內(nèi)蒙古包頭一中2025屆高一下數(shù)學(xué)期末預(yù)測試題含解析

內(nèi)蒙古包頭一中2025屆高一下數(shù)學(xué)期末預(yù)測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A．30° B．45° C．60° D．90°2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．3．向量，若，則的值是（）A． B． C． D．4．如圖，A，B是半徑為1的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動點(diǎn)，∠APB是銳角，大小為.圖中△PAB的面積的最大值為（）A．+sin2 B．sin+sin2C．+sin D．+cos5．各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A．4 B．8 C．16 D．646．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．3 B．1 C．-3或1 D．-1或37．已知，則向量與向量的夾角是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，（，，）的部分圖像如圖所示，則、、的一個數(shù)值可以是（）A． B．C． D．9．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．-3 B．-2C．2 D．310．若，,則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線過點(diǎn)，，則直線的傾斜角為______.12．已知正方體的棱長為，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為______.13．已知三棱錐的外接球的球心恰好是線段的中點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為__________.14．在等比數(shù)列中，，的值為________15．若為冪函數(shù)，則滿足的的值為________.16．等差數(shù)列，，存在正整數(shù)，使得，，若集合有4個不同元素，則的可能取值有______個.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．向量，，，函數(shù)．（1）求的表達(dá)式，并在直角坐標(biāo)中畫出函數(shù)在區(qū)間上的草圖；（2）若方程在上有兩個根、，求的取值范圍及的值．18．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，其中，.（1）求，的值.（2）若，，求的值.19．已知數(shù)列滿足，，.（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：20．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，求數(shù)列，的前項(xiàng)和.21．已知函數(shù)，其中數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．（1）若，，分別寫出數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是奇函數(shù)，且，求；（3）若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，求的最小值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】連接，由三角形中位線定理及平行四邊形性質(zhì)可得，所以是與所成角，由正方體的性質(zhì)可知是等邊三角形，所以，與所成角是,故選C.2、D【解析】

利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐一判斷各個選項(xiàng)中的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】由于函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故排除A；由于函數(shù)是偶函數(shù)，但它在區(qū)間上單調(diào)遞增，故排除B；由于函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故排除C；由于函數(shù)是偶函數(shù)，且滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減，故滿足條件．故答案為：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性的定義和判定方法，以及基本初等函數(shù)的奇偶性是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理，列方程求出λ的值．【詳解】向量=（-4，5），=（λ，1），則-=（-4-λ，4），又（-）∥，所以-4-λ-4λ=0，解得λ=-．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】

由正弦定理可得，，則，，當(dāng)點(diǎn)在的中垂線上時，取得最大值，此時的面積最大，求解即可.【詳解】在中，由正弦定理可得，，則.，當(dāng)點(diǎn)在的中垂線上時，取得最大值，此時的面積最大.取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，交圓于點(diǎn)，取圓心為，則（為銳角），.所以的面積最大為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積的計(jì)算、正弦定理的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的化簡，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求得，再利用等比數(shù)列性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得：又各項(xiàng)不為零，即由等比數(shù)列性質(zhì)可得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

兩直線平行應(yīng)該滿足，利用系數(shù)關(guān)系及可解得m.【詳解】兩直線平行，可得（舍去）.選B.【點(diǎn)睛】兩直線平行的一般式對應(yīng)關(guān)系為：，若是已知斜率，則有，截距不相等.7、C【解析】試題分析：根據(jù)已知可得：，所以，所以夾角為，故選擇C考點(diǎn)：向量的運(yùn)算8、A【解析】

從圖像易判斷，再由圖像判斷出函數(shù)周期，根據(jù)，將代入即可求得【詳解】根據(jù)正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可得，由，，又因?yàn)閳D像過，代入函數(shù)表達(dá)式可得，即，，解得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)圖像的識別，屬于中檔題9、C【解析】

根據(jù)向量三角形法則求出t，再求出向量的數(shù)量積.【詳解】由，，得，則，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識和基本技能，難度不大．10、D【解析】

由于，，，，利用“平方關(guān)系”可得，，變形即可得出．【詳解】∵，，∴，∴．∵，∴，∵，∴．∴．故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和的余弦公式、三角函數(shù)同角基本關(guān)系式、拆分角等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)兩點(diǎn)求斜率的公式求得直線的斜率，然后求得直線的傾斜角.【詳解】依題意，故直線的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩點(diǎn)求直線斜率的公式，考查直線斜率和傾斜角的對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

作出圖形，取的中點(diǎn)，連接，證明平面，可知點(diǎn)平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，然后利用等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，即為所求.【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接，在正方體中，且，、分別為、的中點(diǎn)，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，又，，平面，平面，平面，則點(diǎn)平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，的面積為，在正方體中，平面，且平面，，易知三棱錐的體積為.的面積為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等體積法的合理運(yùn)用．13、【解析】

根據(jù)題意得出平面后，由計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)槿忮F的外接球的球心恰好是的中點(diǎn)，所以和都是直角三角形，又因?yàn)椋?，，又，則平面.因?yàn)?，所以三角形為邊長是的等邊三角形，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了三棱錐與球的組合，考查了三棱錐的體積公式，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)冪函數(shù)定義知，又，由二倍角公式即可求解.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，即,因?yàn)?所以，即，因?yàn)?，所以?故填.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的定義，正弦的二倍角公式，屬于中檔題.16、4【解析】

由題意得為周期數(shù)列，集合有4個不同元素，得，在分別對取值討論即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，，由題意，存在正整數(shù)，使得，又集合有4個不同元素，得，當(dāng)時，，即，，或（舍），，取，則，在單位圓上的4個等分點(diǎn)可取到4個不同的正弦值，即集合可取4個不同元素；當(dāng)，，即，，在單位圓上的5個等分點(diǎn)不可能取到4個不同的正弦值，故舍去；同理可得：當(dāng)，，，集合可取4個不同元素；當(dāng)時，，單位圓上至少9個等分點(diǎn)取4個不同的正弦值，必有至少3個相等的正弦值，不符合集合的元素互異性，故不可取應(yīng)舍去.故答案：4.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、集合元素的性質(zhì)以及三角函數(shù)的周期性，理解分析問題能力，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），見解析（2）或，或．【解析】

（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式，輔助角公式即可求出的表達(dá)式，再根據(jù)五點(diǎn)作圖法或者平移法即可作出其在上的草圖；（2）依題意知，函數(shù)在上的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，即可求出的取值范圍及的值．【詳解】（1）依題知，．將正弦函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，即可得到的圖象，截取的部分即得，如圖所示：（2）依題可知，函數(shù)在上的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，可知，或，當(dāng)時，兩交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以；當(dāng)時，兩交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以．故或，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式，輔助角公式的應(yīng)用，正弦型函數(shù)圖象的畫法，以及方程的根與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合能力，以及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．18、(1)；（2）.【解析】試題分析：（1）先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得y2＝cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，解得θ＝，再根據(jù)解得a（2）根據(jù)條件化簡得sinα＝，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得cosα，最后根據(jù)兩角和正弦公式求sin的值試題解析：(1)因?yàn)閒(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函數(shù)，而y1＝a＋2cos2x為偶函數(shù)，所以y2＝cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)，由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)得f(x)＝－sin4x，因?yàn)閒＝－sinα＝－，即sinα＝，又α∈，從而cosα＝－，所以sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.19、（1）證明見解析，；（2）見解析.【解析】

（1）根據(jù)遞推關(guān)系式可整理出，從而可證得結(jié)論；利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式首先求解出，再整理出；（2）根據(jù)可求得，從而得到的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求得，從而使問題得證.【詳解】（1）由得：即，且數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（2）由（1）得：又即：【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、求解等比數(shù)列通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列前項(xiàng)和的問題，屬于常規(guī)題型.20、（1），（2）【解析】

（1）根據(jù)題意得到，解方程組即可.（2）首先根據(jù)，得到，再利用錯位相減法即可求出.【詳解】（1）有題知，解得.所以.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，.檢查：當(dāng)時，.所以，.①，②，①②得：，.【點(diǎn)睛】本題第一問考查等差數(shù)列的性質(zhì)，第二問考查利用錯位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，同時考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.21、（1），；（2）；（3）1【解析】

(1)根據(jù)等差數(shù)