吉林省長春市榆樹第一高級中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

吉林省長春市榆樹第一高級中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，，則的最小值為（）A．2 B． C． D．2．甲、乙兩人在相同條件下，射擊5次，命中環(huán)數(shù)如下：甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計（）A．甲比乙的射擊技術(shù)穩(wěn)定 B．乙.比甲的射擊技術(shù)穩(wěn)定C．兩人沒有區(qū)別 D．兩人區(qū)別不大3．若,則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．4．數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，那么a4的值為()．A．4 B．8 C．15 D．315．已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點之和為（）A．4 B．6 C．8 D．126．（）A． B． C． D．7．如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）A． B． C． D．8．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．如圖，在正方體中，，分別是中點，則異面直線與所成角大小為（）．A． B． C． D．10．已知數(shù)列的前項和，則的值為（）A．-199 B．199 C．-101 D．101二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在正項等比數(shù)列中，，，則公比________.12．若點，是圓C：上不同的兩點，且，則的值為______.13．若三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，則的取值范圍為______.14．對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____．15．若，，則的值為______．16．已知，，，則的最小值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的遞推公式為．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式．18．的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,已知.(1)求角;(2)若,求面積的最大值.19．已知長方體中,，點N是AB的中點，點M是的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）寫出點的坐標；（2）求線段的長度；（3）判斷直線與直線是否互相垂直，說明理由．20．已知單調(diào)遞減數(shù)列的前項和為，，且，則_____.21．已知為數(shù)列的前項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)所給等量關(guān)系,用表示出可得.代入中,構(gòu)造基本不等式即可求得的最小值.【詳解】因為,所以變形可得所以由基本不等式可得當且僅當時取等號,解得所以的最小值為故選:D【點睛】本題考查了基本不等式求最值的應(yīng)用,注意構(gòu)造合適的基本不等式形式,屬于中檔題.2、A【解析】

先計算甲、乙兩人射擊5次，命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)，再計算出各自的方差，根據(jù)方差的數(shù)值的比較，得出正確的答案.【詳解】甲、乙兩人射擊5次，命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)分別為：，甲、乙兩人射擊5次，命中環(huán)數(shù)的方差分別為：，，因為，所以甲比乙的射擊技術(shù)穩(wěn)定，故本題選A.【點睛】本題考查了用方差解決實際問題的能力，考查了方差的統(tǒng)計學(xué)意義.3、D【解析】∵∴設(shè)代入可知均不正確對于，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷正確故選D4、C【解析】試題分析：，，，故選C.考點：數(shù)列的遞推公式5、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性，判斷出函數(shù)的周期，由此畫出的圖像.由化簡得，畫出的圖像，由與圖像的交點以及對稱性，求得函數(shù)在區(qū)間上所有零點之和.【詳解】由于，故是函數(shù)的對稱軸，由于為奇函數(shù)，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，當時，，由此畫出的圖像如下圖所示.令，注意到，故上述方程可化為，畫出的圖像，由圖可知與圖像都關(guān)于點對稱，它們兩個函數(shù)圖像的個交點也關(guān)于點對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上所有零點之和為.故選:C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、對稱性以及周期性，考查函數(shù)零點問題的求解策略，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式的逆用變形即可得解.【詳解】由題：故選：B【點睛】此題考查兩角和的余弦公式的逆用，關(guān)鍵在于熟記相關(guān)公式，準確化簡求值.7、C【解析】

試題分析：從中任取3個不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C.考點：古典概型8、D【解析】

對于A，利用線面平行的判定可得A正確.對于B，利用線面垂直的性質(zhì)可得B正確.對于C，利用面面垂直的判定可得C正確.根據(jù)平面與平面的位置關(guān)系即可判斷D不正確.【詳解】對于A，根據(jù)平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線平行于這個平面，可判定A正確.對于B，根據(jù)垂直于同一個平面的兩條直線平行，判定B正確.對于C，根據(jù)一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直，可判定C正確.對于D，若，則或相交，所以D不正確.故選：D【點睛】本題主要考查了線面平行和面面垂直的判定，同時考查了線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.9、C【解析】

通過中位線定理可以得到在正方體中，可以得到所以這樣找到異面直線與所成角，通過計算求解．【詳解】分別是中點，所以有而，因此異面直線與所成角為在正方體中，,所以，故本題選C．【點睛】本題考查了異面直線所成的角．10、D【解析】

由特點可采用并項求和的方式求得.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查并項求和法求解數(shù)列的前項和，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用等比中項可求出，再由可求出公比.【詳解】因為，，所以，，解得.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

由，再結(jié)合坐標運算即可得解.【詳解】解：因為點，是圓C：上不同的兩點，則，，又所以，即，故答案為：.【點睛】本題考查了向量模的運算，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.13、【解析】

由三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得范圍，若是最大邊，則，解得范圍，即可得出．【詳解】解：由三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得．若是最大邊，則，解得．綜上可得：的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)與解法、余弦定理、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、【解析】

分別在和兩種情況下進行討論，當時，根據(jù)二次函數(shù)圖像可得不等式組，從而求得結(jié)果.【詳解】①當，即時，不等式為：，恒成立，則滿足題意②當，即時，不等式恒成立則需：解得：綜上所述：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查不等式恒成立問題的求解，易錯點是忽略不等式是否為一元二次不等式，造成丟根；處理一元二次不等式恒成立問題的關(guān)鍵是結(jié)合二次函數(shù)圖象來得到不等關(guān)系，屬于?？碱}型.15、【解析】

求出，將展開即可得解．【詳解】因為，，所以，所以.【點睛】本題主要考查了三角恒等式及兩角和的正弦公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

將所求的式子變形為，展開后可利用基本不等式求得最小值.【詳解】解：，，，，當且僅當時取等號．故答案為1．【點睛】本題考查了“乘1法”和基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．由于已知條件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式來求得最小值了.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式證明結(jié)論；（2）由（1）可求出數(shù)列的通項公式，進而得到的通項公式．【詳解】（1）∵數(shù)列{an}的首項a1＝2，且，∴an+1+＝3（an+），即∴是首項為，公比為3的等比數(shù)列；（2）由（1）可得a1+＝，∴，∴數(shù)列的通項公式.【點睛】本題考查等比數(shù)列的證明考查了等比數(shù)列的通項公式，屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】

（1）由邊角互化整理后，即可求得角C；（2）由余弦定理，結(jié)合均值不等式，求解的最大值，代入面積即可.【詳解】(1)由正弦定理得，，，，因為，所以，所以，即，所以.（2）由余弦定理可得:即，所以，當且僅當時，取得最大值為.【點睛】本題考查解三角形中的邊角互化，以及利用余弦定理及均值不等式求三角形面積的最值問題，屬綜合中檔題.19、（1），，；（2）線段的長度分別為；（3）不垂直，理由見解析【解析】

（1）由已知條件，利用長方體的結(jié)構(gòu)特征，能求出點的坐標．

（2）直接利用兩點間距離公式公式求解．（3）求出，，計算數(shù)量積即可判斷是否垂直.【詳解】解：（1）兩直線垂直，證明：由于為坐標原點，所以，由得：，因為點N是AB的中點，點M是的中點，，；（2）由兩點距離公式得：，；（3）直線與直線不垂直，理由：由（1）中各點坐標得：，，與不垂直，所以直線與直線不垂直.【點睛】本題考查空間中點的坐標的求法，考查線段長的求法，以及利用向量的坐標運算判斷垂直，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．20、【解析】

根據(jù)，再寫出一個等式：，利用兩等式判斷并得到等差數(shù)列的通項，然后求值.【詳解】當時，，∴．當時，，①，②①②，得，化簡得，或，∵數(shù)列是遞減數(shù)列，且，∴舍去．∴數(shù)列是等差數(shù)列，且，公差，故．【點睛】在數(shù)