排列組合講義第四講

概率

隨機事件的概率及古典概型

1.必然事件：在一定的條件下必然要發(fā)生的事件.

不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件.

隨機事件：在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

2.概率：實際生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件和隨機事件.隨機事件在現(xiàn)實

世界中是廣泛存在的.在一次試驗中，事件A是否發(fā)生雖然帶有偶然性，但在大量重復試驗

下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，即事件A發(fā)生的頻率‘總是接近于某個常數(shù)，在它附

n

近擺動，這個常數(shù)就叫做事件A的概率.記著P(A).

OWP(A)W1

3.若在一次試驗中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本

事件.

4.具有以下兩個特點：(1)所有的基本事件只有有限個；(2)每個基本事件的發(fā)生都是

等可能的.我們將滿足上述條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型

5.等可能事件的概率：如果一次試驗中共有n種等可能出現(xiàn)的結果，其中事件A包含的結

果有m種，那么事件A的概率P(A)=—.

n

經典精講

［例1］某人有5把鑰匙，但忘記了開房門的是哪一把，于是，他逐把不重復地試開，問恰

好第三次打開房門鎖的概率是多少？

解：我們知道最多開5次門，且其中有且僅有一次可以打開房門，故每一次打開門的概率是

相同的，都是:?開三次門的所有可能性有種.第三次打開房門，則房門鑰匙放在第3號

位置上，前兩次沒能打開門，則前2個位置是用另4把鑰匙安排的，故有種可能.從而恰

好第三次打開房門鎖的概率是P(A)=&='

用5

［例2］某組有16名學生，其中男、女生各占一半，把全組學生分成人數(shù)相等的兩小組，求

每小組里男、女生人數(shù)相同的概率.

解：基本事件有事件A為組里男、女生各半的情形，它有g(C；C；)2種，所以

490

［例3］把一枚硬幣向上連拋10次，則正、反兩面交替出現(xiàn)的概率是.

解：連拋10次得正、反面的所有可能的情況共有21°種，而題設中的正、反兩面交替出現(xiàn)

2］

的情況只有2種，故所求的概率為一萬=—?

210512

［例4］某科研合作項目成員由11個美國人、4個法國人和5個中國人組成，現(xiàn)從中隨機選出

兩位作為成果發(fā)布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為—(結果用分數(shù)表示).

解：設“從20名成員中隨機選出的2人來自不同國家”為事件A,則A所包含的基本事件

數(shù)為C；C+G\C=119,又基本事件數(shù)為

119119

故P(A)

［例5］將4個編號的球放入3個編號的盒中，對于每一個盒來說，所放的球數(shù)k滿足OWk

W4.在各種放法的可能性相等的條件下，求：

(1)第一個盒沒有球的概率；

(2)第一個盒恰有1個球的概率；

(3)第一個盒恰有2個球的概率；

(4)第一個盒有1個球，第二個盒恰有2個球的概率.

解：4個不同的球放入3個不同的盒中的放法共有34種.

(1)第一個盒中沒有球的放法有24種，所以第一個盒中沒有球的概率為:

■2416

，，-F=81

(2)第一個盒中恰有1個球的放法有種，所以第一個盒中恰有1個球的概率為:

=32

P2=

3481

(3)第一個盒中恰有2個球的放法有?2?種，所以第一個盒中恰有2個球的概率為:

8

P3=-----7----=-----

3427

(4)第一個盒中恰有1個球，第二個盒中恰有2個球的放法有種，所以所求的概率

4

為：Pi=

3427

［例6］一個口袋內有7個白球和3個黑球，分別求下列事件的的概率：

(1)事件A：從中摸出一個放回后再摸一個，兩回摸出的球是一白一黑；

(2)事件B：從袋中摸出一個黑球，放回后再摸出一個是白球；

(3)事件C：從袋中摸出兩個球，一個黑球，一個白球；

(4)事件I)：從從袋中摸出兩個球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球.

解：(1)基本事件總數(shù)是10X10.事件A包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球后

摸出黑球”，摸出白球及黑球分別有7種和3種可能.所以A發(fā)生共有2X7X3種可能.

10x10

2)事件B與事件A不同，它確定了先摸黑球再摸白球的順序.

7x3

P(B)=------=0.21

10x10

(3)事件C說明摸出兩個球不放回，且不考慮次序，因此基本事件總數(shù)是G3事件C包

含的基本事件個數(shù)是

7人

P(C)=—^0.47.

Gi15

(4)與事件A相比，D要考慮摸出兩球的先后次序.

7

P(D)一一^o.23

C°C；30

評注：注意“放回抽樣”與“不放回抽樣”的區(qū)別.本例(1)(2)是放回抽樣，(3)(4)是

不放回抽樣.

互斥事件的概率

1.互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件.

如果事件A、B、C,其中任何兩個都是互斥事件，則說事件A、B、C彼此互斥.

當A,B是互斥事件時，那么事件A+B發(fā)生(即A,B中有一個發(fā)生)的概率，等于

事件A,B分別發(fā)生的概率的和.

P(A+B)=P(A)+P(B).

如果事件A”Az、…、A”彼此互斥，那么事件A1+A2+…+An發(fā)生(即4、A,、…、A

n中有一個發(fā)生)的概率，等于這n個事件分別發(fā)生的概率的和.

2.對立事件：其中必有一個發(fā)生的兩個互斥事件.事件A的對立事件通常記著印.

對立事件的概率和等于1.

P(A)=1-P(A)

3.相互獨立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩

個事件叫做相互獨立事件.

當A,B是相互獨立事件時，那么事件A?B發(fā)生(即A,B同時發(fā)生)的概率，，等于

事件A,B分別發(fā)生的概率的積.

P(A?B)=P(A)?P(B).

如果事件果、Az、…、An相互獨立,那么事件果?呼?…?A.發(fā)生(即&、&、…、A

.同時發(fā)生)的概率，等于這n個事件分別發(fā)生的概率的積.

經典精講

[例1]從0,1,2,3這四位數(shù)字中任取3個進行排列，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，求排

成的三位數(shù)是偶數(shù)的概率.

解：記“排成的三位數(shù)的個位數(shù)字是0”為事件A,“排成的三位數(shù)的個位數(shù)字是2”為事件

B,且A與B互斥，則“排成的三位數(shù)是偶數(shù)”為事件A+B,于是

P(A+B)=P(A)+P(B)=■=—

［例2］從1,2,3,…，100這100個數(shù)中，隨機取出兩個數(shù)，求其積是3的倍數(shù)的概率.

解：基本事件數(shù)有種.在由1到100這100個自然數(shù)中，3的倍數(shù)的數(shù)組成的集合M中

有33個元素，不是3的倍數(shù)組成的集合N中有67個元素，事件A為任取兩整數(shù)相乘為3

的倍數(shù)，分兩類：(1)取M中2個元素相乘有種；(2)從集合M、N中各取1個元素相

乘有C；3c1種?因為這兩類互斥，所以

P(A)=+C；3c_83

F-"150,

［例3］在房間里有4個人，問至少有兩個人的生日是同一個月的概率是多少？

解：由于事件A“至少有兩個人的生日是同一個月”的對立事件了是“任何兩個人的生日都

不同月”.因而至少有兩個人的生日是同一個月的概率為:

-A,t5541

P(A)=1-P(A)=1一一^=1一一

1249696

［例4］某單位6名員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5(相互獨立).

求(1)至少3人同時上網(wǎng)的概率；(2)至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3?

解：(1)至少3人同時上網(wǎng)的概率等于1減去至多2人同時上網(wǎng)的概率，即

1-C°0.56-C^0.56-C^0.56=1--6+15=21

6666432

(2)6人同時上網(wǎng)的概率為C：0.56=—＜0.3；

664

7

至少5人同時上網(wǎng)的概率為C：0.56+C；0.56=言＜0,3；

至少4人同時上網(wǎng)的概率為C^0.56+C^0.56+C^0.56=莖＞0.3.

故至少5人同時上網(wǎng)的概率小于0.3.

［例5］設甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.9、0.8,求：

(1)目標恰好被甲擊中的概率；(2)目標被擊中的概率.

解：設事件A為“甲擊中目標”，事件B為“乙擊中目標”.

由于甲、乙兩射手獨立射擊，事件A與B是相互獨立的，

故A與萬、可與B也是相互獨立的.

(1)目標恰好被甲擊中，即事件A后發(fā)生.

P(A?B)=P(A)XP(B)=0.9X(1-0.8)=0.18.

二目標恰好被甲擊中的概率為0.18.

(2)目標被擊中即甲、乙兩人中至少有1人擊中目標，即事件A?豆、發(fā)生.

由于事件A?B、A?B、A?B彼此互斥,

所以目標被擊中的概率為

P(A-B+A?B+A?B)=P(A-B)+P(A?B)+P(A-B)

=P(A)?P(B)+P(A)?P(B)+P(A?B)

=0.9X0.2+0.1X0.8+0.9X0.8=0.98.

評注：運用概率公式求解時，首先要考慮公式的應用前提.本題(2)也可以這樣考慮：排除

甲、乙都沒有擊中目標.因為P(A?B)=P(7)?P(B)=0.IX0.2=0.02.

所以目標被擊中的概率為

1-P(A?B)=1—0.02=0.98.

[例6]某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，

兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率

分別為0.9,0.8,0.7；在實驗考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9,所有考核是否合

格相互之間沒有影響.

(1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

(2)求這三人課程考核都合格的概率.(結果保留三位小數(shù))

解：記“甲理論考核合格”為事件A”“乙理論考核合格”為事件總，“丙理論考核合格”

為事件A：,,“甲實驗考核合格”為事件B”“乙實驗考核合格”為事件員,“丙實驗考核合格”

為事件B3.

(1)記”理論考核中至少有兩人合格”為事件C.

貝UP(C)=P(A,Az4+AI耳A3+TA2A3+A,A2AJ

=P(A,A?4)+P(A,4A3)+PA2A3)+P(A,A2A3)

=0.9X0.8X0.3+0.9X0.2X0.7+0.1X0.8X0.7+0.9X0.8X0.7

=0.902

(2)記”三人該課程考核都合格”為事件D.

則P(D)=P[(A,?Bi)?(Az?Bz)?(A3?B3)]

=P(A,?Bi)?P(A2?B2)?P(A3?B3)

=P(AO-P(Bi)?P(A2)?P(B2)-P(A3)?P(B,()

=0.9X0.8X0.8X0.8X0.7X0.9

?=0.254

所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為0.902；

這三人該課程考核都合格的概率為0.254。

家庭作業(yè)

1.甲、乙兩名籃球運動員，甲投籃的命中率為0.6,乙投籃的命中率為0.7,兩人是否投

中相互之間沒有影響，求：

(1)兩人各投一次，只有一人命中的概率；

(2)每人投籃兩次，甲投中1球且乙投中2球的概率.

解：

(1)Pi=0.6(1-0.7)+(1-0.6)0.7=0.46.

(2)Pz=[C；0.6(1-0.6)]?[Cj(0.7)2(1-0.7)°]=0.2352.

2.工人看管三臺機床，在某一小時內，三臺機床正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.85,

且各臺機床是否正常工作相互之間沒有影響，求這個小時內：

(1)三臺機床都能正常工作的概率；

(2)三臺機床中至少有一臺能正常工作的概率.

解：⑴三臺機床都能正常工作的概率為巴=0.9X0.8X985=0.612.

(2)三臺機床至少有一臺能正常工作的概率是

P2=l-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.997.

3.甲、乙兩名籃球運動員，投籃的命中率分別為0.7與0.8.

(1)如果每人投籃一次，求甲、乙兩人至少有一人進球的概率；

(2)如果每人投籃三次，求甲投進2球且乙投進1球的概率.

解：設甲投中的事件記為A,乙投中的事件記為B,

(1)所求事件的概率為：

P=P(A?B)+P(A?B)+P(A-B)

=0.7X0.2+0.3X0.8+0.7X0.8

=0.94.

(2)所求事件的概率為：

P=C；0.7?X0.3XC；0.8X0.2=0.042336.

4.沿某大街在甲、乙、丙三個地方設有紅、綠交通信號燈，汽車在甲、乙、丙三個地方

112

通過(綠燈亮通過)的概率分別為對于在該大街上行駛的汽車，

323

求：(1)在三個地方都不停車的概率；

(2)在三個地方都停車的概率；

(3)只在一個地方停車的概率.

1121

解：(1)P=-X—X—.

3239

2121121117

(3)P二一X-X-+-X-X-+-X-X.

32332332318

5.某種電路開關閉合后，會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動.已知開關第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和

出現(xiàn)綠燈的概率都是從開關第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈

2

的概率是上1，出現(xiàn)綠燈的概率是?三，若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是3巳,

3