人教B版高中數(shù)學選擇性必修第一冊單元2圓及其方程、曲線與方程課件

第二章平面解析幾何單元2圓及其方程、曲線與方程期中期末·全優(yōu)手冊A卷·必備知識全優(yōu)B卷·關(guān)鍵能力全優(yōu)題型1圓的方程重點題型全練例1在平面直角坐標系xOy中,過點A(1,3),B(4,6),且圓心在直線x-2y-1=0上的圓

的標準方程為

.解析易知線段AB的中點為M

,直線AB的斜率kAB=1,所以線段AB的垂直平分線的方程為y-

=-

,即x+y=7.聯(lián)立

解得

所以圓心坐標為(5,2),所以半徑r=

=

,所以圓的標準方程為(x-5)2+(y-2)2=17.答案

(x-5)2+(y-2)2=17變式1-1求經(jīng)過點P(1,1)和坐標原點,并且圓心在直線2x+3y+1=0上的圓的標準

方程.解析解法一(待定系數(shù)法):設(shè)圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則

解得

故所求圓的標準方程是(x-4)2+(y+3)2=25.解法二(幾何法):由題意知OP是圓的弦,弦OP的中點坐標為

,kOP=1,故弦OP的垂直平分線的方程為x+y-1=0.由

得

即圓心坐標為(4,-3),半徑為r=

=5.故所求圓的標準方程是(x-4)2+(y+3)2=25.例2

(1)已知圓C經(jīng)過P(-2,4),Q(3,-1)兩點,且在x軸上截得的弦長為6,則圓C的方

程為

;(2)已知圓心在直線y=-4x上,且圓與直線l:x+y-1=0相切于點P(3,-2),則該圓的方

程是

;(3)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0,

)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為

,則圓C的方程為

.解析

(1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),將P,Q兩點的坐標分別代入并整理,得

對于圓C的方程,令y=0,得x2+Dx+F=0③.設(shè)x1,x2是方程③的兩根,則x1+x2=-D,x1x2=F,易知|x1-x2|=6,所以(x1+x2)2-4x1x2=36,即D2-4F=36④,由①②④解得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.故圓C的方程為x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.(2)易知過切點P(3,-2)且與直線l:x+y-1=0垂直的直線的方程為x-y-5=0,聯(lián)立

解得

所以圓心坐標為(1,-4),所以半徑r=

=2

,故所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.(3)設(shè)圓C的方程為(x-a)2+y2=r2(a>0),由題意可得

解得

所以圓C的方程為(x-2)2+y2=9.答案

(1)x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0(2)(x-1)2+(y+4)2=8(3)(x-2)2+y2=9題型技巧求圓的方程的方法:(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐

標和半徑,進而寫出方程.(2)待定系數(shù)法:①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),

則設(shè)出圓的標準方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值;

②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則設(shè)出圓的一般方程,依據(jù)已知條件列

出關(guān)于D,E,F的方程組,進而求出D,E,F的值.題型2與圓有關(guān)的最值問題例3已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則(1)

的最大值和最小值分別為

和

;(2)y-x的最大值和最小值分別為

和

;(3)x2+y2的最大值和最小值分別為

和

.解析原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以點(2,0)為圓心,

為半徑的圓.(1)

的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率,所以設(shè)

=k,則y=kx.當直線y=kx與圓相切時(如圖),斜率k取得最大值或最小值,此時

=

,解得k=±

,所以

的最大值為

,最小值為-

.

(2)設(shè)y-x=b,則y=x+b,則b的幾何意義是直線y=x+b在y軸上的截距.如圖所示,當直

線y=x+b與圓相切時,縱截距b取得最大值或最小值,此時

=

,解得b=-2±

,所以y-x的最大值為-2+

,最小值為-2-

.

(3)x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方.易知圓心到原點的距離為2,根據(jù)幾

何意義知x2+y2的最大值是(2+

)2=7+4

,x2+y2的最小值是(2-

)2=7-4

.答案

(1)

;-

(2)-2+

;-2-

(3)7+4

;7-4

題型技巧

(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法:一般根據(jù)長度或距離的幾何意義,利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.(2)與圓有關(guān)的最值問題,常見的有以下幾種類型:①形如μ=

(x≠a)形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題;②形如t=ax+by形式的最值問題,可轉(zhuǎn)

化為動直線截距的最值問題;③形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點

與定點的距離的平方的最值問題.(3)求圓的面積的最值問題,一般轉(zhuǎn)化為與圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖

形的關(guān)系,借助函數(shù)求最值的方法,如配方法、基本不等式法等求解,有時可以

通過轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想求解.變式3-1已知點O(0,0),A(0,2),點M是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點,求△OAM面積

的最小值.解析根據(jù)題意得圓(x-3)2+(y+1)2=4的圓心坐標為(3,-1),半徑r=2,由O(0,0),A(0,2),知OA所在的直線是y軸,當M到直線AO的距離最小時,△OAM的面積最小,易知M到直線AO的距離的最小值為3-2=1,則△OAM的面積的最小值為

×|OA|×1=1.題型3與圓有關(guān)的軌跡問題例4已知△ABC中,AB=AC=

,△ABC所在平面內(nèi)存在點P使得PB2+PC2=3PA2=3,則△ABC面積的最大值為

.解析以BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,不

妨設(shè)點A在y軸正半軸上,B(-a,0),C(a,0)(0<a<

),P(x,y),則A(0,

),由PB2+PC2=3得(x+a)2+y2+(x-a)2+y2=3,即x2+y2=

-a2,易得0<a2<

,由3PA2=3得x2+(y-

)2=1,∴點P(x,y)為圓x2+y2=

-a2和圓x2+(y-

)2=1的交點,∴

≤

≤1+

,解得0<a2≤

,∴△ABC的面積S=

×2a×

=

=

.又∵0<a2≤

<

,∴當a2=

時,S有最大值,為

.答案

例5已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0).(1)求直角頂點C的軌跡方程;(2)求直角邊BC的中點M的軌跡方程.解析

(1)設(shè)C(x,y),因為A,B,C三點不共線,所以y≠0.由題意可知直線AC,BC的斜率存在,因為AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=

,kBC=

,所以

·

=-1,化簡得x2+y2-2x-3=0.所以直角頂點C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(y≠0).(2)設(shè)M(x',y'),因為M是線段BC的中點,所以x'=

,y'=

,所以x=2x'-3,y=2y'.由(1)知點C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),將x=2x'-3,y=2y'代入得(2x'-4)2+(2y')2=4(y'≠0),化簡得(x'-2)2+y'2=1(y'≠0).所以動點M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(y≠0).題型技巧求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法:(1)直接法:直接根據(jù)題目提供的條

件列出方程.(2)定義法:根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)幾何法:利用圓的幾何性

質(zhì)列方程.(4)代入法:找到要求點與已知點的關(guān)系,代入已知點滿足的關(guān)系式即

可.題型4直線與圓的位置關(guān)系例6

(1)直線l:mx-y+1-m=0與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關(guān)系是

(

)A.相交

B.相切C.相離

D.不確定(2)已知點P(a,b)(ab≠0)是圓x2+y2=r2內(nèi)的一點,直線m是以P為中點的弦所在的直

線,直線l的方程為ax+by=r2,則下列說法正確的是

(

)A.m∥l,且l與圓相交

B.m⊥l,且l與圓相切C.m∥l,且l與圓相離

D.m⊥l,且l與圓相離(3)設(shè)某公園外圍呈圓形,其所在曲線的方程可用x2+y2-2x=0表示,以公園外兩點A

(-2,0),B(0,2)與公園外圍上任意一點為頂點,修建一處三角形舞臺,則舞臺面積的

最小值為

(

)A.3-

B.3+

C.3-

D.

解析

(1)由題意知圓心坐標為(0,1),半徑為

,則圓心到直線l的距離d=

<1<

,故直線l與圓相交.故選A.(2)因為點P(a,b)(ab≠0)在圓內(nèi),所以a2+b2<r2,因為直線m是以P為中點的弦所在

的直線,所以m⊥OP(O為圓x2+y2=r2的圓心),因為ab≠0,所以直線OP的斜率存在,

所以直線m的斜率km=-

,因此m∥l.圓心(0,0)到直線l的距離d=

>

=r,所以直線l與圓相離.故選C.(3)易知lAB:x-y+2=0,圓x2+y2-2x=0即(x-1)2+y2=1,圓心坐標為(1,0),半徑為1,圓心(1,0)到lAB的距離d=

=

>1,則公園外圍上任意一點到AB的距離的最小值為

-1,|AB|=2

,易知舞臺的面積最小值為

×2

×

=3-

.故選A.答案

(1)A

(2)C

(3)A例7已知圓C的方程為x2+(y-4)2=4,點O是坐標原點,直線l:y=kx與圓C交于M,N

兩點.(1)求k的取值范圍;(2)直線l能否將圓C分割成弧長之比為1∶3的兩段弧?若能,求出直線l的方程;若

不能,請說明理由.解析

(1)解法一:將y=kx代入圓C的方程x2+(y-4)2=4,得(1+k2)x2-8kx+12=0.∵直線l與圓C交于M,N兩點,∴Δ=(-8k)2-4×12(1+k2)>0,得k2>3,(*)∴k的取值范圍是(-∞,-

)∪(

,+∞).解法二:易知圓心到直線l的距離d=

<2,解得k>

或k<-

.∴k的取值范圍是(-∞,-

)∪(

,+∞).(2)假設(shè)直線l將圓C分割成弧長之比為1∶3的兩段弧,則劣弧MN所對的圓心角

∠MCN=90°,由圓C:x2+(y-4)2=4知圓心C(0,4),半徑r=2.在Rt△MCN中,弦心距為r·sin45°=

,故圓心C(0,4)到直線kx-y=0的距離為

=

,∴k=±

,經(jīng)驗證,k=±

滿足題意,故直線l的方程為y=±

x.題型技巧判斷直線與圓的位置關(guān)系的常用方法(1)幾何法:利用弦心距d與半徑r的關(guān)系.(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點與圓的位置關(guān)系:若直線恒過定點且定點在圓內(nèi),則可判定直線與圓相交.題型5圓的弦長問題例8

(1)在平面直角坐標系xOy中,直線

x-y+1-

=0被圓x2+y2-6x-2y+1=0截得的弦長為

;(2)當直線l:ax-y+2-a=0被圓C:(x-3)2+(y-1)2=9截得的弦長最短時,實數(shù)a的值為

;(3)若直線l:ax-y+2-a=0與圓C:(x-3)2+(y-1)2=9相交于A,B兩點,且∠ACB=90°,則實

數(shù)a的值為

;(4)已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=2截y軸所得線段與截直線y=2x+b所得線段的長度相

等,則b=

.解析

(1)圓x2+y2-6x-2y+1=0的圓心坐標為(3,1),半徑r=3,圓心到直線

x-y+1-

=0的距離d=

=

,所以所求弦長為2·

=2

.(2)由題意得圓心C(3,1),由直線l:ax-y+2-a=0得直線l恒過點M(1,2).易知點M(1,2)

在圓C的內(nèi)部,當直線MC與l垂直時,弦長最短,所以kMC·kl=-1,即

×a=-1,解得a=2.(3)由題意得圓心C(3,1),半徑r=3,因為∠ACB=90°,所以圓心C到直線l:ax-y+2-a=0

的距離為

r,即

=

,解得a=1或a=7.(4)易知圓心C(1,2)到y(tǒng)軸的距離為1,則圓心C(1,2)到直線2x-y+b=0的距離也等于

1,所以

=1,解得b=±

.答案

(1)2

(2)2

(3)1或7

(4)±

例9已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0.(1)求證:對任意m∈R,直線l與圓C總有兩個不同的交點;(2)若直線l與圓C交于A、B兩點,當|AB|=

時,求m的值.解析

(1)證法一:由

消去y整理,得(m2+1)x2-2m2x+m2-5=0.Δ=(-2m2)2-4(m2+1)(m2-5)=16m2+20>0對一切m∈R成立,∴直線l與圓C總有兩個不

同的交點.證法二:由已知得l:y-1=m(x-1),故直線l恒過定點P(1,1).∵12+(1-1)2<5,∴P(1,1)在圓C內(nèi).∴直線l與圓C總有兩個不同的交點.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=

,x1x2=

,|AB|=

=

=

=

.∴m=±

.題型技巧直線與圓相交的弦長的兩種求法(1)代數(shù)法:將直線和圓的方程聯(lián)立,消元后得到一個一元二次方程.在根的判別

式Δ>0的前提下,利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求弦長.(2)幾何法:若弦心距為d,圓的半徑為r,則弦長l=2

.變式9-1已知直線l經(jīng)過直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點,且與直線x+y-2=0垂

直.(1)求直線l的方程;(2)若圓C的圓心為點(3,0),直線l被該圓所截得的弦長為2

,求圓C的標準方程.解析

(1)由

解得

∴直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點的坐標為(2,1).易知直線l的斜率存在,設(shè)其為kl,∵直線l與x+y-2=0垂直,∴kl=1,又∵直線l過點(2,1),∴直線l的方程為y-1=x-2,即x-y-1=0.(2)依題意,得圓心(3,0)到直線x-y-1=0的距離為

=

,設(shè)圓的半徑為r,則由垂徑定理得r2=

+(

)2=4,∴圓C的標準方程為(x-3)2+y2=4.題型6圓的切線問題例10已知點P(

+1,2-

),點M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求過點P的圓C的切線方程;(2)求過點M的圓C的切線方程.解析

(1)由題意得圓心C(1,2),半徑r=2.因為(

+1-1)2+(2-

-2)2=4,所以點P在圓C上.直線PC的斜率kPC=

=-1,所以切線的斜率k=-

=1.所以過點P的圓C的切線方程是y-(2-

)=1×[x-(

+1)],即x-y+1-2

=0.(2)因為(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以點M在圓C的外部.當過點M的直線斜率不存在時,直線方程為x=3.點C(1,2)到直線x=3的距離為3-1=2=r,滿足題意,所以直線x=3是圓C的切線.當切線的斜率存在時,設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,則圓心C到切線的

距離d=

=r=2,解得k=

.所以切線方程為y-1=

(x-3),即3x-4y-5=0.綜上可得,過點M的圓C的切線方程為x=3或3x-4y-5=0.題型技巧求過某一點的圓的切線方程的方法(1)點(x0,y0)在圓上.①若過切點和圓心的直線的斜率存在且不為0,則先求切點和圓心所在直線的

斜率k,再由垂直關(guān)系得切線的斜率為-

,進而得到切線方程y=y0-

(x-x0).②若過切點和圓心的直線的斜率為零或不存在,則由圖形可直接得切線方程為x=x0或y=y0.(2)點(x0,y0)在圓外.①設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),由圓心到直線的距離等于半徑建立方程,可求得k,

進而得到切線方程.②當用此法只求出一個方程時,另一個方程應(yīng)為x=x0,原因是在上面解法中不包

括切線的斜率不存在的情況.題型7圓與圓的位置關(guān)系例11已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值時兩圓外切?(2)m取何值時兩圓內(nèi)切?(3)求m=45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.解析兩圓的標準方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,則m<61,圓心

分別為M(1,3),N(5,6),半徑分別為

和

.(1)當兩圓外切時,

=

+

,解得m=25+10

.(2)當兩圓內(nèi)切時,圓M的半徑

小于兩圓的圓心距5,所以

-

=5,解得m=25-10

.(3)當m=45時,兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+4

5)=0,即4x+3y-23=0.所以公共弦長為2

=2

.例12分別求當實數(shù)k為何值時,兩圓C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0

相交、相切.解析將兩圓的一般方程化為標準方程,得圓C1:(x+2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-1)2+(y-

7)2=50-k,則圓C1的圓心C1(-2,3),半徑r1=1,圓C2的圓心C2(1,7),半徑r2=

,k<50.所以|C1C2|=

=5.當|

-1|<5<

+1,即14<k<34時,兩圓相交.當1+

=5,即k=34時,兩圓外切,當|

-1|=5,即k=14時,兩圓內(nèi)切.所以當k=14或k=34時,兩圓相切.題型技巧

(1)判斷兩圓的位置關(guān)系多用幾何法,即用兩圓圓心距與半徑和或差

的關(guān)系判斷,一般不采用代數(shù)法.(2)求兩圓公共弦長的方法是在其中一圓中,由弦心距d,弦的一半,半徑r三條線

段構(gòu)成的直角三角形并結(jié)合勾股定理求解.若兩圓相交,則兩圓公共弦所在直線

的方程可由兩圓的方程作差得到.題型8圓與圓的綜合問題例13已知圓C1:(x-a)2+(y+2)2=4與圓C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,則ab的最大值為

.解析由圓C1與圓C2外切,可得

=2+1=3,即(a+b)2=9,要使ab取得最大值,則a,b同號,不妨令a>0,b>0,則a+b=3,易知ab≤

=

,當且僅當a=b時等號成立.故ab的最大值為

.答案

例14已知圓C1:(x-a)2+(y+2)2=4與圓C2:(x+b)2+(y+2)2=1內(nèi)切,則a2+b2的最小值為

.解析由圓C1與圓C2內(nèi)切,得

=2-1=1,即(a+b)2=1.易知

≥

,故a2+b2≥

=

,當且僅當a=b時等號成立,故a2+b2的最小值為

.答案

例15已知圓C1:x2+y2+6x-4=0和圓C2:x2+y2+6y-28=0.求兩圓公共弦所在直線的

方程及弦長.解析由

得x-y+4=0.∴兩圓公共弦所在直線的方程為x-y+4=0.易知圓C1的圓心坐標為(-3,0),半徑r=

,∴點C1到公共弦所在直線的距離d=

=

,∴兩圓公共弦的長為2

=2

=5

.故兩圓公共弦所在直線的方程為x-y+4=0,弦長為5

.題型技巧

(1)若圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0)與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0)相交,則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.(2)公共弦長的求法.①代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點坐標,利用兩點之間的距離公式求出弦

長.②幾何法:求出公共弦所在直線的方程,利用圓的半徑、弦的一半、弦心距構(gòu)成

的直角三角形,根據(jù)勾股定理求解.(3)已知圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0)與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0)相交,則過兩圓交點的圓(不包括圓C2)的方程可設(shè)為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).一忽視隱含條件致誤易錯易混全會例1若過點A(4,2)可以作兩條直線與圓C:(x-3m)2+(y-4m)2=25(m+4)2相切,則點A

在圓C的

(填“外部”“內(nèi)部”“上面”),m的取值范圍是

.錯解因為過點A與圓有兩條切線,所以點A必在圓的外部.因為點A在圓的外部,所以(4-3m)2+(2-4m)2>25(m+4)2,即240m<-380,解得m<-

.錯因分析此題的錯解在于忽視了圓的半徑一定要大于0的隱含條件,應(yīng)注意隱含條件25(m+4)2>0.解析因為過點A與圓有兩條切線,所以點A必在圓的外部.因為點A在圓的外部,

所以(4-3m)2+(2-4m)2>25(m+4)2,即240m<-380,解得m<-

.因為圓的半徑必須大于0,所以25(m+4)2>0,所以m≠-4,所以m的取值范圍是(-∞,-4)∪

.答案外部;(-∞,-4)∪

例2已知Rt△ABC的斜邊為AB,點A(-2,0),B(4,0),求點C滿足的方程.錯解設(shè)C(x,y),易知直角三角形斜邊的中點為M(1,0),點C在圓M上,圓M的半徑為

×

=3,所以點C滿足的方程為(x-1)2+y2=9.錯因分析忽視結(jié)論的檢驗,沒有注意到點C是直角三角形的頂點,故點C不能

在直線AB上,所以造成錯解.解析設(shè)C(x,y),易知直角三角形斜邊的中點為M(1,0),點C在圓M上,圓M的半徑為

=3,則圓M的方程為(x-1)2+y2=9.又頂點C不能在直線AB上,所以y≠0,所以點C滿足的方程為(x-1)2+y2=9(y≠0).二忽視求圓的切線方程時,對斜率不存在的理解致誤例3過點(2,3)與圓(x-1)2+y2=1相切的直線的方程為

.錯解設(shè)圓的切線方程為y=k(x-2)+3,由圓心(1,0)到切線的距離為半徑1,得

=1,解得k=

,所以切線方程為4x-3y+1=0.錯因分析忽略了切線斜率不存在的情形.過圓外一點作圓的切線有兩條.解析當切線的斜率存在時,設(shè)圓的切線方程為y=k(x-2)+3,由圓心(1,0)到切線的距離為半徑1,得

=1,解得k=

,所以切線方程為4x-3y+1=0.當切線的斜率不存在時,切線方程為x=2,易知直線x=2是圓的切線.所以所求切線的方程為4x-3y+1=0或x=2.答案

4x-3y+1=0或x=2第二章平面解析幾何單元2圓及其方程、曲線與方程

A卷基礎(chǔ)達標卷一、單項選擇題1.(2024合肥期中)關(guān)于圓x2+y2+Dx+Ey+F=0有四個命題:①點A(1,-3)在圓內(nèi);②點

B(2,3)在圓上;③圓心坐標為(-1,0);④圓的半徑為3.若以上四個命題中只有一個

是假命題,則該命題是

(

)A.①

B.②

C.③

D.④D解題思路若②③是真命題,則

故F=-17,所以圓的方程為(x+1)2+y2=18,顯然點A(1,-3)在圓內(nèi),①是真命題,圓的半徑為3

,④是假命題,符合題意.若③④是真命題,則易得圓的方程為(x+1)2+y2=9,顯然點B(2,3)不在圓上,②是假命題,點A(1,-3)在圓外,①是假命題,不符合題意.其他四種命題組合①②,①④,②④,①③均無法確定圓的方程,無法對剩余命題

進行判斷.綜上所述,④是假命題.故選D.方法總結(jié)判斷二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0是否表示圓的方法:(1)

看是否同時滿足條件:①A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4F>0;(2)在A=C≠0,B=0的條件下,將方程化成標準形式后,根據(jù)圓的標準方程的特征,觀察是否可以表示圓.2.(2023安徽六安中學期中)已知方程x2+y2+kx-2y-k2=0表示的圓中,當圓的面積最

小時,k=

(

)A.-1

B.0

C.1

D.2

解題思路由x2+y2+kx-2y-k2=0,得

+(y-1)2=

+1,易知當k=0時,圓的半徑最小,即圓的面積最小.故選B.B3.(2024山東濰坊一中期中)已知圓C:x2+y2+2mx-2y+5m-3=0,直線l:x+y-1=0.若直

線l與圓C相交所得的弦長為8,則m=

(

)A.-2或2

B.-1或12

C.-2或12

D.-2或1

審題指導將圓C的方程化為標準方程,從而得到圓心與半徑,再利

用點到直線的距離公式與弦長公式得到關(guān)于m的方程,解之即可.C解題思路由圓C的方程x2+y2+2mx-2y+5m-3=0,得圓C的標準方程為(x+m)2+(y-

1)2=m2-5m+4,所以m2-5m+4>0,解得m<1或m>4.圓心C(-m,1)到直線l:x+y-1=0的距離d=

=

|m|,所以2

=8,整理得m2-10m-24=0,解得m=-2或m=12,均滿足圓的條件.故選C.4.(2023北京首都師范大學附屬中學期中)點M,N是圓x2+y2+2kx+2y-4=0上的不同

兩點,且點M,N關(guān)于直線x-y+1=0對稱,則該圓的半徑等于

(

)A.3

B.2

C.

D.9A解題思路易知圓x2+y2+2kx+2y-4=0的圓心坐標為(-k,-1),因為點M,N是圓x2+y2+2kx+2y-4=0上的不同兩點,且點M,N關(guān)于直線x-y+1=0對稱,所以直線x-y+1=0經(jīng)過圓心,所以-k+1+1=0,解得k=2,所以圓的方程為x2+y2+4x+2y-4=0,即(x+2)2+(y+1)2=9,所以圓的半徑為3.故選A.5.(2024安徽一模)“b=±

”是“直線x+y+b=0與圓C:(x+1)2+(y-1)2=5相切”的

(

)A.充分條件

B.必要條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件C解題思路由已知得圓心C(-1,1),半徑r=

,若直線x+y+b=0與圓C:(x+1)2+(y-1)2=5相切,則圓心C到直線x+y+b=0的距離d=

=

,所以b=±

,所以該直線方程為x+y±

=0.所以“b=±

”是“直線x+y+b=0與圓C:(x+1)2+(y-1)2=5相切”的充要條件.故選C.6.(2023福州二中期末)已知直線ax+by-1=0(a>0,b>0)平分圓C:x2+y2-2x-4y-2017=

0,則

的最大值為

(

)A.3+2

B.3-2

C.

D.

B解題思路∵圓C:x2+y2-2x-4y-2017=0,∴圓心C(1,2),∵直線ax+by-1=0(a>0,b>0)平分圓C:x2+y2-2x-4y-2017=0,∴直線ax+by-1=0(a>0,b>0)過圓心C(1,2),即a+2b=1(a>0,b>0),∴

=

+

=

(a+2b)=

+

+3≥2

+3,∴

≤

=

=3-2

,當且僅當

=

,即b=

,a=

-1時等號成立,故

的最大值為3-2

.故選B.二、多項選擇題7.(2024福建廈門期中)過點P(2,4)作圓(x-1)2+(y-1)2=1的切線,則切線方程為

(

)A.3x+4y-4=0

B.4x-3y+4=0C.x=2

D.y=2BC解題思路圓(x-1)2+(y-1)2=1的圓心坐標為(1,1),半徑r=1,若切線的斜率不存在,則切線方程為x=2,符合題意;(注意:不要忘記考慮切線的

斜率不存在的情況)若切線的斜率存在,則設(shè)切線方程為y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,由圓心到切線的距離等于半徑,得

=1,解得k=

,所以切線方程為4x-3y+4=0.綜上,切線方程為x=2或4x-3y+4=0.故選BC.8.(2024云南師大附中階段練習)已知圓M的方程為(x-1)2+(y+2)2=1,則關(guān)于圓M的

說法正確的是

(

)A.圓心M的坐標為(1,-2)B.點P

在圓M內(nèi)C.直線x+y=0被圓M截得的弦長為

D.圓M在點(1,-1)處的切線方程為y=-1ABD解題思路由圓M的方程(x-1)2+(y+2)2=1,知圓心M(1,-2),半徑為1,故A正確;點P

到圓心M(1,-2)的距離為

=

<1,故B正確;圓心M(1,-2)到直線x+y=0的距離為

=

,所以所求弦長為2

=

,故C錯誤;易知點(1,-1)與圓心M(1,-2)的連線與x軸垂直,所以圓M在點(1,-1)處的切線與x軸平行,其方程為y=-1,故D正確.故選ABD.9.(2023江蘇南通期末)已知圓O1:x2+y2=5和圓O2:(x-4)2+y2=13相交于A,B兩點,且點

A在x軸上方,則

(

)A.|AB|=4B.過O2作圓O1的切線,切線長為2

C.過點A且與圓O2相切的直線方程為3x-2y+1=0D.圓O1的弦AC交圓O2于點D,D為直線AC的中點,則直線AC的斜率為

ACD解題思路由

解得

則A(1,2),B(1,-2),則|AB|=4,A正確;由題易知圓O1的圓心O1(0,0),半徑r1=

,圓O2的圓心O2(4,0),半徑r2=

,過點O2作圓O1的切線,則切線長為

=

,B不正確;直線AO2的斜率k=

=-

,故過點A且與圓O2相切的直線斜率為

,所以該切線方程為y-2=

(x-1),即3x-2y+1=0,C正確;因為D為圓O1的弦AC的中點,所以O(shè)1D⊥AC,所以點D在以線段O1A為直徑的圓x

(x-1)+y(y-2)=0上,而點D在圓O2上,則由

得直線AD的方程為7x-2y-3=0,故直線AD即直線AC的斜率為

,D正確.故選ACD.三、填空題10.(2023山東省昌樂二中期中)當點A在曲線x2+y2=1上運動時,連接A與定點B(6,

0),則AB的中點P的軌跡方程為

.答案

(x-3)2+y2=

解題思路設(shè)A(x0,y0),P(x,y),則由中點坐標公式可得

又點A在曲線x2+y2=1上,所以(2x-6)2+(2y)2=1,整理得P的軌跡方程為(x-3)2+y2=

.11.(2024山東聊城期中)2023年第19屆亞運會在中國浙江杭州舉行,杭州有很多

拱橋,經(jīng)測得某圓拱橋(如圖)的跨度|AB|=100米,拱高|OP|=10米,在建造圓拱橋時

每隔5米需用一根支柱支撐,則與OP相距30米的支柱MN的高度是

米.

(注:

≈3.162)答案

6.48審題指導以點P為坐標原點,OP所在直線為y軸,過點P且平行于AB的直線為x

軸,建立平面直角坐標系,求得點A的坐標,設(shè)所求圓的半徑為r,由勾股定理可列

等式求得r的值,進而可求得圓的方程,然后求出點N的縱坐標,進而可計算出MN

的長.解題思路以點P為坐標原點,OP所在直線為y軸,過點P且平行于AB的直線為x

軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(-50,-10),設(shè)圓拱橋所在圓的半徑為r,由勾股定理可得(r-|OP|)2+|OA|2=r2,又|OP|=10,所以(r-10)2+502=r2,解得r=130,所以圓心的坐標為(0,-130),則圓拱橋所在圓的方程為x2+(y+130)2=16900,將x=-30代入圓的方程得(-30)2+(y+130)2=16900,又y>-10,所以y=40

-130,所以|MN|=40

-130-(-10)=40

-120≈40×3.162-120=6.48,故支柱MN的高度是6.48米.12.已知圓C的方程為x2+y2=2,點P是直線x-2y-5=0上的一個動點,過點P作圓C的

兩條切線PA、PB,A、B為切點,則四邊形PACB面積的最小值為

;直線

AB過定點

.答案

;

審題指導由題意作出圖形,連接PC,根據(jù)切線的相關(guān)性質(zhì)可得S四邊形PACB=2S△PAC=

,求出|PC|最小值即可;易得P,A,C,B四點在以PC為直徑的圓上,且AB是兩圓的公共弦,設(shè)出點P坐標,求出直線AB方程,即可得出定點.解題思路如圖所示,連接PC,由圓C:x2+y2=2得圓心C(0,0),半徑r=

,由題意可得|PA|=|PB|,PA⊥CA,PB⊥CB,在Rt△PAC中,|PA|2=|PC|2-r2=|PC|2-2,S四邊形PACB=2S△PAC=2×

×|PA|×|AC|=

×

=

,當PC垂直于直線x-2y-5=0時,|PC|取得最小值,|PC|min=

=

,此時S四邊形PACB=

,所以四邊形PACB面積的最小值為

,易得P,A,C,B四點在以PC為直徑的圓M上,且線段AB是兩圓的公共弦,設(shè)P(2a+5,a),則圓M的圓心為M

,半徑為

,則圓M的方程為

+

=

+

,整理可得x2+y2-(2a+5)x-ay=0,聯(lián)立

可得直線AB的方程為(2a+5)x+ay-2=0,當x=

時,y=-

,故直線AB過定點

.解題關(guān)鍵本題考查圓的切線的相關(guān)問題,求四邊形面積時,關(guān)鍵是將面積轉(zhuǎn)化

為

,再根據(jù)|PC|的最值求解;求直線AB所過的定點時,關(guān)鍵是利用P,A,C,B四點共圓,得直線AB的方程.四、解答題13.(10分)(人教A版選擇性必修第一冊P98習題2.5T4回歸教材)求圓心在直線3x

-y=0上,與x軸相切,且被直線x-y=0截得的弦長為2

的圓的方程.解題思路設(shè)圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則圓心坐標為(a,b),半徑為r,

由圓心在直線3x-y=0上,可得3a-b=0,即b=3a,由圓與x軸相切,可得r=|b|=|3a|,(注意隱含條件:圓與x軸相切,半徑為圓心縱坐標

的絕對值)所以圓的方程為(x-a)2+(y-3a)2=9a2,圓心到直線x-y=0的距離d=

=

,

(5分)根據(jù)圓的弦長公式,可得2

=2

,解得a=±1,所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.

(10分)名師點睛本題主要考查圓的標準方程,直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,其中設(shè)出

圓的標準方程,熟練應(yīng)用圓的弦長公式是解題的關(guān)鍵,著重考查推理與運算能

力.14.(10分)(2023安徽池州一中期中)已知圓C1:(x-1)2+(y-2)2=9,C2:(x-2)2+(y-3)2=4.(1)判斷兩圓的位置關(guān)系,若它們的公切線分別與圓C1,C2切于點R,S,求線段RS的

長度;(2)若動直線l與圓C1交于點P,Q,且線段PQ的長度為2

,求證:存在一個定圓C,直線l總與之相切.解題思路

(1)由圓C1:(x-1)2+(y-2)2=9可得點C1(1,2),半徑r1=3,由圓C2:(x-2)2+(y-3)2=4可得點C2(2,3),半徑r2=2,所以|C1C2|=

=

,所以1=r1-r2<|C1C2|<r1+r2=5,所以圓C1,C2相交.

(2分)由題可知直線RS分別與圓C1,C2切于點R,S,連接C1R,C2S,在直角梯形C1C2SR中,|C1R|=3,|C2S|=2,|C1C2|=

,所以|RS|=

=1,即線段RS的長度為1.

(4分)(2)證明:設(shè)線段PQ的中點為D,連接C1D,則C1D⊥PQ,因為動直線l與圓C1交于點P,Q,且線段PQ的長度為2

,所以|C1D|=

=

=

,又因為C1D⊥PQ,所以點C1(1,2)到直線l的距離為

,所以直線l總與圓(x-1)2+(y-2)2=3相切,所以存在一個定圓C:(x-1)2+(y-2)2=3,直線l總與之相切.

(10分)第二章平面解析幾何單元2圓及其方程、曲線與方程

B卷提優(yōu)檢測卷一、單項選擇題1.(2023廣東汕頭潮陽棉城中學期中)已知兩圓分別為圓C1:x2+y2=49和圓C2:x2+y2-

6x-8y+9=0,這兩圓的位置關(guān)系是

(

)A.相離

B.相交

C.內(nèi)切

D.外切B解題思路由題意得圓C1的圓心坐標為(0,0),半徑為7;圓C2的圓心坐標為(3,4),

半徑為4,兩圓心之間的距離為

=5,因為7-4<5<7+4,所以這兩圓的位置關(guān)系是相交.故選B.2.(2024山東泰安期中)已知曲線x-1=

,則

的最大值,最小值分別為

(

)A.

+2,

-2

B.

+2,

C.

,

-2

D.

,

B解題思路由x-1=

,可得(x-1)2+y2=4(x≥1),此方程表示的曲線是以A(1,0)為圓心,2為半徑的圓的右半部分,如圖,

表示點P(0,4)與此半圓上點的距離,其最大值為|PA|+2,最小值為|PB|,易知B(1,2),所以|PB|=

=

,易知|PA|=

=

,所以

的最大值為

+2,最小值為

.故選B.3.(2024四川內(nèi)江資中二中階段練習數(shù)學文化)阿波羅尼斯(公元前262年—公元

前190年),古希臘人,與阿基米德、歐幾里得一起被譽為古希臘三大數(shù)學家.阿波

羅尼斯研究了眾多平面軌跡問題,其中阿波羅尼斯圓是他的論著中的一個著名

問題:已知平面上兩點A,B,則所有滿足

=λ(λ>0且λ≠1)的點P的軌跡是一個圓.已知平面內(nèi)的兩個相異定點P(2,0),Q(-2,0),動點M滿足|MP|=

|MQ|,記M的軌跡為C,則軌跡C圍成圖形的面積是

(

)A.4π

B.8π

C.16π

D.32πD解題思路設(shè)M(x,y),則|MP|=

,|MQ|=

,由|MP|=

|MQ|,可得

=

,整理可得(x+6)2+y2=32.所以點M的軌跡是以(-6,0)為圓心,4

為半徑的圓.所以軌跡C圍成圖形的面積是π×(4

)2=32π.故選D.4.(2024天津期中)若圓x2+y2=5上有兩個動點A,B,滿足|AB|=

,點M在直線2x+y-5=0上運動,則|

+

|的最小值為

(

)A.

B.

C.

D.

解題思路由題易知圓x2+y2=5的圓心為O(0,0),設(shè)AB的中點為N,連接ON,則ON

⊥AB,設(shè)圓心O到弦AB距離為d,因為|AB|=

,所以d2=5-

=5-

=

,解得d=

,B所以|ON|=d=

,設(shè)N(x,y),則x2+y2=

,所以點N的軌跡方程為x2+y2=

,即點N是以O(shè)(0,0)為圓心,

為半徑的圓上一點,圓心O(0,0)到直線2x+y-5=0的距離為

=

.又因為點M在直線2x+y-5=0上動,所以|MN|min=

-

=

.易知|

+

|=|2

|=2|

|,所以|

+

|min=

,故選B.5.(2023安徽屯溪一中期中)已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的

對稱軸.過點A(-4,a)作圓C的兩條切線,切點分別為B、D,則直線BD的方程為

(

)A.3x+y-5=0

B.2x+y-5=0C.3x-y+5=0

D.2x+y+5=0A解題思路由題意得圓C的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=4,故圓心C(2,1),半徑為2.易知點(2,1)在直線x+ay-1=0上,即2+a-1=0,∴a=-1,∴點A的坐標為(-4,-1),∴|AC|=

=2

,∴過點A作圓C的切線所得切線長為

=6,∴以點A為圓心,6為半徑的圓A的方程為(x+4)2+(y+1)2=36,圓A與圓C的方程作差得3x+y-5=0,即直線BD的方程為3x+y-5=0.故選A.6.德國數(shù)學家米勒曾提出最大視角問題,這一問題一般的描述是:已知點A、B是

∠MON的ON邊上的兩個定點,C是OM邊上的一個動點,當C在何處時,∠ACB最

大?問題的答案是:當且僅當△ABC的外接圓與邊OM相切于點C時,∠ACB最大.

人們稱這一命題為米勒定理.已知點P、Q的坐標分別是(2,0),(4,0),R是y軸正半

軸上的一動點,當∠PRQ最大時,點R的縱坐標為

(

)A.1

B.

C.2

D.2C解題思路因為點P、Q的坐標分別是(2,0),(4,0),所以P、Q是x軸正半軸上的兩個定點,又R是y軸正半軸上的一動點,所以根據(jù)米

勒定理得當且僅當△PQR的外接圓與y軸相切時,∠PRQ最大,由垂徑定理可知,弦PQ的垂直平分線必經(jīng)過△PQR的外接圓圓心,易知弦PQ的

中點坐標為(3,0),故弦PQ中點的橫坐標即為△PQR的外接圓半徑,即r=3,由垂徑

定理可得,圓心坐標為(3,2

),故△PQR的外接圓的方程為(x-3)2+(y-2

)2=9,所以點R的縱坐標為2

.故選C.二、多項選擇題7.(2024浙江臺州期中)已知P(4,2),A(4,0),點Q為圓O:x2+y2=4上一動點,過點P作圓

O的切線,切點分別為M、N,下列說法正確的是

(

)A.若圓C:(x-2)2+(y-3)2=1,則圓O與圓C有四條公切線B.若x,y滿足x2+y2=4,則-4≤

x+y≤4C.直線MN的方程為2x+y-1=0D.|PQ|+

|AQ|的最小值為

ABD解題思路由題意得圓O的圓心為點O(0,0),半徑r=2,對于A,圓C的圓心為點C(2,3),半徑R=1,所以|OC|=

=

>r+R=3,所以圓O與圓C外離,所以圓O與圓C有四條公切線,A正確;對于B,因為x,y滿足x2+y2=4,所以E(x,y)是圓O上的點,令

0°≤θ<360°,所以

x+y=2

cosθ+2sinθ=4sin(θ+60°)∈[-4,4],B正確;對于C,易知過點P的圓O的切線斜率存在,設(shè)切線方程為y-2=k(x-4),圓心O到切線y-2=k(x-4)的距離d=

=2,解得k=0或k=

,所以所求切線方程為y=

x-

或y=2,聯(lián)立

解得

聯(lián)立

解得

所以M(0,2),N

,所以kMN=

=-2,所以直線MN:y-2=-2x,即2x+y-2=0,C錯誤;對于D,假設(shè)x軸上存在點D(t,0)使得圓O上任意的一點Q(x,y)滿足|DQ|=

|AQ|,即2

=

,即3x2+3y2+(8-8t)x=16-4t2,所以

解得t=1,所以存在點D(1,0)在圓O內(nèi)使得|DQ|=

|AQ|,所以|PQ|+

|AQ|=|PQ|+|DQ|≥|PD|=

=

,D正確.故選ABD.名師點睛若能熟練掌握圓的切點弦方程和阿氏圓逆定理則能快速判斷C,D選

項.8.(2023重慶實驗中學期末創(chuàng)新改編)已知圓C:(x-3)2+(y-2)2=1,點A(2,0),過點A的

直線與圓C交于兩點P,Q,且|AP|<|AQ|,則

(

)A.直線PQ的斜率大于或等于1

B.|AQ|的最小值為2C.|AP|的最小值為

-1

D.

·

=4CD解題思路由圓C:(x-3)2+(y-2)2=1可知C(3,2),圓C的半徑r=1,顯然直線AP的斜率存在,設(shè)其為k,則直線AP:y=k(x-2),即kx-y-2k=0,所以圓心C到直線AP的距離d=

<1,解得k>

,故A錯誤;易知|AC|=

=

,所以|AP|min=|AC|-r=

-1,故C正確;當且僅當直線AQ與圓相切時,|AP|=|AQ|,又|AP|<|AQ|,所以|AQ|不存在最小值,只

存在最大值,且|AQ|max=|AC|+r=

+1,故B錯誤;設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立

消去y整理得(1+k2)x2-(4k2+4k+6)x+4k2+8k+12=0,所以x1+x2=

,x1x2=

,所以

·

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)(x2-2)+k2·(x1-2)(x2-2)=(1+k2)[x1x2-2(x1+x2)+4]=(1+k2)

=4,故D正確,故選CD.9.(2023山東濰坊中學月考)已知直線l:kx-y-k+1=0與圓C:(x-2)2+(y+2)2=16相交于

A,B兩點,O為坐標原點,下列說法正確的是

(

)A.|AB|的最小值為2

B.若圓C關(guān)于直線l對稱,則k=3C.若∠ACB=2∠CAB,則k=1或k=-

D.若A,B,C,O四點共圓,則k=-

ACD解題思路易知直線l:y=k(x-1)+1過點D(1,1),圓C:(x-2)2+(y+2)2=16,即x2+y2-4x+4y-8=0①,圓心C(2,-2),半徑r=4,由于(1-2)2+(1+2)2<16,故點D在圓C內(nèi).|CD|=

=

,所以|AB|min=2

=2

,此時AB⊥CD,所以A選項正確.若圓C關(guān)于直線l對稱,則直線l過C,D兩點,斜率k=

=-3,所以B選項錯誤.設(shè)∠ACB=2∠CAB=2θ,則θ+θ+2θ=π,故θ=

,此時三角形ABC是等腰直角三角形,故點C到直線l的距離為4×

=2

,即

=2

,解得k=1或k=-

,所以C選項正確.若A,B,C,O四點共圓,則設(shè)此圓為圓E,E(a,b),易知OC的中點坐標為(1,-1),kOC=-1,所以O(shè)C的垂直平分線為l':y+1=x-1,即y=x-2,則b=a-2②,圓E的方程為(x-a)2+(y-b)2=a2+b2,整理得x2+y2-2ax-2by=0③,由于直線l是圓C和圓E的交線,故由③-①得l:(4-2a)x-(2b+4)y+8=0,將D(1,1)代入上式得(4-2a)-(2b+4)+8=0,即a+b-4=0④,由②④得a=3,b=1,所以直線l的斜率為

=

=-

,所以D選項正確.故選ACD.三、填空題10.(2023上?？亟袑W期中)已知圓x2+y2+2x-4y-5=0與x2+y2+2x-1=0相交于A、B

兩點,則公共弦AB的長是

.答案

2解題思路由題意得直線AB的方程為(x2+y2+2x-4y-5)-(x2+y2+2x-1)=0,即y=-1,易得圓x2+y2+2x-1=0的圓心坐標為(-1,0),半徑為

,故圓心到直線y=-1的距離為1,所以|AB|=2

=2.11.(2024合肥一中階段練習)已知P(x0,y0)是圓C:x2+y2-2x-2y+1=0上任意一點,則

的取值范圍為

.

答案解題思路設(shè)k=

,則k(x0-3)-y0-1=0,故

的幾何意義為直線l:k(x-3)-y-1=0的斜率,又P(x0,y0)是圓C:x2+y2-2x-2y+1=0,即(x-1)2+(y-1)2=1上任意一點,所以只需圓心C(1,1)到直線l的距離小于或等于半徑即可,即

≤1,解得

≤k≤

,即

的取值范圍為

.