中考數(shù)學復習《圖形相似》訓練題含答案試卷分析解析

《圖形相似》提升訓練.

一.選擇題（共14小題）

1.如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，點D的對應點落在BC上點F處，過點F作

FG//CD,連接EF,DG,下列結論中正確的有（）

①NADG=NAFG；②四邊形DEFG是菱形；（3）DG2=yAE?EG；④若AB=4,AD=5,

則CE=1.

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②

2.如圖，在aABC中，D為AB邊上一點，E為CD中點，AC=五,ZABC=30°,

ZA=ZBED=45°,則BD的長為（）

ADB

A.*B.V3+1_V5C.V3~yD.A/5_1

3.如圖，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=6,AC=10,NBAC和NACB的平分線

相交于點E,過點E作EF〃BC交AC于點F,那么EF的長為（）

15

T

4.（易錯題）已知：如圖，ZADE=ZACD=ZABC,圖中相似三角形共有（）

A.1對'B.2對C.3對D.4對

5.如圖，平面直角坐標系中。是原點，平行四邊形ABCO的頂點A、C的坐標分

別（8,0）、（3,4）,點D,E把線段OB三等分，延長CD、CE分別交OA、AB

于點F,G,連接FG.則下列結論:

①F是OA的中點；②△OFD與4BEG相似；③四邊形DEGF的面積是學；④

A.4個B.3個C.2個D.1個

6.如圖，點P是邊長為后的正方形ABCD的對角線BD上的動點，過點P分別

作PE_LBC于點E,PFLDC于點F,連接AP并延長，交射線BC于點H,交射線

DC于點M,連接EF交AH于點G,當點P在BD上運動時（不包括B、D兩點）,

以下結論中：①MF=MC；②AH_LEF；③AP2=PM?PH；④EF的最小值是返.其中

2

正確結論是（）

A.①③B.②③C.②③④D.②④

7.如圖，在正方形ABCD中，。是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動

點（點M不與B,C重合），CN±DM,CN與AB交于點N,連接OM,ON,MN.下

列五個結論：①△CNBg^DMC；②△CON之△DOM；③△OMNsaOAD；④

AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2,則SAOMN的最小值是之，其中正確結論的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

8.如圖，^ABC中，D、E是BC邊上的點，BD：DE：EC=3：2：1,M在AC邊

上，CM：MA=1：2,BM交AD,AE于H,G,則BH：HG：GM等于()

25：12：5D.51：24：10

9.如圖，矩形紙片ABCD中，G、F分別為AD、BC的中點，將紙片折疊，使D

點落在GF上，得到AHAE,再過H點折疊紙片,使B點落在直線AB上，折痕為

PQ.連接AF、EF,已知HE=HF,下列結論：①AMEH為等邊三角形；②AE_LEF；

③△PHESAHAE；④患華’其中正確的結論是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

10.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,P是BC邊上不同于B,C的一動點，過點P

作PQJ_AB,垂足為Q,連接AP.若AC=3,BC=4,則△AQP的面積的最大值是

()

A

o

CPB

A.至B.§C.圣D.亞

483216

11.如圖，在梯形ABCD中,AD〃BC,對角線AC與BD相交于點0,如果S^ACD：

SAABC=1：2,那么S/\A0D：S^BOC是（）

12.在4ABC與△ABU中，有下列條件：（1）丁一，=/匕，。2）

ADDC

*L7與"；（3）NA=NA；（4）NC=NU,如果從中任取兩個條件組成一

DCAC

組，那么能判斷△ABCsaABC的共有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

13.如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF〃AD,

與AC、DC分別交于點G,F,H為CG的中點，連接DE,EH,DH,FH.下列結

論中結論正確的有（）

①EG=DF；

（2）ZAEH+ZADH=180°；

③aEHF絲△口!"!（：；

④若■^■=看，貝USAEDH=13SACFH.

ADO

A.1個B.2個C.3個D.4個

14.如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF〃AD,

與AC、DC分別交于點G,F,H為CG的中點，連結DE、E"、DH、FH.下列結

論：①EG=DF；②^EHF烏△口￡；③NAEH+NADH=180°；④若絆=g，則

AB3

ADHC其中結論正確的有（）

^△EDH13

A.1個B.2個C.3個D.4個

二.填空題（共5小題）

15.大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割"，如圖,

P為AB的黃金分割點（AP>PB）,如果AB的長度為10cm,那么PB的長度為

cm.

一

16.如圖，在正方形ABCD中，^BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交

AD于點E、F,連結BD、DP,BD與CF相交于點H,給出下列結論：①4DFP?

△BPH；②器=黑=嚀；③PD2=PH?CD；dABPD-.x2ZIzL,其中正確的是

PHCD3S正方形疝⑦3

（寫出所有正確結論的序號）.

AFEn

B

17.如圖，在4ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，DF過EC的中點G

并與BC的延長線交于點F,BE與DF交于點0.若4ADE的面積為4,則四邊形

B0GC的面積=.

18.如圖|,在菱形ABCD中，ZB=60°,BC=6,E為BC中點，F(xiàn)是AB上一點，G

為AD上一點，且BF=2,ZFEG=60°,EG交AC,于點H,下列結論正確的

是.（填序號即可）

①△BEFs^CHE

②AG=1

③EH

@SABEF=3SAAGH

19.已知菱形AiBiJDi的邊長為2,NAiBiCi=60°,對角線4斐、B】Di相交于點

0,以點。為坐標原點，分別以OBi，OAi所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的

直角坐標系，以BiDi為對角線作菱形B1C2D1A2s菱形AiBiCiDi，再以A2c2為對

角線作菱形A2B2c2D2s菱形B1C2D1A2,再以B2D2為對角線作菱形B2c3D2A3s菱形

A2B2C2D2,...?按此規(guī)律繼續(xù)作下去，在y軸的正半軸上得到點Ai，A2,A3,…，

An，則點A2OI8的坐標為

三.解答題(共7小題)

20.如圖，在aABC中，點D在邊BC上，聯(lián)結AD,NADB=NCDE,DE交邊AC

于點E,DE交BA延長線于點F,且AD2=DE?DF.

(1)求證：△BFDs^CAD；

(2)求證：BF?DE=AB?AD.

21.已知四邊形ABCD中，AB=AD,對角線AC平分NDAB,過點C作CEJ_AB于

點E,點F為AB上一點，且EF=EB,連結DF.

(1)求證：CD=CF；

(2)連結DF,交AC于點G,求證：△DGCsaADC；

(3)若點H為線段DG上一點，連結AH,若NADC=2NHAG,AD=3,DC=2,求

毀的值.

D

22.如圖①，OP為一墻面，它與地面OQ垂直，有一根木棒AB如圖放置，點C

是它的中點，現(xiàn)在將木棒的A點在OP上由A點向下滑動，點B由。點向0Q方

向滑動，直到AB橫放在地面為止.

（2）若木棒長度為2m,如圖②射線。M與地面夾角NMOQ=60。，當AB滑動過

程中，與0M并于點D,分別求出當AD=g、AD=1、AD=4時，0D的值.

43

（3）如圖③，是一個城市下水道，下水道入口寬40cm,下水道水平段高度為

40cm,現(xiàn)在要想把整根木棒AB通入下水道水平段進行工作，那么這根木棒最長

可以是（cm）（直接寫出結果，結果四舍五入取整數(shù)）.

23.如圖，ZSABC和aBEC均為等腰直角三角形，且NACB=NBEC=90。，點P為

線段BE延長線上一點，連接CP,以CP為直角邊向下作等腰直角^CPD,線段

BE與CD相交于點F.

?pPC_CE

（1）求證：CD=CB；

（2）連接BD,請你判斷AC與BD有什么位置關系？并說明理由.

24.如圖（1）,P為AABC所在平面上一點，且/APB=NBPC=NCPA=120。,則點

P叫做AABC的費馬點.

(1)如果點P為銳角^ABC的費馬點，且NABC=60。.

①求證：ZxABPs/XBCP；

②若PA=3,PC=4,則PB=.

(2)已知銳角△ABC,分別以AB、AC為邊向外作正AABE和正4ACD,CE和BD

相交于P點.如圖(2)

①求NCPD的度數(shù)；

②求證：P點為^ABC的費馬點.

25.如圖，在平面直角坐標系中，已知aABC三個頂點的坐標分別為A(-1,2),

B(-3,4),C(-2,6).

(1)畫出4ABC繞點A順時針旋轉90。后得到的△AiBiCi；

(2)以原點。為位似中心，在圖中畫出將△AiBiJ三條邊放大為原來的2倍后

的aAzB2c2,并寫出A2、B2、C2的坐標.

y小

>

X

26.在四邊形ABCD中，點E為AB邊上的一點，點F為對角線BD上的一點，且

EF±AB.

(1)若四邊形ABCD為正方形.

①如圖1,請直接寫出AE與DF的數(shù)量關系；

②將4EBF繞點B逆時針旋轉到圖2所示的位置，連接AE,DF,猜想AE與DF

的數(shù)量關系并說明理由.

(2)若四邊形ABCD為矩形，BC=mAB,其他條件都不變.

①如圖3,猜想AE與DF的數(shù)量關系并說明理由；

②將AEBF繞點B順時針旋轉a(0°<a<90°)得到△EBF,連接AE\DF,請

在圖4中畫出草圖，并直接寫出AE，和DF的數(shù)量關系.

參考答案與試題解析

一.選擇題（共14小題）

1.如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，點D的對應點落在BC上點F處，過點F作

FG〃CD,連接EF,DG,下列結論中正確的有（）

①NADG=NAFG；②四邊形DEFG是菱形；③DG2=、AE?EG；④若AB=4,AD=5,

則CE=1.

【解答】解：①由折疊可得，AD=AF,DG=FG,

在4ADG和4AFG中，

'AD=AF

,DG=FG，

AG=AG

.'.△ADG^AAFG(SSS),

，NADG=NAFG,故①正確；

②;GF〃DC,

，NEGF=NDEG,

由翻折的性質可知:GD=GF,DE=EF,ZDGE=ZEGF,

/.ZDGE=ZDEG,

.*.GD=DE,

，DG=GF=DE=EF,

四邊形DEFG為菱形，故②正確;

③如圖所示，連接DF交AE于0,

?.?四邊形DEFG為菱形，

.\GE±DF,OG=OE=、E,

2

VZDOE=ZADE=90°,ZOED=ZDEA,

/.△DOE^AADE,

...萼邁，即DE2=E0?AE,

DEAE

VEO=—GE,DE=DG,

2

.,.DG2=yAE*EG,故③正確；

④由折疊可得，AF=AD=5,

R3ABF中，BF=7AF2-AB2=3?

.\CF=5-3=2,

設CE=x,則DE=EF=4-x,

,.?RtaCEF中，CE2+CF2=EF2,

x2+22=(4-x)2,

解得x],

/.CE=-|,故④錯誤；

故選：B.

2.如圖，在aABC中，D為AB邊上一點，E為CD中點，AC=&,ZABC=30°,

ZA=ZBED=45°,則BD的長為()

B

A.B.?+1-泥C.V3~D.泥-1

【解答】解：如圖，過C作CFLAB于F,過點B作BGLCD于G,在Rt^BEG

中，ZBED=45°,則GE=GB.

在Rt^AFC中，NA=45°,AC=五,則AF=CF=&Xsin45°=1,

在RtABFC中，ZABC=30°,CF=1,則BC=2CF=2,BF=?CF=?,

設DF=x,CE=DE=y,則BD=?-x,

/.△CDF^ABDG,

?CD_DF_CF

，，BD-DG-BG，

VGE=GB,

.x（V3-x）_^/3x

2y2+x（V3-x）=5/3~x,

在RtACDF中，VCF2+DF2=CD2,

l+x2=4y2,

.,.-1+/-+X（V3-X）-X,

整理得：x2-（2^^+2）x+2^/3-1=0,

解得x=l+?-述或1+73-V5（舍棄）,

BD=F_x=V5-1.

G

3.如圖，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=6,AC=10,NBAC和NACB的平分線

相交于點E,過點E作EF〃BC交AC于點F,那么EF的長為（）

【解答】解：如圖，延長FE交AB于點D,作EG_LBC于點G,作EH_LAC于點H,

?.,EF〃BC、ZABC=90°,

.\FD±AB,

VEG1BC,

四邊形BDEG是矩形，

OAE平分NBAC、CE平分NACB,

，ED=EH=EG,NDAE=NHAE,?

，四邊形BDEG是正方形，

itADAE和△HAE中，

'NDAE=NHAE

<AE=AE，

,NADE=NAHE

/.△DAE^AHAE(SAS),

；.AD=AH,

同理4CGE之△CHE,

；.CG=CH,

BC=7AC2-AB2=V102-6^8'

設BD=BG=x,則AD=AH=6-x、CG=CH=8-x,

「?6-x+8一x=10,

解得：x=2,

，BD=DE=2,AD=4,

VDF-//BC,

.'.△ADF^AABC,

...此空,艮匹嗎

ABBC68

解得：DF=華，

o

則EF=DF-DE--2~.

Jo

故選：c.

4.（易錯題）已知：如圖，NADE=NACD=NABC,圖中相似三角形共有（）

A.1對'B.2對C.3對D.4對

【解答】解：VZADE=ZACD=ZABC

，DE〃BC

.,.△ADE^AABC,

VDE^BC

/.ZEDC=ZDCB,

,/ZACD=ZABC,

.'.△EDC^ADCB,

同理：NACD=NABC,ZA=ZA,

/.△ABC^AACD,

,/△ADE^AABC,AABC^AACD,

.'.△ADE^AACD

.?.共4對

故選：D.

5.如圖，平面直角坐標系中。是原點，平行四邊形ABCO的頂點A、C的坐標分

別(8,0)、(3,4),點D,E把線段OB三等分，延長CD、CE分別交OA、AB

于點F,G,連接FG.則下列結論：

①F是OA的中點；②ACFD與4BEG相似；③四邊形DEGF的面積是當；④

0T.正確的個數(shù)是()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【解答】解：①???四邊形0ABC是平行四邊形,

，BC〃0A,BC=0A,

.,.△CDB^AFDO,

?BC=BD

?,胡加，

???D、E為0B的三等分點，

.BD_2_0

0D1

.BC1

??中，

，BC=20F,

A0A=20F,

，F(xiàn)是0A的中點；

所以①結論正確；

②如圖2,延長BC交y軸于H,

由C(3,4)知：0H=4,CH=3,

A0C=5,

，AB=0C=5,

VA(8,0),

；.0A=8,

，OAWAB,

二NAOBWNEBG,

.,.△OFD^ABEG不成立，

所以②結論不正確；

③由①知：F為0A的中點，

同理得；G是AB的中點，

；.FG是AOAB的中位線，

AFG=^€)B,FG〃OB,

VOB=3DE,

3

AFG=yDE,

?.F?—G=3一,

DE2

過C作CQJ_AB于Q,如圖3.

SDOABC=OA?0H=AB?CQ,

.\4X8=5CQ,

-?-”CQ=—32,

5

SAocF=yOF*OH=yX4X4=8,

SACGB=~BG?CQ=《X-^-X-^-=8,

SAAFG=yX4X2=4,

--=

*'?SACFG=SnOABC-SAOFCSACBGSAAFG8X4-8-8-4=12,

；DE〃FG,

.".△CDE^ACFG,

2=(DE)2=1,

SACFGFG9

.S四邊形DEGF=5

SACFG9

?c_5C_20

??、四邊形DEGF=Z、zxCFG=-^-；

y3

所以③結論正確；

④在RSOHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2,

OB=V（3+8）2+42=^137?

.-.OD=^S,

3

所以④結論不正確；

本題結論正確的有：①③.

6.如圖，點P是邊長為血的正方形ABCD的對角線BD上的動點，過點P分別

作PEJ_BC于點E,PF_LDC于點F,連接AP并延長，交射線BC于點H,交射線

DC于點M,連接EF交AH于點G,當點P在BD上運動時（不包括B、D兩點）,

以下結論中：①MF=MC；②AH_LEF；③AP2=PM?PH；④EF的最小值是孚.其中

正確結論是（）

AD

A.①③B.②③C.②③④D.②④

【解答】解：①錯誤.因為當點P與BD中點重合時，CM=O,顯然FMWCM；

②正確.連接PC交EF于0.根據(jù)對稱性可知NDAP=NDCP,

???四邊形PECF是矩形,

.,.0F=0C,

/.Z0CF=Z0FC,

.,.Z0FC=ZDAP,

VZDAP+ZAMD=90°,

.,.ZGFM+ZAMD=90°,

NFGM=90°,

AAH1EF.

③正確.VAD/7BH,

，NDAP=NH,

VZDAP=ZPCM,

，/PCM=NH,

VZCPM=ZHPC,

.'.△CPM^AHPC,

.PCPM

??-,

HPPC

.*.PC2=PM*PH,

根據(jù)對稱性可知：PA=PC,

，PA2=PM?PH.

④正錯誤?四邊形PECF是矩形，

1.EF=PC,

.,.當CPJ_BD時，PC的值最小，此時A、P、C共線，

VAC=2,

APC的最小值為1,

...訐的最小值為1；

7.如圖，在正方形ABCD中，。是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動

點（點M不與B,C重合），CN1DM,CN與AB交于點N,連接OM,ON,MN.下

列五個結論：①4CNB之aDMC；②△CON之△DOM；③△OMNS/\OAD；④

AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2,則SMMN的最小值是之，其中正確結論的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：,正方形ABCD中，CD=BC,ZBCD=90°,

.,.ZBCN+ZDCN=90°,

又?.,CN_LDM,

/.ZCDM+ZDCN=90o,

/.ZBCN=ZCDM,

又?；NCBN=NDCM=90°,

/.△CNB^ADMC(ASA),故①正確；

根據(jù)△CNBgADMC,可得CM=BN,

又,.?NOC，M=NOBN=45。，OC=OB,

/.△OCM^AOBN(SAS),

，OM=ON,ZCOM=ZBON,

ZDOC+ZCOM=ZCOB+ZBPN,即NDOM=NCON,

又；DO=C。，

.'.△CON四△DOM(SAS),故②正確；

,/ZBON+ZBOM=ZCOM+ZBOM=90°,

.,.ZMON=90°,即△MON是等腰直角三角形，

又???△AOD是等腰直角三角形，

/.△OMN^AOAD,故③正確；

VAB=BC,CM=BN,

，BM=AN,

又,.?日△BMN中，BM2+BN2=MN2,

/.AN2+CM2=MN2,故④正確；

VAOCM^AOBN,

/.四邊形BMON的面積=aBOC的面積=1,即四邊形BMON的面積是定值1,

.?.當△MNB的面積最大時，△MN。的面積最小，

設BN=x=CM,則BM=2-x,

/.△MNB的面積=2x(2-x)=-&x2+x,

.,.當x=l時，aiVINB的面積有最大值春，

此時SKMN的最小值是故⑤正確；

綜上所述，正確結論的個數(shù)是5個，

故選：D.

DC

8.如圖，^ABC中，D、E是BC邊上的點，BD：DE：EC=3：2：1,M在AC邊

上，CM：MA=1：2,BM交AD,AE于H,G,貝ljBH：HG：GM等于（）

A.3：2：IB.5：3：IC.25：12：5D.51：24：10

【解答】解：連接EM,

CE：CD=CM：CA=1：3

，EM平行于AD

.'.△BHD^ABME,ACEM^ACDA

.*.HD：ME=BD：BE=3：5,ME：AD=CM：AC=1：3

.\AH=(3-4)ME,

5

AAH：ME=12：5

AHG：GM=AH：EM=12：5

設GM=5k,GH=12k,

VBH：HM=3：2=BH：17k

RI

2

RI

ABH：HG：GM-k：12k：5k=51：24：10

2

故選：D.

9.如圖，矩形紙片ABCD中，G、F分別為AD、BC的中點，將紙片折疊，使D

點落在GF上，得到AHAE,再過H點折疊紙片，使B點落在直線AB上，折痕為

PQ.連接AF、EF,已知HE=HF,下列結論：①AMEH為等邊三角形；②AE_LEF；

③△PHEsaHAE；④鐺?二可或其中正確的結論是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【解答】解：???矩形紙片ABCD中，G、F分別為AD、BC的中點,

AGFIAD,

由折疊可得，AH=AD=2AG,ZAHE=ZD=90°,

/.ZAHG=30°,ZEHM=90°-30°=60°,

AZHAG=60°=ZAED=ZMEH,

.?.△EHM中，ZEMH=60°=ZEHM=ZMEH,

...△MEH為等邊三角形，故①正確；

VZEHM=60",HE=HF,

.,.ZHEF=30°,

.,.ZFEM=60°+30°=90°,即AE_LEF,故②正確；

VZPEH=ZMHE=60°=ZHEA,NEPH=N"EHA=90°,

/.△PHE^AHAE,故③正確;

設AD=2=AH,則AG=1,

，RtZ\AGH中，GH=V3AG=V3,

AH9

RtAAEH4'.EH=^=p/3=HF-

5L

AGF=A/3=AB?

?AD_7^—_2A/3

,故④正確,

o

綜上所述，正確的結論是①②③④,

故選：D.

10.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,P是BC邊上不同于B,C的一動點，過點P

作PQ±AB,垂足為Q,連接AP.若AC=3,BC=4,則△AQP的面積的最大值是

)

A?普嚏

【解答】解：設BP=x(0<x<4),由勾股定理得AB=5,

VZPQB=ZC=90°,ZB=ZB,

.,.△PBQ^AABC,

?生=膽=四gn曳=膽=_1

，#ACBCAB?345

34

APQ=4X,QB=4X

55

SAAPQ=|PQXAQ=希x2+濟希仁與2瑪

?0?當x二年?時，△APQ的面積最大，最大值是票■.

o32

故選：C.

A

Q

11.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,對角線AC與BD相交于點0,如果S^ACD：

SAABC=1：2,“那么SAAOD：S^BOC是（）

【解答】解：,?,在梯形ABCD中,AD〃BC,而且SMCD：SMBC=1：2,

AAD：BC=1：2；

?.?AD〃BC,

/.△AOD~ABOC,

VAD：BC=1：2,

.'SAAOD：SABOC=1：4.

故選:B.

12.在4ABC與△ABC中，有下列條件：（1）—二口”匕，（）

ADDC2

Bg;巴；（3）NA=NA；（4）NC=NU,如果從中任取兩個條件組成一

DCAC

組，那么能判斷△ABCs^ABU的共有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

【解答】解：共有3組，其組合分別是（1）和（2）三邊對應成比例的兩個三角

形相似；

（2）和（4）兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；

（3）和（4）兩角對應相等的兩個三角形相似.

故選：C.

13.如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF〃AD,

與AC、DC分別交于點G,F,H為CG的中點，連接DE,EH,DH,FH.下列結

論中結論正確的有()

①EG=DF；

(2)ZAEH+ZADH=180°；

③△EHFgZXDHC；

【解答】解:①：四邊形ABCD為正方形，EF〃AD,

，EF=AD=CD,ZACD=45°,ZGFC=90°,

/.△CFG為等腰直角三角形，

.\GF=FC,

VEG=EF-GF,DF=CD-FC,

，EG=DF,

故①正確；

②???△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

，F(xiàn)H=CH,ZGFH=-^ZGFC=45°=ZHCD,

2

在△EHF和△DHC中，

'EF=CD

<NEFH=NDCH,

,FH=CH

.,.△EHF^ADHC(SAS),

/.ZHEF=ZHDC,

二NAEH+NADH=NAEF+NHEF+NADF-ZHDC=ZAEF+ZADF=180°,

故②正確；

③由②知：AEHF四△DHC,

故③正確；

④..?里2

AB3

；.AE=2BE,

???△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

，F(xiàn)H=GH,ZFHG=90°,

VZEGH=ZFHG+ZHFG=90°+ZHFG=ZHFD,

在Z^EGH和△DFH中，

'EG=DF

?ZEGH=ZHFD,

GH=FH

.'.△EGH^ADFH(SAS),

/.ZEHG=ZDHF,EH=DH,ZDHE=ZEHG+ZDHG=ZDHF+ZDHG=ZFHG=90°,

.?.△EHD為等腰直角三角形，

過H點作HM垂直于CD于M點，如圖所示：

設HM=x,則CF=2x,

，DF=2FC=4x,

DM=5x,DH=^/26X>CD=6X,

222

則SACFH=*XHMXCF=±?X?2X=X2,SAEDH=yXDH=-^X(V26x)=13x,

二則SAEDH=13S^CFH，故④正確；

其中結論正確的有：①②③④，4個;

故選：D.

14.如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF〃AD,

與AC、DC分別交于點G,F,H為CG的中點，連結DE、EH、DH、FH.下列結

論：①EG=DF；②AEHF/△DHC；③NAEH+NADH=180°；④若絆=苒，則

AB3

其中結論正確的有（）

'△EDH13

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：①???四邊形ABCD為正方形，EF〃AD,

，EF=AD=CD,ZACD=45°,ZGFC=90°,

.,.△CFG為等腰直角三角形，

.*.GF=FC,

VEG=EF-GF,DF=CD-FC,

，EG=DF,故①正確;

②???△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

；.FH=CH,ZGFH=—ZGFC=45°=ZHCD,

2

在Z\EHF和△DHC中，

'EF=CD

<NEFH=NDCH，

FH=CH

.,.△EHF^ADHC(SAS),故②正確；

③'.’△EHF絲4DHC(己證)，

/.ZHEF=ZHDC,

AZAEH+ZADH=ZAEF+ZHEF+ZADF-ZHDC=ZAEF+ZADF=180°,故③正確;

④..返2,

AB3

，AE=2BE,

???△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

；.FH=GH,ZFHG=90°,

VZEGH=ZFHG+ZHFG=90°+ZHFG=ZHFD,

在Z\EGH和△DFH中,

'EG=DF

<NEGH=NHFD,

GH=FH

.?.△EGH四△DFH（SAS）,

，NEHG=NDHF,EH=DH,ZDHE=ZEHG+ZDHG=ZDHF+ZDHG=ZFHG=90°,

??.△EHD為等腰直角三角形，

如圖，過H點作HM_LCD于M,

設HM=x,則DM=5x,DH=V26x,CD=6x,

222

則SADHc=yXHMXCD=3x,SAEDH=^-XDH=13x,

/.3SAEDH=13SADHC,故④正確；

故選：D.

二.填空題（共5小題）

15.大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割"，如圖，

P為AB的黃金分割點（AP>PB）,如果AB的長度為10cm,那么PB的長度為（金

【解答】解：:P為AB的黃金分割點（AP>PB）,

AP=^|^AB=^|^X10=575-5,

PB=AB-PA=10-（5旄-5）=（15-5泥）cm.

故答案為（15-5&）.

16.如圖，在正方形ABCD中，^BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交

AD于點E、F,連結BD、DP,BD與CF相交于點H,給出下列結論：①4DFP?

△BPH；②黑=黑=在；③PD2=PH?CD；Sabpd._.其中正確的是①

PHCD3S正方形ABCD3--

②③（寫出所有正確結論的序號）.

【解答】解：VPC=CD,ZPCD=30°,

,.ZPDC=75°,

,.ZFDP=15°,

；NDBA=45°,

\ZPBD=15°,

\ZFDP=ZPBD,

.,ZDFP=ZBPC=60°,

,.△DFP^ABPH,故①正確;

.,ZDCF=90°-60°=30°,

,.tan/DCF=M=返，

CD3

.,△DFP^ABPH,

?FP_DF_V3

，PH_BP__3"，

,-BP=CP=CD,

.?器=黑=除，故②正確；

rnLUJ

.?PC=DC,ZDCP=30°,

\ZCDP=75°,

又?:ZDHP=ZDCH+ZCDH=75°,

.*.ZDHP=ZCDP,而NDPH=NCPD,

/.△DPH^ACPD,

...里J,即PD2=PH?CP,

PDPC

又「。心，

.*.PD2=PH?CD,故③正確；

如圖，過P作PM_LCD,PN1BC,

設正方形ABCD的邊長是4,Z\BPC為正三角形，則正方形ABCD的面積為16,

，NPBC=NPCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,

Z.ZPCD=30°

.,.PN=PB?sin60°=4X^^=2?,PM=PC?sin30°=2,

+

SABPD=S四邊形PBCD-SABCD=SAPBCSAPDC-SABCD

WX4X2?+*X2X4-yX4X4

=4①+4-8

=4?-4,

.?S^BPD一退工故④錯誤;

S正方形ABCD4

故答案為：①②③.

17.如圖，在4ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，DF過EC的中點G

并與BC的延長線交于點F,BE與DF交于點0.若4ADE的面積為4,則四邊形

B0GC的面積=7.

【解答】解：???點D、E分別是邊AB、AC的中點,

，DE〃BC,DE=—BC,

2

.'.△ADE^AABC,

SAADE_(DE,2=1,

^AABCBC4

VAADE的面積為4,

=

?"SAABC16,

?.?DE〃BC,

/.△ODE^AOFB,ZEDG=ZF,ZDEG=ZGCF,

???DE_—0E,?

BFOB

又EG=CG,

.,.△DEG^AFCG(AAS),

；.DE=CF,

；.BF=3DE,

VDE/7BC,

.'.△ODE^AOFB,

.OEDE1

??-—-—?

OBBF3

VAD=BD,

SABDE=SAADE=4,

VAE=CE=2EG,

=,

???SADEG77SAADE=~X4=2,

..OE_1

?oB=y,

=,

???SAODE=--SABDE"X4=1,

SAOEG=SADEG-SAODE==X4=],

4

?S四邊;gDBCE=S^ABC-SAADE=3X4=12,

??S四邊;gOBCG=S四邊形DBCE-SABDE-SAOEG=7.

故答案為：7.

18.如圖，在菱形ABCD中，ZB=60°,BC=6,E為BC中點，F(xiàn)是AB上一點，G

為AD上一點，且BF=2,ZFEG=60°,EG交AC于點H,下列結論正確的是①

②③.（填序號即可）

①△BEFs/\CHE

②AG=1

③EH=2區(qū)

2

@SABEF=3SAAGH

【解答】解：,菱形ABCD中，ZB=60°,ZFEG=60",

/.ZB=ZECH=60°,ZBEF=CHE=120°-ZCEH,

.,.△BEF^ACHE,故①正確；

?.?BF—BE,

CECH

又?.?BC=6,E為BC中點，BF=2,

???|?春，即CH=4.5,

又?.?AC=BC=6,

.\AH=1.5,

?.?AG〃CE,

/.△AGH^ACEH,

.AG_AH_1

"CE^CH^

.?.AG=^€E=1,故②正確；

如圖，過F作FPLBC于P,則NBFP=30°,

.*.BP=-1BF=1,PE=3-1=2,PF=?,

.?.RtAEFP中，EF=?鬲嬴之夜，

?..EFBF.2

■適，虧

,EH爭號I,故③正確；

VAG=^CE,BF=—CE,AABEF^ACHE,AAGH^ACEH,

33

.9

SACEH=9SAAGH>SACEH=_SABEF>

.9

/.9SAAGH=—SABEF?

SABEF=4SAAGH>故④錯誤;

故答案為：①②③.

19.已知菱形AiBiCiDi的邊長為2,ZAiBiCi=60°,對角線AiJ、B】Di相交于點

0,以點。為坐標原點，分別以OB】，OAi所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的

直角坐標系，以BiDi為對角線作菱形B1C2D1A2s菱形AiBiJDi，再以A2c2為對

角線作菱形A2B2c2D2s菱形BIC2DIA2,再以B2D2為對角線作菱形B2c3D2A3s菱形

A2B2C2D2，...?按此規(guī)律繼續(xù)作下去，在y軸的正半軸上得到點A］，A2，A3,…，

An,則點A2OI8的坐標為（0,32017）

【解答】解：???菱形AiBiCiDi的邊長為2,ZAiBiCi=60°,

/.OAi=AiBi?sin30°=2X—=1,OBi=AiBi*cos30°=2X

22

，Ai(0,1).

???1C2D1A2s菱形AiBiJDi，

OB1

tan300

3

：.K2(0,3).

同理可得A3(0,9)...

AA2018(0,32°i7).

故答案為：(0,32。17).

三.解答題(共7小題)

20.如圖，在AABC中，點D在邊BC上，聯(lián)結AD,ZADB=ZCDE,DE交邊AC

于點E,DE交BA延長線于點F,且AD2=DE?DF.

(1)求證：△BFDsaCAD；

(2)求證：BF?DE=AB?AD.

【解答】證明：(1)VAD2=DE?DF,

.ADDF

，，DE=AD，

*.?NADF=NEDA,

/.△ADF^AEDA,

/.ZF=ZDAE,

又ZADB=ZCDE,

，ZADB+ZADF=ZCDE+ZADF,

即NBDF=NCDA,

/.△BFD^ACAD；

(2)VABFD^ACAD,

.BFDF

'*AC=AD，

..ADDF

*而下’

.BFAD

AC^DEJ

VABFD^ACAD,

，NB=NC,

，AB=AC,

?.?~B-FAD,

ABDE

，BF?DE=AB?AD.

21.已知四邊形ABCD中，AB=AD,對角線AC平分NDAB,過點C作CE_LAB于

點E,點F為AB上一點，且EF=EB,連結DF.

(1)求證：CD=CF；

(2)連結DF,交AC于點G,求證：△DGCs^ADC；

(3)若點H為線段DG上一點，連結AH,若NADC=2NHAG,AD=3,DC=2,求

黑的值.

【解答】(1)證明：???AC平分NDAB,

，NDAC=NBAC,

在4ADC和4ABC中

'AC=AC

-ZDAC=ZBAC

AD=AB

AAADC^AABC,

，CD=CB,

VCE1AB,EF=EB,

?\CF=CB,

/.CD=CF；

(2)解：:△ADCdABC,

ZADC=ZB,

VCF=CB,

/.ZCFB=ZB,

，ZADC=ZCFB,

ZADC+ZAFC=180°,

,四邊形AFCD的內角和等于360。，

/.ZDCF+ZDAF=180o,

VCD=CF,

，NCDG=NCFD,

VZDCF+ZCDF+ZCFD=180°,

/.ZDAF=ZCDF+ZCFD=2ZCDG,

VZDAB=2ZDAC,

AZCDG=ZDAC,

VZDCG=ZACD,

/.△DGC^AADC；

(3)解：VADGC^AADC,

.*.ZDGC=ZADC,手筆，

CDAD

VZADC=2ZHAG,AD=3,DC=2,

.,.ZHAG=-^ZDGC,孚=半

223

/.ZHAG=ZAHG,段

DG3

.\HG=AG,

VZGDC=ZDAC=ZFAG,ZDGC=ZAGF,?

.,.△DGC0°AAGF,

.GFCG2

??-—-—?

AGDG3

.FG_2

22.如圖①，OP為一墻面，它與地面0Q垂直，有一根木棒AB如圖放置，點C

是它的中點，現(xiàn)在將木棒的A點在0P上由A點向下滑動，點B由。點向0Q方

向滑動，直到AB橫放在地面為止.

（1）在AB滑動過程中，點C經過的路徑可以用下列哪個圖象來描述（）

（2）若木棒長度為2m,如圖②射線0M與地面夾角NMOQ=60。，當AB滑動過

程中，與0M并于點D,分別求出當AD=g、AD=1、AD=