．若點(diǎn)共線，由題意易知該直線的斜率必定存在，不妨設(shè)該直線的方程為．又是一次數(shù)不超過的多項(xiàng)式，不妨設(shè)，由B選項(xiàng)正確知點(diǎn)為與的公共點(diǎn)．∴方程至少有n個(gè)根，即方程有n個(gè)根．若該方程每項(xiàng)的系數(shù)不全為0，則該方程至多有個(gè)根，不成立．∴，則，因此確定為一條直線，D選項(xiàng)正確．故選：ABD．17．以羅爾中值定理?拉格朗日中值定理?柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容.其定理陳述如下：假如函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得，稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為，函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為，則有（

）(參考數(shù)據(jù)：，，，.)A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，由拉格朗日中值定理可得，故該方程根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，由函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系即可求解，同理由拉格朗日中值定理可得：即的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”個(gè)數(shù)，從而得出答案.【詳解】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”為由，則由拉格朗日中值定理可得：又即所以，作出函數(shù)和的圖象,如圖1.由圖可知，函數(shù)和的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn).所以方程在上有兩個(gè)解，即函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)“中值點(diǎn)”.所以又，函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”為，則由拉格朗日中值定理可得：即，作出函數(shù)與的圖象，如圖2,當(dāng)時(shí)，由圖可知，函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有1個(gè)交點(diǎn).即方程在區(qū)間上有1個(gè)解.所以函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)“中值點(diǎn)”，即故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的新定義問題，考查方程是實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)的推斷，解答本題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)和方程在區(qū)間上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合即可，屬于中檔題.18．拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容，定理如下：假如函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得，稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為，函數(shù)在區(qū)間上“中值點(diǎn)”個(gè)數(shù)為，則有（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，.）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】先求出由拉格朗日中值定理可得數(shù)形結(jié)合推斷該方程的隔壁的個(gè)數(shù)即為“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)的值，對(duì)于由拉格朗日中值定理可得數(shù)形結(jié)合推斷方程的根的個(gè)數(shù)即為“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)的值，即可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)為，由，由拉格朗日中值定理可得：，因?yàn)椋?，可得，，即作出函?shù)和的圖象如圖：由圖可知，函數(shù)和的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程在上有兩個(gè)解，即函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)中值點(diǎn)，所以，，函數(shù)在區(qū)間上“中值點(diǎn)”為，由拉格朗日中值定理可得：，因?yàn)椋?，所以作出函?shù)與的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，，由圖可知函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有一個(gè)交點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有一個(gè)根，所以函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)“中值點(diǎn)”，所以，故選：BC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：推斷函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）個(gè)數(shù)的方法（1）干脆法：令，假如能求出解，那么有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)；（2）利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理：利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理時(shí)，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連綿起伏的曲線，并且，還必需結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；（3）圖象法：畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)，和的形式，依據(jù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)和的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（4）利用函數(shù)的性質(zhì)：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到，若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則須要求出在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，依據(jù)周期性則可以得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).三、填空題19．2024年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器勝利實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就．實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸須要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，放射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿意方程：．設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為_________．【答案】【解析】【分析】由推導(dǎo)出，進(jìn)而可得.【詳解】由，得，由，得，將代入，得，有，所以，則，所以.故答案為：.20．英國數(shù)學(xué)家泰勒以發(fā)覺泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)著名于世．由泰勒公式，我們能得到（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，，其拉格朗日余項(xiàng)是．可以看出，e的表達(dá)式右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的e的近似值也就越精確．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)，且不超過時(shí)，則正整數(shù)n的最小值是______．【答案】5【解析】【分析】依據(jù)題意，列出關(guān)于的不等式，結(jié)合階乘的運(yùn)算，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意，可得，即．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以n的最小值是5．故答案為：.21．法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個(gè)定理，詳細(xì)如下．假如函數(shù)滿意如下條件：（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)的；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo).則在開區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被稱為“拉格朗日中值”．則在區(qū)間上的“拉格朗日中值”________．【答案】【解析】【分析】先求，結(jié)合拉格朗日中值的定義，可得求得的值即可.【詳解】由可得，所以，由拉格朗日中值的定義可知，即，所以．故答案為：.22．拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，它反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變更率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變更率的關(guān)系.其定理表述如下：假如函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象不間斷，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)使得等式成立，其中稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)，函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)為________【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間，上的中值點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由“中值點(diǎn)”的定義可得：，求出的值，即可得答案．【詳解】解：依據(jù)題意，設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間，上的中值點(diǎn)為，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，所以，則有，即，又由，則；故答案為：．23．在18世紀(jì)，法國著名數(shù)學(xué)家拉格日在他的《解析函數(shù)論》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陳述如下，假如函數(shù)f（x）區(qū)間[a，b]上連綿起伏，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)（存在導(dǎo)函數(shù)），在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），則x＝x0稱為函數(shù)y＝f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的中值點(diǎn)，則關(guān)于x的f（x）＝ex+mx在區(qū)間[﹣1，1]上的中值點(diǎn)x0的值為__________________.【答案】【解析】【分析】由拉格朗日中值定理可得,求導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】解：當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，由拉格朗日中值定理可得＝，∵f'（x）＝ex+m，∴+m，即，∴.故答案為：.24．法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中提出一個(gè)定理：假如函數(shù)滿意如下兩個(gè)條件：（1）其圖象在閉區(qū)間上是連綿起伏的；（2）在區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù).則在區(qū)間上至少存在一個(gè)數(shù)，使得，其中稱為拉格朗日中值