人大版微積分幾種特殊類型函數(shù)的積分市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎?wù)n件

莫興德廣西大學(xué)數(shù)信學(xué)院Email:moxingde@微積分第1頁鏈接目錄第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章中值定理,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章

無窮級數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復(fù)習(xí)第2頁參考書[1]趙樹嫄.微積分.中國人民出版社[2]同濟大學(xué).高等數(shù)學(xué).高等教育出版社第3頁第五章

幾個特殊類型函數(shù)積分第4頁幾個特殊類型函數(shù)積分一、有理函數(shù)積分有理函數(shù)定義：兩個多項式商表示函數(shù)稱之.第5頁假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項式除法,假分式能夠化成一個多項式和一個真分式之和.例難點將有理函數(shù)化為部分分式之和.第6頁（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和普通規(guī)律：特殊地：分解后為第7頁注關(guān)于部分分式分解如對進行分解時一項也不能少，因為通分后分子上是多項式，可得到k個方程，定出k個系數(shù)，不然將會得到矛盾結(jié)果。比如第8頁但若矛盾第9頁（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為第10頁真分式化為部分分式之和待定系數(shù)法例1第11頁代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例2第12頁例3整理得第13頁例4求積分解第14頁例5求積分解第15頁例6求積分解令第16頁第17頁說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討論積分令第18頁則記第19頁這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)原函數(shù)都是初等函數(shù).第20頁第21頁第22頁第23頁第24頁第25頁注意以上介紹雖是有理函數(shù)積分普遍方法，但對一個詳細問題而言，未必是最簡捷方法，應(yīng)首先考慮用其它簡便方法。如使用湊微分法比較簡單基本思緒盡可能使分母簡單——降冪、拆項、同乘等化部分分式，寫成份項積分可考慮引入變量代換第26頁三角有理式定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算組成函數(shù)稱之．普通記為二、三角函數(shù)有理式積分第27頁令（萬能置換公式）第28頁例7求積分解由萬能置換公式第29頁第30頁例8求積分解（一）第31頁解（二）修改萬能置換公式,令第32頁解（三）能夠不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最正確方法,故三角有理式計算中先考慮其它伎倆,不得已才用萬能置換.如第33頁若用萬能代換，則化部分分式比較困難但若是湊微分，則比較簡單基本思緒第34頁盡可能使分母簡單——分子分母同乘，或使分母變成一項等盡可能使冪次降低萬能代換例9求積分解第35頁第36頁第37頁第38頁第39頁第40頁討論類型處理方法作代換去掉根號.例10求積分解

三、簡單無理函數(shù)積分第41頁第42頁例11求積分解令說明無理函數(shù)去根號時,取根指數(shù)最小公倍數(shù).第43頁例12求積分解先對分母進行有理化原式第44頁例13解一令第45頁解二第46頁令第47頁簡單無理式積分.有理式分解成部分分式之和積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式積分.（