專題09間接法模型(原卷版+解析)

專題09間接法模型例1．將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種例2．“爛漫的山花中，我們發(fā)現(xiàn)你.自然擊你以風雪，你報之以歌唱.命運置你于危崖，你饋人間以芬芳.不懼碾作塵，無意苦爭春，以怒放的生命，向世界表達倔強.你是岸畔的桂，雪中的梅”.這是給感動中國十大人物之一的張桂梅老師的頒獎詞，她用實際行動奉獻社會，不求回報，只愿孩子們走出大山.受張桂梅老師的影響，有大量志愿者到鄉(xiāng)村學校支教，現(xiàn)有6名志愿者要到4個學校參加支教活動，要求甲?乙兩個學校各安排一個人，剩下兩個學校各安排兩個人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（

）A．156種 B．168種 C．172種 D．180種例3．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（

）種A．9 B．36 C．54 D．108例4．某班開展“學黨史，感黨恩”演講活動，安排四個演講小組在班會上按次序演講，則A組不是第一個演講的方法數(shù)為（

）A．13 B．14 C．15 D．18例5．某學校計劃從包含甲?乙?丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊去西部支教，若甲?乙?丙三位教師至少一人被選中，則組隊支教的不同方式共有（

）A．21種 B．231種 C．238種 D．252種例6．公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學的偉大成就.某教師為幫助同學們了解“祖率”，讓同學們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進行隨機排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)為（

）A．720 B．1440 C．2280 D．4080例7．中園古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”講座活動，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種. D．120種例8．紅五月，某校團委決定舉辦慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年“百年榮光，偉大夢想”聯(lián)歡會，經(jīng)過初賽，共有6個節(jié)目進入決賽，其中2個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目，1個朗誦類節(jié)目，1個戲曲類節(jié)目．演出時要求同類節(jié)目不能相鄰，則演出順序的排法總數(shù)是（

）A． B． C． D．例9．位男生和位女生共位同學站成一排，若男生甲不站兩端，位女生中有且僅有兩位女生相鄰，則不同排法的種類數(shù)是（

）．A．B．C．D．例10．航空母艦“遼寧艦”將進行一次編隊配置科學試驗，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護衛(wèi)艦分列左右，每側3艘，同側不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為（

）A．72 B．324 C．648 D．1296例11．春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā)，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我省某醫(yī)院呼吸科要從3名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生中選派3人，到湖北省的A，B，C三地參加疫情防控工作，若這3人中至少有1名女醫(yī)生，則選派方案有（

）A．9種 B．12種 C．54種 D．72種例12．在某互聯(lián)網(wǎng)大會上，為了提升安全級別，將5名特警分配到3個重要路口執(zhí)勤，每個人只能選擇一個路口，每個路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一個路口，則不同的安排方法有（

）A．180種 B．150種 C．96種 D．114種例13．電影《奪冠》講述了中國女排姑娘們頑強奮斗、為國爭光的勵志故事，在《奪冠》上映當天，一對夫婦帶著他們的兩個小孩一起去觀看該影片，訂購的4張電影票恰好在同一排且連在一起.為安全起見，影院要求每個小孩子要有家長相鄰陪坐，則不同的坐法種數(shù)是______.例14．把a，a，a，b，b，，排成一排，要求三個“a”兩兩不相鄰，且兩個“b”也不相鄰，則這樣的排法共有______種．例15．在送醫(yī)下鄉(xiāng)活動中，某醫(yī)院安排甲、乙、丙、丁、戊五名醫(yī)生到三所鄉(xiāng)醫(yī)院工作，每所醫(yī)院至少安排一名醫(yī)生，且甲、乙兩名醫(yī)生不安排在同一醫(yī)院工作，丙、丁兩名醫(yī)生也不安排在同一醫(yī)院工作，則不同的分配方法總數(shù)為_____________．例16．某老師一天上3個班級的課，每班一節(jié)，如果一天共9節(jié)課，且老師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位老師一天的課表的所有排法有______種．例17．現(xiàn)有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有____種.（用數(shù)字作答）例18．航空母艦“遼寧艦”將進行一次編隊配置科學實驗，若要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，2艘驅(qū)逐艦和2艘護衛(wèi)艦分列左、右，同側不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為________．例19．春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā)，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生，6名護士到湖北、兩地參加疫情防控工作，每地一名醫(yī)生，3名護士，其中甲乙兩名護士不到同一地，共有__________種選派方法.例20．名教師從星期一至星期六值日，若甲教師不排星期一，乙教師不排星期二，丙教師不排星期三，則不同的值日排法有多少種？例21．高二(1)班共有35名同學，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學參加活動.（1）其中某一女生必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？（2）其中某一女生不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？（3）恰有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？（4）至少有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？（5）至多有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？例22．從正方體的8個頂點中選4個點作一個平面，可作___________個不同的平面，從正方體的8個頂點中選4個點作一個四面體，可作___________個四面體.例23．由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復數(shù)字的五位數(shù).（1）共可以組成多少個五位數(shù)？（2）其中奇數(shù)有多少個？（3）如果將所有的五位數(shù)按從小到大的順序排列，43125是第幾個數(shù)？說明理由.專題09間接法模型例1．將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種答案:D解析：分析：采用間接法，先求出沒有限制的所有站法，再排除不滿足條件的站法可求解.【詳解】7個人從左到右排成一排，共有種不同的站法，其中甲、乙、丙3個都相鄰有種不同的站法，甲站在最右端有種不同的站法，甲、乙、丙3個相鄰且甲站最右端有種不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，不同的站法有種不同的站法.故選：D例2．“爛漫的山花中，我們發(fā)現(xiàn)你.自然擊你以風雪，你報之以歌唱.命運置你于危崖，你饋人間以芬芳.不懼碾作塵，無意苦爭春，以怒放的生命，向世界表達倔強.你是岸畔的桂，雪中的梅”.這是給感動中國十大人物之一的張桂梅老師的頒獎詞，她用實際行動奉獻社會，不求回報，只愿孩子們走出大山.受張桂梅老師的影響，有大量志愿者到鄉(xiāng)村學校支教，現(xiàn)有6名志愿者要到4個學校參加支教活動，要求甲?乙兩個學校各安排一個人，剩下兩個學校各安排兩個人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（

）A．156種 B．168種 C．172種 D．180種答案:A解析：分析：利用間接法來求得不同的安排方案的數(shù)量.【詳解】根據(jù)題意，設剩下的2個學校為丙學校和丁學校，先計算小李和小王不受限制的排法數(shù)目：先在6位志愿者中任選1個，安排到甲學校，有種情況，再在剩下的5個志愿者中任選1個，安排到乙學校，有種情況，最后將剩下的4個志愿者平均分成2組，全排列后安排到剩下的2個學校，有種情況，則小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180種，若小李和小王在一起，則兩人去丙學?；蚨W校，有2種情況，在剩下的4位志愿者中任選1個，安排到甲學校，有種情況，再在剩下的3個志愿者中任選1個，安排到乙學校，有種情況，最后2個安排到剩下的學校，有1種情況，則小李和小王在一起的排法有2×4×3=24種.所以小李和小王不在一起排法有180-24=156種.故選：A例3．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（

）種A．9 B．36 C．54 D．108答案:C解析：分析：根據(jù)給定條件利用排列并結合排除法列式計算作答.【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C例4．某班開展“學黨史，感黨恩”演講活動，安排四個演講小組在班會上按次序演講，則A組不是第一個演講的方法數(shù)為（

）A．13 B．14 C．15 D．18答案:D解析：分析：利用排除法，先計算A組是第一個演講的方法數(shù)即得解【詳解】由題意，安排四個演講小組在班會上按次序演講共有種情況其中A組是第一個演講的方法數(shù)為故A組不是第一個演講的方法數(shù)為故選：D例5．某學校計劃從包含甲?乙?丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊去西部支教，若甲?乙?丙三位教師至少一人被選中，則組隊支教的不同方式共有（

）A．21種 B．231種 C．238種 D．252種答案:B解析：分析：利用間接法求解，先求出任選5人的選法再減去甲乙丙三人都不被選的選法即可得解.【詳解】10人中選5人有種選法，其中，甲?乙?丙三位教師均不選的選法有種，則甲?乙?丙三位教師至少一人被選中的選法共有種.故選：B例6．公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學的偉大成就.某教師為幫助同學們了解“祖率”，讓同學們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進行隨機排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)為（

）A．720 B．1440 C．2280 D．4080答案:C解析：分析：以間接法去求解這個排列問題簡單快捷.【詳解】一共有7個數(shù)字，且其中有兩個相同的數(shù)字1.這7個數(shù)字按題意隨機排列，可以得到個不同的數(shù)字.當前兩位數(shù)字為11或12時，得到的數(shù)字不大于3.14當前兩位數(shù)字為11或12時，共可以得到個不同的數(shù)字，則大于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)為故選：C例7．中園古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”講座活動，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種. D．120種答案:A解析：分析：根據(jù)給定條件先求出“射”不在第一次的“六藝”講座不同的次序數(shù)，去掉“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的“六藝”講座不同的次序數(shù)即可得解.【詳解】每周安排一次，共講六次的“六藝”講座活動，“射”不在第一次的不同次序數(shù)為，其中“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的不同次序數(shù)為，于是得，所以“六藝”講座不同的次序共有408種.故選：A【點睛】思路點睛：含有兩個限制條件的排列問題，利用排除法，先讓一個條件被滿足，再去掉這個條件滿足時另一個條件不滿足的所有可能即可解決問題.例8．紅五月，某校團委決定舉辦慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年“百年榮光，偉大夢想”聯(lián)歡會，經(jīng)過初賽，共有6個節(jié)目進入決賽，其中2個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目，1個朗誦類節(jié)目，1個戲曲類節(jié)目．演出時要求同類節(jié)目不能相鄰，則演出順序的排法總數(shù)是（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：可以用間接法，先計算出所有演出方案，減去歌舞類相鄰、小品類相鄰種數(shù)，再加上歌舞與小品均相鄰的種數(shù)可得答案.【詳解】所有演出方案有種，歌舞類相鄰有種，小品類相鄰有種，歌舞與小品均相鄰有種，所以總數(shù)有種.故選：C.例9．位男生和位女生共位同學站成一排，若男生甲不站兩端，位女生中有且僅有兩位女生相鄰，則不同排法的種類數(shù)是（

）．A．B．C．D．答案:B解析：根據(jù)位女生中有且僅有兩位女生相鄰，選出兩個女生在一起，用位男生當隔板，與剩下的女生分離，再減去位女生中有且僅有兩位女生相鄰且男生甲站兩端的種數(shù)即可.【詳解】先考慮位女生中有且僅有兩位女生相鄰，選出兩個女生在一起，再與剩下的女生分離，注意兩個女生的內(nèi)部排列，用位男生當隔板，有四個空，共有種可能，再考慮位女生中有且僅有兩位女生相鄰且男生甲站兩端，男生甲站左端有種可能，男生甲站右端有種可能，即若男生甲不站兩端，位女生中有且僅有兩位女生相鄰，有種可能，故選：B．例10．航空母艦“遼寧艦”將進行一次編隊配置科學試驗，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護衛(wèi)艦分列左右，每側3艘，同側不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為（

）A．72 B．324 C．648 D．1296答案:D解析：分析：先排2艘攻擊型核潛艇，再利用間接法排驅(qū)逐艦和護衛(wèi)艦，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可求艦艇分配方案的方法數(shù).【詳解】第一步：排2艘核潛艇，方法數(shù)為；第二步：排3艘驅(qū)逐艦和3艘護衛(wèi)艦，方法數(shù)為，所以艦艇分配方案的方法數(shù)為：，故選：D.例11．春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā)，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我省某醫(yī)院呼吸科要從3名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生中選派3人，到湖北省的A，B，C三地參加疫情防控工作，若這3人中至少有1名女醫(yī)生，則選派方案有（

）A．9種 B．12種 C．54種 D．72種答案:C解析：先從5名醫(yī)生中選3人，排除所選醫(yī)生都為男醫(yī)生的情況，再安排到A,B,C三地即可.【詳解】3人中至少有1名女醫(yī)生,考慮間接法，先任選3名醫(yī)生共有種選法，沒有女醫(yī)生被選上的情況為，因此3人中至少有1名女醫(yī)生的選法為種，安排到湖北省的A，B，C三地共有種，故選：C【點睛】本題主要考查排列、組合的應用，涉及分步乘法計數(shù)原理，間接法，屬于中檔題.例12．在某互聯(lián)網(wǎng)大會上，為了提升安全級別，將5名特警分配到3個重要路口執(zhí)勤，每個人只能選擇一個路口，每個路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一個路口，則不同的安排方法有（

）A．180種 B．150種 C．96種 D．114種答案:D解析：【詳解】分析：先不管條件甲和乙不能安排在同一個路口，先算出總共的安排方法，再減去甲和乙在同一個路口的情況即可.詳解：先不管條件甲和乙不能安排在同一個路口，分兩種情況：①三個路口人數(shù)情況3，1，1，共有種情況；②三個路口人數(shù)情況2，2，1，共有種情況.若甲乙在同一路口，則把甲乙看作一個整體，則相當于將4名特警分配到三個不同的路口，則有種，故甲和乙不能安排在同一個路口，不同的安排方法有種.故選：D.點睛：本題考查排列、組合的實際應用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題.例13．電影《奪冠》講述了中國女排姑娘們頑強奮斗、為國爭光的勵志故事，在《奪冠》上映當天，一對夫婦帶著他們的兩個小孩一起去觀看該影片，訂購的4張電影票恰好在同一排且連在一起.為安全起見，影院要求每個小孩子要有家長相鄰陪坐，則不同的坐法種數(shù)是______.答案:16解析：分析：將四人作全排列，再排除兩個家長相鄰和兩個小孩相鄰情況，即可得結果.【詳解】將四個人全排列，再減去兩個家長相鄰和兩個小孩相鄰情況，故.故答案為：16.例14．把a，a，a，b，b，，排成一排，要求三個“a”兩兩不相鄰，且兩個“b”也不相鄰，則這樣的排法共有______種．答案:96解析：分析：計數(shù)綜合問題，可先對b，b，，進行排列，然后用“插空法”解決三個“a”兩兩不相鄰的問題，最后減去兩個“b”相鄰的情況即為所求【詳解】根據(jù)題意，分情況進行分析：①先排列b，b，，，若，不相鄰，則有（種）排法，若，相鄰，則有（種）排法．所以b，b，，的排法有（種），排好后有5個空位．②從所形成的5個空中選3個插入a，共有（種）方法，若b，b相鄰，從所形成的4個空中選3個插入a，共有（種）方法，故三個“a”兩兩步相鄰，且兩個“b”也不相鄰的排法共有（種）．故答案為：96例15．在送醫(yī)下鄉(xiāng)活動中，某醫(yī)院安排甲、乙、丙、丁、戊五名醫(yī)生到三所鄉(xiāng)醫(yī)院工作，每所醫(yī)院至少安排一名醫(yī)生，且甲、乙兩名醫(yī)生不安排在同一醫(yī)院工作，丙、丁兩名醫(yī)生也不安排在同一醫(yī)院工作，則不同的分配方法總數(shù)為_____________．答案:84解析：【詳解】試題分析：甲、乙、丙、丁、戊五名醫(yī)生到三所鄉(xiāng)醫(yī)院工作，每所醫(yī)院至少安排一名醫(yī)生，①當有二所醫(yī)院分2人另一所醫(yī)院分1人時，總數(shù)有種，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一組有種；②有二所醫(yī)院分1人另一所醫(yī)院分3人.有種.故滿足條件的分法共有種.考點：計數(shù)原理的運用．例16．某老師一天上3個班級的課，每班一節(jié)，如果一天共9節(jié)課，且老師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位老師一天的課表的所有排法有______種．答案:474.解析：分析：采用間接法，首先求解出任意安排節(jié)課的排法種數(shù)；分別求出前節(jié)課連排節(jié)和后節(jié)課連排3節(jié)的排法種數(shù)；作差即可得到結果.【詳解】從節(jié)課中任意安排節(jié)共有：種其中前節(jié)課連排節(jié)共有：種；后節(jié)課連排3節(jié)共有：種老師一天課表的所有排法共有：種本題正確結果：【點睛】本題考查有限制條件的排列問題的求解，對于限制條件較多的問題，通常采用間接法來進行求解.例17．現(xiàn)有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有____種.（用數(shù)字作答）答案:36解析：分析：先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法，在此條件下，計算甲不排在兩端的排法，最后相減即可得到結果.【詳解】由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有種排法，其中甲排在兩端，有種排法，則6人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有（種）排法.所以本題答案為36.【點睛】排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細膩、考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.例18．航空母艦“遼寧艦”將進行一次編隊配置科學實驗，若要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，2艘驅(qū)逐艦和2艘護衛(wèi)艦分列左、右，同側不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為________．答案:解析：【詳解】試題分析：依題意，滿足條件的分配數(shù)為種.或種.考點：排列與組合的概念.例19．春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā)，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生，6名護士到湖北、兩地參加疫情防控工作，每地一名醫(yī)生，3名護士，其中甲乙兩名護士不到同一地，共有__________種選派方法.答案:24解析：先求出每地一名醫(yī)生，3名護士的選派方法的種數(shù)，再減去甲乙兩名護士到同一地的種數(shù)即可.【詳解】解：每地一名醫(yī)生，3名護士的選派方法的種數(shù)有，若甲乙兩名護士到同一地的種數(shù)有，則甲乙兩名護士不到同一地的種數(shù)有.故答案為：.【點睛】本題考查利用間接法求排列組合問題，正難則反，是基礎題.例20．名教師從星期一至星期六值日，若甲教師不排星期一，乙教師不排星期二，丙教師不排星期三，則不同的值日排法有多少種？答案:解析：分析：利用排列組合知識計算可得不符合題意的排法，采用間接法可求得結果.【詳解】甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三的可能的排法的集合依次用表示，則不符合題意的排法共有種，，符合題意的排法共有種.例21．高二(1)班共有35名同學，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學參加活動.（1）其中某一女生必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？（2）其中某一女生不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？（3）恰有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？（4）至少有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？（5）至多有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？答案:（1）561種；（2）5984