新教材人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊課時練習-橢圓的標準方程及性質的應用

課時練習(二十二)

(建議用時：40分鐘)

[4組基礎鞏固練]

一、選擇題

22

1.若直線y=x+2與橢圓宗十六1有兩個公共點，則機的取值范圍是(

A.(—8,0)U(l,+8)B.(1,3)U(3,+8)

C.(—8,—3)U(—3,0)D.(1,3)

y=x+2,

消去y,整理得(3+加)%2+4加元+加=0.

若直線與橢圓有兩個公共點，

3+m^0,

則＜

A=(4m)2—4m(3+m)>0,

mW—3,

解得＜

由?1表示橢圓，知心。且收3.

綜上可知，機＞1且加W3,故選B.]

2.過橢圓f+2y2=4的左焦點作傾斜角為弓的弦A3,則弦A3的長為()

7

D-6

B[易求得直線A3的方程為丁=小&+啦).

\y=yl3(x+y[2),l一

由12?消去y并整理，得7*+12g%+8=0.設4即，乃)，B(%2

x+2y=4

__12s_8

竺)，則Xi+%2——7，%i12-7

由弦長公式，得|A3|=d1+H出一也|=田1+（?。?.、y1—32|—4x1=y.]

22

3.在橢圓器十-=1內，過點”（1,1）且被該點平分的弦所在的直線方程為

)

A.9x-16y+7=0B.16無+9y—25=0

C.9x+16y—25=0D.16x—9y—7=0

2222

C[設弦的兩個端點的坐標分別是（xi,乃）,（X2,>2）,則有藍+偈=1,需+方

=1,兩式相減，又11+%2=丁1+>2=2,

X1~X2y一竺y一竺9Q

因此=0,即京所求直線的斜率是一言

169X[-X2

弦所在的直線方程是廠1=—1）,即9x+16廠25=0,故選C.]

4.設西，西是橢圓E：a+卓=1（。>6>°）的左、右焦點，尸為直線》=當上

一點，AR2PB是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率為（）

A.B.

34

C,4D,5

C[如圖所示，2PA是底角為30。的等腰三角形，則有

|F1F|=

2|PF2|,ZPFIF2=ZF2PF}=30°

所以/PR2A=60°,ZF2PA=30°,所以|尸外1=2|4碼=2僅一，=3。一20.

c3

又因為尸161=2。，所以，2c=3a~2c,所以

5.已知橢圓E：5十方=1伍>匕>0）的右焦點為網(wǎng)3,0）,過點R的直線交橢圓

E于A、3兩點.若A3的中點坐標為（1,-1）,則E的方程為（）

-1-01

［設A(X1,h)，3(X2,>2),直線AB的斜率左=1-3=2?

nv知仁成（修+M）（XI_起）」_（男+?）（21—竺）1（yi+v2）（vi-y）

兩式相戒何?+—°，即U+/（X］+X2）（XLX22）一0

+點X；X-^=0,即a2=2b2,

22

C2=9,a2=tr+c1,解得：G2=18,b2=9,方程是卷+營=1,故選D.］

Ioy

二、填空題

22

6.過橢圓方+1=1的右焦點R作一條斜率為2的直線與橢圓交于43兩點,

。為坐標原點，則△043的面積為

|［由已知可得直線方程為y=2x-2,聯(lián)立方程組<=1,

解得A（0,-2）,B

SAAOB=2'\OF\-IVA--ysl=2-1

7.設為、&分別為橢圓C：j+f=l的左、右兩個焦點，過八作斜率為1

的直線，交C于A、3兩點，則依碼+|361=.

D丫2,222

萬［由〃+全=1知，焦點Fi（—1,0）,所以直線/:y=x+l,代入，■方=1

得3f+4（x+l）2=12,即7d+8x—8=0,設A（修，y）B（x2,竺），

88________________________

.*.Xl+z=—+x2）2—4X1X2

2pXXX2=—y,故|AB|=N1+的修一對=y1+1.叱苞

_24

=T

由定義有，依歹2|十|36|+履3|=4凡

2432

所以履772|+13^21=4X2—萬=萬.]

8.橢圓C：y+y2=l的左、右頂點分別為Ai、A2，點P在C上且直線以i

斜率的取值范圍是［1,2］,那么直線以2斜率的取值范圍是.

—2>—4［由橢圓C：3十丁=1的方程可得a?=2,Z?2=l,由橢圓的性質

1—i..r1i-i

可知：kpA；kpA2——2，.?%人?—2k，*^^金口⑵，則左％'—2'—4』

PA\—

三、解答題

2

9.設直線與橢圓，+y2=i相交于A,3兩個不同的點.

(1)求實數(shù)6的取值范圍；

(2)當2=1時,求|回.

2

［解］(1)將y=x+6代入5+丁2=1,

消去y并整理，得3*2+4法+2。2—2=0.①

2

因為直線y=x+〃與橢圓，十寸=1相交于A,3兩個不同的點，所以/=16/

一12(2/-2)=24—8/>0,

解得一小V少V小.

所以6的取值范圍為(一小，小).

(2)設A(xi,yi),B(x2,竺)，當6=1時，方程①為3d+4x=0.

4

解得修=0,X2=—y

所以乃=1,);2=-1.

所以\AB\=\1(%1—%2)2+01~y-iy=4^.

10.已知橢圓C：泉1=13>。>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為坐，直線

y=左。一1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.

(1)求橢圓C的方程；

(2)當AAMN的面積為平時，求實數(shù)左的值.

a=2,

[解]⑴由題意得＜下坐，

、/=/+02,

解得c=巾,b=\[2,

22

所以橢圓C的方程為〃+5=1.

y=k(x—V),

⑵由

=1,

得(1+2產)d—4左4+2左2—4=0,

設點M,N的坐標分別為（xi,yi）,（X2,yi）,則

>1=左(內一1),y2=k(x2~1),

4產2必一4

Xl+X2=]+2后，苞區(qū)=]+2產'

所以=yjl+lc\x]~x2\

*12

=^/(1+Zr)[(xi+x2)—4%IX2]

2加1+左2)(4+6產)

=1+2產

又因為點A（2,0）到直線y=-x—1）的距離

因

d=

5+爐'

所以△AMN的面積為S=^\MN\-d

因^4+6產

―1+2后，

|皿4+6k2JT5

由1+2Z?=3

化簡得744-2產一5=0,解得左=±1.

[B組素養(yǎng)提升練]

22]

11.（多選題）設橢圓a+5=1（。＞6＞0）的離心率為e=],右焦點為網(wǎng)c,0）,方

程af+bx—c=0的兩個實根分別為修和必，則點尸（修，x2）（）

A.必在圓f+y2=l外

7

B.必在圓/+>2=^上

C.必在圓f+y2=2內

D.必在圓f+y2='上

、

AWr_1_a叱?i層3b3工事

ABCL[e-2a—2—2Ja2-4Aa-4A〃—2g—^b-2ca.

?*?bx-c~~~^~ax-~^=0=^x^~\~"~^~x-]=0,

Vj1

.e.Xl+%22，X1X2=一],

??X彳+君=(Xi+%2)2—2%1必=^+1=~4,

7

Vl<4<2,

7

???點尸在圓f+y2=i夕卜，在%2+y2=a上，在f+y2=2內，故應選ABC.]

226

12.已知橢圓C的方程為3+]=13>6>0),焦距為2c,直線/：丁=為與

橢圓C相交于A,3兩點，若|A3|=2c,則橢圓C的離心率為()

^3

2-

4

AC.B.

1D.1

--

24

,、歷

A[設直線與橢圓在第一象限內的爻點為A(x,y),貝U

由|A3|=2c,可知|。4|=.%2+>2=正即小+%

2V2

解得x=

3。

把點_莘片―

-18e2+9=0,即(4e?—3)(2e?—3)=0,因OVeVl,所以可得e=，.]

13.(一題兩空)已知橢圓a+，=1(。>6>0)的一個頂點為3(0,4),離心率e=

害，則橢圓方程為,若直線/交橢圓于N兩點，且△BMN的重心恰

好為橢圓的右焦點R則直線/方程為_________

22〃2_廿]6]

千言=16x—5y—28=0[由題意得人=4,又/=，=區(qū)]—=1一孑=予

解得。2=20.

橢圓的方程為東+施=L；?橢圓右焦點R的坐標為(2,0),

設線段MN的中點為。(沏，州),

由三角形重心的性質知能=2的，從而(2,—4)=2(項)-2,yo),

解得沏=3,刃=-2,所以點。的坐標為(3,-2).

設MQi,力)，Ngh)，

則％1+、2=6,y1+m=-4,

且君+瑟=1，，+卻,

以上兩式相減得S+嚼LX2)+(yi+嘴「竺)=0,

.Vi_y2_4X1+.X2_46__6

,?kMN=^=^=~5-^+^=一弓*』=予

故直線的方程為y+2=|(x—3),即6x-5y-28=0.]

14.已知西，巳是橢圓的兩個焦點，滿足蘇1?加2=0的點”總在橢圓內部,

則橢圓離心率的取值范圍是.

1o,當「.,加1，加2,；?點〃在以品入為直徑的圓上，又點M在橢圓內

部，：.c<b,'.C1<b1=a2—C2,即2c2</,即、<坐.又《>0,.".Q<e

<陰

［C組思維提升練］

2J

15.設橢圓3十方=1(。>6>0)的