人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1-2-2空間中的平面與空間向量練習(xí)含答案

1.2.2空間中的平面與空間向量基礎(chǔ)過關(guān)練題組一平面的法向量1.(多選題)(2024浙江杭州六縣九校聯(lián)盟期中)已知平面ABC內(nèi)的兩個向量AB=(?A.(3,1,?1)B.(?C.(-3,3,2.(2024廣東茂名電白期中)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E為棱DD1的中點,以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),則平面ABE的一個法向量為()A.(1,0,-2)B.(0,1,2)C.(0,2,-4)D.(-2,1,4)3.已知四棱錐S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12題組二用法向量解決平行問題4.(2024遼寧重點高中協(xié)作體期中)已知兩個不重合的平面α與平面ABC,若平面α的一個法向量為n=(2,-3,1),向量AB=(1,0,?2),(1,1,1),則()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α與平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能5.(2023北京通州期中)已知n1=(1,y,-2),n2=(x,-2,1)分別是平面α,β的法向量,若α∥β,則x+y=()A.-92C.3D.76.(2023遼寧葫蘆島期末)已知n為平面α的一個法向量,l為一條直線,則“l(fā)⊥n”是“l(fā)∥α”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點N在線段AC上,點M在線段A1D上,且A1M=2,MN∥平面AA1B1B,則MN的長為()A.2B.C.2D.5題組三用法向量解決垂直問題8.(2024北京順義第二中學(xué)期中)若直線l的方向向量為u,平面α的法向量為n,則下列能使l⊥α成立的是()A.u=(2,1,1),n=(-1,1,1)B.u=(1,-2,0),n=(-2,4,0)C.u=(1,2,4),n=(1,0,1)D.u=(1,-1,2),n=(0,3,1)9.(2023河北保定部分學(xué)校月考)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則下列結(jié)論正確的是()A.BD1⊥平面B1EFB.BD⊥平面B1EFC.A1C1∥平面B1EFD.A1D∥平面B1EF10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱DD1的中點,求證:(1)BD1⊥平面AB1C;(2)平面EAC⊥平面AB1C.題組四三垂線定理的應(yīng)用11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1C1的中點,則直線CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A12.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD.若在BC上有且僅有一個點Q滿足PQ⊥QD,則a=.

13.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,若O,Q分別是△ABC,△PBC的垂心,求證:OQ⊥平面PBC.能力提升練題組一利用空間向量研究平行、垂直問題1.(多選題)(2024福建福州閩江口協(xié)作體期中)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D為BB1的中點,22AA1=AB=BC,AA1A.平面ABC1⊥平面ACC1A1B.平面A1BC⊥平面ABC1C.A1D∥平面ABC1D.A1D⊥AC12.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是線段AD的中點,動點P在底面正方形ABCD內(nèi)(不包括邊界),若直線B1P∥平面A1BM,則|C1P|的取值范圍是3.(2024山西大同期中)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2AC=4,AA1=23,AB⊥AC,AD⊥BC1,垂足為D,E為線段A1B上一點.(1)若E為線段A1B的中點,證明:DE∥平面ABC;(2)若平面ADE⊥平面A1BC1,求A1題組二利用空間向量解決立體幾何中的探索性問題4.如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,E,F,G分別是BC,PC,CD的中點.(1)求證:BG⊥平面PAE;(2)在線段BG上是否存在點H,使得FH∥平面PAE?若存在,求出BHBG5.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC=AA1=1,AC⊥BC,且D,E,F分別為棱AB,BC,AC的中點.(1)證明直線A1F與B1E共面,并求其所成角的余弦值;(2)在棱CC1上是否存在點M,使得DM⊥平面A1B1EF?若存在,求出CMC

答案與分層梯度式解析1.2.2空間中的平面與空間向量基礎(chǔ)過關(guān)練1.BC2.C4.A5.D6.B7.A8.B9.C11.B1.BC設(shè)平面ABC的一個法向量為n=(x,y,z),則AB·n=-3x+y-4z=0,CB·n=22.C易得A(0,0,0),E(0,2,1),B(2,0,0),所以AE=(0,2,1),設(shè)平面ABE的一個法向量為m=(x,y,z),則m·AE=2y+z=0所以平面ABE的一個法向量為m=(0,1,-2),所以2m=(0,2,-4)也是平面ABE的一個法向量.故選C.3.解析由已知得SA,AB,AD兩兩垂直,∴以A為坐標(biāo)原點,AD,AB,AS所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵SA=AB=BC=1,AD=12∴S(0,0,1),A(0,0,0),C(1,1,0),D12∴SD=易知平面SAB的一個法向量為AD=設(shè)平面SDC的一個法向量為m=(x,y,z),則m·∴平面SDC的一個法向量為m=(2,-1,1).解后反思求解平面的法向量時,如果題目中已經(jīng)給出坐標(biāo),可以直接利用坐標(biāo)運算來求解法向量,如果題目中未給出坐標(biāo),需先分析條件,利用共點的相互垂直的三條直線建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,再利用坐標(biāo)運算求解法向量.4.A因為n·AB=0,n·AC=0,AB∩AC=A,所以n也是平面ABC的一個法向量,又平面α與平面ABC不重合,所以平面α與平面ABC平行.故選A.5.D∵α∥β,∴n1∥n2,∴1x=y-26.B若l⊥n,則l在平面α內(nèi)或l∥α.若l∥α,則l⊥n.故“l(fā)⊥n”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件.故選B.7.A以D為坐標(biāo)原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,所以D(0,0,0),A(2,0,0),則平面AA1B1B的一個法向量為DA=(2,0,0).因為A1M=2,A1D=2因為點N在線段AC上,所以設(shè)N(m,2-m,0)(0≤m≤2),則MN=(m-1,2-m,-1).因為MN∥平面AA1B1B,所以DA⊥則2(m-1)=0,所以m=1,所以MN=(0,1,-1),所以MN=|MN|=8.B若l⊥α,則u∥n.故選B.9.C以D為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖所示.設(shè)正方體的棱長為2,則B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0),所以EF?2,2),DB設(shè)平面B1EF的一個法向量為m=(x,y,z),則m·所以m=(2,2,-1).因為BD1與m不平行,所以BD1與平面B因為DB與m不平行,所以BD與平面B1EF不垂直,故B錯誤;因為A1C1·m=0,且A1C1?平面B1EF,所以A1C1∥平面B1因為DA1·m=2≠0,所以A1D與平面B10.證明以D為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則E(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),B(2,2,0),D1(0,0,2).(1)易得AC=(?2,2,0),設(shè)平面AB1C的一個法向量為m=(x,y,z),則m·∴m=(1,1,-1)是平面AB1C的一個法向量.∵BD1=-2m,∴BD1∥m,∴BD(2)易得AE=(-2,0,1).設(shè)平面EAC的一個法向量為n=(x',y',z'),則n·∴n=(1,1,2)是平面EAC的一個法向量.由(1)知m=(1,1,-1)是平面AB1C的一個法向量.∵m·n=1+1-2=0,∴平面EAC⊥平面AB1C.11.B直線CE在平面ABCD內(nèi)的射影為AC,又AC⊥BD,∴BD⊥CE,故選B.12.答案2解析連接AQ,∵PA⊥平面ABCD,∴AQ是PQ在平面ABCD內(nèi)的射影.由PQ⊥QD,得AQ⊥QD,則△AQD為直角三角形.設(shè)BQ=x,則CQ=a-x,∴AQ2=1+x2,QD2=1+(a-x)2,則a2=1+x2+1+(a-x)2,整理得x2-ax+1=0.由題意知,該方程有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ=a2-4=0.又∵a>0,∴a=2.13.證明如圖,連接AO并延長,交BC于點E,連接PE.∵PA⊥平面ABC,AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心),∴PE⊥BC(三垂線定理),∴點Q在PE上.∵AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,∴BC⊥平面PAE,∵OQ?平面PAE,∴BC⊥OQ.①連接BO并延長,交AC于點F,則BF⊥AC.連接BQ并延長,交PC于點M,則BM⊥PC.連接MF.∵PA⊥平面ABC,BF⊥AC,∴BF⊥PC(三垂線定理).∵BM⊥PC,BF⊥PC,BM∩BF=B,∴PC⊥平面BMF,∵OQ?平面BMF,∴PC⊥OQ.②由①②知,OQ⊥平面PBC.能力提升練1.ABC易得BB1,BA,BC兩兩垂直,故以點B為坐標(biāo)原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AA1=22,所以AB=BC=2,則A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),A1(2,0,2設(shè)平面ABC1的一個法向量為u=(x1,y1,z1),則u·BA=2x1=0,u·設(shè)平面ACC1A1的一個法向量為m=(x2,y2,z2),則m·AA1=2設(shè)平面A1BC的一個法向量為n=(x3,y3,z3),則n·BC=2y3=0,n·對于A,因為u·m=2≠0,所以平面ABC1與平面ACC1A1不垂直,A中結(jié)論錯誤;對于B,因為u·n=1≠0,所以平面A1BC與平面ABC1不垂直,B中結(jié)論錯誤;對于C,因為A1D·u=2≠0,所以A1D與平面ABC1不平行,對于D,因為AC1·A1D=4-4=0,所以AC2.答案30解析以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則M12設(shè)P(x,y,0)(0<x<1,0<y<1),則B1設(shè)平面A1BM的一個法向量為n=(x1,y1,z1),則n令x1=2,則y1=z1=-1,∴n=(2,-1,-1).若B1P∥平面A1BM,則n⊥B1P,即n·∴C1∴|C∵0∴305≤|3.解析(1)證明:連接AC1,易得AC1=AC2+CC12=4,∴AC又E為A1B的中點,∴DE∥A1C1.∵AC∥A1C1,∴DE∥AC,又DE?平面ABC,AC?平面ABC,∴DE∥平面ABC.(2)以A為坐標(biāo)原點,AC,則A(0,0,0),C1(2,0,23),A1(0,0,2設(shè)A1E=λA1設(shè)平面A1BC1的一個法向量為n=(x1,y1,z1),則A1C1·n=2x設(shè)平面ADE的一個法向量為m=(x2,y2,z2),則AE取z2=-2λ,得m=(43λ?2∵平面ADE⊥平面A1BC1,∴n·m=3-3λ-4λ=0,解得λ=37∴當(dāng)平面ADE⊥平面A1BC1時,A14.解析因為四棱錐P-ABCD的底面是正方形,且PA⊥平面ABCD,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(2,1,0),F(1,1,1),G(1,2,0).(1)證明:BG=(?1,2,0),因為BG·又AE∩AP=A,AE,AP?平面PAE,所以BG⊥平面PAE.(2)假設(shè)在線段BG上存在點H,使得FH∥平面PAE.連接FB.設(shè)BH=λBG(0≤λ≤1),則因為FH∥平面PAE,BG⊥平面PAE,所以BG·FH=-1×(1-λ)+2×(2λ-1)+0×(-1)=5λ-3=0,所以λ=355.解析(1)∵E,F分別是棱BC,AC的中點,∴EF∥AB.由棱柱的性質(zhì)易得A1B1∥AB,∴EF∥A1B1,∴E,F,A1,B1四點共面,即直線A1F與B1E共面.取A1B1的中點H,連接E