第02講 玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問題-【暑假自學(xué)課】2022年新高二數(shù)學(xué)暑假課（蘇教版2019選擇性必修第一冊）（含解析）

第02講玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問題

師【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握各種角的定義，弄清異面直線所成的角與兩直線所成的角，二面角與二面角的平面角，直線與平面所

成的角和斜線與平面所成的角，二面角與兩平面所成的角的聯(lián)系與區(qū)別，弄清他們各自的取值范圍。

2.細(xì)心體會求空間角的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想。

3.掌握各種距離和距離的求解方法.

【基礎(chǔ)知識】

知識點1.求點線、點面、線面距離的方法

(1)若P是平面a外一點，a是平面a內(nèi)的一條直線，過P作平面a的垂線尸0,。為垂足，過。作

OAla,連接以，則以a_La.則線段抬的長即為P點到直線a的距離(如圖所示).

(2)一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫直線與平面的距離.

(3)求點面距離的常用方法：①直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個直角三角形來

求解.

②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解.

③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解.

知識點2.異面直線所成角的常用方法

求異面直線所成角的一般步驟：

(1)找(或作出)異面直線所成的角——用平移法，若題設(shè)中有中點，?？紤]中位線.

(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角.

(3)結(jié)論——設(shè)⑵所求角大小為。.若0。＜，490。，則。即為所求；若90。＜，＜180。，則180。-，即為所

求.

知識點3.直線與平面所成角的常用方法

求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟

(1)確定斜線與平面的交點(斜足)；

(2)通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線

和射影所成的銳角即為所求的角；

(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形.

知識點4.作二面角的三種常用方法

(1)定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①，則NA03

為二面角a-//的平面角.

(2)垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的

角，即為二面角的平面角.如圖②，N40B為二面角a-//的平面角.

(3)垂線法：過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的一點A向另一個平面作垂線，垂足為8,由點8向二面角

的棱作垂線，垂足為0,連接A0,則NAOB為二面角的平面角或其補角.如圖③，NAO8為二面角。-/-尸

的平面角.

知識點5.求體積的常用方法

選擇合適的底面，再利用體積公式求解.

求?

【考點剖析】

考點一：異面直線所成的角

V例1.在空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是A8,BC,CD,D4的中點，若AC=BO=2,

LL1

且AC與3。所成的角為60。，則EG的長為()

A.1或&B.&或指C.I或gD.1或更

22

考點二：線面角

2.如圖，在三棱柱ABC—AB'C中，底面ABC是正三角形，A4'J_底面ABC,且AB=1,AA=2,

則直線BC與平面AfiBW所成角的正弦值為.

考點三：二面角

3.在四棱錐P-ABCD中，底面A8C。是菱形,Z4BC=60°,PA_L平面ABC。，PA=AB^2.

(1)求證：PC±BD；

(2)求二面角P-CD-A的正弦值.

考點四：距離問題

4.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AB1BC,AAI=AC,AB=2BC=2,E,尸分別是AG，AB

的中點.

(1)證明：AE〃平面片C/.

⑵求點C到平面AC/的距離.

考點五：體積問題

5.如圖，在四棱錐P-"C。中，PAL平面ABCD,四邊形A8C。為正方形，點尸為線段PC上

的點，過A,D,『三點的平面與P8交于點￡

⑴證明：EF〃平面ABCD；

（2）若E為尸8中點，且AB=R4=2,求四棱錐P-A￡尸。的體積.

K

【真題演練】

1.在正方體ABCO-ABCQ中，P為BQ的中點，則直線尸B與A2所成的角為（）

2.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SDL底面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.AC1SB

B.AB〃平面SCD

C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

1.線面平行垂直的判定；2.線面角，異面直線所成角

3.已知四棱錐S-AB8的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段A8上的點(不含端點)，設(shè)跖與8c所

成的角為4，SE與平面ABCD所成的角為4,二面角S-AB-C的平面角為則

A.0t<02<0,B.a4a4aC.<6?,<6>,D.02<03<

4.在正方體ABC。-AAG。中，E為棱CC的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為

A.—B.3C.@D.立

2222

5.己知正方體ABC。-ASGA中，E、F分別為BB,CG的中點，那么異面直線AE與。尸所成角的余弦

值為.

6.如下圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCZ)是正方形，平面SAOJ■平面ABC。，SA=SD=2,AB=3.

(1)求SA與BC所成角的余弦值;

(2)求證：AB±SD.

7.如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,BC=3.

p

(1)證明：BC〃平面PDA；

(2)證明：BC1PD；

(3)求點C到平面PDA的距離.

8.如圖，在圓錐P。中，已知尸圓。的直徑Afi=2,點C在AB上，且NC48=30,。為AC的

中點.

(I)證明：人(7_1平面？0。；

(II)求直線0C和平面PAC所成角的正弦值.

9.如圖，P是邊長為1的正六邊形4BCOEF所在平面外一點，PA=\,P在平面ABC內(nèi)的射影為8尸的中

點0.

(I)證明上4,8F；

(II)求面AP8與面。PB所成二面角的大小的余弦值.

10.在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為正方形，平面B4￡>_L平面ABCQ,點M在線段PB上，PD〃平

面MAC,PA=PD.

(1)判斷M點在PB的位置并說明理由；

⑵記直線。M與平面外。的交點為K,求有的值；

KM

(3)若異面直線CM與AP所成角的余弦值為五，求二面角知-8-A的平面角的正切值.

7

11.如圖，在長方體—中，AD=\,AB=A4,=2,H,r分別是棱GA，8片的中點.

(i)判斷直線”尸與平面aBC?,的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)求直線HF與平面A8CD所成角的正弦值；

(3)在線段，尸上是否存在一點。，使得點。到平面ABCR的距離是應(yīng)，若存在，求出哭的值；若不存在,

HF

說明理由.

【過關(guān)檢測】

1.在長方體A8CO-A81G。中，AB=44,=2,A￡>=3,點E、F分別是棱A8、4人的中點，E、F、Ge

平面a,直線平面a=P,則直線BP與直線CR所成角的余弦值為()

A5/3R2&D.叵

3399

2.在正方體中，E,b分別為棱AO,4"的中點，則異面直線￡尸與CR夾角的余弦值為

()

A.3B.立C.—D.也

6363

3.如圖所示，二棱錐P—ABC的底面ABC是等腰直角二角形，ZACB=90，且PA=PB=AB—2,PC=2五>

則尸C與平面以B所成角的余弦值等于()

A

B

A5^72

A.---D.l_z.\n_）.

121233

4.在空間四邊形ABC。中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點，若AC=8O=2,且AC與BO

所成的角為60。，則EG的長為（）

A.1或&B.夜或Gc.1或GD.I或也

5.在棱長為1的正方體4B8-AEGR中，。為正方形AdGA的中心，則下列結(jié)論錯誤的是（）

B.8?！ㄆ矫?CR

C.點8到平面ACR的距離為&

D.直線B。與直線AA的夾角為?

6.在正方體ABCO-ABC0中，瓦尸,G分別為BC,CG，8片的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.D.DVAF

B.二面角F-AE-C的正切值為亞

2

c.異面直線AG與EF所成角的余弦值為巫

10

D.點G到平面AEF的距離是點C到平面AEF的距離的2倍

7.如圖，AB是半球的直徑，。為球心，A8=4,M,N依次是半圓AB上的兩個三等分點，P是半球面上一

點，且PNLMB,

(1)證明：平面P8A7_L平面PON；

(2)若點尸在底面圓內(nèi)的射影恰在BM上，求二面角A-PB-N的余弦值.

8.已知平面四邊形ABC。，AB=AD=2,zaM>=60°,48=30。，現(xiàn)將△ABD沿8。邊折起，使得平

面平面BCD,止匕忖4),8,點P為線段的中點.

⑴求證：平面AC。；

(2)若〃為CQ的中點，求MP與平面BPC所成角的正弦值；

(3)在(2)的條件下，求二面角。的平面角的余弦值.

9.已知四棱錐P-ABC。的底面是邊長為2的菱形，底面4BCD

⑴求證：AC_L平面PB￡);

(2)當(dāng)PD=1,8￡>=血時，求直線P8與A￡)所成角的余弦值;

10.已知四棱錐P-A3CO的底面是邊長為2的菱形，底面A8CO.

(1)求證：4CJ■平面PBD；

(2)已知尸。=1,

(i)當(dāng)=0時，求直線PB與AO所成角的余弦值；

(ii)當(dāng)直線尸8與平面ABC。所成的角為45。時，求四棱錐P-ABCD的體積.

11.在直三棱柱ABC-ABG中，ZABC=90°,AB=BC=\,即=2.

Ci

4

(1)求異面直線BG與AC所成角正切值的大小;

(2)求點及與平面ABC的距離.

第02講玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問題

,.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

i.掌握各種角的定義，弄清異面直線所成的角與兩直線所成的角，二面角與二面角的平面角，直線與平面所

成的角和斜線與平面所成的角，二面角與兩平面所成的角的聯(lián)系與區(qū)別，弄清他們各自的取值范圍。

2.細(xì)心體會求空間角的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想。

3.掌握各種距離和距離的求解方法.

【基礎(chǔ)知識】

知識點1.求點線、點面、線面距離的方法

(1)若尸是平面a外一點，a是平面a內(nèi)的一條直線，過戶作平面a的垂線PO,。為垂足，過。作

OA±a,連接公，則以則線段雨的長即為P點到直線。的距離(如圖所示).

(2)一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫直線與平面的距離.

(3)求點面距離的常用方法：①直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個直角三角形來

求解.

②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解.

③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解.

知識點2.異面直線所成角的常用方法

求異面直線所成角的一般步驟:

(1)找(或作出)異面直線所成的角——用平移法，若題設(shè)中有中點，常考慮中位線.

(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角.

(3)結(jié)論——設(shè)⑵所求角大小為。.若0。＜。＜90。，則。即為所求：若90。＜6＜180。，則180。-。即為所

求.

知識點3.直線與平面所成角的常用方法

求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟

13

(1)確定斜線與平面的交點(斜足)；

(2)通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線

和射影所成的銳角即為所求的角；

(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形.

知識點4.作二面角的三種常用方法

(1)定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①，則NA03

為二面角a-//的平面角.

(2)垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的

角，即為二面角的平面角.如圖②，N40B為二面角a-//的平面角.

(3)垂線法：過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的一點A向另一個平面作垂線，垂足為8,由點8向二面角

的棱作垂線，垂足為0,連接A0,則NAOB為二面角的平面角或其補角.如圖③，NAO8為二面角。-/-尸

的平面角.

知識點5.求體積的常用方法

選擇合適的底面，再利用體積公式求解.

4【考點剖析】

考點一：異面直線所成的角

［、］例1.在空間四邊形ABC。中，E,F,G,H分別是48,BC,CD,D4的中點，若AC=BO=2,

且AC與3。所成的角為60。，則EG的長為()

A.1或0B.6,或CC.I或gD.1或如

【答案】C

【解析】

【分析】

連接EF,FG,EG,根據(jù)異面直線所成角的意義，在中分情況計算作答.

【詳解】

連接EF,FG,EG,如圖，

14

A

依題意，EF//AC,FG//BD,EF=-AC=l,FG=-BD=1,

22

因4c與8D所成的角為60°,則NEFG=60或NEFG=120.

當(dāng)NEFG=60時，AG是正三角形，EG=1,

當(dāng)乙EFG=12004-EG=2EFcosZFEG=2cos30=6，

所以EG的長為1或g.

故選：C

考點二：線面角

例2.如圖，在三棱柱ABC—A'3'C'中，底面ABC是正三角形，底面ABC,且AB=1,AA!=2,

則直線BC與平面WA所成角的正弦值為

【答案】姮##」后

1010

【解析】

【分析】

取A'B'的中點。，連接OC',OB,則CCJ"平面A'B'C,CO±A'。，由可〃CC,得COJ_A4',從而NC'BO

是直線BC與平面ABB，A'所成角，由此能求出直線BC與平面ABSA所成角的正弦值.

【詳解】

解：取Ab的中點。，連接

因為在三棱柱ABC-A?C'中，底面ABC是等邊三角形，且AA'_L底面ABC,

所以C'C_L平面AB'C,CO±Aff,

因為A4'〃C'C，所以C'O，A4',

所以Z.CBO是直線BC與平面所成角，

因為AB=1,AA'=2,

所以BC=df+22=5C0=R=4,

所以s】nNC,8O=空=多=巫,

BC4510

15

所以直線BC與平面ABBA所成角的正弦值為乂電,

10

故答案為：叵.

10

B

考點三：二面角

?、,J3.在四棱錐P—ABCO中，底面A8CZ)是菱形，NABC=60。，平面ABC。，B4=AB=2.

(1)求證：PC工BD；

(2)求二面角P-CD-A的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵氈

7

【解析】

【分析】

(1)作輔助線，證明AC_LB。，PA工BD,即證明BO_L平面%C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及可證明結(jié)論；

(2)取CD中點為點尸,連接AF,PF,證明CQL平面PAF,從而說明尸是二面角P-C￡>-A的平面角.解

直角三角形APF,即可求得答案.

(1)

證明：連接AC交于點O,

16

因為底面ABCQ是菱形，

所以AC_LBQ.

又因為PA_L平面ABC。，3￡>u平面A3CD,

PAA.BD,

又因為PAAC=A,

所以BO_L平面用C,PCu平面％C,

所以30,PC.

(2)

取8中點為點尸，連接AF,PF,

因為底面ABCD是菱形，ZABC=ZADC=60,

所以是等邊三角形，

所以4F_LCD.

因為PA_L平面A5CZ>,CDu平面ABCZ),

所以R4LCD,

而Q4cAF=A,

所以CDJL平面物F,PEu平面以凡

所以CDLPb,

所以NAFP是二面角P-CO-A的平面角.

因為A￡>=R4=2，則A尸=6，

因為B4_LAF,

所以PF=拄+3=5，

2277

所以sinNAFP=

所以二面角P-CD-A的正弦值為空.

7

考點四：距離問題

4.如圖，在直三棱柱ABC-AB￡中，AB±BC,AA}=AC,AB=2BC=2,E,F分別是AG，AB

的中點.

17

(1)證明：AE〃平面片C/.

(2)求點C到平面尸的距離.

【答案】(1)詳見解析.

⑵畫

6

【解析】

【分析】

(1)取8c的中點G,連接EG,FG,易得四邊形EG欣是平行四邊形，從而AE//FG,再利用線面平行

的判定定理證明；

(2)根據(jù)％-8￡/=%一則「利用等體積法求解.

(1)

證明：如圖所示：

取的中點G,連接EG,FG,

則EG〃AF,且EG=AF,

所以四邊形EGFA是平行四邊形，

所以AE//尸G,又AEU平面AC/,FGu平面4C/,

所以〃平面BCL；

(2)

因為AB_LBC,BB|J.BC,又AB?BB、B,

所以BC_L平面AB8/，

18

因為qcj/BC,

所以。G，平面4明4,則尸,

因為=4C,48=28C=2,

所以AC=右，BF=y)BB：+BF2=尿,

則SbgBC粵sb；B￡xCG專

因為L-4GF=%-B￡C>

所以1〃xS=-BFxS,

Q?>|C|"Q1>B|I.C.11C..

解得〃=叵，

6

即點C到平面與GF的距離為:叵

6

考點五：體積問題

5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAL平面ABCD,四邊形ABCO為正方形，點尸為線段PC上

的點，過A,D,尸三點的平面與P8交于點E.

⑴證明：EF//平面ABCQ；

（2）若E為P8中點，且AB=R4=2,求四棱錐P-AEFD的體積.

【答案】（1）證明見解析；

⑵1.

【解析】

【分析】

（1）利用線面平行的判定證明AD//平面PBC,再利用線面平行的性質(zhì)、判定推理作答.

（2）利用線面垂直的性質(zhì)、判定證明AD_L平面E4B,進而證得PBJ■平面ADFE,再借助錐體體積公式計

算作答.

（1）

正方形ABC。中，AD//BC,而BCu平面PBC,A￡>（Z平面PBC,4）〃平面PBC,

又45u平面4）尸E,平面P8C平面4）莊=莊，則有EF//AO,而45u平面ABC。，功0平面ABC。，

所以EF〃平面ABCO.

（2）

因PAJL平面A8CD,ADu平面ABCD,則A￡>_LR4,又A3cA4=A,AB,PAu平面抬8,

19

則A。_L平面ER,

尸8,AEu平面RW，于是得AE_LAD,PBYAD,因AB=B4=2,E為PB中點,則P3_LAE,

PE=AE=舊

而AEAD=A,4旦4。匚平面4。在，因此，PBL平面石，

由(1)知E尸〃BC,則有EF=gjBC=l,梯形ADFE面積S=g(EF+AQ)-AE=孚，

所以四棱錐尸-AEED的體積V=!S-PE='XX2X&=1.

332

噫

【真題演練】

1.在正方體ABCO-A4CQ中，P為瑪2的中點，則直線總與AA所成的角為（）

兀c兀C兀c兀

A.—B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【解析】

【分析】

平移直線AR至8G，將直線28與所成的角轉(zhuǎn)化為P8與8c所成的角，解三角形即可.

【詳解】

如圖，連接BG，P￡,PB,因為AQ〃BG，

所以NPB3或其補角為直線「B與A"所成的角,

20

因為8片，平面AB￡。，所以B與，PG，又BBqBR=B、,

所以PGJ_平面PBB、，所以PC,1PB,

設(shè)正方體棱長為2，則BC,=2近,PC\=；D\B、=五,

sinZPBC,=^=I,所以NPBG=g.

oC]z6

故選：D

2.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SDJ_底面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.AC1SB

B.AB〃平面SCD

C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

【答案】D

【解析】

【詳解】

試題分析：A中由三垂線定理可知是正確的：B中AB,CD平行，所以可得到線面平行；C中設(shè)AC,BD相

交與O,所以SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角分別為NASQ,NCSO.SA=SC所以兩

角相等，D中由異面直線所成角的求法可知兩角不等

考點：1.線面平行垂直的判定；2.線面角，異面直線所成角

3.已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段A8匕的點（不含端點），設(shè)跖與8c所

成的角為4，SE與平面ABCD所成的角為打，二面角S-AB-C的平面角為則

e<e.<0Do<e<e

A.a424aB.a4。24aC.,2.23]

21

【答案】D

【解析】

【分析】

分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.

【詳解】

設(shè)。為正方形ABCD的中心，”為AB中點，過E作BC的平行線EF,交8于F,過0作CW垂直EF于N,

連接SO、SN、OM,則SO垂直于底面ABC。，OM垂直于AB，

因止匕/.SEN=q,NSEO=仇,ZSMO="，

..SNSN八

從而tan'=由=該,tan名

EO30M

因為SNNS。，EO>OM,所以tanaNtanawtana^ljqNaNa，選D.

【點睛】

線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.

4.在正方體ABC。-43CQ中，E為棱CC的中點，則異面直線AE與CQ所成角的正切值為

A.—B.—C.也D,也

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正方體ABCO-ABCQ中，CD//AB,將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線A8與4E所成角的正切值，在A4BE中

進行計算即可.

【詳解】

22

在正方體486-AeGA中，CD//AB,所以異面直線AE與所成角為NE4B，

設(shè)正方體邊長為2a,則由E為棱CG的中點，可得CE=a,所以BE=布.,

則tanNEAB=—=—=—.故選C.

AB2a2

【點睛】

求異面直線所成角主要有以下兩種方法：

（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所

在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求兩直線的方向向量：②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應(yīng)的余

弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.

5.已知正方體ABC。-A4GR中，E、F分別為BB-C￡的中點，那么異面直線AE與。尸所成角的余弦

【答案】1

5

【解析】

【詳解】

23

D\

如圖連接￡>/，EF,則。F所以。產(chǎn)與。:F所成的角即為異面直線所成的角，設(shè)正方體的邊長為2,

-<+<-4

則"=，在三角形DD：尸中cosAFD=―-=

6.如下圖，在四棱錐S-AB8中，底面ABC。是正方形，平面SA￡>J_平面ABC。，SA=SD=2,AB=3.

(1)求SA與BC所成角的余弦值；

(2)求證：ABVSD.

3

【答案】(1):；(2)證明見解析.

4

【解析】

【分析】

(1)由題意可得NSM)即為SA與BC所成的角，根據(jù)余弦定理計算即可；

(2)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)即可證明.

【詳解】

【考查內(nèi)容】異面直線所成的角，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)

【解】(I)因為4)〃BC,因此即為SA與8c所成的角，在&由中，SA=SD=2,

又在正方形ABC￡>中AD=AB^3,因此cosASAD=$加+、。~1=22+37=3，

2SAAD2x2x34

因此SA與BC所成角的余弦值是3.

4

(2)因為平面SADJ■平面A3C。，平面SAOc平面A5CD=AO,在正方形A3c。中，ABLAD,

因此43_L平面5AO，又因為SOu平面&4。，因此AB_LS￡).

7.如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,BC=3.

24

p

(1)證明：BC〃平面PDA；

(2)證明：BC1PD；

(3)求點C到平面PDA的距離.

【答案】(1)證明見解析：(2)證明見解析；(3)地.

2

【解析】

【詳解】

試題分析：(1)由四邊形ABCD是長方形可證BC〃AD,進而可證BC//平面PDA：(2)先證BCJ_CD,

再證BCL平面PDC,進而可證BCLPD；(3)取CD的中點E,連接AE和PE,先證PE，平面ABCD,

再設(shè)點C到平面PDA的距離為3利用V二梭錐-DA=V二校錐-8可得人的值，進而可得點C到平面PDA的距

離.

試題解析：(1)因為四邊形ABCD是長方形，所以BC〃AD,因為BC(Z平面PDA,ADu平面PDA,所

以BC//平面PDA

(2)因為四邊形ABCD是長方形，所以BCLCD,因為平面PDCL平面ABCD,平面PDC|平面

ABCD=CD,BCu平面ABCD,所以BC,平面PDC,因為PDu平面PDC，所以BCJ_PD

(3)取CD的中點E,連接AE和PE,因為PD=PC,所以PELCD,在RlAPED中，PE=JPD,-DE?

==幣,因為平面PDC，平面ABCD,平面PDC1平面ABCD=CD,PEu平面PDC,所以PE_L

平面ABCD,由(2)知：BC_L平面PDC,由(1)知：BC//AD,所以AD_L平面PDC,因為PDu平面PDC,

25

所以ADJ_PD，設(shè)點C到平面PDA的距國為力，因為V：棱艇一PDA=V三棱錐P-ACD，所以;=g5AAeD.PE，

qppX3X6X773萬r-

即力=若D.=---------=+，所以點C到平面PDA的距離是"

“PDA1X3X422

2

考點：1、線面平行；2、線線垂直；3、點到平面的距離.

8.如圖，在圓錐P。中，已知PO=&,圓。的直徑AB=2,點C在AB上，且NC48=30,。為4c的

中點.

（I）證明：AC，平面70。；

（II）求直線0C和平面P4C所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析；（II）—.

3

【解析】

【分析】

（I）由等腰三角形的性質(zhì)可得ACLOD、PD1AC,再由線面垂直的判定即可證結(jié)論.

（11）由（I）結(jié)合面面垂直的判定可得平面PODJ?平面PAC,過0作于"，連結(jié)C",易得CH是

OC在面PAC上的射影，進而找到直線和平面P4C所成角的平面角，即可求其正弦值.

【詳解】

（I）因為。4=0C,PA=PC,。為AC的中點，則AC_LO。且尸DLAC,

又0D尸￡>=￡>,且。DPDu平面PO。，

所以ACL平面POZX

（II）由⑴，AC_L平面POO,又ACu平面PAC,

所以平面尸?！?gt;J_平面PAC,

在面PO￡>中，過。作OH_LP￡>于”，則連結(jié)CH,則C”是0C在面PAC上的射影，

26

p

所以NOCH是直線0C和平面PAC所成角的平面角.

POOD

在RrzXPOD中，0H=

yJPO2+OD2

OH_y/2

則在放△OHC中sinZOCH

0C-V

9.如圖，P是邊長為1的正六邊形A8CQEF所在平面外一點，B4=l,P在平面ABC內(nèi)的射影為B廠的中

點。.

（I）證明P4LBF；

（II）求面與面。尸3所成二面角的大小的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）-福豆.

1819

【解析】

【分析】

（I）由已知得A0為用在平面ABF內(nèi)的射影，再由AOL5F可得證；

（H）過O在平面PO8內(nèi)作于"，連A，、OH,則有NAH。為所求二面角平面角，解三角形可求

得答案.

【詳解】

解：（I）在正六邊形A8CDEF中，為等腰三角形，

???P在平面48c內(nèi)的射影為。，...PO,平面ABF,，A0為布在平面ABF內(nèi)的射影；

27

為8尸中點，：.AO±BF,：.PA1BF.

(II)；PO_L平面ABF,，平面平面ABC；

而。為BF中點，ABCOE尸是正六邊形，，A、0、O共線，且直線4OJ_BF,平面PBFc平面A8C=3F,

則AZ)J_平面PBF-,

乂：正六邊形A8CDEF的邊長為1,

13同

：.AO=-9DO=—，B0=2.

222

過O在平面P03內(nèi)作OH_LPB于“，連4”、DH,則DH_LPB,

所以Z4//D為所求二面角平面角.

在，A〃O中，0H=與,tan/AHO=^=，二擊.

~1~

3

11

在JDHO1,tanZDHO==~^==-

'lJHU'OH52'

7電

2后24x28_16721

而tanZ.AHD=tan(ZAHO+Z.DH0)=礪=一二

2x/21

所以c二一需

所以面APB與面DPB所成二面角的大小的余弦值為-也立.

1819

10.在四棱錐尸-4BCD中，底面ABC。為正方形，平面皿＞L平面A8CD,點M在線段PB上，PD〃平

面MAC,PA=PD.

28

(1)判斷M點在P8的位置并說明理由；

(2)記直線0M與平面B4C的交點為K,求三的值；

KM

(3)若異面直線CM與AP所成角的余弦值為立，求二面角M-8-A的平面角的正切值.

7

【答案】(DM為P3中點，理由見解析

、DK、

⑵而=2

⑶g或挈

【解析】

【分析】

(1)連接8。交4c于。，連OM,由平面平行的性質(zhì)可得答案；

(2)連接0P,則K=OPcOM,可得點K為△P5D重心，由三角形重心的性質(zhì)，可得答案；

(3)取AO中點H,連接取HB中點、G,連接MG,GC,可得MG〃P”,取A8中點Muj?知MN//PA,

NCMM或其補角就是異面直線CM與AP所成角，由面面垂直的性質(zhì)可得PH_L平面ABC。，MG,平面

ABCD,令PH=t,AD=2,由余弦定理可得CG,在直角NWCG中，求出CM,MN=gpA,由余弦定理

得cosZCMN,從而得到3?-28/+25=0.解方程求出，，過G作G。_LC。交C。于Q,連接MQ,可得8，

平面MGQ,CDLMQ,在直角MQG中可得tanNMQG.

(1)

連接8。交AC于0,連接0M,

因為〃平面MAC,OMu平面P8。，

平面M4Cc平面P8D=OM,則P￡)〃OM,

又因為。為8。中點，所以M為尸3中點.

29

因為。為8。的中點，M為PB的中點，所以點K為重心，

由三角形重心的性質(zhì)，可得言7=2.

KM

(3)

取AO中點H,連接PH,HB,取”8中點G,連接MG,GC,可得MG〃尸

取A8中點N,連接MMNC,可知的V〃PA,

所以NCMN或其補角就是異面直線C例與AP所成角，如圖所示，

P

因為平面PAD±平面ABCO,平面PAD一平面ABCD=AD,

30

'又PA=PD'所以PH_LA￡),

所以平面A8CO,因此MG_L平面48C。，&PH=t,AD=2,

由PH〃MG,且何為P8的中點，可得MG=Lp〃='f,

22

在，BCG中，可得8c=2,BG=—,cosZCBG=—,由余弦定理，可得CG=巫，

在直角△MCG中，CM-y)CG2+MG2-.

r+1

又由M,N分別是P&A8的中點，可得MN=—PA=

2

解得3r-28/+25=0,解得產(chǎn)=1或§，即r=1或述，

33

過G作G0LCQ交CQ于Q,連接MQ,由MG_LCD,且GQMQ,

可得COL平面MGQ,所以CO_LM。，

所以NW0G就是所求二面角的平面角，如圖所示，

在直角,MQG中，可得tanNMQG=4g=:=：或偵.

GQ339

11.如圖，在長方體中，AD=l,AB=AAt=2,H,尸分別是棱GR,8片的中點.

功Hr.

(1)判斷直線HF與平面ABC"的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)求直線"F與平面ABCD所成角的正弦值；

(3)在線段”尸上是否存在一點Q,使得點Q到平面ABCR的距離是應(yīng)，若存在，求出坐的值；若不存在,

HF

說明理由.

【答案】⑴m7//面48c證明見解析；

⑵乎；

(3)不存在，理由見解析.

【解析】

【分析】

(1)。為CR,DG的交點，連接易得*W為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)、線面平行判

定即可證”尸〃面ABC〃.

(2)由(1)只需求6。與面A8CC所成角的正弦值，根據(jù)已知條件求值即可.

(3)由(1)知HP上任意一點到面A8C。的距離都相等，只需求尸到面ABCA的距離，利用長方體的結(jié)構(gòu)

特征求距離即可.

(1)

若。為CR,DG的交點，連接“0,80,又H,尸分別是棱G。，的中點，

由長方體的結(jié)構(gòu)特征知：HO//BF[\.HO=BF,故BF”。為平行四邊形,

所以“尸〃BO,HFU面ABCR,30u面4BC。，則〃面A8CR.

(2)