人教版八年級數(shù)學上冊專題10三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型(原卷版+解析)

專題10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型（基礎型）條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D例1．（2023·重慶·八年級假期作業(yè)）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D例2．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為．例3．（2023·山東德州·八年級?？茧A段練習）如圖1，已知線段相交于點O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點P，且與分別相交于點．①若，求的度數(shù)；②若角平分線中角的關系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關系．例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段，交于點，連接，，判斷與的大小關系，并說明理由；(2)如圖2，平分，為上任意一點，在，上截取，連接，．求證：；(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點的一動點，求證：．例5．（2023·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形．例如，在圖1中，的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對頂角，則與為對頂三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：．（1）【性質(zhì)理解】如圖2，在“對頂三角形”與中，，，求證：；（2）【性質(zhì)應用】如圖3，在中，點D、E分別是邊、上的點，，若比大20°，求的度數(shù)；（3）【拓展提高】如圖4，已知，是的角平分線，且和的平分線和相交于點P，設，求的度數(shù)（用表示）．模型2、“A”字模型結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2022秋·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）按如圖中所給的條件，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例2．（2023·綿陽市·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（

）．A． B． C． D．例3．（2023秋·廣西·八年級專題練習）如圖所示，的兩邊上各有一點，連接，求證．例4．（2023·廣東八年級課時練習）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點，直角頂點D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．例5．（2023秋·河南信陽·八年級校聯(lián)考期末）（1）如圖1，為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則__________；

（2）如圖2，在中，，剪去后成為四邊形，則__________；（3）如圖2，根據(jù)（1）和（2）的求解過程，請歸納與的關系是______________；（4）若沒有剪去，而是將折成如圖3的形狀，試探究與的關系，并說明理由．例6．（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期中）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF=∠A+∠B+∠C；應用上面模型解決問題：(1)如圖（2），“五角星”形，求？分析：圖中是“A”型圖，于是，所以=

；(2)如圖（3），“七角星”形，求；(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得=；模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ汀D①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①；②與互為補角；③若，則；④．其中一定正確的序號是（

）

A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④例2．（2023春·安徽·九年級專題練習）將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中，，，若相交于點E，則的大小為（

）A． B． C． D．例3.（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┤鐖D，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點C在的延長線上，點C、F分別為直角頂點，且，，若，則的度數(shù)是（）

A．15° B．20° C．25° D．30°例4．（2023春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，一副直角三角板和如圖擺放，，，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分，正確的有．（填序號）

例5．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）實踐與探究材料：一副直角三角尺，記作：和，其中，，．

(1)操作一：如圖①，將三角尺按如圖方擺放，其中點C、D、A、F在同一條直線上，另兩條直角邊所在的直線分別為、，與相交于點O，則的大小為度．(2)操作二：保持、不變，將圖①中的三角尺經(jīng)過適當平移旋轉(zhuǎn)，得到的位置如圖②所示，點B在上，點F在上，點A與點E重合，點C與點D重合，且平分，求的度數(shù)．(3)操作三：如圖③，將圖①位置的三角尺繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度為每秒，設運動時間為t秒，當邊與互相平行時，直接寫出t的值．課后專項訓練1．（2023春·新疆伊犁·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某位同學將一副三角板隨意擺放在宗上，則圖中的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，其中，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B． C． D．3．（2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州中學校考期中）如圖是兩塊直角三角板和，其中，，，且點D在邊AB上，點F在邊CB的延長線上，那么不可能等于（

）．

A． B． C． D．4．（2023春·廣東佛山·七年級?？计谥校┤鐖D，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于（

）

A． B． C． D．5．（2022春·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點為C，且保持不變．為了舒適，需調(diào)整大小，使，則應調(diào)整為（

）A．30° B．25° C．20° D．10°6．（2023·廣東江門·八年級?？计谥校┤缦聢D，的度數(shù)為（

）A．540° B．500° C．460° D．420°7．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，已知四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則等于（）A． B． C． D．8．（2023·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，則∠ABD+∠ACD的值為(

)A．60° B．50° C．40° D．30°9．（2022·安徽·八年級校考期中）如圖，若，則．

10．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖所示，已知，平分，平分，求證：11．（2022秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，．12．（2022秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，D、E分別是上的點，點F在的延長線上，，，求的度數(shù)．13．（2022春·七年級單元測試）探究：中華人民共和國國旗上的五角星的每個角均相等，小明為了計算每個角的度數(shù)，畫出了如圖①的五角星，每個角均相等，并寫出了如下不完整的計算過程，請你將過程補充完整．

(1)解：∵，．∴．∵________，∴________，∴________．(2)拓展：如圖②，小明改變了這個五角星的五個角的度數(shù)，使它們均不相等，請你幫助小明求，，，，的和．(3)應用：如圖③．小明將圖②中的點落在上，點落在上，若，則________．14．（2021秋·廣東東莞·八年級校考階段練習）（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于___________A．90°

B．135°

C．270°

D．315°（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1＋∠2＝_______（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1＋∠2與∠A的關系是________________（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1＋∠2與∠A的關系并說明理由．15．（2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將三角板與三角板擺放在一起；如圖，其中，，．固定三角板，將三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角．

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當為度時，；當為度時，．(2)當時，連接，利用圖探究值的大小變化情況，并說明理由．16．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）學習完平行線的知識后，甲，乙，丙三位同學利用兩個三角形進行探究活動，分別得到以下圖形．已知中，．請根據(jù)他們的敘述條件完成題目．

(1)若為等腰直角三角形，且；①甲同學：如圖1，和的直角邊在同一直線上，點E和點C互相重合，斜邊與相交于點P，那么度；②乙同學：如圖2，和直角頂點C，D互相重合于點P，斜邊與斜邊互相平行，求的度數(shù)，并寫出解答過程；(2)若為等腰三角形，已知．丙同學：如圖3，若直角頂點D恰好與底邊的中點重合，的斜邊經(jīng)過的頂點C，若，設，請用含x的式子表示的度數(shù)，并寫出解答過程．17．（2023春·安徽宿州·八年級校聯(lián)考期中）小明善于用數(shù)學的眼光觀察生活，從中找到數(shù)學研究的樂趣．他用一副三角板拼成了如下兩幅圖．

(1)圖1中，的度數(shù)是______．(2)①求圖1中的度數(shù)；②圖2中，，求的度數(shù)．18．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，有一塊直角三角板足夠大，其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊、恰好分別經(jīng)過、．(1)若，則______，______，______(2)若，則______．（寫出求解過程）(3)請你猜想一下與所滿足的數(shù)量關系，并說明理由．19．（2023春·七年級課時練習）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．20．（2022春·江蘇泰州·七年級校考階段練習）(1)【問題背景】如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明；(2)【簡單應用】如圖2，、分別平分、，若，，求的度數(shù)；(3)【問題探究】如圖3，直線平分的外角，平分的外角，若，，請猜想的度數(shù)，并說明理由；(4)【拓展延伸】在圖4中，若設，，，，試問與、之間的數(shù)量關系為：___．（用、表示，不必說明理由）

專題10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型（基礎型）條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D例1．（2023·重慶·八年級假期作業(yè)）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對頂角相等逐一判斷即可．【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項A，B，C正確，故選D．【點睛】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運用兩條性質(zhì)是解題的關鍵．例2．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為．【答案】1080°【分析】連KF，GI，根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理得到7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形內(nèi)角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)．【詳解】解：連KF，GI，如圖，∵7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)為1080°．故答案為：1080°．【點睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．例3．（2023·山東德州·八年級校考階段練習）如圖1，已知線段相交于點O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點P，且與分別相交于點．①若，求的度數(shù)；②若角平分線中角的關系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關系．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等即可證明；（2）①根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)“8字形”得到，兩等式相減得到，即，即可求解．②根據(jù)，可得，，再由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：在中，，在中，，∵，∴；（2）解：①∵和的平分線和相交于點P，∴，∵①，②，由，得：，即，∵，∴；②∵，∴，，∵，，∴，，∴，∴），故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、有關角平分線的計算，解題的關鍵是靈活運用“8字形”求解．例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段，交于點，連接，，判斷與的大小關系，并說明理由；(2)如圖2，平分，為上任意一點，在，上截取，連接，．求證：；(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點的一動點，求證：．【答案】(1)；理由見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊知，，，兩式相加即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)證即可得出結(jié)論；（3）在上取一點，使，連接交于點，證，即，同理證，然后同理（1）得，變形不等式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，即；（2）證明：平分，，在和中，，，；（3）證明：在上取一點，使，連接交于點，是的角平分線，，在和中，，，，同理可證，，，，即，，．【點睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握三角形的三邊關系和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關鍵．例5．（2023·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形．例如，在圖1中，的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對頂角，則與為對頂三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：．（1）【性質(zhì)理解】如圖2，在“對頂三角形”與中，，，求證：；（2）【性質(zhì)應用】如圖3，在中，點D、E分別是邊、上的點，，若比大20°，求的度數(shù)；（3）【拓展提高】如圖4，已知，是的角平分線，且和的平分線和相交于點P，設，求的度數(shù)（用表示）．【答案】（1）見詳解；（2）100°；（3）∠P=45°-【分析】（1）由“對頂三角形”的性質(zhì)得，從而得，進而即可得到結(jié)論；（2）設=x，=y，則=x+20°，=y-20°，可得∠ABC+∠DCB=y-20°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，列出方程，即可求解；（3）設∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°-，結(jié)合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵在“對頂三角形”與中，∴，∵，∴，∵，∴，又∵∴；（2）∵比大20°，+=+，∴設=x，=y，則=x+20°，=y-20°，∵，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-=x+y，∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-=x+y-x-20°=y-20°，∵∠ABC+∠DCB+=180°，∴y-20°+y=180°，解得：y=100°，∴=100°；（3）∵，是的角平分線，∴設∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，∴2x+2y+=180°，即：x+y=90°-，∵和的平分線和相交于點P，∴∠CEP=(180°-2y-x)，∠CDP=(180°-2x-y)，∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，∴∠P=(180°-2y-x)+y-(180°-2x-y)=x+y=45°-，即：∠P=45°-．【點睛】本題主要考查角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握“對頂三角形”的性質(zhì)，是解題的關鍵．模型2、“A”字模型結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2022秋·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）按如圖中所給的條件，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)鄰補角求得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，∵，∴，故選：A．【點睛】本題考查了求鄰補角，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關鍵．例2．（2023·綿陽市·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)平角的概念計算即可．【詳解】解：，，，故選：D．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應用，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關鍵．例3．（2023秋·廣西·八年級專題練習）如圖所示，的兩邊上各有一點，連接，求證．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和證明即可．【詳解】解：和是的外角，．又，．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關鍵．例4．（2023·廣東八年級課時練習）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點，直角頂點D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說明∠DBC+∠DCB=90°，進而完成解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴40°-90°=50°故選C．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關鍵．例5．（2023秋·河南信陽·八年級校聯(lián)考期末）（1）如圖1，為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則__________；

（2）如圖2，在中，，剪去后成為四邊形，則__________；（3）如圖2，根據(jù)（1）和（2）的求解過程，請歸納與的關系是______________；（4）若沒有剪去，而是將折成如圖3的形狀，試探究與的關系，并說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，三角形的外角和定理，則，，，即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，三角形的外角和定理，則，，，即可；（3）根據(jù)（1）和（2）可知，，根據(jù)，即可；（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)，則，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平角的性質(zhì)，則，，，再根據(jù)等量代換，即可．【詳解】（1）為直角三角形，，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．

（2）∵，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．（3）由（1）和（2）得，，∵，∴，∴．（4），理由見下：由題意得，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查三角形的知識，解題的關鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和和三角形的外角和定理．例6．（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期中）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF=∠A+∠B+∠C；應用上面模型解決問題：(1)如圖（2），“五角星”形，求？分析：圖中是“A”型圖，于是，所以=

；(2)如圖（3），“七角星”形，求；(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得=；【答案】(1)180°(2)180°(3)360°【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把5個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把7個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案．（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把8個角轉(zhuǎn)化到一個四邊形中可得答案．【詳解】（1）解：如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得，，∵，∴，∵，∴，故答案為：180°；（2）如圖，由（1）得，∵，∴．（3）如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得，，，，故答案為：360°．【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化是解題關鍵．模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ?。圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①；②與互為補角；③若，則；④．其中一定正確的序號是（

）

A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】由題意知，，則，進而可判斷①的正誤；由，可得，則與互為補角，進而可判斷②的正誤；由，可得，則，，進而可判斷③的正誤；由題意知，，即，由，可得，則，進而可判斷④的正誤．【詳解】解：由題意知，，∴，①不一定正確，故不符合要求；∵，∴，∴與互為補角，②一定正確，故符合要求；∵，∴，∵，∴，③一定正確，故符合要求；由題意知，，即，∵，∴，∴，④一定正確，故符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了三角板中角度計算，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理．解題的關鍵在于明確角度之間的數(shù)量關系．例2．（2023春·安徽·九年級專題練習）將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中，，，若相交于點E，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出的度數(shù)，再結(jié)合對頂角相等，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：在中，，，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及對頂角，牢記“三角形內(nèi)角和是”及“對頂角相等”是解題的關鍵．例3.（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┤鐖D，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點C在的延長線上，點C、F分別為直角頂點，且，，若，則的度數(shù)是（）

A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【分析】由，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可求出，再利用三角形的外角性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴．∵是的外角，∴．故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”及“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關鍵．例4．（2023春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，一副直角三角板和如圖擺放，，，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分，正確的有．（填序號）

【答案】①②④【分析】如圖，由題意得：，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，進而可求出，即可判斷③④；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)和角的和差求出，即可判斷①；求出，進而可判斷②．【詳解】解：如圖，由題意得：，∵，∴，

∵，∴，∴，，故結(jié)論③錯誤；∵，∴，∴平分，故結(jié)論④正確；∵，∴，∴，故結(jié)論①正確；∵，∴，∴，故結(jié)論②正確；故答案為：①②④．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形的相關知識和平行線的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．例5．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）實踐與探究材料：一副直角三角尺，記作：和，其中，，．

(1)操作一：如圖①，將三角尺按如圖方擺放，其中點C、D、A、F在同一條直線上，另兩條直角邊所在的直線分別為、，與相交于點O，則的大小為度．(2)操作二：保持、不變，將圖①中的三角尺經(jīng)過適當平移旋轉(zhuǎn)，得到的位置如圖②所示，點B在上，點F在上，點A與點E重合，點C與點D重合，且平分，求的度數(shù)．(3)操作三：如圖③，將圖①位置的三角尺繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度為每秒，設運動時間為t秒，當邊與互相平行時，直接寫出t的值．【答案】(1)105(2)(3)或【分析】操作一：可得出，從而，進而得出；操作二：延長，交于G，可得出，，由得出，進而得出；操作三：當?shù)谝淮螘r，由，得出，從而得出；當?shù)诙螘r，在第一次基礎上，又旋轉(zhuǎn)，進一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：，，，，，，故答案為：；（2）解：如圖1，延長，交于G，平分，，由題意得：，，，；（3）解：如圖2，

，，，當點A運動到時，，綜上所述：或．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及其推論，平行線的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．課后專項訓練1．（2023春·新疆伊犁·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某位同學將一副三角板隨意擺放在宗上，則圖中的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，利用對頂角相等得，，再利用三角形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：如圖，

由題意得：，，，，在中，，，即．故選：B．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，解題的關鍵是熟記三角形的內(nèi)角和為．2．（2023春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，其中，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩種三角板的各角的度數(shù)，利用平行線的判定結(jié)合已知條件對各個結(jié)論逐一驗證，即可得出答案．【詳解】解：A、，，故此選項不符合題意；B、，，，，，故此選項不符合題意；C、，，，不平行，故此選項符合題意；D、，，，，故此選項不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查平行線的判定，三角板中角度的計算，余角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．3．（2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州中學?？计谥校┤鐖D是兩塊直角三角板和，其中，，，且點D在邊AB上，點F在邊CB的延長線上，那么不可能等于（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得，利用三角形的外角性質(zhì)得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵是的外角，∴，∴，觀察四個選項，選項D符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，掌握“三角形的一個外角大于與它不相鄰的任一內(nèi)角”是解題的關鍵．4．（2023春·廣東佛山·七年級?？计谥校┤鐖D，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和為可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，進而可得的和．【詳解】解：四邊形的內(nèi)角和為，直角三角形中兩個銳角和為．故選：C．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，三角形內(nèi)角和定理，本題是一道根據(jù)四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解的綜合題，有利于鍛煉學生綜合運用所學知識的能力．5．（2022春·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點為C，且保持不變．為了舒適，需調(diào)整大小，使，則應調(diào)整為（

）A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】A【分析】延長交于H，利用“8”字形求出，利用外角的性質(zhì)得到，由此求出的度數(shù)，進而得到答案．【詳解】解：延長交于H，∵，∴，∴，∵，∴，故選A．【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形各角的關系是解題的關鍵．6．（2023·廣東江門·八年級?？计谥校┤缦聢D，的度數(shù)為（

）A．540° B．500° C．460° D．420°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)平角的定義和四邊形內(nèi)角和可得，同理可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∵，，∴∵∴，同理可得：，∴，故選：D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，熟知四邊形內(nèi)角和等于是解題的關鍵．7．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，已知四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用內(nèi)外角之間的關系可得．【詳解】解：∵三角形的內(nèi)角和等于，∴可得和的鄰補角之和等于，∴，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)外角之間的關系，三角形的內(nèi)角和等于,解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點．8．（2023·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，則∠ABD+∠ACD的值為(

)A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，進而可求出∠ABD＋∠ACD的度數(shù)．【詳解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°，在△DBC中，∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．故選：D．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°，此題難度不大．9．（2022·安徽·八年級?？计谥校┤鐖D，若，則．

【答案】/250度【分析】按圖先進行標注，根據(jù)外角性質(zhì)分別表示出，，，，再根據(jù)，進行求解即可得出最后結(jié)果．【詳解】解：如圖，進行標注，

是的一個外角，，是的一個外角，，即，是的一個外角，，，是的一個外角，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，圓周角及鄰補角的應用，熟練掌握外角性質(zhì)是解答本題的關鍵．10．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖所示，已知，平分，平分，求證：【答案】見解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖：∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．∵∠3是三角形的外角，∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，，即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，∴∠E＝（∠A＋∠C）．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形的外角，以及角平分線等知識點，熟知以上知識點是解題的關鍵．11．（2022秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，．【答案】/240度【分析】由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【詳解】連接，，∴又，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、對頂角相等以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關鍵．12．（2022秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，D、E分別是上的點，點F在的延長線上，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，最后代入計算即可．【詳解】解：∵，∴由三角形的外角性質(zhì)可得．∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識點，靈活運用三角形外角的性質(zhì)是解答本題的關鍵．13．（2022春·七年級單元測試）探究：中華人民共和國國旗上的五角星的每個角均相等，小明為了計算每個角的度數(shù)，畫出了如圖①的五角星，每個角均相等，并寫出了如下不完整的計算過程，請你將過程補充完整．

(1)解：∵，．∴．∵________，∴________，∴________．(2)拓展：如圖②，小明改變了這個五角星的五個角的度數(shù)，使它們均不相等，請你幫助小明求，，，，的和．(3)應用：如圖③．小明將圖②中的點落在上，點落在上，若，則________．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)閱讀材料、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合圖形解得即可；（2）根據(jù)閱讀材料、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合圖形解得即可；（3）根據(jù)閱讀材料、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、結(jié)合圖形解得即可；【詳解】（1），．．，，；（2），．．，；（3）．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和等于和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關鍵．14．（2021秋·廣東東莞·八年級?？茧A段練習）（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于___________A．90°

B．135°

C．270°

D．315°（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1＋∠2＝_______（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1＋∠2與∠A的關系是________________（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1＋∠2與∠A的關系并說明理由．【答案】（1）C；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A；（4）∠1+∠2=2∠A，證明見解析【分析】（1）先求出∠B+∠A的度數(shù)，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，即可得出答案；（2）先求出∠B+∠C的度數(shù)，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，即可得出答案；（3）先用∠A表示出∠B+∠C，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，即可得到結(jié)論；（4）由折疊的性質(zhì)得∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，結(jié)合平角的定義和三角形內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵△ABC為直角三角形，∠C=90°，∴∠B+∠A=180°-90°=90°，∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠A）=270°．故選：C；（2）∵△ABC中，∠A=40°，∴∠B+∠C=180°-40°=140°，∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=220°．故答案是：220°；（3）∵△ABC中，∠B+∠C=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．故答案是：∠1+∠2=180°+∠A；（4）∠1+∠2=2∠A，理由如下：如圖：∵△EFP是由△EFA折疊得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF），又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．【點睛】此題主要考查三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和等于360°以及折疊的性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關鍵．15．（2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將三角板與三角板擺放在一起；如圖，其中，，．固定三角板，將三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角．

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當為度時，；當為度時，．(2)當時，連接，利用圖探究值的大小變化情況，并說明理由．【答案】(1)，(2)不變，理由見解析【分析】（1）如圖，記與的交點為點，與的交點為點，由，可得，再利用角的和差關系可得答案；如圖，記與的交點為，求解，由角的和差關系可得答案；（2）如圖3，設分別交、于點、，在中，可得，結(jié)合，，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，記與的交點為點，與的交點為點，

，

，，

，即，如圖，記與的交點為，

，，，，即，（2）當，，保持不變，理由如下：如圖3，設分別交、于點、，在中，，

，，，，．【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，三角形的外角的性質(zhì)的應用，熟練的利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與三角形的外角的性質(zhì)解題是關鍵．16．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）學習完平行線的知識后，甲，乙，丙三位同學利用兩個三角形進行探究活動，分別得到以下圖形．已知中，．請根據(jù)他們的敘述條件完成題目．

(1)若為等腰直角三角形，且；①甲同學：如圖1，和的直角邊在同一直線上，點E和點C互相重合，斜邊與相交于點P，那么度；②乙同學：如圖2，和直角頂點C，D互相重合于點P，斜邊與斜邊互相平行，求的度數(shù)，并寫出解答過程；(2)若為等腰三角形，已知．丙同學：如圖3，若直角頂點D恰好與底邊的中點重合，的斜邊經(jīng)過的頂點C，若，設，請用含x的式子表示的度數(shù)，并寫出解答過程．【答案】(1)①105；②75°(2)【分析】（1）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)進行求解即可；②過點P作，利用平行線的判定和性質(zhì)，進行求解即可；（2）利用等邊對等角，平行線的性質(zhì)，以及三角形的外角的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】（1）解：①∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：105；②∵，∴，如圖2，過點P作，

∵，∴，∴，∴；（2）由②得：，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關知識點，并靈活運用是解題的關鍵．17．（2023春·安徽宿州·八年級校聯(lián)考期中）小明善于用數(shù)學的眼光觀察生活，從中找到數(shù)學研究的樂趣．他用一副三角板拼成了如下兩幅圖．

(1)圖1中，的度數(shù)是______．(2)①求圖1中的度數(shù)；②圖2中，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由三角板可知，，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；（2）①由三角板可知，，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；②由三角板可知，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，故答案為：；（2）解：①∵，，∴；②∵，，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關鍵．18．（2022